学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（江苏南通专用，范围：新教材人教版九上第25-30章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~30章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是  (    ) x 5.17 5.18 5.19 5.21 y －0.01 0.02 0.03 0.06 A．﹣0.01＜x＜0.02 B．5.17＜x＜5.18 C．5.18＜x＜5.19 D．5.19＜x＜5.21 3．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（        ）    A． B． C． D． 5．如图，是的两条弦，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为（　　） A． B． C． D． 7．如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是2米，底面半径为1米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 8．当时，则以a为自变量的函数的最小值是（　　） A．6 B．9 C． D． 9．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16题每题4分，共22分。 11．抛物线的顶点坐标是_____． 12．已知点A(1，a)在反比例函数的图象上，则a的值为_______． 13．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 14．反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则的面积为______． 15．已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，则a的取值范围为_________． 16．如图，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在圆O上，边交线段于点C．若，的半径长为2，则的长为________． 3、 解答题：本题共9小题，共98分。其中：17-23每题10分，24-25题每题14分。 17．解方程： (1) (2) 18．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出绕点C按顺时针方向旋转后的； (2)写出旋转后点和点的坐标； (3)求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 19．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交BC的延长线于点E． （1）求证：DE⊥BC    （2）若CE＝2，DE＝5，求⊙O的半径． 20．一次函数和反比例函数的图像相交于，，与轴交于点，连接，． (1)______，______； (2)观察图像，直接写出的解集______； (3)求的面积． 21．随着科技发展，无人机在测绘、物流等领域应用广泛，电池续航成为影响其使用的关键因素小李操控无人机进行测绘任务时，发现电池电量在前半段消耗时，无人机飞行的距离比后半段消耗电量时飞行的距离更远他记录了无人机电池剩余电量毫安时和已飞行距离千米的相关数据，函数图象如下． (1)无人机电池充满电时的电量为______毫安时； (2)求段所对应的函数关系式； (3)求这架无人机前半部分电量比用后半部分电量能多行驶多少千米？ 22．如图，已知点，在二次函数的图象上，图象经过点且． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若，求顶点到直线的距离． 23．某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元．据此规律，要求每件盈利不少于33元．请回答： (1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在上述条件不变、销售正常情况下， ①每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ ②每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到最大值，并求出最大值． 24．规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． (1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）； (2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数a的值； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________； (3)若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围． 25．已知平行四边形ABCD中，AD＝2AB． （1）作∠ABC的平分线BM交AD于M，连CM． ①如图1，求∠BMC的度数； ②如图2，若∠ADC＝90°，点P是AD延长线上一点，BP交CM于N，CG⊥BP垂足为H，交AD于G，求证：BN＝CG＋GN； （2）如图3，若∠ADC＝60°，AB＝4，E是AB的中点，P是BC边上一动点，将EP逆时针旋转90°得到线段EQ，连DQ，直接写出DQ的最小值　 　． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B D D B A A B 二、填空题：本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16题每题4分，共22分。 11． 12．-12 13． 14． 15．或． 16． 3、 解答题：本题共9小题，共98分。其中：17-23每题10分，24-25题每题14分。 17．本题共10分 【详解】（1）解： ， ， ， ∴或， ∴； （2） ， ∴或， ∴． 18．本题共10分 (1)解：如图所示，即为所求； （2）解：由图可知，点和点的坐标分别为，； （3）解：由题意得，点A旋转到点所经过的路线长即为的长， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴点A旋转到点所经过的路线长． 19．本题共10分 【详解】（1）证明：如图，连接OD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， 又∵OB＝OD， ∴∠ABD＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠DBC， ∴OD∥BE， ∵DE是⊙O的切线 ∴OD⊥DE， ∴BE⊥DE （2）如图，连接AC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴弧AD=弧CD， ∴OD垂直平分AC ∴FC＝AF ∵AB是⊙O的直径， ∴∠FCE＝90°， 又∵∠FDE＝90°，∠DEC＝90°， ∴四边形FDEC是矩形，   ∴DF＝CE＝2，FC＝DE＝5． 设⊙O的半径为r， 在Rt△OAF中（r﹣2）2+52＝r2， ∴． 20．本题共10分 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：， 故答案为：，6； （2）解：由（1）可得， ∴， 由图可知，当或时，， ∴当或时，； （3）解：把，，代入，得 ， 解得． 一次函数的解析式为． 当时，， 解得． ， ． 21．本题共10分 【详解】（1）解：无人机电池充满电时的电量为毫安时． 故答案为：． （2）设段所对应的函数关系式为、为常数，且， 将和分别代入， 得， 解得， 段所对应的函数关系式为． （3）当时，得， 解得， 则后半部分电量行驶的距离为， ． 答：这架无人机前半部分电量比用后半部分电量能多行驶千米． 22．本题共10分 【详解】（1）解：将点代入中， ，解得∶， 二次函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴二次函数图象的解析式为直线，顶点坐标为， ∵ ∴点M，N关于对称轴对称， ∴ 又， ∴，， ，即直线为：， 又二次函数的顶点坐标为， 顶点到的距离为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 23．本题共10分 【详解】（1）解：当每件商品降价元时，每件商品盈利元，日销售量增加件． 故答案为：；； （2）解：①依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每件盈利不少于33元， 答：每件商品应降价15元； ②设利润为元， 依题意得：， 则抛物线的对称轴为， ，故有最大值，当时，最大值为2112.5元． 答：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到最大值，最大值为2112.5元． 24．本题共14分 【详解】（1）解：作出；；；图像，如图所示：    与图像有三个不同的公共点， 根据“兄弟函数”定义，与二次函数互为“兄弟函数”的是②， 故答案为：②； （2）解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标， ，则，解得； ②联立，即， 是其中一个解， 因式分解得，则，解得， 另外两个“兄弟点”的横坐标是、； （3）解：在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示：    联立 ，即， ①当时，，即，当时，； ②当时，，即，由①中，则，； 由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且， ，，， ， 由得到，即． 25．本题共14分 【详解】（1）①∵BM平分∠ABC ∴∠ABM＝∠CBM ∵平行四边形ABCD中ADBC ∴∠AMB＝∠CBM ∴∠AMB＝∠CBM＝∠ABM ∴AM＝AB 又AD＝2AB ∴AM＝MD＝AB ∵AB＝DC ∴MD＝DC ∴∠DMC＝∠BCM ∵ADBC ∴∠BCM＝∠DMC＝∠DCM ∵ABCD ∴∠ABC＋∠BCD＝180° ∴∠CBM＋∠BCM＝90° ∴∠BMC＝180°－∠CBM＋∠BCM＝90°； ②略 ②延长CG交BM延长线于K ∵在平行四边形ABCD中，∠ADC＝90° ∴平行四边形ABCD为矩形 ∵BM平分∠ABC ∴∠ABM＝∠AMB＝∠ABC＝∠ADC＝45° 由（1）可得∠AMB＝∠CBM＝45°，∠BMC＝90° ∴∠CMD＝180°－（∠BMC＋∠AMB）＝45°＝∠BCM，∠DMK＝∠AMB＝45° ∴△MBC是等腰直角三角形 ∴BM＝MC ∵∠BNM＝∠PNC，∠BMC＝90°，CG⊥BP ∴∠MBN＝90°－∠BNM，∠MCK＝90°－∠PNC ∴∠MBN＝∠MCK ∴△BMN≌△CMK（AAS） ∴BN＝KC，MK＝MN ∵MK＝MN，∠KMG＝∠NMG＝45°，MG＝MG ∴△KMG≌△NMG（SAS） ∴KG＝NG ∴BN＝CK＝CG＋KG＝CG＋GN 故BN＝CG＋GN； （2） （2）解：如图3中，过点E作EN⊥BC于N，将线段EN绕点E逆时针旋转90°得到EM，连接QM，延长QM交AD于H，过点A作AJ⊥EM于J． ∵∠PEQ＝∠NEM＝90°， ∴∠PEN＝∠QEM， 在△PEN和△QEM中， ∴△PEN≌△EQM（SAS）， ∴∠EMQ＝∠ENP＝90°， ∵AE＝EB＝2，∠ENB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BEN＝30°， ∴BN＝EB＝1， ∴EM＝EN＝，QH⊥EM， ∴点Q在直线QH上运动，当点Q与H重合时，DQ的值最小， ∵AE＝2，AJ⊥EJ，∠AEJ＝∠B＝60° ∴∠EAJ＝30°，EJ＝AE＝1， ∴JM＝EM－EJ＝， ∵∠AJM＝∠JMH＝∠DAJ＝90°， ∴四边形AJMH是矩形， ∴AH＝JM＝， ∴DH＝AD－A H＝8－（－1）＝9－， ∴DQ的最小值为． 故答案为：． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 日 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 正确填涂■ 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 错误填涂[1[V][/] 4.保持卡面清洁.不要折為、不要弄破 一、 单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 日 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.fA1IB1IC1「D1 9.[AJ[B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，第1112每小题3分，第136题每题4分，共22分。 11. 12. 13, 14. 15. 16. 三、 解答题：本题共9小题，共98分。其中：17-23每题10分，24-25题每题14分。 17.(10分) ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. (10分) 87 6 5 A 321 C 012345678x 19.(10分) 0 D ④ ■ 请精套车题致州附套等，超超堡眼现线锋集效： 20.(10分) /B 21.(10分) y(毫安时) 5000 2500-- B(10,2500) 1000---- C(15,1000) 0 1015 千米) 回 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在客题自的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 2 M 23. (10分) 回 请精套题等题致城附等，超超墨团限宝致辣锋效： 24.(14分) ■ 回 请在蠢音爵馨盟爱暖緊整，作薏出鬓巷0彩指股簧豁婆凳麦无效： 25.(14分) M M P D 图1 图2 图3 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~30章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是  (    ) x 5.17 5.18 5.19 5.21 y －0.01 0.02 0.03 0.06 A．﹣0.01＜x＜0.02 B．5.17＜x＜5.18 C．5.18＜x＜5.19 D．5.19＜x＜5.21 3．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（        ）    A． B． C． D． 5．如图，是的两条弦，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为（　　） A． B． C． D． 7．如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是2米，底面半径为1米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 8．当时，则以a为自变量的函数的最小值是（　　） A．6 B．9 C． D． 9．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16题每题4分，共22分。 11．抛物线的顶点坐标是_____． 12．已知点A(1，a)在反比例函数的图象上，则a的值为_______． 13．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 14．反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则的面积为______． 15．已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，则a的取值范围为_________． 16．如图，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在圆O上，边交线段于点C．若，的半径长为2，则的长为________． 3、 解答题：本题共9小题，共98分。其中：17-23每题10分，24-25题每题14分。 17．解方程： (1) (2) 18．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出绕点C按顺时针方向旋转后的； (2)写出旋转后点和点的坐标； (3)求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 19．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交BC的延长线于点E． （1）求证：DE⊥BC    （2）若CE＝2，DE＝5，求⊙O的半径． 20．一次函数和反比例函数的图像相交于，，与轴交于点，连接，． (1)______，______； (2)观察图像，直接写出的解集______； (3)求的面积． 21．随着科技发展，无人机在测绘、物流等领域应用广泛，电池续航成为影响其使用的关键因素小李操控无人机进行测绘任务时，发现电池电量在前半段消耗时，无人机飞行的距离比后半段消耗电量时飞行的距离更远他记录了无人机电池剩余电量毫安时和已飞行距离千米的相关数据，函数图象如下． (1)无人机电池充满电时的电量为______毫安时； (2)求段所对应的函数关系式； (3)求这架无人机前半部分电量比用后半部分电量能多行驶多少千米？ 22．如图，已知点，在二次函数的图象上，图象经过点且． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若，求顶点到直线的距离． 23．某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元．据此规律，要求每件盈利不少于33元．请回答： (1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在上述条件不变、销售正常情况下， ①每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ ②每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到最大值，并求出最大值． 24．规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． (1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）； (2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数a的值； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________； (3)若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围． 25．已知平行四边形ABCD中，AD＝2AB． （1）作∠ABC的平分线BM交AD于M，连CM． ①如图1，求∠BMC的度数； ②如图2，若∠ADC＝90°，点P是AD延长线上一点，BP交CM于N，CG⊥BP垂足为H，交AD于G，求证：BN＝CG＋GN； （2）如图3，若∠ADC＝60°，AB＝4，E是AB的中点，P是BC边上一动点，将EP逆时针旋转90°得到线段EQ，连DQ，直接写出DQ的最小值　 　． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~30章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，根据将图形沿一条直线对折，两边重合的图形是轴对称图形，将图形绕一个点旋转与原图形重合的图形是中心对称图形直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， A选项图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意， B选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形符合题意， C选项图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意， D选项图形不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意， 故选：B． 2．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是  (    ) x 5.17 5.18 5.19 5.21 y －0.01 0.02 0.03 0.06 A．﹣0.01＜x＜0.02 B．5.17＜x＜5.18 C．5.18＜x＜5.19 D．5.19＜x＜5.21 【答案】B 【分析】利用x=5.17，y=-0.01；x=5.18，y=0.02可判断当5.17＜x＜5.18时，y=0，从而得到方程ax2+bx+c=0的一个解的范围． 【详解】解：∵x=5.17，y=-0.01；x=5.18，y=0.02， ∴当5.17＜x＜5.18时，y=0， 即方程ax2+bx+c=0的一个解的范围为5.17＜x＜5.18． 故选B． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；观察图象求得方程的根．掌握一元二次方程的解与二次函数与x轴交点的关系是解题的关键. 3．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 4．某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（        ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意B的横坐标为10， 将代入得：， ， 即水面与桥拱顶的高度等于， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 5．如图，是的两条弦，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 6．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，设点为圆的圆心，点为的中点，连接，则由垂径定理的推论可得，利用勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设点为圆的圆心，点为的中点，连接，则由垂径定理的推论可得， ∴， ∵铅球直径为， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7．如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是2米，底面半径为1米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【详解】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 解：根据圆锥与它的侧面展开图的关系可得：做这把遮阳伞需用布料的面积是lr=π×1×2=2πm2，故选B． 本题考查圆锥的侧面展开图计算公式． 8．当时，则以a为自变量的函数的最小值是（　　） A．6 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据题意，当时，则以a为自变量的函数变形为，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，函数 有最小值6， 故选：A． 9．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用两数相乘同号得正分类讨论求解是解决问题的关键． 由于不等式，对任意的实数恒成立，由两数相乘同号得正，需分情况讨论两个因子的符号，再结合不等式恒成立问题求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， ， ， 分两种情况讨论如下： 当，且时， 即，且， 对任意的实数，要使恒成立，则的最大值小于即可， ， ， ，， ； 当，且时， 即，且， 对任意的实数，要使恒成立，则的最小值大于即可， ， ， ，， ； 综上所述，对任意的实数，不等式恒成立时，的取值范围是或， 故选：A． 10．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为O，连接，，先根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，进而推导出，根据三线合一得到，则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上即点处时，最小，过作于H，证明是等边三角形得，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是以斜边为直径的半圆上一动点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上（即点处）时，最小， 过作于H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16题每题4分，共22分。 11．抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握的顶点坐标为是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12．已知点A(1，a)在反比例函数的图象上，则a的值为_______． 【答案】-12 【分析】根据点A的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出a值． 【详解】∵点A（1，a）在反比例函数y的图象上，∴a－12． 故答案为－12． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点A的横坐标代入反比例函数解析式中求出a值是解题的关键． 13．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【分析】扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用该等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为， ∵用扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴代入圆心角，扇形半径， 得方程， 解得， ∴这个圆锥的底面圆的半径为． 14．反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意由AB∥x轴，可知AB两点的纵坐标相等，于是可设A点坐标是（a，c），B点坐标是（b，c），于是可得，即b=a，进而可求AB，据图可知△AOB的高是c，再利用面积公式可求其面积． 【详解】解：由AB∥x轴，可设A点坐标是（a，c），B点坐标是（b，c），那么 ， ∴b=a， ∴AB=|a-b|=a， ∵c=， ∴S△AOB=AB•c=×a×=. 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是注意A、B两点的纵坐标相等． 15．已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，则a的取值范围为_________． 【答案】或． 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键．利用作差法建立关于和的不等式，因为不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】由题得，， ， ， ， ①当时，， 或， 解得或， ， 或， 或， ， ； ②当时，， 或， 解得， ， ，解得， 综上，或． 故答案为：或． 16．如图，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在圆O上，边交线段于点C．若，的半径长为2，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，根据旋转可得为等边三角形，进而可求出，再利用，可证明是等腰三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， 为等边三角形， ， 与相切于点B， ， 根据旋转可知：， ，， ， ， ． 3、 解答题：本题共9小题，共98分。其中：17-23每题10分，24-25题每题14分。 17．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原方程移项化简，然后利用因式分解法求解即可； （2）直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ∴或， ∴； （2） ， ∴或， ∴． 【点睛】题目主要考查利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键． 18．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出绕点C按顺时针方向旋转后的； (2)写出旋转后点和点的坐标； (3)求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2)， (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，求弧长． （1）根据旋转方式结合网格的特点找到A、B对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据（1）所画图形，写出对应点的坐标即可； （3）由题意得，点A旋转到点所经过的路线长即为的长，先利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知，点和点的坐标分别为，； （3）解：由题意得，点A旋转到点所经过的路线长即为的长， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴点A旋转到点所经过的路线长． 19．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交BC的延长线于点E． （1）求证：DE⊥BC    （2）若CE＝2，DE＝5，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）先证明OD∥BC，可得∠ODE=90°，即可证DE是⊙O的切线； （2）连AC，先证明四边形FDEC是矩形，再由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接OD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， 又∵OB＝OD， ∴∠ABD＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠DBC， ∴OD∥BE， ∵DE是⊙O的切线 ∴OD⊥DE， ∴BE⊥DE （2）如图，连接AC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴弧AD=弧CD， ∴OD垂直平分AC ∴FC＝AF ∵AB是⊙O的直径， ∴∠FCE＝90°， 又∵∠FDE＝90°，∠DEC＝90°， ∴四边形FDEC是矩形，   ∴DF＝CE＝2，FC＝DE＝5． 设⊙O的半径为r， 在Rt△OAF中（r﹣2）2+52＝r2， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质定理是解决问题的关键． 20．一次函数和反比例函数的图像相交于，，与轴交于点，连接，． (1)______，______； (2)观察图像，直接写出的解集______； (3)求的面积． 【答案】(1)，6； (2)或； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、图像法解不等式、求三角形面积等等，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入即可求出k的值， 得出反比例函数解析式为，把代入即可求出m的值； （2）根据点A和点B的坐标，结合函数图象，找出一次函数高于反比例函数图象时自变量的取值范围即可； （3）先用待定系数法求出一次函数的解析式为，进而得出，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：， 故答案为：，6； （2）解：由（1）可得， ∴， 由图可知，当或时，， ∴当或时，； （3）解：把，，代入，得 ， 解得． 一次函数的解析式为． 当时，， 解得． ， ． 21．随着科技发展，无人机在测绘、物流等领域应用广泛，电池续航成为影响其使用的关键因素小李操控无人机进行测绘任务时，发现电池电量在前半段消耗时，无人机飞行的距离比后半段消耗电量时飞行的距离更远他记录了无人机电池剩余电量毫安时和已飞行距离千米的相关数据，函数图象如下． (1)无人机电池充满电时的电量为______毫安时； (2)求段所对应的函数关系式； (3)求这架无人机前半部分电量比用后半部分电量能多行驶多少千米？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）观察图象即可； （2）根据待定系数法计算即可； （3）根据（2）中求得的段所对应的函数关系式，当时，求出对应的值，从而求出后半部分电量行驶的距离，进而求出这架无人机前半部分电量比用后半部分电量能多行驶多少千米即可． 【详解】（1）解：无人机电池充满电时的电量为毫安时． 故答案为：． （2）设段所对应的函数关系式为、为常数，且， 将和分别代入， 得， 解得， 段所对应的函数关系式为． （3）当时，得， 解得， 则后半部分电量行驶的距离为， ． 答：这架无人机前半部分电量比用后半部分电量能多行驶千米． 22．如图，已知点，在二次函数的图象上，图象经过点且． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若，求顶点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点（3，1）代入二次函数的解析式求出a即可； （2）判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论； 【详解】（1）解：将点代入中， ，解得∶， 二次函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴二次函数图象的解析式为直线，顶点坐标为， ∵ ∴点M，N关于对称轴对称， ∴ 又， ∴，， ，即直线为：， 又二次函数的顶点坐标为， 顶点到的距离为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 23．某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元．据此规律，要求每件盈利不少于33元．请回答： (1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在上述条件不变、销售正常情况下， ①每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ ②每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到最大值，并求出最大值． 【答案】(1)（1）2x，50-x (2)①每件商品应降价15元；②每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到最大值，最大值为2112.5元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及函数的最值． （1）利用降价后每件商品的盈利降价前每件商品的盈利每件商品降低的价钱，可用含的代数式表示出降价后每件商品的盈利；利用日销量增加的数量每件商品降低的价钱，可用含的代数式表示出日销售增加的数量； （2）①利用总利润每件商品的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合商场要尽快减少库存，即可得出每件商品应降价20元； ②由抛物线在顶点处取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：当每件商品降价元时，每件商品盈利元，日销售量增加件． 故答案为：；； （2）解：①依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每件盈利不少于33元， 答：每件商品应降价15元； ②设利润为元， 依题意得：， 则抛物线的对称轴为， ，故有最大值，当时，最大值为2112.5元． 答：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到最大值，最大值为2112.5元． 24．规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． (1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）； (2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数a的值； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________； (3)若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围． 【答案】(1)② (2)；、 (3) 【分析】（1）在平面直角坐标系中作出；；；图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案； （2）①根据“兄弟函数”定义，当时，求出值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即可得到答案； （3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由，按照讨论结果求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：作出；；；图像，如图所示：    与图像有三个不同的公共点， 根据“兄弟函数”定义，与二次函数互为“兄弟函数”的是②， 故答案为：②； （2）解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标， ，则，解得； ②联立，即， 是其中一个解， 因式分解得，则，解得， 另外两个“兄弟点”的横坐标是、； （3）解：在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示：    联立 ，即， ①当时，，即，当时，； ②当时，，即，由①中，则，； 由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且， ，，， ， 由得到，即． 【点睛】本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合是解决问题的关键． 25．已知平行四边形ABCD中，AD＝2AB． （1）作∠ABC的平分线BM交AD于M，连CM． ①如图1，求∠BMC的度数； ②如图2，若∠ADC＝90°，点P是AD延长线上一点，BP交CM于N，CG⊥BP垂足为H，交AD于G，求证：BN＝CG＋GN； （2）如图3，若∠ADC＝60°，AB＝4，E是AB的中点，P是BC边上一动点，将EP逆时针旋转90°得到线段EQ，连DQ，直接写出DQ的最小值　 　． 【答案】（1）①90°； ②延长CG交BM延长线于K ∵在平行四边形ABCD中，∠ADC＝90° ∴平行四边形ABCD为矩形 ∵BM平分∠ABC ∴∠ABM＝∠AMB＝∠ABC＝∠ADC＝45° 由（1）可得∠AMB＝∠CBM＝45°，∠BMC＝90° ∴∠CMD＝180°－（∠BMC＋∠AMB）＝45°＝∠BCM，∠DMK＝∠AMB＝45° ∴△MBC是等腰直角三角形 ∴BM＝MC ∵∠BNM＝∠PNC，∠BMC＝90°，CG⊥BP ∴∠MBN＝90°－∠BNM，∠MCK＝90°－∠PNC ∴∠MBN＝∠MCK ∴△BMN≌△CMK（AAS） ∴BN＝KC，MK＝MN ∵MK＝MN，∠KMG＝∠NMG＝45°，MG＝MG ∴△KMG≌△NMG（SAS） ∴KG＝NG ∴BN＝CK＝CG＋KG＝CG＋GN 故BN＝CG＋GN； （2） 【分析】（1）①根据平行四边形的性质及角平分线的特点即可求解 ②延长CG∠BM延长线于K，证明△BMC是等腰直角三角形，再证明△BMN≌△KMC、△KMG≌△NMG，故可求解； （2）如图3中，过点E作EN⊥BC于N，将线段EN绕点E逆时针旋转90°得到EM，连接QM，延长QM交AD于H，过点A作AJ⊥EM于J．利用全等三角形的性质证明EM＝EN＝，QH⊥EM，推出点Q在直线QH上运动，当点Q与H重合时，DQ的值最小． 【详解】（1）①∵BM平分∠ABC ∴∠ABM＝∠CBM ∵平行四边形ABCD中ADBC ∴∠AMB＝∠CBM ∴∠AMB＝∠CBM＝∠ABM ∴AM＝AB 又AD＝2AB ∴AM＝MD＝AB ∵AB＝DC ∴MD＝DC ∴∠DMC＝∠BCM ∵ADBC ∴∠BCM＝∠DMC＝∠DCM ∵ABCD ∴∠ABC＋∠BCD＝180° ∴∠CBM＋∠BCM＝90° ∴∠BMC＝180°－∠CBM＋∠BCM＝90°； ②略 （2）解：如图3中，过点E作EN⊥BC于N，将线段EN绕点E逆时针旋转90°得到EM，连接QM，延长QM交AD于H，过点A作AJ⊥EM于J． ∵∠PEQ＝∠NEM＝90°， ∴∠PEN＝∠QEM， 在△PEN和△QEM中， ∴△PEN≌△EQM（SAS）， ∴∠EMQ＝∠ENP＝90°， ∵AE＝EB＝2，∠ENB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BEN＝30°， ∴BN＝EB＝1， ∴EM＝EN＝，QH⊥EM， ∴点Q在直线QH上运动，当点Q与H重合时，DQ的值最小， ∵AE＝2，AJ⊥EJ，∠AEJ＝∠B＝60° ∴∠EAJ＝30°，EJ＝AE＝1， ∴JM＝EM－EJ＝， ∵∠AJM＝∠JMH＝∠DAJ＝90°， ∴四边形AJMH是矩形， ∴AH＝JM＝， ∴DH＝AD－A H＝8－（－1）＝9－， ∴DQ的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知矩形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理的应用． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶][][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16题每题4分，共22分。 12 13. 14 15 16. 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中：17-23每题10分，24-25题每题14分。 17.(10分) ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. (10分) 1876 54 A B 32 1 C 012345 678元 19.(10分) 0/ D E ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 20.(10分) C X B 21.(10分) y(毫安时) 5000 2500 B(10,2500) 1000 C(15,1000) 0 1015 千米) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 22.(10分) 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（14分) ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) G D 图1 图2 图3 ■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！