1.2 空间向量基本定理 课时同步练【提升题】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【提升题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】如图所示，令a＝，b＝，c＝， 则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝， 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，而a，b，x共面． 不共面的三个向量可作为空间的基底，故选C. 2.在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ） A. O，A，B，C四点不共线 B. O，A，B，C四点共面，但不共线 C. O，A，B，C四点不共面 D. O，A，B，C四点中任意三点不共线 【答案】B 【解析】因为可以作为基底，所以为非零向量且不在同一平面内， 即O，A，B，C四点不共面， 所以A、C、D选项说法正确，B错误． 故选：B. 3.以下四个命题中正确的是(　　) A.基底{a，b，c}中可以有零向量 B.空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底 C.△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0 D.空间向量的基底只能有一组 【答案】B 【解析】因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确； △ABC为直角三角形并不一定是·＝0可能是·＝0也可能是·＝0，故C不正确； 空间向量的基底可以有无数多组，故D不正确． 由空间向量基底的定义可知B正确. 4.（2024-2025·湖南长沙高二上期末）如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为是与的交点，所以为平行四边形的对角线中点，由此得， 又因为,代入得, 再由,可得, 将,,代入，得, 因此，与相等的表达式为选项A. 5.（2025-2026·湖南娄底高二上期末）若，，则（） A. B. C.5 D.10 【答案】A 【解析】由向量加法得,故. 6.（2025-2026·湖南娄底高二上期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（） A. B. C. D.1 【答案】C 【解析】因为四点共面, 所以存在实数使得.由,得. 因为, 所以.代入, 得.整理得.合并同类项得. 因为不共面, 所以系数均为零, 即. 由得,由得,代入得, 即,故. 答案为C. 7.（2025-2026·广东广州高二上期中）已知空间向量，，且，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因，故. 由向量坐标，得. 解得. 故答案为：B. 8.（2025-2026·湖南高二上期末）在正四棱台中，，，，则（） A. B.2 C. D. 【答案】A 【解析】设正四棱台中，过点作于点. 由，得. 由于侧面为等腰梯形， 故， 则 同理可得. 由向量加法得 故 由，得. 又，， 故与、的夹角均为， 则 同理 代入得 即 答案为A. 二、多选题（共3小题） 9.下列说法正确的是(　　) A.若为空间的一组基底，则A，B，C三点共线 B.若ABCD -A1B1C1D1为四棱柱，则＋＋＝ C.若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则A，B，C，D四点共面 D.若ABCD为正四面体，G为△BCD的重心，则3＝＋＋ 【答案】CD 【解析】A，若为空间的一组基底，则向量，，不共面，知A，B，C三点不共线，故错误； B，若ABCD -A1B1C1D1为四棱柱且底面为平行四边形，即＋＝时，才满足＋＋＝，故错误； C，已知＝λ＋μ (λ，μ∈R)，若向量与共线，则也与，共线，即A，B，C，D四点共面，若向量与不共线，则点B在平面ACD内，即A，B，C，D四点共面，故正确； D，设G为△BCD的重心，若M为BC的中点，则＝，所以＝＋＝(＋)＋＝(＋)＋·(＋) ＝(＋)＋(－＋－)＝(＋＋)，即3＝＋＋，故正确．故选C、D． 10.若{a，b，c}是空间一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是(　　) A.a，2b，3c B.a＋b，b＋c，c＋a C.a＋b＋c，b＋c，c D.a＋2b，2b＋3c，3a－9c 【答案】ABC 【解析】因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于D，a＋2b，2b＋3c，3a－9c满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底．故选ABC. 11.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD＝∠A1AB＝∠A1AD＝，各棱长均为1，则下列命题中正确的是(　　) A.{，，}不是空间的一个基底 B.〈，〉＝π C.||＝ D.BD⊥平面ACC1A1 【答案】ACD 【解析】对于A，因为＝＋＝＋，所以向量，，共面，所以{，，}不是空间的一个基底，故A正确； 对于B，因为∠A1AD＝，所以∠ADD1＝，所以〈，〉＝π－＝，故B错误； 对于C，||2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2·＋2BA·＋2· ＝3＋2×1×1×cos＋2×1×1×cos＋2×1×1×cos ＝2，所以||＝，故C正确； 对于D，连接BD交AC于点O，连接A1O，A1D，A1B，由题意可得四边形ABCD为菱形，A1D＝A1B， 所以BD⊥AC，BD⊥A1O， 由AC∩A1O＝O，可得BD⊥平面ACC1A1，故D正确． 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南岳阳高二上月考）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为                   ． 【答案】 【解析】由在基底下的坐标为，得. 设在新基底下的坐标为，展开等式整理得. 由空间向量基本定理得线性方程组， 解得， 故以为基底时的坐标为. 故答案为：. 13.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为，则                   . 【答案】 【解析】. 代入，且两两夹角，得. 所以. 故. 故答案为：. 14.如图,四面体OABC,G是底面△ABC的重心,=a,=b,=c,则=                  . 【答案】a+b+c 【解析】因为=a,=b,=c, 所以=+=+(+) =+(-+-) =(++)=a+b+c. 四、解答题（共2小题） 15.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点．求证：(1)AD1⊥G1G；(2)AD1∥EF． 【答案】证明设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0． (1)因为＝b＋c，＝＋＋＋＝－a－c＋b＋a＝b－c， 所以·＝(b＋c)·(b－c)＝b2－c2＝0， 所以⊥，所以AD1⊥G1G． (2)因为＝b＋c，＝－＝－＝－b－c，所以＝－，所以AD1∥EF． 16.已知平行六面体ABCD -A1B1C1D1，底面是正方形，AD＝AB＝2，AA1＝1，∠A1AB＝∠DAA1＝60°，＝3，＝2，设＝a，＝b，＝c． (1)试用a，b，c表示； (2)求MN的长度． 【答案】解 (1)＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)＝a＋b＋c． (2)＝a＋b＋c，＝－＝－a－b－c， ∴＝＝ ＝． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 空间向量基本定理 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【提升题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ） A. O，A，B，C四点不共线 B. O，A，B，C四点共面，但不共线 C. O，A，B，C四点不共面 D. O，A，B，C四点中任意三点不共线 3.以下四个命题中正确的是(　　) A.基底{a，b，c}中可以有零向量 B.空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底 C.△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0 D.空间向量的基底只能有一组 4.（2024-2025·湖南长沙高二上期末）如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（） A. B. C. D. 5.（2025-2026·湖南娄底高二上期末）若，，则（） A. B. C.5 D.10 6.（2025-2026·湖南娄底高二上期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（） A. B. C. D.1 7.（2025-2026·广东广州高二上期中）已知空间向量，，且，则的值为（） A. B. C. D. 8.（2025-2026·湖南高二上期末）在正四棱台中，，，，则（） A. B.2 C. D. 二、多选题（共3小题） 9.下列说法正确的是(　　) A.若为空间的一组基底，则A，B，C三点共线 B.若ABCD -A1B1C1D1为四棱柱，则＋＋＝ C.若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则A，B，C，D四点共面 D.若ABCD为正四面体，G为△BCD的重心，则3＝＋＋ 10.若{a，b，c}是空间一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是(　　) A.a，2b，3c B.a＋b，b＋c，c＋a C.a＋b＋c，b＋c，c D.a＋2b，2b＋3c，3a－9c 11.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD＝∠A1AB＝∠A1AD＝，各棱长均为1，则下列命题中正确的是(　　) A.{，，}不是空间的一个基底 B.〈，〉＝π C.||＝ D.BD⊥平面ACC1A1 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南岳阳高二上月考）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为                   ． 13.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为，则                   . 14.如图,四面体OABC,G是底面△ABC的重心,=a,=b,=c,则=                  . 四、解答题（共2小题） 15.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点．求证：(1)AD1⊥G1G；(2)AD1∥EF． 16.已知平行六面体ABCD -A1B1C1D1，底面是正方形，AD＝AB＝2，AA1＝1，∠A1AB＝∠DAA1＝60°，＝3，＝2，设＝a，＝b，＝c． (1)试用a，b，c表示； (2)求MN的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $