学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（江苏扬州专用，范围：新教材苏科版九上第1-3章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程有实数根的是（  ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝m有两个不相等的实数根，则m的最小整数值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．3 5．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，是的外接圆，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴交于，两点，则点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，为正方形的对称中心，分别在轴和轴上，正方形的边长，双曲线经过、两点，则的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．若，是方程的两个实数根，则 ______________． 10．已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 11．若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 12．如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 13．如图，已知一次函数与反比例函数y＝的图象交于两点，观察图象，可知不等式的解集是_________． 14．如图，在中，，，则______． 15．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 16．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 17．如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 18．如图，平面直角坐标系中，分别以点，为圆心，以1，3为半径作，，M，N分别是，上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值等于______． 三、解答题：本题共10小题，共96分。其中：19-22每题8分，23-26题每题10分，27-28题每题12分。 19．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为3，求k的值及方程的另一个根． 21．已知关于的一元二次方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)当时，求的值． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标； (3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集 ． 23．如图，铁路和公路在点O处交会，，在点A处有一栋居民楼，．如果一列长的火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为，居民楼受噪声影响的时间为多少秒（结果保留小数点后一位）？ 24．已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 25．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 26．阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的图解法 【材料】据欧几里得的《原本》记载，形如（为常数，且）的方程可以用图解法．如图1，画，使，，，以点为圆心，的长为半径在斜边上截取，则线段的长是方程的一个正根． 【证明】设，则． 根据勾股定理得，即， 整理得， 线段的长是方程的一个正根． 任务： (1)利用此图解法解方程时，可知图1中的，___________，___________． (2)小宣在利用图解法解关于的一元二次方程时，只画出了的斜边及以点为圆心，的长为半径的圆弧交于点（如图2）． ①请在图2中的虚线圆弧上作出直角顶点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若，直接写出的值． 27．闪塌嘴又称糖干炉、空心月饼，是山西省怀仁市传统小吃，起源于宋代，清代发展为地方特产．该小吃以红糖、胡麻油为原料，经手工捣制、炉膛烘烤形成中空结构，具有香、酥、脆的特点，因外实内空的口感戏称“闪塌嘴”而得名．中秋期间，某超市为满足人们节日采购与走亲访友的需求，以每盒40元的价格购进一批空心月饼，当每盒空心月饼售价为50元时，每天可售出100盒．调研发现：售价在50元至70元的范围内，每盒售价提高1元，其销量就减少2盒． (1)设该款空心月饼每盒售价为元，则每天能售出________盒；（用含的代数式表示） (2)当该款空心月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到1750元； (3)当该款空心月饼每盒售价取最高价格70元时，该超市每天的利润________（填“能”或“不能”）达到1800元． 28．【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程有实数根的是（  ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝m有两个不相等的实数根，则m的最小整数值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．3 5．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，是的外接圆，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴交于，两点，则点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，为正方形的对称中心，分别在轴和轴上，正方形的边长，双曲线经过、两点，则的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．若，是方程的两个实数根，则 ______________． 10．已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 11．若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 12．如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 13．如图，已知一次函数与反比例函数y＝的图象交于两点，观察图象，可知不等式的解集是_________． 14．如图，在中，，，则______． 15．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 16．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 17．如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 18．如图，平面直角坐标系中，分别以点，为圆心，以1，3为半径作，，M，N分别是，上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值等于______． 三、解答题：本题共10小题，共96分。其中：19-22每题8分，23-26题每题10分，27-28题每题12分。 19．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为3，求k的值及方程的另一个根． 21．已知关于的一元二次方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)当时，求的值． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标； (3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集 ． 23．如图，铁路和公路在点O处交会，，在点A处有一栋居民楼，．如果一列长的火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为，居民楼受噪声影响的时间为多少秒（结果保留小数点后一位）？ 24．已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 25．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 26．阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的图解法 【材料】据欧几里得的《原本》记载，形如（为常数，且）的方程可以用图解法．如图1，画，使，，，以点为圆心，的长为半径在斜边上截取，则线段的长是方程的一个正根． 【证明】设，则． 根据勾股定理得，即， 整理得， 线段的长是方程的一个正根． 任务： (1)利用此图解法解方程时，可知图1中的，___________，___________． (2)小宣在利用图解法解关于的一元二次方程时，只画出了的斜边及以点为圆心，的长为半径的圆弧交于点（如图2）． ①请在图2中的虚线圆弧上作出直角顶点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若，直接写出的值． 27．闪塌嘴又称糖干炉、空心月饼，是山西省怀仁市传统小吃，起源于宋代，清代发展为地方特产．该小吃以红糖、胡麻油为原料，经手工捣制、炉膛烘烤形成中空结构，具有香、酥、脆的特点，因外实内空的口感戏称“闪塌嘴”而得名．中秋期间，某超市为满足人们节日采购与走亲访友的需求，以每盒40元的价格购进一批空心月饼，当每盒空心月饼售价为50元时，每天可售出100盒．调研发现：售价在50元至70元的范围内，每盒售价提高1元，其销量就减少2盒． (1)设该款空心月饼每盒售价为元，则每天能售出________盒；（用含的代数式表示） (2)当该款空心月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到1750元； (3)当该款空心月饼每盒售价取最高价格70元时，该超市每天的利润________（填“能”或“不能”）达到1800元． 28．【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共30分） 9．_______________ 10．_________________ 11．___________________ 12．___________________ 13．______________ 14．_________________ 15．___________________ 16．___________________ 17．__________________ 18．__________________ （本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） （1） （2） 21.（8分） （1） （2） 22. （8分） （1） （2） （3）___________________________. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 24. （10分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（10分） (1) （2） （3） 26.（10分） （1）_______________，________________ （2）① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（12分） （1） ____________________ （2）     （3） ____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.（12分） （1） （2） （3） ________________________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据形如，（ ，，均为常数）的整式方程判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意； B、中分母有未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C、是一元二次方程，故符合题意； D、是二元一次方程，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，形如，（，，均为常数）的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 2．下列关于x的方程有实数根的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别找出a、b、c代入△=b2-4ac计算，再根据计算的结果进行判断． 【详解】A．△=，方程没有实数根； B．△=，方程没有实数根； C．△=，方程有两个不相等的实数根； D．由，得：，∵，∴方程没有实数根； 故选C． 3．反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象位置和增减性，结合各点横坐标的范围分析y值的正负和大小，即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点在第二象限， 又∵ ， ∴， ∵点的横坐标大于， ∴点在第四象限， ∴； 综上可得． 4．若关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝m有两个不相等的实数根，则m的最小整数值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．3 【答案】B 【分析】将原方程变形为一般式，由方程有两个不相等的实数根，即可得出△=16+4m＞0，解之即可得出m的取值范围，再取其内的最小整数即可． 【详解】原方程可变形为x2-2x-（3+m）=0， ∵方程（x+1）（x-3）=m有实数根， ∴△=（-2）2+4（3+m）=16+4m＞0， 解得：m＞-4． ∴m的最小整数值为-3． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 5．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】设内切圆的半径为r，根据公式：，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径． 【详解】解：设内切圆的半径为r 解得：r=1 故选D． 【点睛】此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：是解决此题的关键． 6．如图，是的外接圆，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质；根据等腰三角形的性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解题即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：． 7．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴交于，两点，则点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，连接，则四边形是矩形，根据题意得，根据垂径定理得，则，根据矩形的性质得，则，在中，由勾股定理得，即可得． 【详解】解：如图所示，过点作，连接，，    ∴四边形是矩形， ∵与轴相切于点，与轴交于，两点， ∴轴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴点P的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的综合知识，解题的关键是掌握切线的性质、垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质． 8．如图，在平面直角坐标系中，为正方形的对称中心，分别在轴和轴上，正方形的边长，双曲线经过、两点，则的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的判定与性质表示点的坐标是解题的关键．作轴于，设，，则，利用证明，得，，从而得出，，根据得到，，据此求解即可得出答案． 【详解】解：作轴于，    设，，则， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 为正方形的对称中心， 点为的中点， ， 双曲线经过、两点， ， ∴，， ∵正方形的边长， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．若，是方程的两个实数根，则 ______________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程的根与系数的关系，可得， ∴． 10．已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 【答案】 【分析】反比例函数的图象上的点满足，将两个点的坐标分别代入得到关于和的等式，即可求解． 【详解】解：∵点和都在反比例函数的图象上， ∴，且， ∴ 解得． 11．若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 【答案】 【详解】解：由反比例函数的定义得，，． 12．如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知，结合已知面积求出，再根据图象所在的象限确定的符号． 【详解】解：， ， ． 由图象可知，反比例函数图象位于第二象限， ， ． 13．如图，已知一次函数与反比例函数y＝的图象交于两点，观察图象，可知不等式的解集是_________． 【答案】或 【详解】∵一次函数与反比例函数的图象交于两点， ∴根据图象可知不等式的解集是或． 14．如图，在中，，，则______． 【答案】/30度 【分析】由可得，再根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ， ， ， ∴． 15．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ， 四边形内接于 ， ， ． 16．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 【答案】十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 17．如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形面积公式求解； 【详解】解：设圆锥底面半径为，扇形半径为， 由题意得，， ∴圆锥底面周长， ∴扇形面积． 18．如图，平面直角坐标系中，分别以点，为圆心，以1，3为半径作，，M，N分别是，上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值等于______． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中作出关于x轴对称的圆，并作出点N关于x轴的对称点点Q，并连接PQ，AM，QC，AC．根据轴对称的性质确定PQ=PN，再根据图示应用两点之间，线段最短可得，通过等价代换和变形可得，再根据轴对称的性质和勾股定理求出AC，AM，QC的长度即可求出的最小值 【详解】解：如下图所示：在平面直角坐标系中作出关于x轴对称的圆，并作出点N关于x轴的对称点点Q，并连接PQ，AM，QC，AC． ∵是半径为3的关于x轴对称的圆，且， ∴，QC=3． ∵点Q是点N关于x轴的对称点， ∴PQ=PN． ∴PM+PN=PM+PQ． 根据图示可以看出． ∴，即． ∵，的半径是1， ∴，AM=1． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的综合问题，圆的性质，两点之间，线段最短，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键． 三、解答题：本题共10小题，共96分。其中：19-22每题8分，23-26题每题10分，27-28题每题12分。 19．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：原方程变形为 ∴或 ∴，； （2）解：原方程变形为 即 ∴或 ∴，． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为3，求k的值及方程的另一个根． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵， ∴． ∴无论k取何值，该方程总有实数根． (2)k的值为3，方程的另一个根为2 【分析】（1）求出判别式的符号即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【详解】（1）略 （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程为， ∴， 解得或， ∴方程的另一个根为2. 21．已知关于的一元二次方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根； （2）若方程的两个实数根分别为、，则，． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ，即， 解得， 的取值范围为； （2）解：关于的一元二次方程有两个实数根、， ，， ， ，即， ， ． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标； (3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集 ． 【答案】(1) (2)或． (3)或 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于数形结合． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴， 把A、B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：连接，如图所示： 把代入得：， ∴， ， 设， 由题意， 解得， ∴或． （3）解：观察图象可得：不等式的解集为：或． 23．如图，铁路和公路在点O处交会，，在点A处有一栋居民楼，．如果一列长的火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为，居民楼受噪声影响的时间为多少秒（结果保留小数点后一位）？ 【答案】居民楼会受到噪音的影响，居民楼受噪声影响的时间为秒 【分析】过点A作，利用含的直角三角形求出的长与相比较即可；过点A作，求出的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：过点A作，是火车在行驶的过程中，距离居民楼最近的地方， ∵，， ∴， ∴居民楼会受到噪音的影响； ∵， ∴以点A为圆心，为半径作圆，交于D， 则， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵火车行驶的速度为， ∴， ∴居民楼受噪声影响的时间为秒． 24．已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 【答案】(1)解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， ， 为半径， 与相切； (2) 【分析】（1）连接，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得到，再由平行线的性质得到为，从而得到与相切； （2）过点作于点，结合上一问可得四边形为矩形，设，，由勾股定理列方程可求出的长，再由垂径定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 设，，， ， ， 解得（舍去）， ， ， ． 25．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3) 解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）略 26．阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的图解法 【材料】据欧几里得的《原本》记载，形如（为常数，且）的方程可以用图解法．如图1，画，使，，，以点为圆心，的长为半径在斜边上截取，则线段的长是方程的一个正根． 【证明】设，则． 根据勾股定理得，即， 整理得， 线段的长是方程的一个正根． 任务： (1)利用此图解法解方程时，可知图1中的，___________，___________． (2)小宣在利用图解法解关于的一元二次方程时，只画出了的斜边及以点为圆心，的长为半径的圆弧交于点（如图2）． ①请在图2中的虚线圆弧上作出直角顶点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①如图，点为所求． ② 【分析】（1）根据题意确定、，以及确定、、的值，在中，根据勾股定理得的值，从而确定的值； （2）①作线段的垂直平分线，结合直径所对的圆周角是确定直角顶点的位置； ②根据题意确定、、、、的值，在中，根据勾股定理得到关于的一元二次方程，解方程，结合实际意义得到的值． 【详解】（1）解：， ，，且 ∴，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴； （2）①略 ②解：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即， 整理得, 解得：，（舍）， ∴． 27．闪塌嘴又称糖干炉、空心月饼，是山西省怀仁市传统小吃，起源于宋代，清代发展为地方特产．该小吃以红糖、胡麻油为原料，经手工捣制、炉膛烘烤形成中空结构，具有香、酥、脆的特点，因外实内空的口感戏称“闪塌嘴”而得名．中秋期间，某超市为满足人们节日采购与走亲访友的需求，以每盒40元的价格购进一批空心月饼，当每盒空心月饼售价为50元时，每天可售出100盒．