3 用字母表示（二）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年六年级上册数学（北师大版·新教材）

第三单元 用字母表示（二) 第1课时用字母表示数量关系 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 能力攀升 活学活用，提升能力 1.填一填。 3 (1)新情境传统文化我国古代投壶游戏历史悠 久，《礼记》中便有记载。学校传统文化社团 24.5元 a元 b元 开展投壶游戏，规则如下：箭矢投进壶中（即 “入壶”)1次计1分，投中壶耳1次计2分，未 (1)4a+b表示( )。 投中不得分。小刚投进壶中a次，投中壶耳 (2)3b-5a表示( )。 b次，他一共得()分。 (3)24.5m+2a+b表示( (2)某停车场有a辆三轮摩托车和b辆轿车 )。(m表示m本《水浒传》) (a<b),三轮摩托车的车轮总数比轿车的少 4.货轮、客轮先后从重庆港出发，沿同一航线向 上海港航行。货轮每小时航行a千米，客轮 ( )个。 每小时航行b千米(a<b)。货轮航行80千 (3)新情境人文历史古代的人们经常用骑马的 米后，客轮出发。请用字母表示客轮追上货 方式传递信息。某驿卒奉令传递紧急公文， 轮需要的时间。 骑行一周抵达县衙。他前3天平均每天骑行 m千米，后4天平均每天骑行n千米，这位驿 卒一共骑行了()千米。 2.新趋势题组训练芳芳和茜茜在笔直的路上散 步，芳芳每分钟走a米，茜茜每分钟走b米。 (a<b) (1)两人同时从同一地点出发向相同的方向 走，5分钟后相距多少米？ 5.新素养几何直观如图，若把这个长方形的长增 加3米，宽增加2米，则面积增加了多少平 方米？ b米 (2)两人同时从同一地点出发向相反的方向 a 走，5分钟后相距多少米？ 24 第三单元 第2课时 探索规律（一）(1) 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 能力攀升 活学活用，提升能力 1.填一填。 3.按如图所示的方式用小棒摆图形，第1个图 (1)新趋势数形结合彤彤和好朋友雯雯用捡来 形需要4根小棒，第2个图形需要10根小 的树枝搭“房子”。 棒，第3个图形需要16根小棒，按此规律摆 下去，第n个图形需要( )根小棒 树枝根数：6 ①按规律填写下表。 第1个图形第2个图形第3个图形 “房子”个数 12 4 6 4.新情境生活应用如图，把一些规格相同的杯子 树枝根数 61116 叠起来，4个杯子叠起来高20cm,6个杯子 ②按这种方式搭下去，搭n个房子需要 叠起来高24cm。n个杯子叠起来的高度如 ( )根树枝。 何用式子表示？ (2)新情境学科慰合如图所示为一种有机化合 物的分子结构图，第n个图中有( )个0. 24 cm 5.奇奇用若干张长3cm、宽2cm的长方形卡纸 2.选一选。 按照如图所示的规律拼一拼。 (1)一些小球按如图所示的方式堆放，第n 口00口00 堆有( )个小球。 ①② ③ ④ (1)第⑩个图形的周长是多少厘米？ 8 Q00 00000 0o00000●00000o0O A.4n B.3n+1 C.3m+3 D.4n+1 (2)观察下面的图形，照这样摆下去，第n个 图形中有( )个白色方块。 (2)第@个图形的周长是多少厘米？ A.n+4 B.3n C.3m+2 D.6m-1 25 拔尖特训·数学（北师版）六年级上 第3课时 探索规律（一）(2) 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 能力攀升 活学活用，提升能力 1.新趋势题组训练下面的每个图形都是由白色正 3.新情境传统文化“蔚县剪纸”源于明代，是一种 六边形和蓝色正六边形组成的。 在国内外享有盛誉的传统民间艺术。莉莉用 888888 卡纸剪了一些相同的等腰梯形，并把它们按 … 下图拼在一起。（单位：厘米） (1)在有20个蓝色正六边形的图形中，白色 正六边形有多少个？ 11▣ (1)用10张等腰梯形卡纸拼成的图形的周 长是( )厘米。 (2)( )张等腰梯形卡纸拼成的图形的周 长是65厘米。 4.新趋势数形结合下面各图形均是由棱长为1dm (2)照这样的规律摆下去，第多少个图形中 的小正方体拼成的，根据前4个图形的规律， 的白色正六边形有150个？ 第多少个图形的表面积是134dm? 包百 第1个第2个 第3个 第4个 2.选一选。 (1)观察下图中的点阵图形，根据圆点个数 的变化，探究其中规律，则第17个图形中有 ( )个圆点。 5.观察图形，第60个图形由多少根小木棒组成？ 第1个第2个第3个第4个 A.63B.65 C.68 D.69 (2)用蓝、白两种颜色的正方形纸片按图中 的规律拼图案。第n个图案中有白色纸片 157张，则n的值为()。 甲即即 第1个第2个 第3个 A.48B.52C.56D.58 26 第三单元 第4课时 探索规律（二） 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 能力攀升 活学活用，提升能力 1.新趋势数形结合夏天到了，妈妈带贝贝姐弟去 3.如图所示为一个数值转换器的转化原理。 沙滩玩要，他们用树枝在沙滩上画出了这样 数为奇数 数的3倍- 的图案。 输入 输出 数的一半+5 ●●800●o88●0●●880800 数为偶数 第1幅第2幅第3幅 (1)如果输入的是字母x,输出的是字母y, 照这样摆下去，第n幅图案中画了m个·。 请用含有字母的式子表示上面的过程。 下面( )能表示m和n之间的关系。 A.2m+4 B.n=2m+4 C.2m+4 D.m=2m+4 2.新趋势题组训练随着科技的发展，停车场也日 (2)当x是最小的合数时，y是多少？ 益智能化。如图，在每个停车位的4个角安 装了智能感应器（每个小圆表示一个智能感 应器)，那么a个停车位需要安装b个智能感 应器。 (3)当y是两位数，且是最大的偶数时，x是 多少？ (1)请用含有字母的式子表示停车位个数与 智能感应器个数之间的关系。 4.新素养几何直观观察下面长方形叠放的规律， 用含有字母的式子表示各个图形的周长。 (2)当a=9时，b是多少？ (2x+2y)()() (1)按照这样的方法叠放，第n个图形的周 长是m,则m=( )。 (3)当b=32时，a是多少？ (2)当x=5,n=100,m=1600时，y是多少？ 27 拔尖特训·数学（北师版）六年级上 第5课时 日历中的数量关系 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 能力攀升 活学活用，提升能力 1.日历表中的数量关系。 3.新趋势作探究将连续的奇数1、3、5、7、9… 排成如下数表，用十字框框出5个数。 日一二三四五六 1234567 13579111315 891011121314 1719212325272931 15161718192021 3335373941434547 22232425262728 ★2930 4951535557596163 6567697173757779 (1)根据上图方框中4个数的规律，用字母 (1)任意框几次，看看每次框出的5个数的 表示下面方框中的数 和与中间的数有什么关系。 (2)请你在上面的数表中用十字框框出5个 数，使它们的和是305。 (2)如果方框中4个数的平均数是8，那么这 4.新素养数据意识下面是一张数表，在数表中按 4个数中最小的是( ),最大的是( )。 a b 2.观察下图十字框中的5个数。 的方式任意框出4个数。 12345678910 11121314151617181920 45678 21222324252627282930 910111213 31323334353637383940 1415161718 41424344454647484950 1920212223 51525354555657585960 2425262728 61626364656667686970 当a十b+c+d=72时，a的值是多少？ 71727374757677787980 81828384858687888990 919293949596979899100 (1)若十字框中最小的数是a,则十字框中最 大的数是()。 