学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（江苏常州专用，新教材苏科版九上第1～3章：：一元二次方程+反比例函数+圆）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x+y＝1 B．x+y2﹣2＝0 C．x（x2﹣3）＝0 D．2x2﹣3x＝3 2．一元二次方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A．（﹣1，﹣5） B．（1，5） C．（2，3） D．（﹣2，3） 4．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点（﹣2，3），点P是图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积是（　　） A．6 B．2.5 C．3 D．2 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点A（1，0），点C（0，7），反比例函数的图象经过点B，则k的值为（　　） A．9 B．12 C．16 D． 6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　） A．3 B． C．5 D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA，OB，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C．2π D． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形APQC的面积为12cm2，则点P运动的时间是（　　）秒． A．1 B．2 C．6 D．2或6 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则k的取值范围为 ________ ． 10．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是 ____________ ． 11．一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了71平方米，则原正方形的边长是_____ 米． 12．如图，过反比例函数上一点A作y轴的垂线，交y轴于点B，点C，D在x轴上，满足四边形ABCD是平行四边形，若S▱ABCD的面积为6，则k的值是_______ ． 13．如图，⊙O内切于四边形ABCD，且AB＝8，CD＝5，则四边形ABCD的周长_______ ． 14．设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两个根，则x1+x2＝_______ ． 15．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝60°，则∠C＝________ ． 16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，直径CD与AB边交于点E，点B是的中点．若CE＝6，则⊙O的半径为________________ ． 17．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为 _______ ． 18．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM的取值范围是____________________ ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（6分）解方程． （1）x2﹣4x＝5； （2）x2+4x+1＝0． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）问：是否存在等腰△ABC，AB＝2cm，另外两条边是该方程的根，若存在，求△ABC的周长，若不存在，说明理由． 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径． 22．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中有△ABC，请在图中画出△ABC外接圆的圆心P． （1）圆心P的坐标是 __________ ； （2）判断点M（6，5）是否在⊙P上？ 23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积． 24．（8分）2025年9月，伴随着“绿茵燃江苏，逐梦苏超杯”的口号江苏省城市足球联赛正式开赛，全省十三个设区市的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想在江淮大地绽放．为响应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售一款印有吉祥物“苏苏”和“江江”的苏超赛事纪念徽章深受球迷喜爱．商家以每件45元的价格购进该款纪念徽章，以每件68元的价格出售．经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． （1）求该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式．经试验，发现该款纪念徽章每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款纪念徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 25．（8分）如图所示，直线y1x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC． （1）求点C的坐标和反比例函数y2的解析式； （2）点P在x轴上，反比例函数y2图象上存在点M，使得四边形BPCM为平行四边形，求▱BPCM的面积． 26．（10分）如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，AB是直径，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧． （1）求⊙O的半径； （2）当CD＝4时，求∠ACD的度数； （3）连接AD，设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9._______________ 13. ______________ 17. ______________ 10. _______________ 14. ______________ 18. ______________ 11. ________________ 15.________________ 12. ________________ 16. ________________ 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 22．（8分） （1） ； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（8分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x+y＝1 B．x+y2﹣2＝0 C．x（x2﹣3）＝0 D．2x2﹣3x＝3 2．一元二次方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A．（﹣1，﹣5） B．（1，5） C．（2，3） D．（﹣2，3） 4．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点（﹣2，3），点P是图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积是（　　） A．6 B．2.5 C．3 D．2 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点A（1，0），点C（0，7），反比例函数的图象经过点B，则k的值为（　　） A．9 B．12 C．16 D． 6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　） A．3 B． C．5 D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA，OB，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C．2π D． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形APQC的面积为12cm2，则点P运动的时间是（　　）秒． A．1 B．2 C．6 D．2或6 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则k的取值范围为 ________ ． 10．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是 ____________ ． 11．一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了71平方米，则原正方形的边长是_____ 米． 12．如图，过反比例函数上一点A作y轴的垂线，交y轴于点B，点C，D在x轴上，满足四边形ABCD是平行四边形，若S▱ABCD的面积为6，则k的值是_______ ． 13．如图，⊙O内切于四边形ABCD，且AB＝8，CD＝5，则四边形ABCD的周长_______ ． 14．设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两个根，则x1+x2＝_______ ． 15．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝60°，则∠C＝________ ． 16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，直径CD与AB边交于点E，点B是的中点．若CE＝6，则⊙O的半径为________________ ． 17．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为 _______ ． 18．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM的取值范围是____________________ ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（6分）解方程． （1）x2﹣4x＝5； （2）x2+4x+1＝0． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）问：是否存在等腰△ABC，AB＝2cm，另外两条边是该方程的根，若存在，求△ABC的周长，若不存在，说明理由． 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径． 22．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中有△ABC，请在图中画出△ABC外接圆的圆心P． （1）圆心P的坐标是 __________ ； （2）判断点M（6，5）是否在⊙P上？ 23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积． 24．（8分）2025年9月，伴随着“绿茵燃江苏，逐梦苏超杯”的口号江苏省城市足球联赛正式开赛，全省十三个设区市的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想在江淮大地绽放．为响应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售一款印有吉祥物“苏苏”和“江江”的苏超赛事纪念徽章深受球迷喜爱．商家以每件45元的价格购进该款纪念徽章，以每件68元的价格出售．经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． （1）求该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式．经试验，发现该款纪念徽章每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款纪念徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 25．（8分）如图所示，直线y1x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC． （1）求点C的坐标和反比例函数y2的解析式； （2）点P在x轴上，反比例函数y2图象上存在点M，使得四边形BPCM为平行四边形，求▱BPCM的面积． 26．（10分）如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，AB是直径，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧． （1）求⊙O的半径； （2）当CD＝4时，求∠ACD的度数； （3）连接AD，设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D C C C D D B 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．k＜1 10．k≤1且k≠0 11．7 12．﹣6 13．26 14．﹣1 15．30° 16．3 17．﹣7 18． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（6分） 解：（1）原方程移项可得： x2﹣4x﹣5＝0， 因式分解得（x﹣5）（x+1）＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣1．·································3分 （2）原方程移项可得： x2+4x＝﹣1， 配方得x2+4x+4＝﹣1+4，即（x+2）2＝3， ∴， 解得：，．··························6分 20．（8分） （1）证明：对于方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0，a＝1，b＝﹣2m，c＝m2﹣1， Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m2﹣4m2+4＝4， ∵Δ＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根；·····························2分 （2）解：不存在这样的等腰△ABC，理由如下： 解方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0， 配方得（x﹣m）2＝1， 开方得x﹣m＝±1， ∴x1＝m+1，x2＝m﹣1．································4分 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴△ABC另外两条边的长度不相等，即等腰三角形的相等边为其中一条边与AB＝2cm相等， 分两种情况： ①若x1＝2，则m+1＝2， 解得m＝1， 此时x2＝m﹣1＝0， 边长不能为0，不符合题意，舍去； ②若x2＝2，则m﹣1＝2， 解得m＝3， 此时x1＝m+1＝4， 三角形三边长为2cm、2cm、4cm， ∵2+2＝4，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． 综上所述，不存在这样的等腰△ABC．·························8分 21．（8分） （1）证明：连接AD． ∵点D为弧BC的中点， ∴， ∴∠EAD＝∠DAB， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB， ∴∠EAD＝∠ADO， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线；·································4分 （2）解：设⊙O的半径为r． 过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r， ∵在Rt△AFO中，AF2+OF2＝OA2， ∴（8﹣r）2+42＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5．··································8分 22．（8分） 解：（1）如图所示：点P即为所求； ····························2分 所以点P的坐标为（5，2）． 故答案为：（5，2）．·······························4分 （2）点M在⊙P内，不在⊙P上；理由如下： ， 圆的半径， ∵， ∴点M在⊙P内，不在⊙P上．·····························8分 23．（8分） 解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点， ∴m＝6×1＝3×n， ∴m＝6，n＝2， ∵， 解得：， ∴一次函数解析式y＝﹣2x+8，·····························2分 反比例函数的解析式y．······························4分 （2）∵一次函数解析式y＝﹣2x+8图象交x轴为点C， ∴C（4，0）， ∵△AOB面积＝△AOC面积﹣△COB面积4×64×2＝12﹣4＝8．··········8分 24．（8分） 解：（1）设该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为25%；·······4分 （2）设该款纪念徽章降价y元，则每件的销售利润为（68﹣y﹣45）元，月销售量为（400+20y）件， 根据题意得：y2﹣3y﹣40＝0， 解得：y1＝8，y2＝﹣5（不符合题意，舍去）． 答：该款纪念徽章降价8元．······························8分 25．（8分） 解：（1）∵直线y1＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣4，0），B（0，1） 过C作CD⊥x轴于D， ∵AB＝BC， ∴D（4，0），C（4，2），·······························2分 ∵点C（4，2）反比例函数y2（x＞0）的图象上， ∴k＝8， ∴反比例函数y2的解析式y2；····························4分 （2）∵四边形BPCM为平行四边形， ∴G为BC、MP的中点， 由BG＝CG，则G（2，）， 设M（m，），P（n，0）， 由MG＝PG， ∴， ∴m，n，即P（，0）， S△APCAP•CD（4）×2，S△ABPAP•OB（4）×1 S△BPC＝S△APC﹣S△APB， ∴▱BPCM的面积＝2 S△BPC．··························8分 26．（10分） 解：（1）如图1中， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝4，BC＝4， ∴AB8， ∴⊙O的半径为4；···································2分 （2）如图1中，连接OC，OD． ∵CD＝4，OC＝OD＝4， ∴CD2＝OC2+OD2， ∴∠COD＝90°， ∴∠OCD＝45°， ∵AC＝OC＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO＝60°， ∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°；·······················6分 （3）如图2中，连接OM，OC． ∵AM＝MD， ∴OM⊥AD， ∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J， 连接CJ，JM． ∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ， ∴CJ⊥OA， ∴CJ2， ∵CM≤CJ+JM＝22， ∴CM的最大值为22．······························10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x+y＝1 B．x+y2﹣2＝0 C．x（x2﹣3）＝0 D．2x2﹣3x＝3 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：x+y＝1含有两个未知数，并且其最高次数为1，则A不符合题意， x+y2﹣2＝0含有两个未知数，则B不符合题意， x（x2﹣3）＝x3﹣3x＝0，其最高次数为3，则C不符合题意， 2x2﹣3x＝3符合一元二次方程的定义，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．一元二次方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式b2﹣4ac与0的大小关系，即可得出方程根的情况． 【解答】解：x2﹣3x+4＝0， ∴a＝1，b＝﹣3，c＝4， ∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×4＝9﹣16＝﹣7＜0， ∴方程没有实数根， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于掌握根的判别式的应用，即b2﹣4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；b2﹣4ac＝0，方程有两个相等的实数根；b2﹣4ac＜0，方程无实数根． 3．反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A．（﹣1，﹣5） B．（1，5） C．（2，3） D．（﹣2，3） 【分析】将反比例函数关系式进行变形，逐项判断即可． 【解答】解：将反比例函数关系式进行变形得xy＝6．据此逐项分析判断如下： A． （﹣1）×（﹣5）＝5≠6，不符合题意； B．1×5＝5≠6，不符合题意； C．2×3＝6，符合题意； D． （﹣2）×3＝﹣6≠6，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 4．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点（﹣2，3），点P是图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积是（　　） A．6 B．2.5 C．3 D．2 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【解答】解：∵反比例函数的图象过点（﹣2，3）， ∴k﹣1＝﹣2×3＝﹣6， ∵点P是图象上任意一点，PM⊥x轴， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点A（1，0），点C（0，7），反比例函数的图象经过点B，则k的值为（　　） A．9 B．12 C．16 D． 【分析】过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于点F，则∠EBF是直角，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，然后可以证明三角形BFC与三角形BAE全等，从而得到BE＝BF，AE＝CF，从而可以得出四边形OEBF是正方形，设正方形OEBF的边长为m，则AE＝1﹣m，CF＝7﹣m，然后根据m﹣1＝7﹣m即可求解． 【解答】解：过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于点F， ∵∠BFC＝∠BEA＝90°， ∴四边形OEBF是矩形， ∴∠EBF＝90°， ∠CBF+∠ABF＝90°，∠ABE+∠ABF＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AB， ∴△ABE≌△CBF（AAS）， ∴BE＝BF，AE＝CF， ∴四边形OEBF是正方形， 设正方形OEBF的边长为m，则AE＝1﹣m，CF＝7﹣m， ∴m﹣1＝7﹣m， 解得m＝4， ∴B点的坐标为（4，4）， ∴， ∴k＝16， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　） A．3 B． C．5 D． 【分析】首先通过正六边形来构造辅助线形成等边三角形，进而可以利用垂直在直角三角形中求解OM的长度即可． 【解答】解：正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，如图，连接OB，OC， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形，即BC＝OB＝6， ∵OM⊥BC， ∴， 在Rt△BOM中，， 故选：D． 【点评】本题主要考查正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点的应用，利用正六边形的性质求边长是解题的关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA，OB，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C．2π D． 【分析】设⊙O与AC、BC、AB分别相切于E、F、H，连接OE、OF，可证明四边形OECF是正方形，由∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，求得∠CAB+∠CBA＝90°，AB＝10，由AE＝AH，BF＝BH，求得AE+BF＝AB＝10，则CE+CF＝2CE＝AC+BC﹣（AE+BF）＝4，则OE＝CE＝2，由∠OAB∠CAB，∠OBA∠CBA，求得∠OAB+∠OBA＝45°，则∠AOB＝135°，所以阴影部分扇形的圆心角为225°，根据扇形的面积公式求得S阴影，于是得到问题的答案． 【解答】解：设⊙O与AC、BC、AB分别相切于E、F、H，连接OE、OF， ∵AC⊥OE，BC⊥OF， ∴∠OEC＝∠OFC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形OECF是矩形， ∴CE＝CF， ∴四边形OECF是正方形， ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴∠CAB+∠CBA＝90°，AB10， ∵AE＝AH，BF＝BH， ∴AE+BF＝AH+BH＝AB＝10， ∴CE+CF＝2CE＝AC﹣AE+BC﹣BE＝AC+BC﹣（AE+BF）＝6+8﹣10＝4， ∴OE＝CE＝2， ∴AO平分∠CAB，BO平分∠CBA， ∴∠OAB∠CAB，∠OBA∠CBA， ∴∠OAB+∠OBA（∠CAB+∠CBA）＝45°， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝135°， ∴阴影部分扇形的圆心角为360°﹣135°＝225°， ∴S阴影， 故选：D． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形APQC的面积为12cm2，则点P运动的时间是（　　）秒． A．1 B．2 C．6 D．2或6 【分析】设点P运动的时间为ts，则BP＝（8﹣t）cm，BQ＝2t（cm），根据题意易得，，根据可得关于t的一元二次方程并求解，然后确定t的取值范围，即可获得答案． 【解答】解：设点P运动的时间为ts， 则BP＝AB﹣AP＝（8﹣t）cm，BQ＝2t（cm）， ∵BC＝6cm，∠ABC＝90°，AB＝8cm， ∴， ， ∵四边形APQC的面积为12cm2， ∴， 即24﹣t（8﹣t）＝12， 解得t1＝2，t2＝6， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴t≤3， ∴点P运动的时间是2s． 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，找出数量关系列式求解是关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则k的取值范围为 k＜1　 ． 【分析】依据题意，根据反比例函数的性质可得不等式：k﹣1＜0，进而可以得解． 【解答】解：由题意得，k﹣1＜0， ∴k＜1． 故答案为：k＜1． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 10．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤1且k≠0　 ． 【分析】根据一元二次方程有实数根，可得b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k•9＝36﹣36k≥0，再根据一元二次方程二次项系数不为零建立不等式，求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4k•9＝36﹣36k≥0， 解得k≤1， 又∵kx2﹣6x+9＝0是关于x的一元二次方程， ∴k≠0， ∴k≤1且k≠0， 故答案为：k≤1且k≠0． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键． 11．一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了71平方米，则原正方形的边长是　7　 米． 【分析】设原正方形的边长是x米，根据扩建后的林地面积比原来面积增加了71平方米可得：（x+5）（x+3）﹣x2＝71，化简解之即可． 【解答】解：设原正方形的边长是x米， 根据题意得：（x+5）（x+3）﹣x2＝71， 整理得，8x＝56， 解得x＝7， 则原正方形的边长是7米， 故答案为：7． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 12．如图，过反比例函数上一点A作y轴的垂线，交y轴于点B，点C，D在x轴上，满足四边形ABCD是平行四边形，若S▱ABCD的面积为6，则k的值是　﹣6　 ． 【分析】作AE⊥x轴，垂足为点E，则四边形ABOE是矩形，通过平行四边形面积与矩形面积的关系求出|k|的值，再结合反比例函数图象所在象限确定k的正负，进而求出k的值． 【解答】解：如图，作AE⊥x轴，垂足为点E，则四边形ABOE是矩形， ∵S▱ABCD＝AB•AE，S矩形ABOE＝AB•AE， ∴S▱ABCD＝S矩形ABOE＝6， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，熟练掌握该知识点是关键． 13．如图，⊙O内切于四边形ABCD，且AB＝8，CD＝5，则四边形ABCD的周长　26　 ． 【分析】利用切线长定理进行求解． 【解答】解：如图所示，AB与⊙O相切于点E，BC与⊙O相切于点F，CD与⊙O相切于点G，AD与⊙O相切于点H， 由条件可知AB，AD，CD，BC是⊙O的切线， ∴AE＝AH，BE＝BF，DH＝DG，CG＝CF， ∴AE+BE+AH+BF＝2AB＝16，DH+CG+DG+CF＝2CD＝10， ∴2AB+2CD＝16+10＝26． 故答案为：26． 【点评】本题考查了切线长定理，熟练掌握该知识点是关键． 14．设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两个根，则x1+x2＝　﹣1　 ． 【分析】直接应用一元二次方程的根与系数的关系求解． 【解答】解：由条件可知， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 15．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝60°，则∠C＝　30°　 ． 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角求得∠DAB的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可知∠DAB＝∠C＝30°． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠ABD＝60°， ∴∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣60°＝30°， 又∵对应的圆周角为∠DAB和∠DCB， ∴∠DAB＝∠DCB＝30°（圆周角定理）， 即∠C＝30°． 则∠C的度数为30°． 故答案为：30°． 【点评】本题考查了圆周角定理，关键是圆周角定理的熟练掌握． 16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，直径CD与AB边交于点E，点B是的中点．若CE＝6，则⊙O的半径为　3　 ． 【分析】连接OB，则OB＝OC，由，得∠BOC＝∠BOD＝90°，则∠OBC＝∠OCB＝45°，∠A∠BOC＝45°，由AB＝AC，求得∠ABC＝∠ACB＝67.5°，则∠CEB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝67.5°，所以∠CEB＝∠ABC，则CB＝CE＝6，由CBOC＝6，求得OC＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB，则OB＝OC， ∵点B是的中点， ∴， ∴∠BOC＝∠BOD180°＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∠A∠BOC＝45°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠CEB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°， ∴∠CEB＝∠ABC， ∴CB＝CE＝6， ∵CBOC＝6， ∴OC＝3， ∴⊙O的半径为3， 故答案为：3． 【点评】此题重点考查圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 17．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为 　﹣7　 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得，，根据平行线的性质和三角形的面积公式可得S△OAB＝S△CAB＝2，根据S△AOM﹣S△BOM＝2，求出k的值即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB，延长AB交y轴于M，则，， ∵AB∥x轴， ∴S△OAB＝S△CAB＝2， 即S△AOM﹣S△BOM＝2， ∴， ∵k＜0， ∴k＝﹣7， 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 18．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM的取值范围是　　 ． 【分析】根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离、最小距离进行计算即可． 【解答】解：当点P在⊙O上移动时，M为AP的中点，连接OM，根据垂径定理得出∠OMA＝90°， ∵90度的圆周角所对的弦是直径， ∴AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O'， 如图，当CO′交⊙O'于点M，此时CM的值最小， ∴， 如图，当CO′交⊙O'于点M，此时CM的值最大， 由题意得，OA＝OB＝OC＝4，， 在Rt△O′OC中，OC＝4，OO′＝2， ， ∴， ∴CM的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，正确进行计算是解题关键． 三、解答题：本题共8小题，共64分。 19．（6分）解方程． （1）x2﹣4x＝5； （2）x2+4x+1＝0． 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程移项可得： x2﹣4x﹣5＝0， 因式分解得（x﹣5）（x+1）＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣1． （2）原方程移项可得： x2+4x＝﹣1， 配方得x2+4x+4＝﹣1+4，即（x+2）2＝3， ∴， 解得：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）问：是否存在等腰△ABC，AB＝2cm，另外两条边是该方程的根，若存在，求△ABC的周长，若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据根的判别式证明即可； （2）先解方程得到x1＝m+1，x2＝m﹣1，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到x＝2是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定△ABC的三边长，结合构成三角形的条件求解即可． 【解答】（1）证明：对于方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0，a＝1，b＝﹣2m，c＝m2﹣1， Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m2﹣4m2+4＝4， ∵Δ＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：不存在这样的等腰△ABC，理由如下： 解方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0， 配方得（x﹣m）2＝1， 开方得x﹣m＝±1， ∴x1＝m+1，x2＝m﹣1． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴△ABC另外两条边的长度不相等，即等腰三角形的相等边为其中一条边与AB＝2cm相等， 分两种情况： ①若x1＝2，则m+1＝2， 解得m＝1， 此时x2＝m﹣1＝0， 边长不能为0，不符合题意，舍去； ②若x2＝2，则m﹣1＝2， 解得m＝3， 此时x1＝m+1＝4， 三角形三边长为2cm、2cm、4cm， ∵2+2＝4，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． 综上所述，不存在这样的等腰△ABC． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接AD．证明OD∥AE，可得∠E＝90°，则∠ODE＝90°得出DE⊥OD即可； （2）设⊙O的半径为r．过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r（8﹣r）2+42＝r2解方程即可得出答案． 【解答】（1）证明：连接AD． ∵点D为弧BC的中点， ∴， ∴∠EAD＝∠DAB， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB， ∴∠EAD＝∠ADO， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r． 过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r， ∵在Rt△AFO中，AF2+OF2＝OA2， ∴（8﹣r）2+42＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 【点评】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确运用基本图形的性质解决问题，属于中考常考题型． 22．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中有△ABC，请在图中画出△ABC外接圆的圆心P． （1）圆心P的坐标是 　（5，2）　 ； （2）判断点M（6，5）是否在⊙P上？ 【分析】（1）作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为△ABC的外接圆的圆心，然后直接读出△ABC的外接圆的圆心坐标． （2）先求出MP的值，根据点和圆的位置关系进行判断即可． 【解答】解：（1）如图所示：点P即为所求； 所以点P的坐标为（5，2）． 故答案为：（5，2）． （2）点M在⊙P内，不在⊙P上；理由如下： ， 圆的半径， ∵， ∴点M在⊙P内，不在⊙P上． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，垂径定理，点与圆的位置关系，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键． 23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积． 【分析】（1）将A，B代入解析式可求解析式 （2）求一次函数解析式y＝﹣2x+8图象交x轴交点C的坐标，由∵△AOB面积＝△AOC面积﹣△COB面积，可求△AOB面积． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点， ∴m＝6×1＝3×n， ∴m＝6，n＝2， ∵， 解得：， ∴一次函数解析式y＝﹣2x+8， 反比例函数的解析式y． （2）∵一次函数解析式y＝﹣2x+8图象交x轴为点C， ∴C（4，0）， ∵△AOB面积＝△AOC面积﹣△COB面积4×64×2＝12﹣4＝8． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，关键是运用面积的和差表示所求面积． 24．（8分）2025年9月，伴随着“绿茵燃江苏，逐梦苏超杯”的口号江苏省城市足球联赛正式开赛，全省十三个设区市的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想在江淮大地绽放．为响应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售一款印有吉祥物“苏苏”和“江江”的苏超赛事纪念徽章深受球迷喜爱．商家以每件45元的价格购进该款纪念徽章，以每件68元的价格出售．经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． （1）求该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式．经试验，发现该款纪念徽章每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款纪念徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【分析】（1）设该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为x，利用该款纪念徽章2026年1月份的销售量＝该款纪念徽章2025年11月份的销售量×（1+该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其中符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款纪念徽章降价y元，则每件的销售利润为（68﹣y﹣45）元，月销售量为（400+20y）件，利用月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其中符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该款纪念徽章降价y元，则每件的销售利润为（68﹣y﹣45）元，月销售量为（400+20y）件， 根据题意得：y2﹣3y﹣40＝0， 解得：y1＝8，y2＝﹣5（不符合题意，舍去）． 答：该款纪念徽章降价8元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25．（8分）如图所示，直线y1x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC． （1）求点C的坐标和反比例函数y2的解析式； （2）点P在x轴上，反比例函数y2图象上存在点M，使得四边形BPCM为平行四边形，求▱BPCM的面积． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）根据S△BPC＝S△APC﹣S△APB，▱BPCM的面积＝2 S△BPC，只要求出△APC，△APB的面积即可； 【解答】解：（1）∵直线y1＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣4，0），B（0，1） 过C作CD⊥x轴于D， ∵AB＝BC， ∴D（4，0），C（4，2）， ∵点C（4，2）反比例函数y2（x＞0）的图象上， ∴k＝8， ∴反比例函数y2的解析式y2； （2）∵四边形BPCM为平行四边形， ∴G为BC、MP的中点， 由BG＝CG，则G（2，）， 设M（m，），P（n，0）， 由MG＝PG， ∴， ∴m，n，即P（，0）， S△APCAP•CD（4）×2，S△ABPAP•OB（4）×1 S△BPC＝S△APC﹣S△APB， ∴▱BPCM的面积＝2 S△BPC． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用分割法求三角形面积，属于中考常考题型． 26．（10分）如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，AB是直径，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧． （1）求⊙O的半径； （2）当CD＝4时，求∠ACD的度数； （3）连接AD，设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可． （2）连接OC，OD，证明∠OCA＝60°，∠OCD＝45°，可得结论． （3）如图2中，连接OM，OC．证明OM⊥AD，推出点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，连接CJ，JM．求出CJ．JM，根据CM≤CJ+JM＝22，可得结论． 【解答】解：（1）如图1中， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝4，BC＝4， ∴AB8， ∴⊙O的半径为4； （2）如图1中，连接OC，OD． ∵CD＝4，OC＝OD＝4， ∴CD2＝OC2+OD2， ∴∠COD＝90°， ∴∠OCD＝45°， ∵AC＝OC＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO＝60°， ∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°； （3）如图2中，连接OM，OC． ∵AM＝MD， ∴OM⊥AD， ∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J， 连接CJ，JM． ∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ， ∴CJ⊥OA， ∴CJ2， ∵CM≤CJ+JM＝22， ∴CM的最大值为22． 【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M的运动轨迹，属于中考压轴题． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][CJ[D] 7.[A][B][C][D] 8.[A][B]IC][D] 二、填空题：本题共10小题， 每小题2分，共20分。 9 10. 11. 2 13, 14. 16 17. 18. 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(8分) D 22.(8分) (1) 5 3 2 1 C 0 12 3 45 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) A 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(8分) y M C B A 0 26.(10分) B A B D 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！