调研发现：售价在50元至70元的范围内，每盒售价提高1元，其销量就减少2盒． (1)设该款空心月饼每盒售价为元，则每天能售出________盒；（用含的代数式表示） (2)当该款空心月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到1750元； (3)当该款空心月饼每盒售价取最高价格70元时，该超市每天的利润________（填“能”或“不能”）达到1800元． 【答案】(1) (2)65元 (3)能 【分析】（1）根据售价在50元至70元的范围内，每盒售价提高1元，其销量就减少2盒，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单盒利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （3）根据总利润等于单盒利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，每天能售出（盒）； （2）解：由题意，， 解得或， ∵售价在50元至70元的范围内， ∴， 答：当该款空心月饼每盒售价为65元时，每天的销售利润恰好能达到1750元； （3）解：由题意，， 解得， 故该超市每天的利润能达到1800元. 28．【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，再进一步求解即可； （2）如图，作以为直径的圆，连接，交于点O，证明，可得， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧，再进一步求解即可； （3）如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，，证明四边形是矩形，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，作以为直径的， ， ． ， ． ， 点P在以为直径的上． ∴连接交于点P，此时最小． 点O是的中点，， ， 在中，，，， ， 的最小值为； （2）解：如图，作以为直径的圆，连接，交于点O， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 点P在运动中保持， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧， 点P的运动路径长为． （3）解：如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ． 在中，， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A B D B D D 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 10. 11. 12. 13.或 14./30度 15./120度 16.十二 17. 18. 三、解答题（本题共10小题，共96分） 19．【详解】（1）解：原方程变形为（1分） ∴或（2分） ∴，；（4分） （2）解：原方程变形为 即（3分） ∴或（3分） ∴，．（4分） 20．【详解】（1）证明：∵， ∴（2分） ∵， ∴．（3分） ∴无论k取何值，该方程总有实数根．（4分） （2）解：把代入方程，得，（5分） 解得，（6分） ∴方程为， ∴， 解得或，（7分） ∴方程的另一个根为2.（8分） 21．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ，即，（2分） 解得，（3分） 的取值范围为；（4分） （2）解：关于的一元二次方程有两个实数根、， ，，（5分） ， ，即，（6分） ，（7分） ．（8分） 22．【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，， ∴，（1分） 解得， ∴，（2分） 把A、B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为；（3分） （2）解：连接，如图所示： 把代入得：， ∴，（4分） ，（5分） 设， 由题意， 解得， ∴或．（6分） （3）解：观察图象可得：不等式的解集为：或．（8分） 23．【详解】解：过点A作，是火车在行驶的过程中，距离居民楼最近的地方， ∵，， ∴，（2分） ∴居民楼会受到噪音的影响； ∵， ∴以点A为圆心，为半径作圆，交于D，（4分） 则， ∵， ∴，（6分） ∵在中，， ∴，（8分） ∵火车行驶的速度为， ∴， ∴居民楼受噪声影响的时间为秒．（10分） 24．【详解】(1)解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ， ，（1分） 平分交于点E， ，（2分） ， ，（3分） ， ，（4分） ， 为半径， 与相切；（5分） （2）解：过点作于点， ， 四边形为矩形，（6分） ，， ， ，（7分） 设，，， ， ，（8分） 解得（舍去），（9分） ， ， ．（10分） 25．【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得：（2分） ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴（3分） 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为（4分） （2）解：将代入中得：，（5分） 解得：，（6分） ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室．（7分） （3）有效，（8分） 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：，（9分） ∴， ∴此次消毒有效．（10分） 26．【答案】(1)；（2分+2分） (2)①如图，点为所求．（3分） ②（3分） 【详解】（1）解：， ，，且 ∴，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴； （2）①略 ②解：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即， 整理得, 解得：，（舍）， ∴． 27．【详解】（1）解：由题意，每天能售出（盒）；（3分） （2）解：由题意，，（5分） 解得或，（7分） ∵售价在50元至70元的范围内， ∴，（8分） 答：当该款空心月饼每盒售价为65元时，每天的销售利润恰好能达到1750元；（9分） （3）解：由题意，， 解得， 故该超市每天的利润能达到1800元.（12分） 28．【详解】（1）解：如图，作以为直径的， ， ．（1分） ， ．（2分） ， 点P在以为直径的上．（3分） ∴连接交于点P，此时最小． 点O是的中点，， ， 在中，，，， ，（4分） 的最小值为；（5分） （2）解：如图，作以为直径的圆，连接，交于点O， ∵正方形， ∴，，（6分） ∵， ∴， ∴， ∴，（7分） ∴，（8分） 点P在运动中保持， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧， 点P的运动路径长为．（9分） （3）．（12分） 解：如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ． 在中，， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.HA][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分） 10. 11 12 13. 14. 15. 16. 17. 18. (本大题共10个小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(本题8分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) (1) (2) 21.(8分) (1) (2) 22.(8分) (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) P y 24.(10分) (1) C ò B D (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 25.(10分) (1) ◆y(mg) 12 8 24 x(min) (2) (3) 26.(10分) (1) (2)① L B D A 图2 ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(12分) (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(12分) (1) B 图3 (2) D P E B C 图4 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！