5.新素养推理意识亮亮用十字框在日历表中框出 (2)若十宇框中5个数的和是360，则最小的 5个数，这5个数的和是110，且其中最大的 数是多少？ 数为这个月的最后一天，这一年共有多少天？ 28 第三单元 第6课时 花坛的周长 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 能力攀升 活学活用，提升能力 1.选一选。 4.新趋势探索规律下图是一块半圆形草坪。 (1)一个圆形水池周边扩建出3m,则扩建后 的水池周长比原来水池周长多( )m。 A.2π B.3π C.6 D.6π (1)填写下表。（用π表示） (2)新情境地域美食芝麻酱烧饼是经典的老北 半径增加/cm 2 3 京小吃，历史悠久且流传广泛。若一个圆形 周长增加/cm … 芝麻酱烧饼的半径增加( )厘米，则它的 (2)按照(1)计算，半径增加ncm,周长增加 周长增加5π厘米。 多少厘米？若用mcm表示周长增加的长 A.10 B.5 度，请用字母n、m表示半径增加的长度与周 C.2.5 D.2 长增加的长度之间的关系。 2.新趋势题组训练南山小学有一块长方形花坛。 (1)若花坛的长、宽各增加1m,则花坛的周 长增加( )m;若花坛的长、宽各增加2m, 则花坛的周长增加( )m;若花坛的长、宽 各增加3m,则花坛的周长增加( ）m… (3)当n=15时，m是多少？（π取3.14） 若花坛的长、宽各增加am,则花坛的周长增 加( )m。 (2)若花坛的周长增加30m,则花坛的长、宽 各增加多少米？ (4)当m=205.6时，n是多少？（π取3.14） 3.某地有一个正方形的祈福台，若祈福台周边 扩出a米，周长增加40米，求a的值。 29厘米)答：圆的面积是94.2平方厘米。 解析注意本题不需要求出r的值，只需要算出r2的 值，再根据圆的面积计算公式进行计算即可。 12.30÷2=15(cm) 答：这个近似梯形的面积是xm。 解析添加辅助线可知，图形①、②的面积相等，图形 ③、④的面积相等，所以图形①和④的面积之和等于 图形②和③的面积之和，则梯形的面积为钟面面积的 是) 1921③ 10 9 ®3 d=30cm 8 765 第三单元 用字母表示（二) 第1课时用字母表示数量关 1.(1)a+2b(2)4b-3a(3)3m+4n 2.(1)(5b-5a)米[或5(b-a)米] (2)(5a+5b)米[或5(a+b)米] 3.(1)4盏台灯和1部电话机的总价钱 (2)3部电话机比5盏台灯多的价钱 (3)m本《水浒传》、2盏台灯与1部电话机的总价钱 4.[80÷(b一a)门小时解析根据题意可知，客轮 每小时比货轮多航行(b一a)千米，则客轮追上货轮 需要的时间为[80÷(b一a)]小时。 5.(a+3)×2+b×3=(2a+3b+6)平方米 解析根据题意画出下图： 3米 b米 a米 2米 图中涂色部分为面积增加的部分，即为两个长方形的 面积和，一个长方形的长为(a十3)米，宽为2米，另一 个长方形的长为b米，宽为3米（或长为3米，宽为 b米)，据此列式计算即可。 第2课时 探索规律（一）(1 1.(1)①212631②5n+1 (2)2n+2 2.(1)B(2)C 3.6n-2解析根据题图，第1个图形需要(1×6一 2)根小棒，第2个图形需要(2X6一2)根小棒，第3个 图形需要(3×6一2)根小棒，按此规律摆下去，第n个 图形需要(n×6-2)根小棒。 目知识归纳 数形结合思想 通过图形找出对应的规律，是数形结合思想 的应用。可以帮助我们更好地理解算理、探究规 律和解决问题。 4.(24-20)÷(6-4)=2(cm)20-2×3= 14(cm)14+(n-1)×2=(2n+12)cm 解析4个杯子叠起来的高度是1个杯子的高度加上 3个叠起来杯子露出部分的高度，6个杯子叠起来的 高度是1个杯子的高度加上5个叠起来杯子露出部 分的高度。用6个杯子叠起来的高度减去4个杯子 叠起来的高度就等于2个叠起来杯子露出部分的高 度，因此叠起来后，1个杯子露出部分的高度是(24一 20)÷2=2(cm),则1个杯子的高度是20-2×3= 14(cm),所以n个杯子叠起来的高度是14+(n一 1)×2=(2n+12)cm。 5.(1)6×10+4=64(cm)答：周长是64cm。 (2)6×n+4=(6n+4)cm答：周长是(6n+4)cm. 解析根据题图计算周长如下：第①个图形的周长是 (3+2)×2=10(cm),10=6×1+4;第②个图形的周 长是(3+2+3)×2=16(cm),16=6×2+4;第③个 图形的周长是(3+2+3+3)×2=22(cm),22=6× 3十4；第④个图形的周长是(3十2+3+2+3)×2+ (3-2)×2=-28(cm),28=6×4十4…第⑩个图形 的周长是6×10十4=64(cm);第⑦个图形的周长是 6×n+4=(6n+4)cm 第3课时探索规律（一）(2 1.(1)4×20+2=82(个) 答：白色正六边形有82个。 (2)(150-2)÷4=37(个) 答：第37个图形中白色正六边形有150个。 2.(1)B解析第1个图形有(4×1一3)个点，第 2个图形有(4×2一3)个点，第3个图形有(4×3一 3)个点…第17个图形有(4×17-3)个点。 (2)B 3.(1)32(2)21解析根据题图发现：1张等腰 梯形卡纸的周长是1×3十2=5（厘米）；2张等腰梯形 卡纸拼成的图形的周长是2×3十2=8（厘米）；3张等 腰梯形卡纸拼成的图形的周长是3×3十2一11（厘 米)…n张等腰梯形卡纸拼成的图形的周长是 (3n十2)厘米，据此解答。 4.第n个图形的表面积是12×6×n-(n-1)×1× 2=(4n+2)dm24n+2=134n=33 答：第33个图形的表面积是134dm2。 解析根据题图可知，第n个图形是由n个小正方体 拼成的，先求出n个小正方体的表面积总和为12× 6×n=6n(dm),再求出n个小正方体排成一行，减 少的面积为[(n-1)×1×2]dm2,则n个小正方体 排成一行的表面积为6n一(n-1)×12×2=(4n+ 2)dm2,即4n十2=134，据此解答即可。 5.3×(1+2+3+.+60)=5490(根) 答：第60个图形由5490根小木棒组成。 解析第1个图形由3×1=3（根）小木棒组成；第 2个图形由3十3×2=9（根）小木棒组成；第3个图形 由3+3×2+3×3=18（根）小木棒组成…第60个 图形由3+3×2+3×3+·+3×60=[3×(1+2+ 3十…十60)]根小木棒组成。 第4课时探索规律（二 1.D 2.(1)b=2a+2 (2)当a=9时，b=2a十2=2×9+2=20 (3)当b=32时，2a+2=32a=15 3.①)y=3x-1(x为奇数)或y=2x十5(x为偶数) 解析由于输入的是字母x,x可能是奇数，也可能是 偶数，所以用含有字母的式子表示时要考虑两种 情况。 (2)当x=4时y-7+5-2×4+5=7 1 解析因为最小的合数是4，所以x=4,即将x=4代 1 入y=之x十5中计算即可。 (8)当y=98时，3r-1=98=3或分+5 98x=186 4.4.x+4y6x+6y8x+8y (1)2n(x十y)解析根据题意可知，第1个图形的 周长为2.x十2y=2×(x十y);第2个图形的周长为 4x+4y=2×2(x十y);第3个图形的周长为6x+ 6y=2X3(x十y)…第n个图形的周长为2× n(x+y)=2n(x+y)。 (2)当x=5,n=100,m=1600时，2×100×(5+ y)=1600y=3 第5课时 日历中的数量关系 1.(1) a-8a-7 6-1b a-la b+6b+7 m m+6 m+8 n+6 (2)412解析方框中4个数的平均数比最小的 数大4，比最大的数小4。 2.(1)a+20 (2)360÷5=7272-10=62答：最小的数是62。 3.(1)每次框出的5个数的和是中间的数的5倍 (2) 45 596163 77 解析十字框中的5个数的和是305，则中间的数是 305÷5=61。 4.a+b+c+d=72a+a+1+a+5+a+6=72 a=15解析根据题意可知，b=a十1，c=a十5， d=a十6，据此可将a十b十c十d=72转化为a十a+ 1十a十5十a+6=72,求出a的值即可。 5.110÷5=2222+7=29答：这一年共有366天。 2 解析因为十字框在日历表中框出的5个数的和是 110,则十字框中间的数是110÷5=22，因此其中最 大的数是22十7=29。由于最大的数为这个月的最 后一天，所以这个月最后一天是29日，即是闰年的 2月29日，即全年有366天。 第6课时花坛的周长 1.(1)D(2)C 2.(1)48124a (2)4a=30a=7.5答：长、宽各增加7.5m。 3.假设原来祈福台的边长是m米，则祈福台周边扩 出a米，周长塔加4(m+2a)-4m=8a(米)8a= 40a=5 解析假设原来祈福台的边长是m米，则祈福台周边 扩出a米的周长为4(m十2a)米，原来祈福台的周长 为4m米，即周长增加了4(m+2a)-4m=8a(米)。 根据题意可知8a=40,得a=5。 4.(1)x+22π+43π+6(2)[（π+2）n]cm m=(π十2)n(3)当n=15时，m=(π+2)n (3.14+2)×15=77.1(4)当m=205.6时，（π+ 2)n=205.6n=40 提分真题特训 1.(1)3n+1(2)214n+1 (3)10m十9n解析根据题意可知，这条花边的长 度包含10个图案的宽度与(10一1)个每相邻两个图 案之间的距离，即为(10m十9n)厘米。 (4)11解析观察图示，可知规律：第一层有1个 点：第二层有(2一1)×6=6（个）点；第三层有(3 1)×6=12(个)点…第n层有[(n-1)×6]个点。 然后计算n层六边形点阵的总点数为[1十6×(1十 2+3+…+n-1)]个，即1+6×(1+2+3+…十n- 1)=331,再计算出n的值即可。 2.(1)C解析摆1根小棒需要搭配(2+4×1)颗 纽扣，摆2根小棒需要搭配(2十4×2)颗纽扣，摆3根 小棒需要搭配(2十4×3)颗纽扣…摆n根小棒需要 搭配(2十4×n)颗纽扣。 (2)C解析观察前三个图形中圆点的个数可以发 现：当n=2时，s=4;当n=3时，s=4十1X4=8;当 n=4时，s=4十2×4=12，所以s=4十(n-2)×4= 4n-4。 (3)D解析根据题图可知，第1个图形需要4根火 柴棍；第2个图形需要12根火柴棍，12=4+8=2× 2×(2+1);第3个图形需要24根火柴棍，24=4+ 8十12=2×3×(3十1)…第n个图形需要的火柴棍 根数为2n(n+1),据此解答。 3.当有2个正方形时，有4个直角三角形；当有3个 正方形时，有8个直角三角形；当有4个正方形时，有 12个直角三角形。可以发现：每增加1个正方形，直 角三角形的个数就增加4。当有n个正方形时，比 2个正方形多了(n一2)个正方形，那么直角三角形就 多了[4(n-一2)门个，再加上2个正方形时的4个直角 三角形，可得直角三角形的个数为4十4(n一2)= 4n-4 单元整合提升·易错与拓 1.3n十133解析从第1次操作开始，每操作 1次就增加3个等边三角形，即第1次操作增加3个 等边三角形，一共剪出了(1×3十1)个等边三角形；第 2次操作共增加(2×3)个等边三角形，一共剪出了 (2×3+1)个等边三角形；第3次操作共增加(3× 3)个等边三角形，一共剪出了(3×3十1)个等边三角 形…第n次操作共增加(n×3)个等边三角形，一 共剪出了(n×3十1)个等边三角形。此外，当3n十 1=100时，n=33,所以第33次操作后，一共剪出了 100个等边三角形。 2.图①的周长是(3π+3π×1)cm;图②的周长是 (3π十3π×2)cm;图③的周长是(3π+3π×3)cm… 图⑦的周长是(3π十3π×n)cm,即图⑦D的周长是 [3π(1+n)cm. 3.(1)框的数不唯一，如789 484950 171819 585960 272829 686970 (7+8+9+17+18+19+27+28+29)÷9=18 (48+49+50+58+59+60+68+69+70)÷9=59 每次框出的各数的和是中间的数的9倍