1.2 空间向量基本定理（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练习以“空间向量基本定理”为核心，采用A/B/C组+拓展分层设计，从概念辨析到高考应用，构建梯度化知识巩固路径，培养抽象能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|基底概念、向量表示等7个基础知识点|单选/填空为主，如基底辨析题，强化概念理解| |B组|综合应用（参数计算、共面证明等）|多选/解答题，如平行六面体向量表示，提升运算能力| |C组|探究性问题（数学文化、动点轨迹等）|情境化题型，如阳马体积计算，发展创新意识| |拓展|高考真题|对接高考考点，如异面直线夹角计算，培养应试能力|

分层作业 1.2 空间向量基本定理 目 录 A组 巩固过关 知识点01 空间向量基底的概念及辨析 知识点02 用空间基底表示向量（重点） 知识点03 利用空间向量基本定理求参数（难点） 知识点04 空间向量的正交分解 知识点05 证明共线、共面问题（重点） 知识点06 证明平行、垂直问题（重点） 知识点07 求异面直线所成角（常考点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 空间向量基底的概念及辨析知识点01 知识点速记： 1．空间向量基本定理 设，，是空间中三个不共面的向量，则空间中任意一个向量可以分解成这三个向量的实数倍之和：，上述表达式中的系数由唯一确定，即若，则，，． 2. 基底 （1）定义：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量． （2）性质：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 题型巩固练： 1．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 3．（多选）（25-26高二下·江苏徐州·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A，因为，所以共面，所以A错误； 选项B，因为与互为相反向量，又为空间的一个基底， 所以能构成空间的一个基底，故B正确； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，进而则可得， 得到共面，与已知矛盾，所以C正确； 选项D，因为，所以共面，所以D错误. 用空间基底表示向量知识点02 知识点速记： 用空间基底表示向量 ⑴一般基底表示：选取任意三个不共面的向量作为基底，任意向量可表示为； ⑵单位正交基底表示：选取相互垂直且长度为1的单位向量，向量可表示为坐标形式，此时即为向量的坐标. 题型巩固练： 4．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 5．（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，由，得， 由，得， 所以. 6．（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为的中点，得， 所以. 故选：A 7．（25-26高二上·河北邢台·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱，，交于点，，，若，以为空间的一个基底，则__________.    【答案】 【分析】设，由空间向量的线性运算得出，，结合空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出答案. 【详解】设，则． 因为A，E，F，G四点共面，且不共线， 所以. 由，解得，所以. 利用空间向量基本定理求参数知识点03 知识点速记： 利用空间向量基本定理求参数的步骤： ⑴选定基底：选取三个不共面的向量（如）作为空间的一组基底； ⑵表示向量：利用向量的线性运算及几何关系（如中点、分点公式），将题目中涉及的未知向量及已知向量全部用选定的基底表示出来； ⑶构建方程：根据题目给出的向量等式（如），利用表示的唯一性，对比等式两边基底向量的系数，列出关于参数的方程组并求解. 题型巩固练： 8．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为点、分别是棱、的中点， 所以 ， 又，、、不共面， 所以，所以. 9．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 10．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 11．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 空间向量的正交分解知识点04 知识点速记： 正交分解 （1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示． （2）正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量、、，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解． 题型巩固练： 12.（25-26高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面，平面， 所以, 因为，即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为. 故选：B. 13.(25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量 ，是空间的另一个基底，则用基底表示向量___________. 【答案】 【详解】设 即有 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以 证明共线、共面问题知识点05 知识点速记： 共线、共面向量 共线（平行）向量 共面向量 定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量 充要条件 对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使 若两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 【注】⑴对于空间三点，存在实数，使成立或； ⑵在空间中P,A,B,C四点共面，则或，O为空间中任意一点. 题型巩固练： 14.（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，由，得， 所以， 对于A，假设共线，则，无解，A错误； 对于B，， 所以与共线，B正确； 对于C，假设共线，则，无解，C错误； 对于D，假设共线，则，无解，D错误； 15.（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：根据给定线性关系式有，A错误； 对于B：根据给定线性关系式有，B错误； 对于C：根据给定线性关系式有，C错误； 对于D：根据给定线性关系式有，D正确. 16．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知是空间的一组基底，其中，，，若A，B，C，D四点共面，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因A，B，C，D共面，故， 即， 解得，，即，. 故选：C. 17．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【详解】因为， 所以， 即， 故，所以P，B，C，D四点共面. 故选：C． 18．（25-26高二·全国·暑假作业）已知向量，不共线，如果，，，求证：A，B，C，D四点共面． 【答案】证明见解析 【详解】易得不共线．令， 则． 和不共线，，解得， ，∴A，B，C，D四点共面． 证明线线平行、垂直问题知识点06 知识点速记： 线线平行与垂直 ⑴平行：设直线的方向向量分别为，则∥∥； ⑵垂直：. 题型巩固练： 19．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量的基本定理即可得证； （2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可推出，从而得证； （3）由，结合（2）中结论与即可得证. 【详解】（1）由，， 知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； （2）由，，， 得 ， 所以； （3）由（2）知， 所以 ， 所以， 即，又与有一个公共点，所以三点共线． 20．（25-26高二上·山西太原·期中）如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记． (1)用向量表示向量，并求的模长； (2)用向量方法证明：． 【详解】（1）由题意得； ， . （2）由（1）得， ， ，． 21．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意可得 . （2） ， 因为，所以，解得， 所以， 故. 22．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长 【详解】(1)以为基底向量， 则，又， 所以 ， 所以，所以； （2）由（1）可得， 所以 ， 所以，所以的长为. 求异面直线所成角知识点07 知识点速记： 求异面直线所成角 设异面直线的方向向量分别为，异面直线所成角为，则. 【注】向量的夹角可能为钝角，但异面直线所成角是锐角或直角。 题型巩固练： 23．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 24．（25-26高二上·湖南·期中）如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的加法运算可得，两边平方并化简可得，从而可得异面直线与所成角的大小. 【详解】由空间向量得，两边平方得， 整理得，所以，则，故异面直线与所成角为． 故选：C. 25．（多选）（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量线性运算判断A；结合A可得，再根据数量积的运算律判断B；根据，则为异面直线与所成的角，即可判断C；计算，即可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以 ， 所以，即，故B错误； 对于C：因为，，所以， 所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误； 对于D：因为，， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：AD 26．（25-26高二上·广东汕头·期中）如图，在平行六面体中，，．设，，．    (1)用基底表示向量，并求； (2)求异面直线与所成的夹角； 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）， 因为，， 所以， 所以 . （2）因为， 所以 ， 所以，所以异面直线与所成的夹角为. 1、 单选题 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由得， ， 代入得． 2．（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【详解】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 3．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以， 因为、、不共面，所以，所以，故. 4．（25-26高二上·浙江台州·期末）在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 故选：C 5．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，连接，由空间向量的线性运算得出，，结合空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出答案. 【详解】设，连接， 则． 因为，即，故， 因为、、、四点共面，且、不共线，存在、，使得， 所以， 由空间向量的基本定理可得，解得，所以. 故选：A. 6．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合，可知点在平面内，所以当平面时，最小，再根据即可求得结果. 【详解】设，则 ，， 所以点在平面内， 依题意当平面时，最小， 四面体为正四面体，为底面的中心，如图，连接并延长交于点，则为的中点. 则， 所以， 即的最小值为， 又，所以，即的最小值为． 故选：B． 7．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知有点在线段上动，即为直线与所成角，且，即可求. 【详解】由点满足，则点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角， 连接，且， 在中，， . 2、 多选题 8．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）在四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 ，故A正确，C错误； ，故B错误，D正确. 9．（25-26高二上·福建厦门·期中）在以下命题中，正确的命题有（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点 和不共线的三点 ，，，若，则， ，，四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 【答案】CD 【详解】对于A：非零向量同向时，，共线，但 ，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为且 ， 则由共面向量定理知 四点共面，故C正确； 对于D：因为为空间的一个基底，则不共面， 故不存在不全为0的使得； 假设不是空间的另一个基底， 即存在不全为0的，使得， 即，且不全为0， 这与为空间的一个基底矛盾，故假设不成立， 所以构成空间的另一个基底，故D正确. 10．（2026·江苏盐城·模拟预测）平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，由可判断，对于B，由空间向量基本定理可判断，对于C，通过可判断，对于D，通过向量夹角公式可判断. 【详解】设，，， 由题意得：，三个向量两两夹角为， 因此两两点积， 选项A， ，则 ， 因此，A正确； 选项B ，平行六面体中，对比得， ，B错误； 选项C  ，， 因此，C错误； 选项D ， ， ； 即； 因此，D正确. 3、 填空题 11．（25-26高二上·四川遂宁·期末）在平行六面体中，，，，为的中点，则______. 【答案】3 【分析】由题意可得，可被，，表示，再由数量积以及向量模的定义求解即可. 【详解】由题意可得， 所以 ， 所以，所以. 12．（25-26高二上·河南·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，若，则三棱锥的体积是___________． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理得到，结合四点共面性质得到在平面内存在一点，使得，继而得到，利用三棱锥体积的性质进行求解即可. 【详解】因为，，， ， 所以， 即， 两边同时乘以得， 因为，所以在平面内存在一点，使得成立， 所以，即， . 13．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设， 则， 又， 且 ， 因为，，，四点共面， 所以， 即， 又因为，则， 即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以. 4、 解答题 14．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为 ，又， 所以， 所以； （2）因为， ， 所以，. 15．如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在， 【详解】（1）． （2）假设存在点，使， 设， 显然， 因为，所以， 即， 所以 ． 设， 又，， 所以， 即， 解得， 所以当时，． 16．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）根据几何体是平行六面体，可用基底表示，将其平方后，计算空间向量的数量积，即可得解； （2）先将与均用基底表示，再应用向量夹角公式，即可得解. 【详解】（1）由于几何体是平行六面体，则， ， 所以； （2）设直线与直线所成角为，则， ， 又因为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 17．（25-26高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)，；（2）答案见解析；(3) 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）由（1）得， 所以，则； （3）由（1）， 所以 ， 所以，即的长为. 1．【数学文化】（22-23高二下·甘肃临夏·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选：A. 2．【直观想象】（25-26高二上·湖北孝感·期末）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量共面求参数、空间向量的加减运算 【分析】根据已知条件和空间向量基本定理求出，进而求得结果. 【详解】由图可知，，而， 若，所以. 因为，所以. 代入得， 因为为平面内一点，所以，解得. 所以. 故选：C. 3．【动点轨迹】（2026·湖南怀化·三模）在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点为， 则，， 因为，所以， 故点在以为球心，为半径的球面上， 所以点的轨迹在正方体的每个面上均是半径为的圆， 则6个圆的总周长为.    4．（多选）（25-26高二上·浙江丽水·期末）在四棱锥中，，，，点分别满足，，．平面与棱交于点，，则以下结论正确的是（    ） A．若，则 B．, C．若，则 D．若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分 【答案】ACD 【分析】求证平面即可由线面平行性质定理求解判断A；取CD中点H，求证平面且在平面外即可判断B；用基底表示，利用共面定理即可求解判断C；求出，由，，得到，求出从而得到，由，得到，建立 的等式求出的值可判断D. 【详解】对于选项A，由题，若，则，即重合， 因为，在平面外，平面， 所以平面，因为平面平面，平面， 所以，故A正确； 对于选项B，取CD中点H，连接BH，则由题可知，所以四边形为平行四边形， 连接，则I为BD中点， 因为，，， 所以，， 所以，连接PI，则，又平面， 所以平面，因为平面，在平面外， 所以对，不成立，故B错误；    对于选项C，若，则， ， 因为四点共面，所以存在实数使得， 则，故C正确； 对于选项D，设的体积为，点到平面的距离为， ，，为梯形， ，设， 则， ， ， ，， ， 到平面的距离就是到平面的距离， ，， ， ， ，， ， 且要使， ，， 在上，， ，， ， ， ， ， ，， 故若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分，故选项D正确. 故选：ACD. 5．【动点轨迹】（25-26高二上·广东汕头·期末）如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，若侧面（包含边界）内的动点满足（，），则点的轨迹的长度是________. 【答案】 【分析】取的中点，连接，证明，得到四点共面，结合题设条件和平面平面，可得点的轨迹为线段，求其长度即可. 【详解】如图，分别取的中点，连接. 易得，则四边形为平行四边形，. 又，可得，则，故， 即四点共面. 又平面平面， 侧面（包含边界）内的动点满足（，）， 由共面向量基本定理可知点既在平面内，又在平面内， 故点的轨迹即线段，其长度为. 故答案为：. 6．【探究性问题】（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体中，M，N分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【答案】(1)证明见解析；(2)当时， 【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何表示可得，进而即得； （2）设，然后利用表示出，再利用向量的数量积为0可得答案. 【详解】（1）在平行六面体中，连接，如图， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面； （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， , 若，则，即， 所以， 即，又， 所以，即，所以， 即时，. 1．（2001·全国·高考真题）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 2．（多选）（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 3．（2024·上海·高考真题）在棱柱中，底面为平行四边形，，，，设异面直线与的夹角为，则________． 【答案】 【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】 ， ， ， 底面ABCD为平行四边形，所以， 所以， . 所以， 故异面直线与的夹角的余弦值为:。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2 空间向量基本定理 目 录 A组 巩固过关 知识点01 空间向量基底的概念及辨析 知识点02 用空间基底表示向量（重点） 知识点03 利用空间向量基本定理求参数（难点） 知识点04 空间向量的正交分解 知识点05 证明共线、共面问题（重点） 知识点06 证明平行、垂直问题（重点） 知识点07 求异面直线所成角（常考点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 空间向量基底的概念及辨析知识点01 知识点速记： 1．空间向量基本定理 设，，是空间中三个不共面的向量，则空间中任意一个向量可以分解成这三个向量的实数倍之和：，上述表达式中的系数由唯一确定，即若，则，，． 2. 基底 （1）定义：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量． （2）性质：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 题型巩固练： 1．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·江苏徐州·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 用空间基底表示向量知识点02 知识点速记： 用空间基底表示向量 ⑴一般基底表示：选取任意三个不共面的向量作为基底，任意向量可表示为； ⑵单位正交基底表示：选取相互垂直且长度为1的单位向量，向量可表示为坐标形式，此时即为向量的坐标. 题型巩固练： 4．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河北邢台·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱，，交于点，，，若，以为空间的一个基底，则__________.    利用空间向量基本定理求参数知识点03 知识点速记： 利用空间向量基本定理求参数的步骤： ⑴选定基底：选取三个不共面的向量（如）作为空间的一组基底； ⑵表示向量：利用向量的线性运算及几何关系（如中点、分点公式），将题目中涉及的未知向量及已知向量全部用选定的基底表示出来； ⑶构建方程：根据题目给出的向量等式（如），利用表示的唯一性，对比等式两边基底向量的系数，列出关于参数的方程组并求解. 题型巩固练： 8．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 9．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 空间向量的正交分解知识点04 知识点速记： 正交分解 （1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示． （2）正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量、、，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解． 题型巩固练： 12.（25-26高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 13.(25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量 ，是空间的另一个基底，则用基底表示向量___________. 证明共线、共面问题知识点05 知识点速记：共线、共面向量 共线（平行）向量 共面向量 定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量 充要条件 对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使 若两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 【注】⑴对于空间三点，存在实数，使成立或； ⑵在空间中P,A,B,C四点共面，则或，O为空间中任意一点. 题型巩固练： 14.（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． A． B． C． D． 16．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知是空间的一组基底，其中，，，若A，B，C，D四点共面，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 17．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 18．（25-26高二·全国·暑假作业）已知向量，不共线，如果，，，求证：A，B，C，D四点共面． 证明线线平行、垂直问题知识点06 知识点速记： 线线平行与垂直 ⑴平行：设直线的方向向量分别为，则∥∥； ⑵垂直：. 题型巩固练： 19．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 20．（25-26高二上·山西太原·期中）如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记． (1)用向量表示向量，并求的模长； (2)用向量方法证明：． 21．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 22．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长 求异面直线所成角知识点07 知识点速记： 求异面直线所成角 设异面直线的方向向量分别为，异面直线所成角为，则. 【注】向量的夹角可能为钝角，但异面直线所成角是锐角或直角。 题型巩固练： 23．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·湖南·期中）如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（    ） A． B． C． D． 25．（多选）（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 26．（25-26高二上·广东汕头·期中）如图，在平行六面体中，，．设，，．    (1)用基底表示向量，并求； (2)求异面直线与所成的夹角； 1、 单选题 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·浙江台州·期末）在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 多选题 8．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）在四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·福建厦门·期中）在以下命题中，正确的命题有（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点 和不共线的三点 ，，，若，则， ，，四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 10．（2026·江苏盐城·模拟预测）平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 11．（25-26高二上·四川遂宁·期末）在平行六面体中，，，，为的中点，则______. 12．（25-26高二上·河南·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，若，则三棱锥的体积是___________． 13．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 14．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 15．如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 16．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 17．（25-26高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 1．【数学文化】（22-23高二下·甘肃临夏·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．【直观想象】（25-26高二上·湖北孝感·期末）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．【动点轨迹】（2026·湖南怀化·三模）在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二上·浙江丽水·期末）在四棱锥中，，，，点分别满足，，．平面与棱交于点，，则以下结论正确的是（    ） A．若，则 B．, C．若，则 D．若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分 5．【动点轨迹】（25-26高二上·广东汕头·期末）如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，若侧面（包含边界）内的动点满足（，），则点的轨迹的长度是________. 6．【探究性问题】（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体中，M，N分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 1．（2001·全国·高考真题）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 3．（2024·上海·高考真题）在棱柱中，底面为平行四边形，，，，设异面直线与的夹角为，则________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.2空间向量基本定理 参考答案 A组 巩固过关 知识点01 空间向量基底的概念及辨析 1.B: 2.C: 3.BC: 知识点02 用空间基底表示向量 4.A: 5.A: 6.A: 7. 知识点03 利用空间向量基本定理求参数 8.B; 9.D 10.C: 11.C 知识点04 空间向量的正交分解 12.B: 1+6+- 知识点05 证明共线、共面问题 14.B: 15.D: 16.C: 17.C 18.【答案】证明见解析 【详解】易得AC,AD不共线.令AB=xAC+yAD(x,y∈R), 则AB=g+e=x(2g+8e)+y(3g-36)=(2x+3y)g+(8x-3y)g. 1/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 x= 5 和不共线， T2x+3y=1,解得 19 :e2 8x-3y=1 y= 1 AB=AC+AD,A,B,C,D四点共面. 知识点06 证明线线平行、垂直问题 19.【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析：(3)证明见解析 【分析】(1)根据空间向量的基本定理即可得证： (2)由EG=E正+mEF,结合空间向量的减法和数乘运算可推出EG=kAC,从而得证； (3)由0G=EG-E0,结合(2)中结论与0E=k0A即可得证： 【详解】(1)由AC=AD+mAB,EG=E7+mEF, 知A,B,C,D四点共面，E,F,G,H四点共面： (2)O=kOA,OF=koB,OH=kOD 得EG=E丽+mEF=Oi-OE+m(OF-OE) =k(OD-0A)+km(OB-04)=kAD+kmAB =k(AD+mAB）=kAC」 所以AC11EG: (3)由(2)知EG=kAC, 所以OG=EG-EO=kAC-kA0 =k(AC-40)=kOC, 所以OG=k0C, 即0G11OC,又0G与OC有一个公共点，所以O、G、C三点共线. 20.【详解】（)由题意相孤=而+D0=(丽+C)+4=+5+c, 2 a-传+0+ej-+8+e+与6+6+a 44 1+2c0s60+c0s60+c0s60°= 4 219 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四 2由a角0-+5+6c=C-=6-d, 4m-c-(a+5+j6--a6++e6--6a-ca =2cos60+7+cos60-11 1 c0s60°-c0s60°=0. 2 .AD⊥BC,AD⊥BC. 21【详解】（1)由题意得孤=D+D加=+4C)+瓜=+5+c, 2 四可-传ar5+j-+ea5+58a 4+1+2cos60+cos60+c0s60=1 1 4 4 网9 2)直得瓜-+5+cc=c-丽=6-a 1 )cos60°±5+cos60°-1-1 cos60°-cos60°=0， 22 AD⊥BC,AD,⊥BC」 22.【详解】(1)以AB,AD,A不为基底向量， 则BD=AD-AB,又AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA, 所以4CBD=(AD-ABB+D+A）-ADB+AD'+DA-AB2-ABAD-ABA =0+4+2×3×)4-0-2×3×20, 所以AC⊥BD,所以BD⊥AC': (2)由(1)可得AC=AB+AD+A, AC"=(4B+AD+A4)=AB'+AD+44+24B-AD+24BA4+24DA4 319 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =4+4+9+2×0+2×2×3×二+2×2×3×=29 2 所以4C=V29, 所以AC'的长为√29. 知识点07 求异面直线所成角 23.D 24.C 25.AD 26. 【答案】@C=a+6+826:a 【详解】(1)AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA=ā+b+c, 因为AB=AD=AM=2: ∠B1D∠B1f=∠DM- 所以a-6=a-c=6-c=2×2×cos=2, 3 所以AC=a+6+c=后2++2+2a-6+2a.c+2万.d =V22+22+22+2×2+2×2+2×2=2W6. (2)因为BD=AD-AB=方-a, 所以AC.BD=(a+b+c(6-a)=a-6-+6-a.6+c-6-ac =2-2+22-2+2-2=0, 所以4C1BD:所以异面直线4C与BD所成的夹角为子 B组 能力进阶 一、单选题 1.B; 2.D: 3.D; 4.C: 5.A: 6.B; 7.C; 二、多选题 8.AD: 9.CD: 10.AD 419 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、填空题 4 11.3: 12.7: 13.11 四、解答题 14. 【答案】)3：2)5 【详解】)因为旺=F-正=而+DF-(巫+8丽)-0+号D0-西弧 -B+D+,又所=B+yD+zM: 所以x=-y=l:分 所以x+y+z=-1+1+}=1 33 (2)因为4C=Ac-A=AB+AD-AA, 4C=(4B+AD-A4=AB'+AD+44+24B.AD-24B.A4-2AD.A4 Af+Ad+A4+24 ADcos7-2 cos写-2Ados写 =2+22+1+0-2×2x1x-2x2x1x)5. 2 所以，AC=V5】 15. 【答案1-支+5-：a在，CM-号C8 【解144N=4+N-c+西=-C+-列=+5-8. 2 (2)假设存在点M,使AM L AN, 设CM=CB=b(∈[0,1)， 显然AM=AA+AC+CM=c-+b, 因为AM⊥AN,所以AM:4N=0, 即e-a+0a+5-小-0， 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以ca+c-6-2+)a2-a+ca-a6+--c 2 2 a+日25-e+-合归6+5=0， 设CA=CB=CC=1, 又a-a,-5,瓜，-受， 时1}-r+r-传=0， 解得1=2 所当CM-号C8时，4M⊥4N 版【1四c:风++而C-而a 【分析】(1)根据几何体是平行六面体，可用基底{A4,AB,AD}表示AC,将其平方后，计算空间向量的 数量积，即可得解； (2)先将AC与AB均用基底{AA,AB,AD,表示，再应用向量夹角公式，即可得解. 【详解】(1)由于几何体是平行六面体，则AC=AB+B,C=AA+AB+AD AC=AC=(44+AB+AD)-A4'+AB'+AD'++244AB+244AD+24B.AD =AA+AB+AD+2|AA1AB|cos∠BAA+2AAAD1·cos∠DAA+2AB-AD -cos /BAD 1 =4+1+1+2×2×1×二×2+0=10. 所以4C=V10； AC·AB (2)设直线 与直线所成角为，期cos0={cos4C,瓜 AC AB. ACAB AC AB=(44+AB+ADAB+A4=4'+AB'+244AB+AB.AD+4.AD =AA+AB+2|AA|-AB|·cos∠AAB+|AB1-4D.cos∠BAD+|AA1 4D1.cos.∠AAD 619 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =4+1+2×2×1×5+0+2×1×5=8, 2 2 又因为AB=A4+AB=VA4+AB+2AA:AB=V4+1+2=万，AC=10, 8 4V70 所以cosB= V10xV735’ 4V70 所以直线AC与直线AB所成角的余弦值为35 17.【答案】()BD=AD-AB,AC=-AB+AD+AA:(2)答案见解析：(3)V29 【详解】(1)在△ABD中，根据空间向量的减法运算可得BD=AD-AB, AC=AC+CC=AB+AD+AA (2)由(1)得BDAC=(AD-ABAB+AD+AA）=AD4AB+AD+ADAH-AB-ABAD-AB:AA =0+4+2x3×40-2x3×0, 所以BD⊥AC,则BD L AC; (3)由(1)AC=AB+AD+AA, 所以AC2=AB2+AD+AA+2ABAD+2ABAA+2ABAA =4+4+9+0+2x2×3×+2x2x3×)=29, 1 2 所以AC=V29,即4C的长为√29 C组 思维拔高 1.A:2.C; 3.D 4.ACD: 5.2: 6【答案】国E明见解斩：2当治-3时。心⊥照 【分析】(1)根据空间向量线性运算的几何表示可得DN=MB,进而即得： (2)设AA=C,AD=五，AB=a,然后利用a,d,c表示出M瓜，BB,再利用向量的数量积为0可得答案 【详解】(1)在平行六面体ABCD-ABCD中，连接MD、DNNB、B,M,如图， 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C A M C B 因为4M=344,CN=3CG, 所以狐=+-背4+4-码+西， D-c+0=-0+c-+丽， 所以DN=MB,即DN=MB且DN/IMB, 所以四边形DMBN为平行四边形，即D,M,B,N共面： (2)当格-3时，A1照：理下 设A4=c,AD=6,AB=a,且c与b、c与a、万与a的夹角均为60°， 因为底面ABCD为菱形，所以=a园， m=M+B+BC+CN=号M+丽+Bc+兮4 3 =+而-4A=ā+6-， 3, BB,=AA,=c, 若MN⊥BB,则M⊥BB,即MN·BB,=O, 所a+6-e=ae+6-+lf-0, 即+-3=0，又6=a， 所2a-号，即司3.所以格3。 AB A=3时，MN⊥BB 即AB 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接高考 1.A: 2.BD: 3.12 919