1.1空间向量及其运算（分层作业，13大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 1.1 空间向量及其运算 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 空间向量的有关概念 题型02 空间向量的加减运算 题型03 空间向量的线性运算 题型04 空间向量共线的判断 题型05 判断空间向量共面 题型06 空间向量的数乘运算 题型07 空间向量数量积的概念辨析 题型08 空间向量的数量积运算 题型09 空间向量数量积的应用 B组 能力进阶 题型01 由空间向量共线求参数 题型02 空间共线向量定理的推论及应用 题型03 由空间向量共面求参数 题型04 利用向量方法解决立体几何中的证明问题 空间向量的有关概念题型01 1．下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确， 故选：D 2．下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 3．（25-26高二上·陕西西安·月考）在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的性质及中位线的性质，分析即可得答案. 【详解】因为E，F分别是AB，的中点， 所以且，，， 所以与向量相反的向量为. 故选：C 4．（25-26高二上·天津·月考）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 5．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误； 单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误； 向量不能比较大小，故C错误； 相等向量其方向必相同，故D正确； 故选：D. 空间向量的加减运算题型02 1．（26-27高二上·云南昭通·月考）在长方体中，分别为的中点，则与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为分别为的中点， 所以且，且， 与相交，与异面， 所以与向量相反的向量为. 2．（25-26高二上·河南郑州·月考）在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用相等向量的定义，结合正方体的几何特征即可求解． 【详解】如图， 在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有. 故选：A 3．（25-26高二·浙江温州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的三角形法则计算即可求解. 【详解】. 故选：C. 4．（25-26高二上·北京·期中）在空间四边形中，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量加减运算法则进行计算. 【详解】. 故选：C 5．如图，在长方体中，设，，，则______． 【答案】 【分析】根据长方体的结构特征，结合空间向量减法的几何意义及已知条件，求目标向量的模即可. 【详解】 由 故答案为： 空间向量的线性运算题型03 1．（25-26高二上·广东清远·期中）在长方体中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的加减结合相反向量的运算可得答案. 【详解】 故选：A 2．（24-25高二上·广东深圳·质检）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 3．（25-26高二·江苏徐州·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 4．如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设，，，请用，，的线性组合表示______． 【答案】 【分析】通过空间向量的加法和减法得到，从而表示出 【详解】因为 即 故答案为： 5．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2) 【分析】根据向量加法法则求解即可； 【详解】（1） （2） 空间向量共线的判断题型04 1．（26-27高二上·山东聊城·月考）在平行六面体中，与向量相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】与向量相等的向量，需和向量的方向相同，模相等. 如图，因为，所以向量与向量相等， 因为向量与向量的方向不同，所以和向量不相等. 2．（24-25高二上·北京·月考）如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量模相等的向量有（    ）    A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【分析】根据模的定义，以及平行六面体的性质，即可求解. 【详解】由向量的模的定义，根据平行六面体的性质可知，与向量模相等的向量分别为： ，共7个. 故选：C． 3．在平行六面体 中， 与 的交点为 ．设 ，是下列向量中与 相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加法法则及减法法则即得. 【详解】解：因为，所以. 故选：A. 4．如图所示，在三棱柱中，与是________向量，与是________向量(用“相等”“相反”填空).    【答案】 相等 相反 【分析】根据给定的几何体，结合相等向量，互为相反向量的意义判断即得. 【详解】在三棱柱中，四边形是平行四边形，则，即与是相等向量； 四边形是平行四边形，，即与是互为相反向量. 故答案为：相等；相反 5．如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足． (1)证明：； (2)求的长； (3)求到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接，由， 得均为等边三角形，则，而为的中点， 因此，又平面， 则平面，又平面，所以. (2) (3) 【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理得证. （2）利用平行四边形性质及余弦定理求解. （3）利用线面平行的性质，结合等体积法列式计算. 【详解】（1）略 （2）由，得，而为的中点，则， 由（1）得，因此，即， 又，则，由，得四边形为平行四边形， 则， . （3）由（1）（2）知，而平面，则平面， 由，得，而平面，平面， 因此平面，点到平面的距离等于点到平面的距离， 而， 由，得，则， 所以到平面的距离为. 判断空间向量共面题型05 1．在正方体中，下列各组向量与共面的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作图，根据即得解. 【详解】解： 如图，, 因为共面，所以共面，其它几组都不共面. 故选；C 2．（26-27高二上·河北·月考）对于空间的三个向量，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．既不共线也不共面的向量 D．无法判断 【答案】A 【详解】分两种情况讨论： 若共线，则均为共线向量，而共线向量必然是共面向量， 若不共线，则可作为平面内的一组基底，是的线性组合，根据共面向量定理，三个向量共面， 综上，一定是共面向量. 3．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 4．是空间四点，有以下条件： ①；    ②； ③；    ④， 能使四点一定共面的条件是______ 【答案】④ 【分析】利用空间向量共面定理即可判断. 【详解】对于④，，由空间向量共面定理可知四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件. 故答案为：④ 【点睛】本题考查空间向量共面定理，属于基础题. 5．在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1) (2) 设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面； 【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【详解】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）略 空间向量的数乘运算题型06 1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 2．在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数  （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用向量的线性运算，即可求出结果． 【详解】由于F为BE的中点， 所以，结合， 整理得，①， 由，得， 即，②， 根据①②的对应关系，可得 故选：D 3．已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：C. 4．如图，空间四边形OACB中， = ， = ，= ，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于__．（用向量表示） 【答案】 【分析】利用空间向量减法的三角形法则可得：，且，点N为BC中点，即可得出：，用向量表示即可. 【详解】由空间向量的运算法则：， 且，点N为BC中点， . 故答案为：． 5．（24-25高二上·山东·月考）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 空间向量数量积的概念辨析题型07 1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 2．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据数量积的几何意义即可求解. 【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，. 故选：A 3．已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】对ACD，举特例零向量判断即可；对B，根据数量积公式判断即可. 【详解】对A，若，则，不能得出，故A错误； 对B，，当与存在零向量时，与共线成立； 当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确； 对C，若，则，不能得出，故C错误； 对D，，，故不成立，故D错误； 故选：B 4．已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间向量平行与垂直的定义判断即可. 【详解】若，则或与不共线，故选项A与B错误； 若，则，故选项C错误，选项D正确. 故选：D. 5．在三棱锥中，已知，，，则___________ 【答案】 【分析】用表示，根据条件列出方程建立的关系，利用等量代换计算即得. 【详解】设，显然， 则，即， 而，即， 于是得，， ， 则有，所以. 故答案为： 空间向量的数量积运算题型08 1．三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　) A．－2 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】试题分析： 考点：平面向量数量积的运算 2．已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】由向量的加法，乘法的坐标运算得出结果. 【详解】由已知可得, ， 则， 故选：A 3．若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则. 故选：C 4．已知向量，，则向量在向量上投影向量为___________． 【答案】 【分析】根据投影向量公式计算可得答案. 【详解】向量在向量上投影向量为 . 故答案为：. 5．在棱长为的正四面体中，． (1)设，，用，，表示 (2)若，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加、减、数乘运算即可求得；（2）先表示出，根据， 即可解得． 【详解】（1）因为，所以是棱的中点， 所以， 则， 故． （2）因为，所以， 在棱长为的正四面体中，， 所以， 解得：． 空间向量数量积的应用题型09 1．四面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得 ，由数量积公式计算即可. 【详解】由题知，， 所以 ， 所以，解得， 故选：C 2．（24-25高二上·浙江·月考）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 3．在棱长为1的正方体中，设，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律计算即得. 【详解】在正方体中，， 所以. 故选：B 4．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是_________ 【答案】 【分析】利用投影向量定义直接代入计算可得结果. 【详解】由，可得， 易知向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 5．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长. 【答案】， 【分析】根据题中条件，由向量的线性运算法则求出；再由向量模的计算公式，结合题中条件求出，即得出结果. 【详解】因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形， 所以 ， 由题意，可得|，，， 因此 所以，即的长为. 由空间向量共线求参数题型01 1．与向量共线的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直接利用空间向量共线的性质判断即可. 【详解】因为不存在实数使得 ，，， 所以，，都不与共线， 因为， 所以与向量共线的向量是， 故选：D. 2．已知向量，，且，那么实数等于（　　） A．3 B．-3 C．9 D．-9 【答案】D 【分析】运用空间向量共线列式计算即可. 【详解】∵，，且， ∴， 解得，， ∴． 故选：D． 3．（25-26高二·江苏扬州·期中）已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意可设，即， 所以，解得， 所以. 4．（24-25高二上·广东深圳·质检）已知向量，，若，则______. 【答案】5 【分析】根据即可得出m，n的值，然后得解． 【详解】由，得，解得，， 所以 故答案为：5 5．如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． (1)若，求的值； (2)求线段的长． 【答案】(1)0 (2) 【分析】小问1利用空间向量的线性运算即可，小问2运用空间向量线性运算结合中点的条件，建立方程，求解即可. 【详解】（1）， （2） ， ． 空间共线向量定理的推论及应用题型02 1．（25-26高二上·重庆·月考）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解作答. 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 2．在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，设正四面体的棱长为4，则，， ，则为正三角形，所以， 由余弦定理得， ， 故. 3．已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得点在矩形及内部，结合平面，利用面面平行的知识找出点的轨迹，然后根据长方体的结构特征与解三角形的知识算出答案. 【详解】在长方体中，由，，，得点在矩形及内部， 又平面，故点在过且平行于平面的平面内， 连接交于点，取中点，连接，在上取点，使得，连接，，， 由是长方体，可知对角面为矩形，且， 因为，， 所以且，四边形为平行四边形，可得， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为是平面内的相交直线， 故平面平面，即平面是过且平行于平面的平面， 所以点的轨迹是四边形截面与平面的交线，即线段. 因为矩形中，，，可知， 所以，可得中，， 所以，即动点的轨迹所形成的轨迹长度为3. 故选：A 4．（24-25高二上·河北张家口·期中）在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当________时，． 【答案】1 【分析】将点P和点Q满足的向量式转化，分析得出P,Q的位置，然后利用线面垂直的判定以及性质即可求得答案. 【详解】，又， 所以点P在射线上； ，又， 所以点Q在射线上；    因为当变化时，平面，故只需考虑过且与平面垂直的线， 因为正方体有平面，而平面，所以 又，平面，所以平面， 平面，所以， 所以当点Q在上时，即时， 故答案为：1. 5．四棱锥中，底面为平行四边形，动点满足，）．设四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，则______． 【答案】##0.4 【分析】设，根据比率把体积都转换到三棱锥中，由可得到m的值，再利用向量共线可解. 【详解】∵动点满足，）， ∴动点在内，如图，延长OM交AB于N， 设，则 ∵底面为平行四边形，∴， ， ， ∵，∴， ∴，， ∵三点共线3，∴， 故答案为： 由空间向量共面求参数题型03 1．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可. 【详解】构成空间的一组基底，则不共线， 假设共面，则存在不全为零的实数，使，即， 则，则，与不共线矛盾，故不共面； ，故共面； ，故共面； ，故共面. 故选：. 2．已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理易求得的值. 【详解】由，因四点共面,由空间向量基本定理可知，需使，解得. 故选：B. 3．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知，，，若，，共面，则为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】根据空间向量共面定理设（），依题列出方程组，求解即得. 【详解】因，，共面，可设（）， 即， ，解得． 故选：C. 4．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为_____． 【答案】4 【分析】由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可. 【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则，即， ， 当时，，所以， 即，且，此时为梯形， 所以. 故答案为：4. 5．已知，，是空间中不共面的向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三点共线可设，列方程求； （2）由四点共面可设，列方程可得的关系，由此可求的最大值． 【详解】（1）因为三点共线，则， 又， ， 有}解得； （2）因为四点共面，则， 则， 有 解得， 所以， 当时，取到最大值 利用向量方法解决立体几何中的证明问题题型04 1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间共面向量定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D 2．（24-25高二下·福建·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空间中四点共面的判定方法，列出方程，求出参数值即可； 【详解】已知， 因为四点共面，所以，解得. 故选：A. 3．正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】, 故选：A 4．（25-26高二上·上海·期中）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则实数的值为___________． 【答案】 【分析】利用四点共面的性质即可求解参数. 【详解】空间的一点满足，由共面， 可得， 故答案为： 5．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【答案】(1) 证明：在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面； (2)时， 【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何表示可得，进而即得； （2）设，然后利用表示出，再利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】（1）略 （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ， 若，则，即 ， 即， 解得或舍去， 即时，. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1 空间向量及其运算 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 空间向量的有关概念 题型02 空间向量的加减运算 题型03 空间向量的线性运算 题型04 空间向量共线的判断 题型05 判断空间向量共面 题型06 空间向量的数乘运算 题型07 空间向量数量积的概念辨析 题型08 空间向量的数量积运算 题型09 空间向量数量积的应用 B组 能力进阶 题型01 由空间向量共线求参数 题型02 空间共线向量定理的推论及应用 题型03 由空间向量共面求参数 题型04 利用向量方法解决立体几何中的证明问题 空间向量的有关概念题型01 1．下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 2．下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 3．（25-26高二上·陕西西安·月考）在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·天津·月考）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 5．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 空间向量的加减运算题型02 1．（26-27高二上·云南昭通·月考）在长方体中，分别为的中点，则与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南郑州·月考）在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·浙江温州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京·期中）在空间四边形中，等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，在长方体中，设，，，则______． 空间向量的线性运算题型03 1．（25-26高二上·广东清远·期中）在长方体中，等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·质检）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·江苏徐州·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设，，，请用，，的线性组合表示______． 5．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： (1)； (2). 空间向量共线的判断题型04 1．（26-27高二上·山东聊城·月考）在平行六面体中，与向量相等的向量是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·月考）如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量模相等的向量有（    ）    A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 3．在平行六面体 中， 与 的交点为 ．设 ，是下列向量中与 相等的向量是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，在三棱柱中，与是________向量，与是________向量(用“相等”“相反”填空).    5．如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足． (1)证明：； (2)求的长； (3)求到平面的距离． 判断空间向量共面题型05 1．在正方体中，下列各组向量与共面的有（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河北·月考）对于空间的三个向量，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．既不共线也不共面的向量 D．无法判断 3．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．是空间四点，有以下条件： ①；    ②； ③；    ④， 能使四点一定共面的条件是______ 5．在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 空间向量的数乘运算题型06 1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数  （      ） A． B． C． D． 3．已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，空间四边形OACB中， = ， = ，= ，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于__．（用向量表示） 5．（24-25高二上·山东·月考）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 空间向量数量积的概念辨析题型07 1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 4．已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 5．在三棱锥中，已知，，，则___________ 空间向量的数量积运算题型08 1．三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　) A．－2 B．2 C． D． 2．已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 3．若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 4．已知向量，，则向量在向量上投影向量为___________． 5．在棱长为的正四面体中，． (1)设，，用，，表示 (2)若，且，求． 空间向量数量积的应用题型09 1．四面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江·月考）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．在棱长为1的正方体中，设，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 4．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是_________ 5．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长. 由空间向量共线求参数题型01 1．与向量共线的向量是（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，那么实数等于（　　） A．3 B．-3 C．9 D．-9 3．（25-26高二·江苏扬州·期中）已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高二上·广东深圳·质检）已知向量，，若，则______. 5．如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． (1)若，求的值； (2)求线段的长． 空间共线向量定理的推论及应用题型02 1．（25-26高二上·重庆·月考）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 2．在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 4．（24-25高二上·河北张家口·期中）在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当________时，． 5．四棱锥中，底面为平行四边形，动点满足，）．设四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，则______． 由空间向量共面求参数题型03 1．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知，，，若，，共面，则为（   ） A． B．3 C． D．9 4．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为_____． 5．已知，，是空间中不共面的向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值． 利用向量方法解决立体几何中的证明问题题型04 1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 4．（25-26高二上·上海·期中）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则实数的值为___________． 5．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $