2 三角形的再认识-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年五年级上册数学（北师大版·新教材）

第二单元 三角形的再认识 第1课时探索 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 1.选一选。 (1)下面( )不能说明“三角形的内角和 是180”。 ① A.① B.② C.③ D.②③ (2)用一个放大10倍的放大镜看一个三角 形，这个三角形的内角和是( )。 A.180 B.360° C.1800° D.3600 (3)下面( )不可能是同一个三角形的三 个内角的度数。 A.40°，60°，70° B.65°，50°，65 C.102°，40°，38° D.134°，26°，20° 2.判一判。 (1)*乐乐用三个小三角形拼成一个大三角 形，大三角形的内角和是540°。 () (2)在一个直角三角形中，两个锐角的度数 和一定等于90°。 三角形内角和(1) 能力攀升 活学活用，提升能力 3.分别计算下面三角形中∠C的度数。 (1)B 55 (2) C A40 60 4.选适当的角度填一填。（每小题中，每个角度 只能选1次) 30°65°50°90°100°45°70°60° (1)要组成一个锐角三角形，应选( ()和()作为内角 (2)要组成一个钝角三角形，应选( （)和()作为内角。 (3)要组成一个直角三角形，应选( ()和( )作为内角。 5.新趋势说理表达如图，准备一张长方形纸，将其 剪成两个一样的三角形。这个方法能证明三 角形的内角和是180吗？为什么？ 第2课时 探索 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 1.下面是2块三角形玻璃被打碎后分别留下的 碎片，先算出第三个角的度数，想一想按角分 分别是什么三角形，再将碎片补全看一看。 30 40 6509 40° )° )° ( )角三角形 ( )角三角形 2.新趋势数形结合下面的线段表示0°到180°，∠1 和∠2是一个三角形的两个内角，请你根据 ∠1和∠2的度数判断按角分这个三角形是 什么三角形。 ∠1 ∠2 0 180 3.新素养推理意识刘爷爷家有一块直角三角形菜 地，在这块直角三角形菜地中，较大锐角的度 数是较小锐角的2倍，你知道这块菜地三个 角的度数吗？ 能力攀升 活学活用，提升能力 4.选一选。 (1)一个等腰三角形风筝，它的一个底角是 70°，它的顶角是( )。 A.40° B.110 C.55 D.140° 1 第二单元 三角形内角和(2) (2)如图，分别用4个同样的等边三角形摆 不同的图形，摆成的大三角形的内角和与平 行四边形的内角和相比，( ）。 A.平行四边形的内角和大 B.一样大 C.三角形的内角和大 D.无法比较 5.新趋势思维过程如图，三角形ABE、三角形 ACD都是等腰三角形。已知∠5=70°， ∠4=50°，则∠1，∠2，∠3各是多少度？ B D E 6.新趋势说理表达一个零件如下图，∠1=32°， ∠2=25°，当∠3=90°时才符合要求，工人师 傅在检验时，只量了∠4=145°，他说：“这个 零件不符合要求。”你知道这是为什么吗？ 拔尖特训·数学（北师版）五年级上 第3课时 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 1.用圆规比一比下面每组中两条线段的长短。 (1)A D B C AB○CD (2) A D AB(CD 2.按下面作线段的方法，能画出()条与 AB长度相等的线段。 B D E 3.新趋势题组训练按要求画图。 (1)在直线L上画出长为2厘米的线段AB, 再用圆规在直线L上作线段BC,使得 BC=AB。 (2)在下面的直线上，用无刻度的直尺和圆 规画一条线段AB,使它的长度等于已知线 段a,b的长度之差。 了解尺规作图 能力攀升 活学活用，提升能力 4.下面三角形的三条边一共有多长？以下面射 线的端点为起点，用无刻度的直尺和圆规在 射线上画一画。 ① ③ 5.新趋势作探究蜗牛回家。用圆规量一量，比 比，画一画，哪只蜗牛回家走的路线长？ 6.新情境学科融合《科利亚的木匣》讲述了科利亚 将装有玩具的木匣埋在了离院子10步远的 地方，四年后，科利亚要找回木匣，他发现现 在自己的步长是四年前步长的2倍。请你用 圆规画图，用点P标出木匣的位置。 院子 四年后的步长 16 第4课时 探索 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 1.在能摆成三角形的小棒下面的括号里画 “√”。（单位：厘米） 4 ▣2 5 ▣4 9 ▣8 ▣5 ▣4 ▣5 4 ▣5 ▣6 2.填一填。 (1)新情境社会生活欣欣从家到羽毛球馆，路 线( )最近，理由是( )。 欣欣家 羽毛球馆 (2)从5,9,11,20中选择适当的数填入括 号内。 )cm )cm 8cm 3.小智想用尺规画出三角形ABC,使AB 2cm,BC=3cm,AC=2cm。你能接着帮他 画完吗？它是什么三角形？ B 3cm 第二单元 三角形三边关系(1) 能力攀升 活学活用，提升能力 4.选一选。 (1)新趋势数形结合明明自制了一个电脑支 架，支架底部卡扣的每个间隔为1cm,则这 个支架底端最多可以移动到第( )个 卡扣。 5cm 3cm A.6 B.7 C.8 D.9 (2) 一个等腰三角形的两条边分别长6厘米 和12厘米，这个三角形的周长是() 厘米。 A.18 B.24 C.30 D.24或30 5.新趋势操作探究你能从下面6条线段中任意取 出3条围成四种不同的三角形吗？量一量， 想一想，用尺规画一画并填表。 a C b 第一种 第二种 第三种 第四种 6.如图，三角形ABC是等边三角形，三角形BCD 是等腰三角形。三角形ABC的周长最大是 ()cm。(所有边的长度都是整厘米数)》 12cm D B 12cm 17 拔尖特训·数学（北师版）五年级上 第5课时 探索 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 1.填一填。 (1)新情境生活应用如图所示 为玲玲家的太阳能热水器。 热水器的一段支架损坏了， 需要更换的支架长度要大 此段支架损坏 于( )m,小于( )m。 (2)新素养推理意识从长度分别为1厘米、2厘 米、3厘米、4厘米、5厘米的5根小棒中，任 选3根，能摆出()种不同的三角形。 2.如图，建房子用的“人”字梁主要是由外围的 三根木料组成的。现在已经有了两根长都是 5米的木料，还有以下四根木料：12米、9米、 7米、10.5米。 (1)哪几根木料能与这两根木料组成“人”字 梁的外围？ (2)选哪根木料组成“人”字梁的外围时建造 的房子要“宽”一些？选哪根木料组成“人”字 梁的外围时建造的房子要“高”一些？ 三角形三边关系(2) 能力攀升 活学活用，提升能力 3.将一根小棒平均分成12份，第一刀按下面 4种方法剪开，第二刀再把右侧部分剪成两 段。得到的3段小棒不可能围成三角形的是 ( )。 A.□ B.□ C.□ D.口 4.同学们准备用丝带在教室后面的黑板上围一 个三角形图案。三角形的其中两条边分别是 20厘米和16厘米，最多要用多少厘米长的丝 带？最少呢？（三条边的长度都是整厘米数） 5.新趋势操作探究把一根18厘米长的吸管剪成 三段，再用这三段吸管围成一个三角形，有几 种剪法？可以怎样剪？（每段吸管的长度都 是整厘米数) 18 第6课时探 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 1.测量下面图形四个内角的度数，并计算内角 和的度数。 27 3 3 ∠1= ∠2= ∠1= ∠2= ∠3= ∠4= ∠3= ∠4 内角和： 内角和： 2.新趋势探究创新研究“四边形内角和”时，如图 所示为四名同学的学习探究过程 芳芳： 林林： 1 4 3入 964 四边形的内角和=1个周 180°×2=3609 角=3609 红红： 明明 360° 180 180°×3-180°=360° 180°×4-360°=360° (1)上面的四种方法中，你最喜欢准的方法？ 说说他（她）的解题思路。」 (2)请用你喜欢的方法探究下面五边形的内 角和，先在图中画一画，再列式计算出五边形 的内角和。 第二单元 索内角和的奥秘 能力攀升 活学活用，提升能力 3.新趋势操作探究如图，一个直角三角形被截去一 个直角，截下的小三角形的内角和是( )°， 剩下的四边形的内角和是( )°。 3 4 4.如图，∠2=30°，∠3=40°，则∠1=()°。 37 5.新趋势探索规律算一算，说说你发现了什么。 边 数 3 4 5 180°× 180°× 内角和 180°×1 180°X2 ( (1)我发现：分成的三角形个数比多边形的 边数( ),因为一个三角形的内角和是 ()°，所以n(n≥3)边形的内角和是 ( ) (2)正多边形每个内角的度数都相等，请你 设计一个用三角尺画正八边形的方案。 19和才能比原来少3.6。解析一个加数增加 68,那么和就增加6.8，要想让和比原来少3.6，那 么另一个加数要在减少6.8的基础上再减少3.6。 5.42.8十42.8=85.6（米）答：张爷爷一共需要 85.6米筒笆。解析先画出如下示意图，由图可 知，羊圈的一条长与一条宽相加的和等于长方形地 的一条长。 菜地 羊圈 —42.8米 6.20.4十3.6=24（元）错题本：24÷3=8（元） 卷笔刀：20.4一8=12.4（元）答：1本错题本 8元，1个卷笔刀12.4元。解析先画出如下示 意图，由图可知，3本错题本的价钱是20.4十3.6 24(元)，从而求出1本错题本的价钱是24÷3= 8(元)，再用20.4元减去1本错题本的价钱就是 1个卷笔刀的价钱 20.4元 错题本 卷笔刀 3.6元 错题本错题本错题本 7.1.07十4.73=5.8（千克）答：小勇比轩轩重 5.8千克。解析由题意可知，小勇比小华重的 质量加上轩轩比小华轻的质量就是小勇比轩轩重 的质量。 8.3.597+0.114=3.711(千米) 3.711-2.486=1.225(千米)答：北冰洋的平均 深度大约是1.225千米。解析先根据印度洋 的平均深度=大西洋的平均深度十0.114千米，求 出印度洋的平均深度。再根据北冰洋的平均深 度=印度洋的平均深度一2.486千米，即可求出北 冰洋的平均深度。 9.4.25-3.68=0.57一位小数是5.73.68+ 5.7=9.38答：正确的结果是9.38。解析用 错误的结果4.25减去3.68，即可求出错误的另 个加数，把这个加数的小数点向右移动一位变成一 位小数即是正确的加数，进而算出正确的结果。 10.21.5十(9-6)十(0.9-0.6)=24.8答：这道 题正确的结果是24.8。解析由“把被减数个位 上的9错写成了6”可知，差减少了9一6=3。由 “减数十分位上的6错写成了9”可知，差减少了 0.9-0.6=0.3。用得到的差依次加上3和0.3即 可求出正确的结果。 第二单元 三角形的再认识 第1课时探索三角形 内角和(1) 1.(1)C(2)A(3)A 2.(1)X ③易错分析 对三角形的内角和认识不清 所有三角形的内角和都是180°，与三角形 的形状、边的长短等都无关。 (2) 3.(1)∠C=180°-90°-55°=35 (2)∠C=180°-40°-60°=80 4.(1)65°45°（或50°60）70°(2)100° 30°50°(3)90°60°30 5.能长方形的每个角都是直角，四个角的和是 360°，将其剪成两个一样的三角形，两个三角形的 六个内角的度数和就是原来长方形的四个角的度 数和，所以每个三角形的内角和是180° 解析通过寻找两个三角形六个内角的度数和与 长方形四个角的度数和之间的关系来证明结论。 第2课时探索三角形 内角和(2) 1.110钝90直 30° 40 △50° 40 2.∠1大约是31°，∠2大约是61°∠3大约是 180°一31°一61°=88°按角分这个三角形是锐角 三角形解析观察题图，可知每一小段线段代表 30°，∠1大约是31°，∠2大约是61°，根据三角形的 内角和等于180°，求出∠3的度数，再判断即可。 3.180°-90°=90°较小的锐角：90°÷(2+1)= 30°较大的锐角：90°一30°=60°答：这块菜地三 个角的度数分别是30°，60°，90°。 4.(1)A(2)A 5.∠2=180°-70°-70°=40°∠BAE=180° 50°-50°=80°∠3=180°-70°-50°-40°= 20°∠1=80°-40°-20°=209 解析因为等腰三角形的两个底角相等，所以在三 角形ACD中，用180°减去2个70°即可求出∠2的 度数；同理，用180°减去2个50°就是∠BAE的度 数。在三角形ACE中，用180°减去∠5，∠E和 ∠2的度数就是∠3的度数，最后用∠BAE的度数 减去∠2和∠3的度数就是∠1的度数。 6.如图，∠5+∠6=180°-32°-25°-90°=33°， ∠4=180°-33°=147°，因为按照符合要求的角度 计算，∠4应为147°，而实际量得∠4为145°，所以 这个零件不符合要求 .6 3 2 解析如图，观察图形可知，由（∠1十∠5），（∠2十 ∠6)，∠3构成的图形可看作一个大三角形。因为 三角形内角和是180°，所以（∠1十∠5）+（∠2十 ∠6)+∠3=180°。已知∠1=32°，∠2=25°， ∠3=90°，则∠5+∠6的值为180°-32°-25° 90°=33°。又因为∠4与∠5，∠6构成一个小三角 形，小三角形的内角和为180°，所以符合要求的 ∠4的度数应为180°-（∠5+∠6）=180°-33°= 147°，而实际检验时量得∠4=145°，因为147°不等 于145°，所以这个零件不符合要求。 第3课时了解尺规作图 1.(1)=(2)> 2.无数 3. (1)A B C (2) 4. ① ③ 5. 乙 乙蜗牛回家走的路线长解析用圆规分几次从 上面的路线中载取线段，并在下面的路线中截取长 度相等的线段，若下面的路线不够截取，则上面的 路线长；若下面的路线够截取且有剩余，则下面的 路线长。 6. 院子 四年后的步长 第4课时探索三角形 三边关系(1) 1.()()(V)(V) 2.(1)b三角形任意两边之和大于第三边 (2) (11)cm 号 (9 )cm n 8cm 解析根据三角形任意两边之和大于第三边，任意 两边之差小于第三边来作出选择。 3.如图它是等腰三角形 、4 2cm 2cm B 3cm 4.(1)B(2)C 5.图略 答案不唯一，如 第一种 第二种 第三种 第四种 a,a,b CCC c,c;b a:a:c 6.69解析BC边最长是12十12-1=23(cm), 所以三角形ABC的周长最大是23×3=69(cm)。 第5课时 探索三角形 三边关系(2) 1.(1)0.52.9(2)3 2.(1)9米和7米的木料能与这两根木料组成 “人”字梁的外围 (2)选9米的木料组成“人”字梁的外围时建造的 房子要“宽”一些选7米的木料组成“人”字梁的 外围时建造的房子要“高”一些 3.B 4.最多：20+16=36（厘米）36-1=35（厘米） 36+35=71(厘米)最少：20一16=4（厘米）4+ 1=5(厘米)36十5=41（厘米）答：最多要用 71厘米长的丝带，最少要用41厘米长的丝带。 解析根据三角形两条边之和大于第三条边，如果 第三条边是最长边，那么20厘米十16厘米>第三 条边，则第三条边最长是35厘米；如果第三条边是 最短边，那么20厘米一16厘米<第三条边，则第 三条边最短是5厘米。 5.7种①8厘米、8厘米、2厘米；②8厘米、7厘 米、3厘米；③8厘米、6厘米、4厘米；④8厘米 5厘米、5厘米；⑤7厘米、7厘米、4厘米；⑥7厘 米、6厘米、5厘米；⑦6厘米、6厘米、6厘米 解析根据三角形的三边关系：三角形任意两边之 和大于第三边，可知三角形中的最长边最长是8厘 米，最短是6厘米，即最长边可以是8厘米、7厘 米、6厘米，再根据另外两条边的长度和分别写出 符合条件的两条边的长度。 第6课时探索内角和的 奥秘 1.135°45°45°135°360°115°115° 65°65°360 2.(1)答案不唯一，如我最喜欢林林的方法，林林 把四边形分成了2个三角形，每个三角形的内角和 都是180°，四边形由2个三角形组成，可以得出四 边形的内角和是180°×2=360 (2)方法不唯一，如 180°×3=540°解析五边形可以分成3个三角 形，每个三角形的内角和是180°，所以五边形的内 角和是180°×3=540°。注意方法不唯一。 3.180360解析剩下的图形是四边形，四边形可 以分成两个三角形，把两个三角形的内角和相加即可。 4.110解析由题意可得∠1十∠2十∠3 360°-90°-90°=180°，所以∠1=180°-∠2 ∠3=110°。 5.34 (1)少2180(n一2)×180°解析观察表格， 分成的三角形个数比多边形的边数少2，因为一个 三角形的内角和是180°，所以n(n≥3)边形的内角 和是(n-2)×180°。 (2)答案不唯一，如因为(8一2)×180°=1080°， 1080°÷8=135°，135°=45°+90°，所以可以用三角 尺的直角和45°角画一个135°的角，并以角的顶点 为顶点，在角的两边上截取长度相等的线段；分别 以两条线段另一个端点为顶点继续画135°的角， 注意角的方向；重复以上操作，使其成为一个封闭 图形，得到的封闭图形就是正八边形，如图所示 提分真题特训川 1.(1)100(2)11(3)38°104 2.(1)C(2)B 3.直角三角形理由：如图，因为正六边形每条边 都相等，所以∠1=∠2=(180°-120)÷2=30°。又 因为正六边形的每个内角都是120°，所以∠1十 ∠3=120°。所以∠3=120°-∠1=90°。因为∠3是 直角，所以涂色三角形按角分是直角三角形。 4.(1)鹏鹏剪出的三段竹条不能围成三角形 理由：因为三段竹条的长度分别为6dm,5dm, 1dm,5十1=6，不满足三角形的三边关系。 (2)答案不唯一，如 1 dm 白口 解析田田先剪下5dm长的一段作为三角形的一 条边，则剩下的长度为12-5=7(dm)。如果把7dm 分成1dm和6dm,1+5=6,不能围成：如果把7dm 分成2dm和5dm,2十5>5，可以围成；如果把7dm 分成3dm和4dm,3十4>5，可以围成。据此作图。