6.1平均数与方差（分层作业，20大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 6.1 平均数与方差 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求众数 题型02 根据众数做决策 题型03 求平均数 题型04 利用平均数做决策 题型05 求加权平均数 题型06 利用加权平均数作决策 题型07 求方差 题型08 根据方差判断稳定性 题型09 利用方差作决策 题型10 求标准差 题型11 求离差平方和 题型12 利用样本评估总体 B组 能力进阶 题型01 已知众数求未知数据的值 题型02 根据已知数据求未知数据的值 题型03 利用已知平均数求相关数据的平均数 题型04 已知加权平均数求未知数据的值 题型05 出错情况下的平均数问题 题型06 已知方差求未知数据的值 题型07 离差平方和的应用 C组 思维拔高 题型 平均数与方差·创新性问题 求众数题型01 1．某校篮球队12名同学的身高如下表： 身高() 180 186 188 192 195 人数 1 2 5 3 1 则该校篮球队12名同学身高的众数是(单位：)(        ) A．192 B．188 C．186 D．180 2．数据4，3，1和的平均数是3，则这组数据的众数是__________． 3．若一组数据的方差为，则这组数据的众数为_________． 4．某校进行消防安全知识测试，测试成绩只分为A，B，C，D四个等级，等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名学生的成绩进行整理，得到了如图所示信息． (1)求此次测试中被抽取的学生成绩的众数和平均数； (2)为了使平均数更准确一些，又抽取了10名学生的成绩，其中得9分的有6名，得8分的有2名，还有两名学生M和N的成绩被墨水污染（都不是8分和9分），且学生M的成绩高于学生N的成绩．求M和N两名学生的成绩，并与（1）相比，判断众数是否发生变化． 5．（2025·河南驻马店·一模）八年级（）班的体育老师对全班名同学进行了一次体测，成绩（得分均为整数）满分为分，成绩达到分及以上为合格，该班的体育委员根据这次体测成绩制作了统计图和分析表如下： 八年级（）班全体学生体测成绩分析表 平均分分 中位数分 众数分 合格率 男生 女生 已知该班男生中不合格的仅有人，女生得分的人数为． (1)该班共有女生______人； (2)补全“八年级（）班全体学生体测成绩分析表”； (3)你认为在这次体测中，该班的全体男生和全体女生哪个表现得更好？说明理由． 根据众数做决策题型02 1．一家鞋店对上周某一品牌的销售情况统计如下表∶ 尺码（厘米） 22.5 23 23.5 24 24.5 销售量（双） 2 5 11 7 3 该店决定本周进鞋时多进些尺码为23.5厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是（    ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．标准差 2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）某鞋店在一周内销售了30双鞋，各种尺码的销售量如图： 尺码（） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销量（双） 3 4 5 11 3 3 1 该鞋店下一周进鞋最多的尺码应是______． 3．跨学科  为了让同学们了解自己的体育水平，初二（1）班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： 初二（1）班体育模拟测试成绩分析表 平均分 方差 中位数 众数 男生 1.99 8 7 女生 7.92 1.994 8 (1)这个班共有男生___________人，共有女生___________人； (2)补全初二（1）班体育模拟测试成绩分析表； (3)你认为在这次体育测试中，（1）班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并写出一条支持你的看法的理由． 4．（24-25九年级下·河南驻马店·联考）某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题）．专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图（1）、图（2）所示的统计图（尚不完整）． 分数/分 人数/人 2 4 5 6 6 8 7 8 8 12 9 2 表1 设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到如下表2： 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 第一次 6 7 第二次 8 9 表2 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)表2中________，________，________； (2)若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数； (3)从表2四个统计量中，至少选择两个说明本次专项安全教育活动的效果． 5．（2026·湖北襄阳·模拟）某校八年级学生在开展综合与实践活动时，为研究不同种植条件对玉米生长的影响，分别从试验田和对照田中各随机选取40株玉米测量其株高． 【数据整理】根据收集到的数据，将玉米株高h（单位：）分为A（），B（），C（），D（），E（）五组，制成如下频数分布表． 组别类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 【数据描述】根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．    (1)补全试验田频数直方图，扇形图中对照田D组圆心角的度数为________； (2)已知玉米株高h满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（写出一条信息即可） 【数据分析】对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 51 对照田 52 52 (3)根据（2）中“长势良好”的标准及以上信息，评估试验田的玉米生长情况． (4)若有一株玉米的高度为，属于该类型田块的中上游高度，请你判断该株玉米出自试验田还是对照田，并说明理由． 求平均数题型03 1．（25-26九年级上·江苏江阴·期中）一组数据：3，4，4，6，8．这组数据的平均数是（） A．3 B．4 C．5 D．6 2．小明为了解本班同学一周课外书的阅读量，随机抽取班上20名同学进行调查，调查结果如下表，那么这20名同学该周课外书阅读量的平均数是（    ） 阅读量（本/周） 0 1 2 3 4 人数 2 5 4 5 4 A．2本 B．2.2本 C．3本 D．3.2本 3．在某次体育抽测中，A，B两所学校1分钟跳绳个数的统计数据如下表： 男生平均数/个 女生平均数/个 全校学生平均数/个 A学校 189 183 186.8 B学校 190 184 187 从表中数据可以发现，B学校男、女生1分钟跳绳平均数均比A学校多，但全校1分钟跳绳平均数反而比A学校少，对这种现象下列分析正确的是（    ） A．A学校总人数比B学校多 B．A学校男生人数比例比B学校高 C．A学校男生人数比B学校多 D．A学校女生人数多于男生 4．，，，，五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，，，，五位同学报出来的数恰好分别是，，，，，则同学心里想的那个数是__________________． 5．（2025·山东威海·一模）为有效解决近视和肥胖等青少年健康问题，2025年1月我市发布了《关于优化全市义务教育阶段学生课间活动时间的指导意见》，学校需确保每日综合体育活动时间不低于2小时，课间活动时长统一调整为15分钟．某校想了解政策实行前后学生的近视率，随机从六、七年级抽查了40名学生1月份和4月份的视力情况．其中，1月份视力情况如表1，4月份视力情况如图1和图2（尚不完整）． 表1 视力 人数/人 4.5 4 4.6 10 4.7 12 4.8 8 4.9 4 5.0 2 设定视力4.9及以上为视力为良好，分析两次视力结果得到表2． 表2 平均数 众数 中位数 良好率 第一次 4.71 4.7 15% 第二次 4.8 4.8 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)将图2中的统计图补充完整，并直接写出，，的值； (2)若全校六、七年级学生以1250人计算，估计政策实行后视力达到良好的学生人数： (3)从多角度分析本次政策实行的效果． 利用平均数做决策题型04 1．河水的平均深度为2.5米，一个身高1.5米但不会游泳的人下水后（   ） A．肯定会淹死 B．不一定会淹死 C．淹不死 D．以上答案都不对 2．在一次捐款活动中，某学习小组共有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，据此可知，下列说法错误的是（    ） A．小王的捐款数不可能最少 B．小王的捐款数可能最多 C．将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数可能排在第12位 D．将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数一定比第7名多 3．今年某果园随机从甲、乙两个品种的苹果树中各选了5棵，每棵产量（单位：千克）如表所示： 1 2 3 4 5 甲 23 19 21 22 27 乙 18 26 20 23 28 明年准备从这两个品种中选出一种产量较高的苹果树进行种植，则应选的品种是__________． 4．某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下： 候选人 百分制 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 甲 85 92 乙 91 85 丙 80 90 (1)如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则哪位候选人将被录取？为什么？ (2)如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6：4的权计算他们赋权后各自的平均成绩，那么谁将被录取？ 5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）甲、乙两台机器同时生产一种零件．在10天中，甲、乙两台机器每天生产出相同数量的零件，其中两台机器生产优等品零件的数量及天数如下表： 优等品（单位：个） 10 11 12 13 14 甲（单位：天） 2 2 2 2 2 乙（单位：天） 1 3 3 1 2 (1)分别计算甲、乙两台机器生产优等品零件的平均数和方差； (2)如果只选择一台机器生产此零件，请选择适当的统计量进行分析，判断应选择哪台机器？ 求加权平均数题型05 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）某市青年教师赛课，各项成绩均按百分制计．阿雨老师的数学设计得分为90分，讲课成绩为85分．若总成绩按教学设计得分占，讲课成绩占来计算，则阿雨老师的总成绩为（   ） A．85分 B．86分 C．87分 D．88分 2．现有甲、乙两种糖果的价格与质量如下表： 种类 甲 乙 价格/（元/kg） 30 20 质量/kg 2 3 将上表中的甲、乙两种糖果混合成什锦糖果．若商家用加权平均数来确定什锦糖果的价格，则这5kg什锦糖果的价格为________元/kg． 3．某校九年级学生某科目学期总评成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期总评成绩80分以上（含80分），则评定为“优秀”，下表是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王 60 75 _______ 若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：2：7的权重来确定学期总评成绩． （1）请计算小张的学期总评成绩为多少分？ （2）小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？ 4．我省某企业生产甲、乙两款祁门红茶，为了解两款红茶的质量，分别请消费者和专业机构进行测评．随机抽取n名消费者同时对两款红茶评分 ，并将所得数据进行分组整理和分析，下面给出了甲款红茶分数的频数分布直方图和频数分布扇形图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)n的值为 ，甲款红茶分数频数分布扇形图中a的值为 ， (2)补全甲款红茶分数频数分布直方图； (3)这n名消费者对甲款红茶评分的平均分为86分，对乙款红茶评分的平均分为88分，专业机构对甲款红茶的评分为91分，对乙款红茶的评分为89分，若将消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩，那么哪款红茶的最终成绩更高？请通过计算说明理由． 5．当代育种研究中，基因编辑是最重要的前沿技术之一，近年来我国农学领域基因编辑研究取得具有国际影响的成果，为了解该甜玉米种子的相关情况，用10块试验田进行试验，号为抗干旱试验田，得到各试验田每公顷的产量（单位：t） 试验田编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每公顷产量（单位：t） 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4 每公顷平均产量计算方案如下： 方案一：取各试验田每公顷产量的平均数，则该甜玉米种子每公顷平均产量为． 方案二：从各试验田每公顷产量中先去掉一个最高产量和一个最低产量，再取其余8块试验田每公顷产量的平均数，则该甜玉米种子每公顷平均产量为 回答下列问题： (1)小明认为“方案二”比“方案一”更合理，你 ___________小明的说法吗（填“同意”或“不同意”）？理由是 ___________； (2)小明认为该甜玉米种子既要突出抗虫害的优势又要体现抗旱性，因此设计了“方案三”：先计算1至4号试验田每公顷产量的平均产量，5至10号试验田每公顷产量的平均产量，再根据需求设置相应的权重（表示抗虫害的权重，表示抗干旱的权重，且），则该甜玉米种子每公顷平均产量为． Ⅰ．当按照“方案三”中时，求该甜玉米种子每公顷平均产量； Ⅱ．关于每公顷平均产量计算方案，下列说法正确的有 ___________． ①当时，该甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三“和“方案一”计算结果相同； ②当时，说明“方案三”更注重该甜玉米种子的抗虫害性； ③当时，该甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三”计算的结果比“方案一”和“方案二”都高． 利用加权平均数作决策题型06 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）某互联网公司正在招聘一名产品经理，经过初筛后，甲、乙、丙、丁四名候选人进入最终考核环节，考核分为三个部分： （1）笔试（占比）：考察产品知识、逻辑分析能力． （2）面试（占比）：考察沟通能力、团队协作、职业规划． （3）项目实战（占比）：要求候选人在2小时内完成一个简单的产品需求文档（），考察实操能力．四位候选人的各项成续如下表所示（满分100分）： 项目 考核成绩 甲 乙 丙 丁 笔试 87 90 88 86 面试 90 88 92 94 项目实战 83 92 85 90 请计算四位候选人的最终得分，按照公司要求；项目实战成绩必须达到85分以上（包括85分）才能进入录用名单，那么最终录用的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25八年级下·山东临沂·期末）某校举办了“安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动八（1）班陈老师从全班学生中经过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名学生参加比赛如表是班上两名同学参加各项活动的测试成绩（单位：分）： 选手 主题活动项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 乙 (1)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？ (2)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按，，的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？ 3．某校学生会要通过“演讲答辩”和“民主测评”两个环节从甲、乙两位同学中选出一位当会长，其中，，，，五位评委对演讲答辩得分进行评价，其结果如下表(单位：分)．另外还有位学生代表则参与民主测评进行投票，投票结果如条形统计图所示． 同时规定： ①“演讲答辩”得分按“去掉一个最高分和一个最低分后再算平均分”的方法确定； ②“民主测评”得分“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分． （1）分别求出甲、乙两位同学的演讲答辩得分； （2）若“演讲答辩”和“民主测评”的得分分别占和计算两位同学的“综合得分”，并取综合得分高的同学当选学生会会长，问是哪位同学当选学生会会长？并说明理由． 4．为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足． 请根据所给信息，解答下列问题： 甲组20名学生竞赛成绩统计表            成绩（分） 70 80 90 100 人数 3 a b 5 （1）求统计表中a，b的值； （2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果； （3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由． 求方差题型07 1．已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．众数为2 2．九年级（1）班共有40名学生，体育课上老师统计全班一分钟跳绳的个数，由于嘉琪没有参加此次集体测试，因此计算其他39名学生一分钟跳绳的平均个数为108个，方差为20．后来嘉琪进行了补测，成绩为108个，关于九年级（1）班40名学生的一分钟跳绳个数，下列说法正确的是（    ） A．平均个数不变，方差变小 B．平均个数变小，方差不变 C．平均个数变大，方差变大 D．平均个数不变，方差不变 3．数据，0，1，2的方差是______． 4．甲市和乙市6月某五天的最高气温如表所示： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲市 乙市 已知甲市这五天最高气温的平均数是37℃，方差是5.2．请计算乙市这五天最高气温的方差，并判断哪个市这五天的最高气温波动较大． 5．已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是p，方差是q.试证明：数据ax1＋b，ax2＋b，ax3＋b，…，axn＋b的平均数是ap＋b，方差是a2q. 根据方差判断稳定性题型08 1．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示: 甲 乙 丙 丁 平均数/环 9.7 9.5 9.5 9.7 方差/环2 5.1 4.7 4.5 4.5    请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是(    ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．某体育老师为了解九年级男生篮球运球绕杆的训练效果，随机从甲、乙、丙、丁四个训练小组中各抽取20名男生进行模拟测试．各组的平均用时（秒）及方差如下表所示： 小组 甲 乙 丙 丁 平均用时 13.2 13.2 12.8 12.8 方差 2.9 3.0 2.6 调查显示，20名丙组男生的测试成绩各不相同，且丙组的平均用时更短、发挥也更稳定，则的值可能是（   ） A．0 B．2.5 C．3.8 D．2.9 3．八年级(1)班甲、乙两个小组的10名学生进行飞镖训练，某次训练成绩如下: 甲组成绩(环) 8 7 8 8 9 乙组成绩(环) 9 8 7 9 7 由上表可知，甲、乙两组成绩更稳定的是________组. 4．小红参加校园健美操比赛，初赛结束后五名评委对小红的评分如下表所示，比赛规定要去掉一个最高分和最低分为选手的最终得分，则去掉最高分和最低分后，小红成绩的方差________．（填“增大”“减小”或“不变”） 评委 1 2 3 4 5 小红得分 97 98 95 95 92 5．如图是某市连续5天的天气情况． （1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大； （2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论． 利用方差作决策题型09 1．要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．（2026·江苏泰州·一模）小华五次“50米跑”成绩的平均数与方差分别为（单位：s）和（单位：），为了提高成绩，小华进行了训练，两个月后小华再次进行了五次“50米跑”测试，发现比原来更快更稳定了，则训练后成绩的平均数（单位：s）与方差（单位：）可能是（    ） A．， B．， C．，1.4 D．，1.4 3．“绿水青山就是金山银山”为了响应党中央对环境保护的号召，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人去参加南宁市举办的环保演讲比赛经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是，方差分别是，，．你认为____参加决赛比较合适． 4．（24-25八年级下·陕西韩城·质检）在一次实验中，某团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了5块条件相同的试验田，同时播种并核定单位面积产量，结果甲、乙两种水稻的平均单位面积产量（单位：斤/平方米）相同，甲种水稻单位面积产量的方差为，乙种水稻的单位面积产量依次为4、5、6、5、5，请计算并说明哪种水稻的单位面积产量较稳定，适合推广？ 5．2019年4月，西大附中初2019级中招体育考试已经顺利结束，在所有师生共同努力下，取得了历史性的好成绩．初二小明为了解初三哥哥姐姐们中招体育考试成绩的情况，采取抽样调查的方法，从年级各班随机调查了若干名同学的体考成绩，并将调查结果进行了整理，分成了5个小组，根据体考成绩制定出部分频数分布表和部分频数分布直方图 体育成绩频数分布表 组别 成绩（x分） 频数 频率 A 35＜x≤38 1 B 38＜x≤41 0.05 C 41＜x≤44 D 44＜x≤47 6 E 47＜x≤50 （1）在这次考察中，共调查了　 　名学生；并请补全频数分布直方图； （2）被调查的学生中，有30人是满分50分，若西大附中初2019级全年级有1100多名学生，请估计该年级体考成绩满分的总人数约有多少名？ （3）初三哥哥姐姐们体测取得的辉煌成绩让初二的学弟学妹们信心大增，为了调动初二学子跳绳积极性，初二年级将举行1分钟跳绳比赛，每班推荐一人参赛，小明所在的班级李杰和陈亮两人均想报名参赛，为了公平选拔，班主任让小明统计了两人近10次的跳绳成绩（单位：个/分），如下： 李杰成绩（个/分） 170 175 180 190 195 次数 l 1 3 2 3 陈亮成绩（个/分） 165 180 190 195 200 次数 2 2 3 2 1 则李杰10次成绩的中位数是　 　；陈亮10次成绩的众数是　 　，请你通过计算两位同学的平均成绩和方差帮班主任选一名同学参赛，并说明理由．    求标准差题型10 1．一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，�有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．�采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 标准差 甲苗圃           1.8 0.2 乙苗圃           1.8 0.6 丙苗圃           2.0 0.6 丁苗圃           2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购（   ） A．甲苗圃的树苗 B．乙苗圃的树苗; C．丙苗圃的树苗 D．丁苗圃的树苗 2．已知四个数据的方差是，那么四个数据的标准差是______． 3．已知一组数据，其平均数为1，方差为，则另一组数据的平均数为________，标准差为________． 4．已知有一组不少于5个连续正整数组成的数据，从中随机抽取一个数字，是素数的概率为，则该组数据的标准差为________． 5．一次期中考试中，五位同学的数学、英语成绩（单位：分）等有关信息如下表所示． A B C D E 平均分 标准差 数学 71 72 69 68 70 英语 88 82 94 85 76 85 （1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差，并将上表补充完整； （2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是标准分=（个人成绩-平均成绩）÷成绩的标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？ 求离差平方和题型11 1．数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26八年级下·浙江金华·期末）小明测得某田地小麦苗的苗高数据共10个，且这组数据的方差为3，则其离差平方和为（     ） A．0.3 B．3 C． D．30 3．（25-26八年级下·山东临沂·期末）将一组数据8，10，10，12，19，21按第4个间隔分为两组时，组内离差平方和为__________． 4．已知一组数据7，9，11，13，若将其分为两组，使得每组数据的离差平方和之和最小，则分组方式为_____________________，此时最小的离差平方和之和为________． 5．（25-26八年级·安徽马鞍山·期末）劳动课已成为中小学的一门独立课程，某中学尝试将“共建花圃”引入到教育教学中，某日，学校从七、八年级班级管理的花圃中，分别随机抽取了20个花圃，对管理情况进行了评分（满分100分，数据分组为A组：，B组：，C组：，D组：，x表示评分的分数），现将评分情况绘制成了不完整的统计图： (1)补全图①中的条形统计图，图②中C组所对应扇形的圆心角度数为___________； (2)若八年级B组得分情况为90，88，87，87，86，84． ①若把八年级B组得分按从小到大排列，则与的组内离差平方和为___________分； ②八年级20个花圃得分的第二四分位数为___________分； (3)若得分超过90分为“五星花圃”，七、八年级各有200个花圃，估计七、八年级的花圃中“五星花圃”共有多少个？ 利用样本评估总体题型12 1．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 2．某市初中毕业生进行了一项技能测试，有4万名考生的得分都是不小于70的两位数，从中随机抽取4000个数据，统计如下表： 数据x 个数 800 2000 1200 平均数 78 85 92 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为______． 3．为提高居民的节水意识，向阳小区开展了“建设节水型社区，保障用水安全”为主题的节水宣传活动，小莹同学积极参与小区的宣传活动，并对小区300户家庭用水情况进行了抽样调查，他在300户家庭中，随机调查了50户家庭5月份的用水量情况，结果如图所示． (1)试估计该小区5月份用水量不高于的户数占小区总户数的百分比； (2)把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～6的中间值为3）来替代，估计该小区5月份的用水量． 4．奶牛场的技术人员要进行甲、乙两种新的饲养和挤奶技术验证．为此，随机选择了部分奶牛，分成A、B两组进行为期30天对比试验．A组采用甲种新技术，B组采用乙种新技术，获取每头奶牛试验前与试验后平均每天的产奶量，从而得到试验前后每头奶牛平均每天产奶的提高量（单位：L），并把数据整理成下表（表中数据包含左端数据不包括右端数据）： 组别提高量（升） 0～0.4 0.4～0.8 0.8～1.2 1.2～1.6 1.6～2.0 A组（头） 6 10 15 7 2 B组（头） 2 6 14 13 5 （1）本次研究中抽取的奶牛数是 　　头． （2）通过数据分析，判断A，B两组奶牛中哪一组产量的提升幅度大？ （3）如果该奶牛场要在全场200头奶牛中推广一种新技术，你认为应该推广哪种新技术？估计该技术可以使该奶牛场平均每天牛奶总产量提高多少升，并说明理由． 5．工人师傅用车床加工一种直径为20mm的零件，从某天加工的零件中随机抽取了10件，测得直径（单位：mm）如下：20.1，19.9，20.3，20.2，19.8，19.7，19.9，20.3，20.0，19.8． (1)计算样本平均数和样本方差． (2)试估计总体平均数和总体方差． (3)规定当加工零件的方差不超过时，车床生产情况为正常．请判断这台车床的生产情况是否正常． 已知众数求未知数据的值题型01 1．已知一组数据6，8，10，6，8，12，14，x，它的众数是8，则x的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 2．已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．年体育中考在即，小杭同学将自己近7次体育模拟测试成绩（单位：分）统计如表，第次测试的成绩为分，若这8次成绩的众数不止一个，则的值可能为（　　） 次数 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 成绩 A． B． C． D．或 4．五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为______________. 5．给你一组数据：1，2，3，4，5，x． （1）如果该组数据的平均数是100，求x的值； （2）如果该组数据的平均数等于众数x，求x的值． 根据已知数据求未知数据的值题型02 1．（25-26九年级上·江苏连云港·质检）一组数据：4，5，5，6，a的平均数为5，则a的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．若一组数据的平均数为，则数据总和为，则这组数据的个数为_______． 3．某班一次考试平均分数是70分，其中的人及格，他们的平均分是80分，则该班不及格的人的平均分是___________分． 4．（24-25九年级上·北京·期末）一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 5．5名同学参加市级作文比赛，老师只公布了其中4人的成绩，分别为88分、80分、75分、82分，没有公布小红的成绩，但告诉大家5个人的平均成绩为84分．小红得了多少分？ 利用已知平均数求相关数据的平均数题型03 1．x1、x2、……、x10的平均数为m，x11、x12、……、x50的平均数为n，则x1、x2、……、x50的平均数为（    ） A．m+n B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 3．数据，，，，，，的平均数为，则数据，，，，，，的平均数为（ ） A． B． C． D． 4．五个数的平均数是，如果把其中一个数改为，则这五个数的平均数变为，改动前这个数是___________． 5．某中学600名学生参加了“让青春飞扬”知识竞赛．竞赛组委会从中随机抽取了部分学生的成绩（得分都是整数，最高分98分）作为样本进行统计分析，并绘制成抽样分析分类统计表和频率分布直方图（如表和图，部分数据缺失）．试根据所提供的信息解答下列问题： 表1：抽样分析分类统计表 成绩范围 x＜60 60≤x＜80 x≥80 成绩等第 不合格 合格 优良 频率 0.5 平均成绩 55 a b (1)本次随机抽样调查的样本容量是_______； (2)试估计全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数； (3)若本次随机抽样的样本平均数为79，又表1中b比a大15，试求出a、b的值． 已知加权平均数求未知数据的值题型04 1．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　） A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元 2．某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知某班共有学生50人，其中男生30人．若该班学生的平均身高是，女生的平均身高是，则该班男生的平均身高是，这里的__________． 4．某校招聘教师，规定综合成绩由笔试成绩和面试成绩构成，其中笔试占60%，面试占40%，有一名应聘者的综合成绩为78分，笔试成绩是80分，则面试成绩为_______分． 5．在某校园科技节中，学生们需要完成三个项目：科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告．每个项目的成绩都会对学生的最终评价产生影响．只有当学生的综合评价得分（满分100分）达到85分及以上时，才能被授予“科技小达人”的称号．现在我们关注两名学生小玉和小榕，她们在科技节中的部分项目成绩已经公布． 姓名 科技小制作 科技知识竞赛 科技创新报告 小玉 92 82 84 小榕 82 90 (1)如果综合评价得分是科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告三项成绩的平均分，请为小玉计算出这一得分，并判断她是否符合“科技小达人”的标准； (2)学校考虑将科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告的权重设为计算综合评价得分．请确定小榕在科技创新报告中至少需要获得多少分才能达到“科技小达人”的标准．（分数需为整数） 出错情况下的平均数问题题型05 1．某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 2．某同学使用计算器求15个数据的平均数时，错将一个数据15输成105，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　） A．6.5 B．6 C．0.5 D．－6 3．长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 4．小颖使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，另一个数据65输入56，由此求得的平均数为61，求实际平均数． 5．为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 已知方差求未知数据的值题型06 1．已知某组数据方差为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（   ） A．4 B．3 C． D． 3．如果一组数据2，3，4，5，的方差与另一组数据101，102，103，104，105的方差相等，那么的值（  ） A．6 B．1 C．6或1 D．无法确定 4．一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于________． 5．已知一组数据的方差s2＝[（6﹣10）2+（9﹣10）2+（a﹣10）2+（11﹣10）2+（b﹣10）2]＝6.8，则a2+b2的值为_____． 离差平方和的应用题型07 1．小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（   ） A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5 2．（25-26八年级上·陕西西安·联考）若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（   ） A． B． C． D． 3．下表是10个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，计算按第4个间隔分组时的组间离差平方和．（提示：总离差平方和组内离差平方和组间离差平方和，总离差平方和为875.0） 4．观察下面三组数据的频数分布直方图的特征，思考哪组数据适合用组内离差平方和最小的原则进行分组．请说明理由． 5．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）大连某饮品企业为优化生产管理、提升产品品质；针对旗下灌装生产线与合作代工厂开展数据统计分析，请结合所学知识解答下列问题： (1)甲、乙两条自动灌装线均灌装标准含量为的瓶装饮料，现从两条生产线上各随机抽取瓶产品，测量实际含量，结果（单位：）记录如下： 甲生产线： 乙生产线： 根据行业标准： 若单瓶饮料的含量误差（实际含量-标准含量）的绝对值超过，则判定该条灌装线的灌装质量不合格. 甲组误差/mL 乙组误差/mL ①请判断甲、乙两条灌装线的灌装质量是否合格，并说明理由； ②计算甲、乙灌装线被抽取的饮料实际含量的平均数和方差，分析哪条灌装线的灌装质量更好； (2)该企业有家合作代工厂，去年的年产值统计如表： 企业 产值/亿元 企业计划将这家代工厂按年产值的组内离差平方和最小的原则，把这家代工厂分为两组．请写出符合要求的分组方案． 小明的思路如下：将表中的数据按从小到大排序，可得，，，，，，将它们分成两组共有种分法，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和，结果如下表所示： 分组间隔 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 观察表中最后一列的组内离差平方和可以发现，当第 个间隔分组时，组内离差平方和达到最小值．因此，按组内离差平方和最小的原则，分组方案为 ． 请补全小明同学的解题过程． 平均数与方差·创新性问题题型 1．甲、乙两个生物兴趣小组在探究“光照对绿豆种子发芽影响”的活动中，分别安排相同组数的实验，每组放置10粒种子，在相同的条件下，经过一段时间后，记录每组种子发芽的粒数，并把结果制成尚不完整的扇形统计图（图1）和完整的条形统计图（图2）． (1)求甲兴趣小组种子发芽为“8粒”的有几组； (2)甲兴趣小组种子发芽粒数的平均数，方差，求乙兴趣小组种子发芽粒数的平均数和方差，并判断哪个小组种子发芽情况较好些； (3)甲兴趣小组发现把一组种子发芽粒数记错了，若把正确的甲兴趣小组种子发芽粒数与乙兴趣小组种子发芽粒数合并得到一组新数据，这组数据的众数有3个，求甲兴趣小组的正确样本数据． 2．（2025·福建莆田·二模）某大型超市对4种畅销商品的促销策略进行调整，据统计调整前后各商品的日均销售量不变，有关数据如表： 商品 A B C D 原售价（元） 8 8 12 16 现售价（元） 6 6 12 20 日均销售量（件） 100 100 200 300 (1)超市声称调整前后这4种商品的平均售价不变．请问超市是怎样计算的？ (2)然而部分消费者认为调整后这4种商品的平均售价增加了．请问消费者是怎样计算的？你认为超市和消费者哪一个的说法较能反映整体实际情况？ 3．有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（），③．该小组成员分别得到一个结论： 甲：取，5个正整数不满足上述3个条件； 乙：取，5个正整数满足上述3个条件； 丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件； 丁：5个正整数，，，，满足上述3个条件，则（k为正整数）； 戊：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是（p为正整数）； 以上结论正确的个数有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 4．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n为整数）的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （Ⅰ）假设花店在这100天内每天购进16枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数和方差； （Ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，请从日利润的平均数的角度说明理由． 5．【平均数】李老师在黑板上写上若干个从1开始的连续自然数1，2，3，……，后来擦掉其中的一个，剩下的数的平均数是，则擦掉的这个自然数是________． 6．数据观念某年级140名学生的体重如下（单位：kg）： 49 48 43 52 62 74 43 51 46 47 51 45 50 46 52 54 50 58 55 58 48 48 53 49 56 55 56 43 54 68 47 61 51 44 41 49 53 52 49 52 62 58 52 54 50 47 66 46 47 44 72 55 43 60 51 41 48 49 43 52 63 44 41 47 48 49 55 53 58 50 50 43 60 61 52 50 42 44 46 67 47 66 46 47 69 48 43 50 50 43 46 47 44 42 55 56 55 56 43 54 49 56 55 56 65 43 60 51 41 48 43 52 62 46 52 54 50 58 58 52 49 48 43 50 50 47 44 42 55 63 60 48 43 50 50 43 49 53 52 49 用计算机计算出总体的平均数约为51.23，方差约为47.28． (1)用简单随机抽样的方法，从上述数据中抽取容量为10的两个样本，并分别计算这两个样本的平均数、方差，所得的结果一致吗？与总体的平均数、方差一致吗？如果抽取容量为20的样本呢？ (2)通过以上的抽样和计算，你有什么发现？请与同学交流 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 6.1 平均数与方差 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求众数 题型02 根据众数做决策 题型03 求平均数 题型04 利用平均数做决策 题型05 求加权平均数 题型06 利用加权平均数作决策 题型07 求方差 题型08 根据方差判断稳定性 题型09 利用方差作决策 题型10 求标准差 题型11 求离差平方和 题型12 利用样本评估总体 B组 能力进阶 题型01 已知众数求未知数据的值 题型02 根据已知数据求未知数据的值 题型03 利用已知平均数求相关数据的平均数 题型04 已知加权平均数求未知数据的值 题型05 出错情况下的平均数问题 题型06 已知方差求未知数据的值 题型07 离差平方和的应用 C组 思维拔高 题型 平均数与方差·创新性问题 求众数题型01 1．某校篮球队12名同学的身高如下表： 身高() 180 186 188 192 195 人数 1 2 5 3 1 则该校篮球队12名同学身高的众数是(单位：)(        ) A．192 B．188 C．186 D．180 【答案】B 【分析】本题考查了众数的概念．在一组数据中，出现次数最多的数是这组数据的众数，据此求解即可． 【详解】解：在一组数据中，出现次数最多的数是这组数据的众数，在这组数据中，出现了5次，出现次数最多，因此这组数据的众数是， 故选B． 2．数据4，3，1和的平均数是3，则这组数据的众数是__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平均数，众数， 先根据平均数的定义求出x，再根据众数的定义解答即可. 【详解】解：∵4,3,1和x的平均数为3， ∴， 解得， 所以这组数据4,3,1,4的众数是4. 故答案为：4. 3．若一组数据的方差为，则这组数据的众数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了方差、众数，熟练掌握方差公式是解题的关键．根据方差公式中的系数，确定每个数据出现的次数，从而得到原数据为：，，，，，，，再根据众数的定义即可解答． 【详解】解：由方差可知， 数据点出现次，出现次，出现次，出现次， 因此原数据为：，，，，，，， 其中出现次，次数最多，则众数为， 故答案为：． 4．某校进行消防安全知识测试，测试成绩只分为A，B，C，D四个等级，等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名学生的成绩进行整理，得到了如图所示信息． (1)求此次测试中被抽取的学生成绩的众数和平均数； (2)为了使平均数更准确一些，又抽取了10名学生的成绩，其中得9分的有6名，得8分的有2名，还有两名学生M和N的成绩被墨水污染（都不是8分和9分），且学生M的成绩高于学生N的成绩．求M和N两名学生的成绩，并与（1）相比，判断众数是否发生变化． 【答案】(1)众数为7分；平均数为8.1分 (2)不变 【分析】本题考查了众数，平均数的求解，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据众数，平均数的定义进行求解即可； （2）先求出剩下的2名成绩的平均数，从而得出两名学生的成绩，再根据众数定义进行求解即可． 【详解】（1）由条形统计图可知，被抽取的学生的成绩为7分的有8人，人数最多，所以众数为7分； 被抽取的学生的成绩的平均数为（分）． （2）因为学生M和N的成绩被墨水污染（都不是8分和9分），且学生M的成绩高于学生N的成绩， 所以学生M和学生N的成绩分别为10分和7分，所以易知新数据中成绩为7分的人数最多，所以新数据的众数为7分． 因为（1）中的众数为7分，所以众数没有发生变化． 5．（2025·河南驻马店·一模）八年级（）班的体育老师对全班名同学进行了一次体测，成绩（得分均为整数）满分为分，成绩达到分及以上为合格，该班的体育委员根据这次体测成绩制作了统计图和分析表如下： 八年级（）班全体学生体测成绩分析表 平均分分 中位数分 众数分 合格率 男生 女生 已知该班男生中不合格的仅有人，女生得分的人数为． (1)该班共有女生______人； (2)补全“八年级（）班全体学生体测成绩分析表”； (3)你认为在这次体测中，该班的全体男生和全体女生哪个表现得更好？说明理由． 【答案】(1)； (2)男生合格率；女生众数为； (3)全体女生表现得更好， 理由：女生的合格率比男生的合格率高一些，女生得分的众数比男生高一些（答案不唯一）． 【分析】本题考查了扇形统计图，众数、中位数的意义及求法，从统计图表中获取数据及数量之间的关系是解题的关键． （）根据扇形统计图可以得到这个班的女生人数； （）根据统计图中的数据可以求得男生人数，则该班男生的合格率为，由扇形统计图可知该班女生得分的人数最多，求得众数，进而补全“八年级（）班全体学生体测成绩分析表”； （）根据表格中的数据，本题答案不唯一，说的只要合理即可． 【详解】（1）解：∵女生得分的人数为，所占百分比为， ∴该班共有女生（人）， 故答案为：； （2）解：由（）得：该班共有女生人， ∴男生有（人）， ∵该班男生中不合格的仅有人， ∴该班男生的合格率为， 由扇形统计图可知：该班女生得分的人数最多， ∴女生众数为， 补全如下： 八年级（）班全体学生体测成绩分析表 平均分分 中位数分 众数分 合格率 男生 女生 （3）略 根据众数做决策题型02 1．一家鞋店对上周某一品牌的销售情况统计如下表∶ 尺码（厘米） 22.5 23 23.5 24 24.5 销售量（双） 2 5 11 7 3 该店决定本周进鞋时多进些尺码为23.5厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是（    ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．标准差 【答案】A 【分析】本题考查利用众数作决策，根据23.5出现的次数最多，得到23.5为众数，判断即可． 【详解】解：由题意，得：23.5出现的次数最多，为众数， 故影响鞋店决策的统计量是众数； 故选A． 2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）某鞋店在一周内销售了30双鞋，各种尺码的销售量如图： 尺码（） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销量（双） 3 4 5 11 3 3 1 该鞋店下一周进鞋最多的尺码应是______． 【答案】23.5 【分析】本题考查众数的意义，熟练掌握众数的求法是解题关键．根据众数的意义解答即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 【详解】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，23.5出现的次数最多， ∴众数是． 故答案为：23.5． 3．跨学科  为了让同学们了解自己的体育水平，初二（1）班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： 初二（1）班体育模拟测试成绩分析表 平均分 方差 中位数 众数 男生 1.99 8 7 女生 7.92 1.994 8 (1)这个班共有男生___________人，共有女生___________人； (2)补全初二（1）班体育模拟测试成绩分析表； (3)你认为在这次体育测试中，（1）班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并写出一条支持你的看法的理由． 【答案】(1)20，25 (2)见解析 (3)女生队表现更突出，理由： 从众数看，女生队的众数高于男生队的众数， 所以女生队表现更突出．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查平均数、众数及条形图、扇形图，根据统计图得出解题所需数据，并熟练掌握平均数和中位数的定义是解题的关键． （1）由条形图可得男生总人数，总人数减去男生人数可得女生人数； （2）根据平均数和众数定义可得； （3）可根据众数比较得出答案． 【详解】（1）解：这个班男生人数：（人） 女生人数：（人）； （2）男生的平均分为， 女生的众数为8； （3）略 4．（24-25九年级下·河南驻马店·联考）某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题）．专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图（1）、图（2）所示的统计图（尚不完整）． 分数/分 人数/人 2 4 5 6 6 8 7 8 8 12 9 2 表1 设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到如下表2： 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 第一次 6 7 第二次 8 9 表2 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)表2中________，________，________； (2)若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数； (3)从表2四个统计量中，至少选择两个说明本次专项安全教育活动的效果． 【答案】(1)8；8.55； (2)1050人 (3) 从平均数看，第一次测试平均数为6分，第二次测试平均数为8.55，平均数提高了，说明学生整体对安全知识的掌握程度有所提升； 从中位数看，第一次测试中位数为7分，第二次测试中位数为9分，中位数提高，说明大部分学生的成绩有所提高； 从合格率看，第一次测试合格率为，第二次测试合格率为，合格率提高，说明达到合格水平的学生人数增多． 综合以上统计量，说明本次专项安全教育活动效果显著． 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，众数、中位数的定义，用样本估计总体等知识． （1）根据众数的定义求出a的值，然后利用加权平均数公式计算b的值，再根据合格人数求出合格率c即可； （2）用总人数乘以专项安全教育活动后的合格率即可； （3）可以从平均数、中位数以及合格率这几个角度进行分析． 【详解】（1）解：第一次测试中，8分出现的次数最多，所以． 第二次测试得8分的人数为人，得7分的人数为人， 平均数． 第二次测试合格人数为人，所以合格率 故答案为：8；8.55；87.5%． （2）解：全校学生1200人，专项安全教育活动后合格水平的学生人数约为人． （3）略 5．（2026·湖北襄阳·模拟）某校八年级学生在开展综合与实践活动时，为研究不同种植条件对玉米生长的影响，分别从试验田和对照田中各随机选取40株玉米测量其株高． 【数据整理】根据收集到的数据，将玉米株高h（单位：）分为A（），B（），C（），D（），E（）五组，制成如下频数分布表． 组别类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 【数据描述】根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．    (1)补全试验田频数直方图，扇形图中对照田D组圆心角的度数为________； (2)已知玉米株高h满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（写出一条信息即可） 【数据分析】对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 51 对照田 52 52 (3)根据（2）中“长势良好”的标准及以上信息，评估试验田的玉米生长情况． (4)若有一株玉米的高度为，属于该类型田块的中上游高度，请你判断该株玉米出自试验田还是对照田，并说明理由． 【答案】(1)见解析， (2)试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田（答案不唯一） (3)试验田长势好于对照田 (4)该株玉米出自试验田，理由见解析 【分析】（1）根据分布表补全直方图，利用360度乘以D组所占的百分比，求出圆心角的度数即可； （2）求出试验田和对照田中长势良好的玉米株数所占的比例，进行分析即可； （3）根据中位数、众数、平均数，方差分析即可； （4）利用中位数进行说明即可． 【详解】（1）解：补全直方图，如图∶ 扇形图中对照田D组圆心角的度数为； （2）解：试验田中长势良好的玉米株数为，占比； 对照田中长势良好的玉米株数占比为； 所以试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田； （3）解：从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内； 而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中． 综合以上信息，试验田长势好于对照田． （4）解：该株玉米出自试验田．该株玉米高度为大于试验田的株高中位数，说明该株玉米高度在试验田处于的中上游高度． 求平均数题型03 1．（25-26九年级上·江苏江阴·期中）一组数据：3，4，4，6，8．这组数据的平均数是（） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了平均数，掌握平均数的求法是解题的关键． 计算一组数据的平均数，只需将所有数据相加后除以数据的个数即可． 【详解】∵数据总和为，数据个数为5， ∴平均数为． 故选：C． 2．小明为了解本班同学一周课外书的阅读量，随机抽取班上20名同学进行调查，调查结果如下表，那么这20名同学该周课外书阅读量的平均数是（    ） 阅读量（本/周） 0 1 2 3 4 人数 2 5 4 5 4 A．2本 B．2.2本 C．3本 D．3.2本 【答案】B 【分析】根据表格及平均数可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 这20名同学该周课外书阅读量的平均数为（本）； 故选：B． 【点睛】本题主要考查平均数，熟练掌握平均数的求法是解题的关键． 3．在某次体育抽测中，A，B两所学校1分钟跳绳个数的统计数据如下表： 男生平均数/个 女生平均数/个 全校学生平均数/个 A学校 189 183 186.8 B学校 190 184 187 从表中数据可以发现，B学校男、女生1分钟跳绳平均数均比A学校多，但全校1分钟跳绳平均数反而比A学校少，对这种现象下列分析正确的是（    ） A．A学校总人数比B学校多 B．A学校男生人数比例比B学校高 C．A学校男生人数比B学校多 D．A学校女生人数多于男生 【答案】B 【分析】本题考查平均数的概念以及加权平均数的原理，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 先分别计算、两所学校男生和女生的人数比例，再比较两所学校男生人数比例的高低即可判断． 【详解】设学校男生比例为 ，女生比例为 ， ∵ 全校平均数 = 男生平均数 × 男生比例 + 女生平均数 × 女生比例， ∴ 对于学校： 对于学校，设男生比例为 ： ∵ ， ∴ 学校男生比例比学校高，故选项B正确． 选项A、C、D均无法从数据中直接推出或与计算结果不符． 故答案为：B． 4．，，，，五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，，，，五位同学报出来的数恰好分别是，，，，，则同学心里想的那个数是__________________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．这道题题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且多设几个未数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决． 设报的人心里想的数是，因为报与报的两个人报的平均数是，则报的人心里想的数应是，以此类推，最后建立方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示 设报的人心里想的数是，因为报与报的两个人报的平均数是，则报的人心里想的数应是，以此类推： 于是报的人心里想的数是， 报的人心里想的数是， 报的人心里想的数是， 报的人心里想的数是， 于是得 解得： 所以同学报的人心里想的数应是∶ ． 故答案为：． 5．（2025·山东威海·一模）为有效解决近视和肥胖等青少年健康问题，2025年1月我市发布了《关于优化全市义务教育阶段学生课间活动时间的指导意见》，学校需确保每日综合体育活动时间不低于2小时，课间活动时长统一调整为15分钟．某校想了解政策实行前后学生的近视率，随机从六、七年级抽查了40名学生1月份和4月份的视力情况．其中，1月份视力情况如表1，4月份视力情况如图1和图2（尚不完整）． 表1 视力 人数/人 4.5 4 4.6 10 4.7 12 4.8 8 4.9 4 5.0 2 设定视力4.9及以上为视力为良好，分析两次视力结果得到表2． 表2 平均数 众数 中位数 良好率 第一次 4.71 4.7 15% 第二次 4.8 4.8 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)将图2中的统计图补充完整，并直接写出，，的值； (2)若全校六、七年级学生以1250人计算，估计政策实行后视力达到良好的学生人数： (3)从多角度分析本次政策实行的效果． 【答案】(1)， 补全图2统计图如下： (2)政策实行后视力达到良好的学生人数约为人 (3) 解：根据表2可知：政策实行前平均视力为，政策实行后平均视力为； 政策实行前众数为，政策实行后众数为； 政策实行前中位数为，政策实行后中位数为； 政策实行前视力良好率为，政策实行后，视力良好率为； 综上所述，本次政策实行的效果很好． 【分析】本题考查了统计图的应用，平均数，众数，用样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据统计图数据求出的值，补全图2统计图即可； （2）用样本估计总体的方法计算即可； （3）根据表2数据分析即可． 【详解】（1）解：根据表1得视力为的人数最多，有人， 众数为； 由图1得视力为的人数为人， 视力为的人数为人 ； ； 补全图2统计图略 （2）解：（人）， 答：政策实行后视力达到良好的学生人数约为人； （3）略 利用平均数做决策题型04 1．河水的平均深度为2.5米，一个身高1.5米但不会游泳的人下水后（   ） A．肯定会淹死 B．不一定会淹死 C．淹不死 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据平均数的意义分析即可． 【详解】解：河水的平均深度为2.5米，并不意味着处处都是2.5米，浅的地方可能不足1.5米， 所以一个身高1.5米但不会游泳的人下水后不一定会淹死， 故选：B． 【点睛】本题考查平均数的意义，熟知平均数反映总体的一般水平是解题的关键． 2．在一次捐款活动中，某学习小组共有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，据此可知，下列说法错误的是（    ） A．小王的捐款数不可能最少 B．小王的捐款数可能最多 C．将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数可能排在第12位 D．将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数一定比第7名多 【答案】D 【分析】利用平均数的定义即可判断出：A一定正确，平均数一定大于等于最小的数；B有可能，其它12人的捐款数都少于平均数元，那么小王捐款数要比平均数多2元，此时小王最多；C也可能，当最后一名的捐款数远远低于其它人的捐款数时，平均数有可能比第12位低；D不一定，如果前七名每个人皆比平均数多2元，那么后五名每个人只需要比平均数少元即可，此时小王的捐款数和第7名相同．故选D． 【详解】因为小王的捐款数比他所在学习小组中13人捐款的平均数多2元，所以小王的捐款数不会是最少的，捐款数可能最多，也可能排在第12位.故选D. 【点睛】本题考查算术平均数，一般地，对于n个数x1,x2,……xn,我们把，叫做这个n数的算术平均数，算术平均容易受到极端值的影响，理解这一点很重要． 3．今年某果园随机从甲、乙两个品种的苹果树中各选了5棵，每棵产量（单位：千克）如表所示： 1 2 3 4 5 甲 23 19 21 22 27 乙 18 26 20 23 28 明年准备从这两个品种中选出一种产量较高的苹果树进行种植，则应选的品种是__________． 【答案】乙 【分析】分别两个品种的苹果树的产量的平均数，再比较，即可求解． 【详解】解：甲品种的苹果树的产量的平均数为 千克； 乙品种的苹果树的产量的平均数为 千克； ∵23＞22.4， ∴乙品种的苹果树的产量的平均数高于甲品种的苹果树的产量的平均数， ∴乙苹果树的产量较高． 故答案为：乙 【点睛】本题主要考查了求平均数，熟练掌握平均数等于数据的总和除以数量是解题的关键． 4．某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下： 候选人 百分制 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 甲 85 92 乙 91 85 丙 80 90 (1)如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则哪位候选人将被录取？为什么？ (2)如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6：4的权计算他们赋权后各自的平均成绩，那么谁将被录取？ 【答案】(1)；；；甲 (2)；；；乙 【分析】此题考查了平均数，关键是掌握加权平均数和算术平均数的计算公式． （1）根据平均数的计算公式分别计算出甲、乙、丙的平均数，再进行比较，即可得出答案； （2）根据题意先算出甲、乙、丙的加权平均数，再进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：甲的平均数是：（分）， 乙的平均数是：（分）， 丙的平均数是：（分）， ∵甲的平均成绩最高， ∴候选人甲将被录取． （2）解：根据题意得： 甲的平均成绩为：（分）， 乙的平均成绩为：（分）， 丙的平均成绩为：（分）， ∵乙的平均分数最高， ∴乙将被录取． 5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）甲、乙两台机器同时生产一种零件．在10天中，甲、乙两台机器每天生产出相同数量的零件，其中两台机器生产优等品零件的数量及天数如下表： 优等品（单位：个） 10 11 12 13 14 甲（单位：天） 2 2 2 2 2 乙（单位：天） 1 3 3 1 2 (1)分别计算甲、乙两台机器生产优等品零件的平均数和方差； (2)如果只选择一台机器生产此零件，请选择适当的统计量进行分析，判断应选择哪台机器？ 【答案】(1)甲机器优等品数量平均数为12个，方差为2；乙机器优等品数量平均数为12个，方差为1.6 (2)乙机器更稳定，应选乙机器 【分析】本题考查统计应用，涉及平均数和方差的意义及求法，将统计表中的数据代入求值，再分析作出决策即可得到答案，熟记平均数和方差的意义及求法公式是解决问题的关键． （1）由平均数和方差的计算公式，将统计表中的数据代入求解即可得到答案； （2）由（1）中计算的平均数和方差，结合平均数和方差的统计意义作出决策即可得到答案． 【详解】（1）解：（个） （个） 答：甲机器优等品数量平均数为12个，方差为2；乙机器优等品数量平均数为12个，方差为1.6； （2）解：由（1）可知，甲、乙优等品平均数相同，且， ∴乙机器更稳定，应选乙机器． 求加权平均数题型05 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）某市青年教师赛课，各项成绩均按百分制计．阿雨老师的数学设计得分为90分，讲课成绩为85分．若总成绩按教学设计得分占，讲课成绩占来计算，则阿雨老师的总成绩为（   ） A．85分 B．86分 C．87分 D．88分 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数，理解加权平均数的定义，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 根据加权平均数的计算方法，将教学设计得分和讲课得分分别乘以对应的权重比例，再相加求和． 【详解】解：根据题意可得，他的综合成绩是：（分）， 因此，阿雨老师的总成绩为分． 故选：C． 2．现有甲、乙两种糖果的价格与质量如下表： 种类 甲 乙 价格/（元/kg） 30 20 质量/kg 2 3 将上表中的甲、乙两种糖果混合成什锦糖果．若商家用加权平均数来确定什锦糖果的价格，则这5kg什锦糖果的价格为________元/kg． 【答案】24 【分析】本题考查的是加权平均数的求法，理解加权平均数的求法是解题的关键． 根据加权平均数的定义，什锦糖果的单价等于总价值除以总质量，由此即可求解． 【详解】解：甲种糖果的总价值为（元）， 乙种糖果的总价值为（元）， 混合后总价值为（元），总质量为， 因此什锦糖果的单价为． 故答案为：． 3．某校九年级学生某科目学期总评成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期总评成绩80分以上（含80分），则评定为“优秀”，下表是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王 60 75 _______ 若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：2：7的权重来确定学期总评成绩． （1）请计算小张的学期总评成绩为多少分？ （2）小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？ 【答案】（1）小张的期末评价成绩为81分．（2）最少考85分才能达到优秀 【分析】（1）直接利用加权平均数的定义求解可得； （2）设小王期末考试成绩为x分，根据加权平均数的定义列出不等式求出最小整数解即可． 【详解】解：（1）小张的期末评价成绩为＝81（分）； 答：小张的期末评价成绩为81分． （2）设小王期末考试成绩为x分， 根据题意，得：， 解得x≥84， ∴小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考85分才能达到优秀． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 4．我省某企业生产甲、乙两款祁门红茶，为了解两款红茶的质量，分别请消费者和专业机构进行测评．随机抽取n名消费者同时对两款红茶评分 ，并将所得数据进行分组整理和分析，下面给出了甲款红茶分数的频数分布直方图和频数分布扇形图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)n的值为 ，甲款红茶分数频数分布扇形图中a的值为 ， (2)补全甲款红茶分数频数分布直方图； (3)这n名消费者对甲款红茶评分的平均分为86分，对乙款红茶评分的平均分为88分，专业机构对甲款红茶的评分为91分，对乙款红茶的评分为89分，若将消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩，那么哪款红茶的最终成绩更高？请通过计算说明理由． 【答案】(1)50， 16 (2) 补全直方图如图： (3) 甲：（分）；乙：（分）； ∴甲款红茶最终成绩更高． 【分析】本题考查直方图和扇形图，求加权平均数： （1）组人数除以所占的比例，求出，组人数除以总人数，求出的值； （2）求出组，组的人数，补全直方图即可； （3）利用加权平均数的计算方法，求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）组人数为，组人数：； （3）略 5．当代育种研究中，基因编辑是最重要的前沿技术之一，近年来我国农学领域基因编辑研究取得具有国际影响的成果，为了解该甜玉米种子的相关情况，用10块试验田进行试验，号为抗干旱试验田，得到各试验田每公顷的产量（单位：t） 试验田编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每公顷产量（单位：t） 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4 每公顷平均产量计算方案如下： 方案一：取各试验田每公顷产量的平均数，则该甜玉米种子每公顷平均产量为． 方案二：从各试验田每公顷产量中先去掉一个最高产量和一个最低产量，再取其余8块试验田每公顷产量的平均数，则该甜玉米种子每公顷平均产量为 回答下列问题： (1)小明认为“方案二”比“方案一”更合理，你 ___________小明的说法吗（填“同意”或“不同意”）？理由是 ___________； (2)小明认为该甜玉米种子既要突出抗虫害的优势又要体现抗旱性，因此设计了“方案三”：先计算1至4号试验田每公顷产量的平均产量，5至10号试验田每公顷产量的平均产量，再根据需求设置相应的权重（表示抗虫害的权重，表示抗干旱的权重，且），则该甜玉米种子每公顷平均产量为． Ⅰ．当按照“方案三”中时，求该甜玉米种子每公顷平均产量； Ⅱ．关于每公顷平均产量计算方案，下列说法正确的有 ___________． ①当时，该甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三“和“方案一”计算结果相同； ②当时，说明“方案三”更注重该甜玉米种子的抗虫害性； ③当时，该甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三”计算的结果比“方案一”和“方案二”都高． 【答案】(1)同意，去掉最高分和最低分，减少“极端值”对平均数的影响 (2)Ⅰ：7.76，Ⅱ：②③ 【分析】（1）根据平均数的计算方法，以及“绝端值”对平均数的影响进行解答即可； （2）先求出、再根据加权平均数的计算方法进行计算即可；再根据题意逐项进行计算可得答案． 【详解】（1）解：同意，理由：去掉最高分和最低分， 故答案为：同意，去掉最高分和最低分； （2）解：Ⅰ：，， ∴根据“方案三”中评分时，该甜玉米种子每公顷平均产量为， Ⅱ：①当时，该甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三“为， 由于， 因此①不正确； 当时，“方案三”的结果为5.5×0.4+8.4×7.6=8.04（分）， 当f时，按照“方案三”结果小于8.04分， 因此②正确， ③当时，甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三”计算的结果为（分）， 由于， 当时，该甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三”计算的结果比“方案一”和“方案二”都高； 综上所述，正确的结论为②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查加权平均数，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键． 利用加权平均数作决策题型06 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）某互联网公司正在招聘一名产品经理，经过初筛后，甲、乙、丙、丁四名候选人进入最终考核环节，考核分为三个部分： （1）笔试（占比）：考察产品知识、逻辑分析能力． （2）面试（占比）：考察沟通能力、团队协作、职业规划． （3）项目实战（占比）：要求候选人在2小时内完成一个简单的产品需求文档（），考察实操能力．四位候选人的各项成续如下表所示（满分100分）： 项目 考核成绩 甲 乙 丙 丁 笔试 87 90 88 86 面试 90 88 92 94 项目实战 83 92 85 90 请计算四位候选人的最终得分，按照公司要求；项目实战成绩必须达到85分以上（包括85分）才能进入录用名单，那么最终录用的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 首先检查项目实战成绩是否达到85分，甲不符合条件；然后计算乙、丙、丁的加权平均分（笔试、面试、项目实战），比较得分高低． 【详解】解：∵项目实战成绩达到85分以上（包括85分）才能进入录用名单， ∴甲的项目实战成绩是83分，，不符合； 乙、丙、丁的项目实战成绩均符合． 计算最终得分： 乙：分， 丙：分， 丁：分， ∵丁得分最高， ∴录用丁． 故选D． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期末）某校举办了“安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动八（1）班陈老师从全班学生中经过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名学生参加比赛如表是班上两名同学参加各项活动的测试成绩（单位：分）： 选手 主题活动项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 乙 (1)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？ (2)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按，，的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？ 【答案】(1)乙将被选中 (2)甲将被选中 【分析】本题考查了加权平均数，解题的关键是根据加权平均数的计算方法来解答 （1）根据加权平均数的计算方法进行解答即可； （2）根据按，，的比例计算出两人的成绩，再进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，两人的测试成绩如下： 甲的测试成绩为：分， 乙的测试成绩为：分， ， 乙将被选中； （2）根据题意，两人的测试成绩如下： 甲的测试成绩为分， 乙的测试成绩为分， ， 甲将被选中． 3．某校学生会要通过“演讲答辩”和“民主测评”两个环节从甲、乙两位同学中选出一位当会长，其中，，，，五位评委对演讲答辩得分进行评价，其结果如下表(单位：分)．另外还有位学生代表则参与民主测评进行投票，投票结果如条形统计图所示． 同时规定： ①“演讲答辩”得分按“去掉一个最高分和一个最低分后再算平均分”的方法确定； ②“民主测评”得分“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分． （1）分别求出甲、乙两位同学的演讲答辩得分； （2）若“演讲答辩”和“民主测评”的得分分别占和计算两位同学的“综合得分”，并取综合得分高的同学当选学生会会长，问是哪位同学当选学生会会长？并说明理由． 【答案】（1）92分；89分； （2）是甲同学当选学生会会长. 理由如下： 甲同学民主测评的得分=(分)； 乙同学民主测评的得分=(分)； 甲同学的综合得分=(分)； 乙同学的综合得分=(分)； 因为，即甲同学的综合得分比乙同学的综合得分高， 所以是甲同学当选学生会会长． 【分析】（1）根据平均数的定义即可得到结论； （2）分别求得甲、乙两同学的得分，比较即可得到结论． 【详解】（1）甲同学演讲答辩的得分=(分)； 乙同学演讲答辩的得分=(分)； （2）略 【点睛】本题考查了条形统计图，加权平均数，此题把平均数、统计表和条形统计图结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力． 4．为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足． 请根据所给信息，解答下列问题： 甲组20名学生竞赛成绩统计表            成绩（分） 70 80 90 100 人数 3 a b 5 （1）求统计表中a，b的值； （2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果； （3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由． 【答案】（1）； （2）不正确， 正确的算法：甲组20名学生竞赛成绩的平均分是： （分） （3）甲组成绩好，理由： 根据扇形统计图可知，乙组学生竞赛成绩为70分，80分，90分，100分的人数占乙组总人数的百分比分别为40%，25%，25%，10%． 所以乙组20名学生竞赛成绩的平均分是：（分） 因为，所以甲组竞赛成绩较好． 【分析】（1）根据总人数为20人与，求出a，b的值； （2）根据加权平均数公式 判断出原结果是错误的，计算出正确结果； （3）算出甲乙两组的平均成绩进行比较，得出结论． 【详解】解：（1）根据题意，得，解得， （2）略 （3）略 【点睛】此题主要考查了扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数的意义是正确解答的前提． 求方差题型07 1．已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．众数为2 【答案】C 【详解】解：由题意知，这组数据的平均数为4，样本容量为10．无法确定方差、中位数和众数 2．九年级（1）班共有40名学生，体育课上老师统计全班一分钟跳绳的个数，由于嘉琪没有参加此次集体测试，因此计算其他39名学生一分钟跳绳的平均个数为108个，方差为20．后来嘉琪进行了补测，成绩为108个，关于九年级（1）班40名学生的一分钟跳绳个数，下列说法正确的是（    ） A．平均个数不变，方差变小 B．平均个数变小，方差不变 C．平均个数变大，方差变大 D．平均个数不变，方差不变 【答案】A 【分析】本题考查方差，算术平均数等知识，根据平均数，方差的定义计算即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：∵嘉琪的一分钟跳绳个数和其他39名学生一分钟跳绳平均个数相同，都是108个， ∴该班40名学生一分钟跳绳平均个数为108， 故平均个数不变，则数据波动变小，故方差变小， 故选：A． 3．数据，0，1，2的方差是______． 【答案】3.5 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式．计算公式是：． 根据方差的计算公式求解即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：3.5． 4．甲市和乙市6月某五天的最高气温如表所示： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲市 乙市 已知甲市这五天最高气温的平均数是37℃，方差是5.2．请计算乙市这五天最高气温的方差，并判断哪个市这五天的最高气温波动较大． 【答案】乙市这五天最高气温的方差为，甲市这五天的最高气温波动较大 【分析】本题考查方差的计算与应用，解题的关键是掌握方差的计算公式并理解方差的意义（方差越大，数据的波动越大）． 计算乙市这五天最高气温的平均数，根据方差公式计算乙市这五天最高气温的方差，再与甲市的方差比较，判断波动大小． 【详解】解：乙市这五天最高气温的平均数是（℃）， 乙市这五天最高气温的方差是： ， ∵， 答：乙市这五天最高气温的方差为，甲市这五天的最高气温波动较大． 5．已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是p，方差是q.试证明：数据ax1＋b，ax2＋b，ax3＋b，…，axn＋b的平均数是ap＋b，方差是a2q. 【答案】 证明：设数据 的平均数为M，方差为N. 由题意得，. 因为 , 所以， 因为 ， 所以 . 即数据的平均数是，方差是. 【详解】试题分析：根据平均数的定义，可知 ，根据方差的定义，可知 ，然后求得待求数据的平均数与方差，与上面的式子对比后即可发现平均数是 ，方差为. 试题解析：略 点睛：① 当一组数据都扩大（缩小） 倍时，平均数也会扩大（缩小）倍，都增加（减少） 时，平均数也会增加（减少）； ② 当一组数据都扩大（缩小）倍时，方差会扩大（缩小）到原来的 倍，都增加（减少）时，方差不变. 根据方差判断稳定性题型08 1．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示: 甲 乙 丙 丁 平均数/环 9.7 9.5 9.5 9.7 方差/环2 5.1 4.7 4.5 4.5    请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是(    ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据方差的性质可知，方差越小，成绩越稳定，在方差相同情况下，比较平均数，平均数越高，成绩教好， 【详解】丁的方差最小，说明成绩稳定，平均数最大，说明成绩比较突出，所以丁最合适参加比赛. 故选：D. 【点睛】本题主要考查平均数和方差的性质，解决本题的关键是要熟练掌握方差和平均数的性质. 2．某体育老师为了解九年级男生篮球运球绕杆的训练效果，随机从甲、乙、丙、丁四个训练小组中各抽取20名男生进行模拟测试．各组的平均用时（秒）及方差如下表所示： 小组 甲 乙 丙 丁 平均用时 13.2 13.2 12.8 12.8 方差 2.9 3.0 2.6 调查显示，20名丙组男生的测试成绩各不相同，且丙组的平均用时更短、发挥也更稳定，则的值可能是（   ） A．0 B．2.5 C．3.8 D．2.9 【答案】B 【详解】解：A、选项中方差为0与“成绩各不相同”相矛盾，取选项中的值不符合题意； B、选项中方差，满足“发挥更稳定”，符合条件，可取； C、D、选项中方差都大于，不满足“发挥更稳定”的要求，取选项中的值不符合题意． 3．八年级(1)班甲、乙两个小组的10名学生进行飞镖训练，某次训练成绩如下: 甲组成绩(环) 8 7 8 8 9 乙组成绩(环) 9 8 7 9 7 由上表可知，甲、乙两组成绩更稳定的是________组. 【答案】甲 【分析】根据方差计算公式，进行计算，然后比较方差，小的稳定，在计算方差之前还需先计算平均数． 【详解】=8，=8， [（8-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2]=0.4， [（9-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（9-8）2+（7-8）2]=0.8 ∵＜ ∴甲组成绩更稳定． 故答案为甲． 【点睛】考查平均数、方差的计算方法，理解方差是反映一组数据的波动大小的统计量，方差越小，数据越稳定． 4．小红参加校园健美操比赛，初赛结束后五名评委对小红的评分如下表所示，比赛规定要去掉一个最高分和最低分为选手的最终得分，则去掉最高分和最低分后，小红成绩的方差________．（填“增大”“减小”或“不变”） 评委 1 2 3 4 5 小红得分 97 98 95 95 92 【答案】减小 【分析】本题考查了方差的定义，方差代表数据的稳定性，方差越大，数据的稳定性越差，若去掉一个最高分和最低分，数据更加稳定，方差减小．据此即可作答． 【详解】解：依题意，方差代表数据的稳定性，方差越大，数据的稳定性越差， 当去掉最高分和最低分，则数据越稳定性，即方差减小， ∴去掉最高分和最低分后，小红成绩的方差减小， 故答案为：减小 5．如图是某市连续5天的天气情况． （1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大； （2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论． 【答案】（1）这5天的日最低气温的波动较大；（2）①25日、26日、27日、28日、29日的天气现象依次是大雨、中雨、晴、晴、多云，日温差依次是，可以看出雨天的日温差较小.②25日、26日、27日的天气现象依次是大雨、中雨、晴，空气质量依次是良、优、优，说明下雨后空气质量改善了. 【分析】（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差； （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）． 【详解】解：（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是 . 方差分别是 ， . 由可知，这5天的日最低气温的波动较大. （2）本题答案不唯一，例如，①25日、26日、27日、28日、29日的天气现象依次是大雨、中雨、晴、晴、多云，日温差依次是，可以看出雨天的日温差较小.②25日、26日、27日的天气现象依次是大雨、中雨、晴，空气质量依次是良、优、优，说明下雨后空气质量改善了. 【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 利用方差作决策题型09 1．要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】方差大小可以判断数据的稳定性. 【详解】方差是衡量波动大小的量，方差越小则波动越小，稳定性也越好．故答案选D. 【点睛】本题考查方差，掌握方差越小则波动越小，稳定性也越好是关键. 2．（2026·江苏泰州·一模）小华五次“50米跑”成绩的平均数与方差分别为（单位：s）和（单位：），为了提高成绩，小华进行了训练，两个月后小华再次进行了五次“50米跑”测试，发现比原来更快更稳定了，则训练后成绩的平均数（单位：s）与方差（单位：）可能是（    ） A．， B．， C．，1.4 D．，1.4 【答案】A 【分析】根据“更快”“更稳定”的含义，分别判断平均数和方差的范围，得到符合条件的选项，50米跑用时越短说明速度越快，方差越小说明成绩越稳定。 【详解】解：训练后成绩比原来更快，米跑平均用时越短代表速度越快，原平均用时为 训练后平均数 ，排除B，D选项， 训练后成绩比原来更稳定，方差越小代表数据越稳定，原方差为， 训练后方差 ，排除C选项， 符合条件的是A选项． 3．“绿水青山就是金山银山”为了响应党中央对环境保护的号召，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人去参加南宁市举办的环保演讲比赛经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是，方差分别是，，．你认为____参加决赛比较合适． 【答案】甲 【分析】根据方差越小，成绩越稳定即可判断． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴甲的成绩稳定， ∴甲参加决赛比较合适， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查了方差的概念，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 4．（24-25八年级下·陕西韩城·质检）在一次实验中，某团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了5块条件相同的试验田，同时播种并核定单位面积产量，结果甲、乙两种水稻的平均单位面积产量（单位：斤/平方米）相同，甲种水稻单位面积产量的方差为，乙种水稻的单位面积产量依次为4、5、6、5、5，请计算并说明哪种水稻的单位面积产量较稳定，适合推广？ 【答案】 乙种水稻的单位面积产量较稳定，适合推广， 证明：乙种水稻的单位面积平均产量为（斤/平方米）， 则乙种水稻单位面积产量的方差为 ， 因为甲、乙两种水稻的平均单位面积产量相同，甲种水稻单位面积产量的方差为，且， 所以乙种水稻的单位面积产量较稳定，适合推广． 【分析】本题考查了利用平均数和方差做决策，熟记平均数和方差公式是解题关键．先利用平均数公式求出乙种水稻的单位面积平均产量，再求出乙种水稻单位面积产量的方差，由此即可得． 【详解】略 5．2019年4月，西大附中初2019级中招体育考试已经顺利结束，在所有师生共同努力下，取得了历史性的好成绩．初二小明为了解初三哥哥姐姐们中招体育考试成绩的情况，采取抽样调查的方法，从年级各班随机调查了若干名同学的体考成绩，并将调查结果进行了整理，分成了5个小组，根据体考成绩制定出部分频数分布表和部分频数分布直方图 体育成绩频数分布表 组别 成绩（x分） 频数 频率 A 35＜x≤38 1 B 38＜x≤41 0.05 C 41＜x≤44 D 44＜x≤47 6 E 47＜x≤50 （1）在这次考察中，共调查了　 　名学生；并请补全频数分布直方图； （2）被调查的学生中，有30人是满分50分，若西大附中初2019级全年级有1100多名学生，请估计该年级体考成绩满分的总人数约有多少名？ （3）初三哥哥姐姐们体测取得的辉煌成绩让初二的学弟学妹们信心大增，为了调动初二学子跳绳积极性，初二年级将举行1分钟跳绳比赛，每班推荐一人参赛，小明所在的班级李杰和陈亮两人均想报名参赛，为了公平选拔，班主任让小明统计了两人近10次的跳绳成绩（单位：个/分），如下： 李杰成绩（个/分） 170 175 180 190 195 次数 l 1 3 2 3 陈亮成绩（个/分） 165 180 190 195 200 次数 2 2 3 2 1 则李杰10次成绩的中位数是　 　；陈亮10次成绩的众数是　 　，请你通过计算两位同学的平均成绩和方差帮班主任选一名同学参赛，并说明理由．    【答案】（1）60， 补全频数分布直方图如下：    （2）550； （3）185，190，李杰平均成绩185，方差55，陈亮平均成绩185，方差135，应派李杰参赛 【分析】（1）根据38＜x≤41的频数和频率求出总人数，再用总人数减去其他段的人数求出41＜x≤44的人数，从而补全统计图； （2）用总人数乘以体考成绩满分的人数所占的百分比即可； （3）根据中位数、众数、平均数以及方差的计算公式分别进行计算，然后再进行比较即可得出答案． 【详解】解：（1）共调查的学生数是：3÷0.05＝60（名）， 41＜x≤44的人数有：60﹣1﹣3﹣6﹣45＝5（名）， 补图略； （2）根据题意得： 1100×＝550（名）， 答：估计该年级体考成绩满分的总人数约有550名； （3）李杰10次成绩的中位数是＝185； 陈亮10次成绩的众数是190； 李杰10次成绩的平均成绩是：＝185， 李杰10次成绩的方差是： [（170﹣185）2+（175﹣185）2+3（180﹣185）2+2（190﹣185）2+3（195﹣185）2]＝55； 陈亮10次成绩的平均成绩是：＝185， 陈亮10次成绩的方差是： [2（165﹣185）2+2（180﹣185）2+3（190﹣185）2+2（195﹣185）2+（200﹣185）2]＝135； 两位同学的平均成绩一样，但李杰的方差小于陈亮的方差， 所以应派李杰参赛； 故答案为：185，190． 【点睛】此题考查了众数、中位数、平均数、方差以及用样本估计总体等知识点，熟练掌握各个知识点是解题的关键，同时也考查了统计表． 求标准差题型10 1．一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，�有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．�采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 标准差 甲苗圃           1.8 0.2 乙苗圃           1.8 0.6 丙苗圃           2.0 0.6 丁苗圃           2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购（   ） A．甲苗圃的树苗 B．乙苗圃的树苗; C．丙苗圃的树苗 D．丁苗圃的树苗 【答案】D 【分析】根据标准差和方差可以反映数据的波动大小，选出合适苗圃的树苗；再比较它们的高度，进而确定选购哪家的树苗. 【详解】由于标准差和方差可以反映数据的波动大小，所以甲苗圃与丁苗圃比较合适； 又因为丁苗圃树苗平均高度大于甲苗圃，所以应选丁苗圃的树苗． 故选D． 【点睛】考查了标准差，标准差也均称方差，方差是反映一组数据波动大小的特征数，方差越大，数据的波动性越大；方差越小，稳定性越好. 2．已知四个数据的方差是，那么四个数据的标准差是______． 【答案】 【分析】本题考查了标准差，先求出四个数据的方差，再根据标准差是方差的算术平方根即可求解，掌握方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：设原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了，则平均数变为， 则原数据的方差， 现在的方差， ， ∴数据的标准差为， 故答案为：． 3．已知一组数据，其平均数为1，方差为，则另一组数据的平均数为________，标准差为________． 【答案】 3 【分析】本题主要考查平均数，标准差，方差；根据数据的倍数影响平均数，方差，标准差，后面的常数项影响平均数，不影响方差，标准差，进行整体计算即可． 【详解】解：∵一组数据，其平均数为1， ∴另一组数据的平均数为：， ∵一组数据，方差为， ∴另一组数据的标准差为：； 故答案为：3，． 4．已知有一组不少于5个连续正整数组成的数据，从中随机抽取一个数字，是素数的概率为，则该组数据的标准差为________． 【答案】或或或 【分析】本题考查了素数，概率，标准差等知识．熟练掌握素数，概率，标准差是解题的关键． 由题意知，数据中素数、非素数各一半，数据个数为偶数，可分为四种情况，以1开头，以2开头，以3开头，以4及以上数字开头，分别找到各种情况下的符合要求的个数，并设值后计算求解； 【详解】解：∵从中随机抽取一个数字，是素数的概率为， ∴数据中素数、合数各一半，数据个数为偶数， 以1开头，满足条件的是1-8一种情况， 当取得数是1-8时，平均数为4.5，则标准差为, 以2开头，满足条件的是2-9,2-11,2-13三种情况， 当取得数是2-9时，平均数为5.5，则标准差为, 当取得数是2-11时，平均数为6.5，则标准差为, 当取得数是2-13时，平均数为7.5，则标准差为, 以3开头，满足条件的是3-8一种情况， 当取得数是3-8时，平均数为5.5，则标准差为, 以4及以上数字开头，均不满足题意. 综上所述，标准差为或或或， 故答案为：或或或． 5．一次期中考试中，五位同学的数学、英语成绩（单位：分）等有关信息如下表所示． A B C D E 平均分 标准差 数学 71 72 69 68 70 英语 88 82 94 85 76 85 （1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差，并将上表补充完整； （2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是标准分=（个人成绩-平均成绩）÷成绩的标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？ 【答案】（1）表中填：70，6；（2）同学在本次考试中，数学考得更好． 【分析】（1）由平均数、标准差的公式进行计算即可； （2）代入公式：标准分=（个人成绩-平均成绩）÷成绩标准差计算，再比较即可． 【详解】（1）数学成绩的平均分为（分）， 英语成绩的标准差为， 故表中填：70，6； （2）数学标准分为：（分）， 英语标准分为：（分） 因为，所以数学考得更好， 即同学在本次考试中，数学考得更好． 【点睛】本题考查的是标准差的计算，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数． 求离差平方和题型11 1．数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查平均数的定义和离差平方和的定义，首先根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方和，进而得出答案． 【详解】解：∵这组数据为，共个数据， ∴平均数为， ∴离差平方和为： ， ， ， ， ∴这组数据的平均数和离差平方和分别为和． 故选：． 2．（25-26八年级下·浙江金华·期末）小明测得某田地小麦苗的苗高数据共10个，且这组数据的方差为3，则其离差平方和为（     ） A．0.3 B．3 C． D．30 【答案】D 【分析】本题考查方差的定义，利用方差公式变形即可直接计算得到离差平方和． 【详解】解：设数据个数为，方差为， 离差平方和为 ， 根据方差的定义，可得 ， ，， ． 3．（25-26八年级下·山东临沂·期末）将一组数据8，10，10，12，19，21按第4个间隔分为两组时，组内离差平方和为__________． 【答案】10 【分析】原数据已排序，6个数据共5个间隔，第4个间隔位于第4个和第5个数据之间，据此分成两组，分别计算两组的离差平方和再求和即可． 【详解】解：原数据已从小到大排序，共6个数据，相邻数据间有个间隔，第4个间隔在第4个数据和第5个数据之间，因此分组为： 第一组：，第二组： 计算第一组的平均值： ， 第一组的离差平方和为： ， 计算第二组的平均值： ， 第二组的离差平方和为： ， 总的组内离差平方和为． 4．已知一组数据7，9，11，13，若将其分为两组，使得每组数据的离差平方和之和最小，则分组方式为_____________________，此时最小的离差平方和之和为________． 【答案】 和 4 【分析】本题考查了离差平方和的计算与分组优化知识点．解题关键在于明确离差平方和的计算公式；对有序数据，优先尝试相邻数据分组，以最小化组内波动；通过枚举所有可能的非空分组，计算并比较各组的离差平方和之和，从而找到最小值． 枚举所有可能的分组方式，计算每组数据的离差平方和，并求和，比较大小，找到最小值． 【详解】数据点有个，可能的分组方式包括一组个点另一组个点，或每组个点．计算每种分组的离差平方和之和： 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 比较得，最小值为，对应分组为和． 故答案为：和；． 5．（25-26八年级·安徽马鞍山·期末）劳动课已成为中小学的一门独立课程，某中学尝试将“共建花圃”引入到教育教学中，某日，学校从七、八年级班级管理的花圃中，分别随机抽取了20个花圃，对管理情况进行了评分（满分100分，数据分组为A组：，B组：，C组：，D组：，x表示评分的分数），现将评分情况绘制成了不完整的统计图： (1)补全图①中的条形统计图，图②中C组所对应扇形的圆心角度数为___________； (2)若八年级B组得分情况为90，88，87，87，86，84． ①若把八年级B组得分按从小到大排列，则与的组内离差平方和为___________分； ②八年级20个花圃得分的第二四分位数为___________分； (3)若得分超过90分为“五星花圃”，七、八年级各有200个花圃，估计七、八年级的花圃中“五星花圃”共有多少个？ 【答案】(1)， (2)①8，②89 (3)110 【分析】（1）将总数减去A、C、D组人数可得B组人数，求出C组的占比乘以可得C组所对应扇形的圆心角度数； （2）①分别求出两组的离差平方和，相加即可；②20个花圃得分的第二四分位数即中位数，注意大小排列； （3）先分别计算抽查的七、八年级管理的花圃得分在90分以上数量，再根据抽查的得分在90分以上的花圃数量与抽查总数的比值，估算即可． 【详解】（1）解：由题图①可知，七年级班级管理的花圃中，评分在B组的个数为， 故补全条形统计图：略； 图②中C组所对应扇形的圆心角度数为； （2）①第一组的平均数， 第一组的离差平方和：， 第二组的平均数， 第二组的离差平方和：， ， 组内离差平方和为8分2； ②20个花圃得分的第二四分位数即中位数，即排序后第10、11个数据的平均数， A组：个，B组：个， 即将B组排序后第1、2个数据的平均数， B组排序：90、88、87、87、86、84， 中位数：， 八年级20个花圃得分的第二四分位数为89分； （3）， 估计七、八年级的花圃中“五星花圃”共有110个． 利用样本评估总体题型12 1．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用样本估计总体，涉及统计表、加权平均数的计算等知识，先根据统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值，进而估算出这500名同学的家庭一个月节约用水的总量，熟练掌握加权平均数的计算公式及用样本估计总体的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值为， 这名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是， 故选：C． 2．某市初中毕业生进行了一项技能测试，有4万名考生的得分都是不小于70的两位数，从中随机抽取4000个数据，统计如下表： 数据x 个数 800 2000 1200 平均数 78 85 92 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为______． 【答案】85.7 【分析】先计算这4000个数的平均数，即样本的平均数，再利用样本的平均数去估计总体平均数，即可解答． 【详解】样本平均数：， 所以估计这4万个数据的平均数约为85.7， 故答案为：85.7． 【点睛】本题考查加权平均数，用样本估计总体，解决本题的关键是求出样本的平均数． 3．为提高居民的节水意识，向阳小区开展了“建设节水型社区，保障用水安全”为主题的节水宣传活动，小莹同学积极参与小区的宣传活动，并对小区300户家庭用水情况进行了抽样调查，他在300户家庭中，随机调查了50户家庭5月份的用水量情况，结果如图所示． (1)试估计该小区5月份用水量不高于的户数占小区总户数的百分比； (2)把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～6的中间值为3）来替代，估计该小区5月份的用水量． 【答案】(1) (2)3960吨 【分析】本题考查频数分布直方图，用样本估计总体，读懂直方图的信息，掌握用样本估计总体的思想是解题的关键． （1）将样本中用水量不高于的户数除以样本容量50，求出样本中用水量不高于的户数占小区总户数的百分比，由此估计该小区用水量不高于的户数占小区总户数的百分比； （2）先求出所调查的50户家庭的平均用水量，再乘以总体300即可得到该小区的用水量． 【详解】（1）解：样本中用水量不高于的户数占小区总户数的百分比为， 由此估计，该小区5月份用水量不高于的户数占小区总户数的． （2）解：所调查的50户家庭的平均用水量为，， ， 答：该小区5月份的用水量是3960吨． 4．奶牛场的技术人员要进行甲、乙两种新的饲养和挤奶技术验证．为此，随机选择了部分奶牛，分成A、B两组进行为期30天对比试验．A组采用甲种新技术，B组采用乙种新技术，获取每头奶牛试验前与试验后平均每天的产奶量，从而得到试验前后每头奶牛平均每天产奶的提高量（单位：L），并把数据整理成下表（表中数据包含左端数据不包括右端数据）： 组别提高量（升） 0～0.4 0.4～0.8 0.8～1.2 1.2～1.6 1.6～2.0 A组（头） 6 10 15 7 2 B组（头） 2 6 14 13 5 （1）本次研究中抽取的奶牛数是 　　头． （2）通过数据分析，判断A，B两组奶牛中哪一组产量的提升幅度大？ （3）如果该奶牛场要在全场200头奶牛中推广一种新技术，你认为应该推广哪种新技术？估计该技术可以使该奶牛场平均每天牛奶总产量提高多少升，并说明理由． 【答案】（1）80；（2）B组；（3）应该，估计该技术可以使该奶牛场平均每天牛奶总产量提高226升 【分析】（1）将表格中A、B两组的奶牛数相加即可； （2）分别求出A，B两组奶牛试验前后每头奶牛平均每天产奶提高量的平均数，再比较即可； （3）利用样本估计总体的思想，用200乘以样本中B组奶牛试验前后每头奶牛平均每天产奶提高量的平均数即可． 【详解】解：（1）由题意可得，本次研究中抽取的奶牛数是： （6+10+15+7+2）+（2+6+14+13+5）＝40+40＝80（头）． 故答案为：80； （2）从平均数看 A组：（0.2×6+0.6×10+1.0×15+1.4×7+1.8×2）÷40＝0.89， B组：（0.2×2+0.6×6+1.0×14+1.4×13+1.8×5）÷40＝1.13， 0.89＜1.13， 故B组产量的提升幅度大； （3）应该推广乙种新技术． 由样本估计总体，200×1.13＝226（升）， 故估计该技术可以使该奶牛场平均每天牛奶总产量提高226升． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，算术平均数，理解概念是解题的关键． 5．工人师傅用车床加工一种直径为20mm的零件，从某天加工的零件中随机抽取了10件，测得直径（单位：mm）如下：20.1，19.9，20.3，20.2，19.8，19.7，19.9，20.3，20.0，19.8． (1)计算样本平均数和样本方差． (2)试估计总体平均数和总体方差． (3)规定当加工零件的方差不超过时，车床生产情况为正常．请判断这台车床的生产情况是否正常． 【答案】(1)样本平均数为20.0mm，样本方差为 (2)总体平均数为20.0mm，总体方差为 (3)这台车床的生产情况正常 【分析】本题考查了平均数，方差以及用样本估计总体，解决本题的关键是熟练掌握方差的计算公式. （1）根据平均数和方差的计算公式计算即可. （2）用样本平均数和方差估计总体平均数和方差. （3）根据方差做出判断即可. 【详解】（1）解：样本平均数：（mm）， 样本方差：（）， 即样本平均数为，样本方差为． （2）答：估计总体平均数为，总体方差为． （3）解 ∴这台车床的生产情况正常． 已知众数求未知数据的值题型01 1．已知一组数据6，8，10，6，8，12，14，x，它的众数是8，则x的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，解题的关键是理解众数的概念． 众数是指一组数据中出现次数最多的数，且题目明确众数为，因此在本题的条件下，是唯一出现次数最多的数，据此分析的值． 【详解】解：∵ 众数是， ∴ 的出现次数必须最多， 当前数据中出现次，出现次，其他数出现次数均少于， 若，则出现次，其他数出现次数均少于，满足众数为； 若，则出现次，众数为，不符合题意； 若，则数据中的众数为6，8，10，不符合题意；若，则数据中的众数为6，8，12，不符合题意． ∴ ． 故选：B． 2．已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平均数与众数的意义，要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．依此先求出a，再求这组数据的平均数． 【详解】解：众数是5，已知的三个数都只出现了一次， 就可以知道， 所以平均数． 故选：B． 3．年体育中考在即，小杭同学将自己近7次体育模拟测试成绩（单位：分）统计如表，第次测试的成绩为分，若这8次成绩的众数不止一个，则的值可能为（　　） 次数 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 成绩 A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了众数的定义．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．一组数据的众数可以不止一个．根据众数的定义作答即可． 【详解】解：将这组数据重新排列为、、、、、、， 数据出现次，、各次， 由于这次成绩的众数不止一个， ∴第次测试的成绩或， 故选：D． 4．五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为______________. 【答案】8 【分析】本题考查数据的数字特征及应用，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解题的关键，根据题意得到，再根据，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6，可得到，进而推算出，，，，对应的五个互不相等的正偶数所对应的数，利用方差的计算公式即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，的平均数是， ∴, ∵，，，，，的平均数还是， ∴, ∴, ∵，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6， ∴, ∴，，，，对应的五个互不相等的正偶数分别是：2、4、6、8、10， ∴，，，，的方差为：． 故答案为：8． 5．给你一组数据：1，2，3，4，5，x． （1）如果该组数据的平均数是100，求x的值； （2）如果该组数据的平均数等于众数x，求x的值． 【答案】（1）585；（2）3 【分析】（1）利用平均数的定义，列出方程即可求解； （2）利用平均数的定义，根据题意“平均数等于众数x”，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）， 解得：x＝585． （2）， 解得：x＝3． 【点睛】本题考查了平均数、众数，弄清题意，熟练运用相关知识是解题的关键．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 根据已知数据求未知数据的值题型02 1．（25-26九年级上·江苏连云港·质检）一组数据：4，5，5，6，a的平均数为5，则a的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查平均数的计算，直接利用平均数公式即可求解． 根据平均数的定义，数据总和除以个数等于平均数，由此列出方程求解． 【详解】解：∵ 数据4，5，5，6，a的平均数为5， ， ， ． 故选：． 2．若一组数据的平均数为，则数据总和为，则这组数据的个数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平均数的概念，熟练掌握数据总和和平均数的关系是解题的关键． 根据数据总和和平均数的关系计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， 这组数据的个数为， 故答案为：． 3．某班一次考试平均分数是70分，其中的人及格，他们的平均分是80分，则该班不及格的人的平均分是___________分． 【答案】40 【分析】本题考查了平均数的求解，设某班有n人，用全班的总分减去及格人数的总分就是不及格人的总分，不及格人的总分除以不及格人数就是不及格人的平均分数． 【详解】解：设某班有n人， 则：不及格人的平均分数为分， 故答案为：40． 4．（24-25九年级上·北京·期末）一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 【答案】和 【分析】本题考查了平均值和方差的定义，根据平均值和方差的定义，通过设添加的两个数为a和b，利用新数据的平均值和方差与原数据相同，列出关于a和b的方程，求解得到a和b的值． 【详解】解：因为添加两个数后，新数据的平均值和方差仍为2024， 所以原始数据总和为，平方偏差和为． 设添加两个数和， 由平均值不变，可得， 解得， 由方差不变，可得， 解得， 令， 则， 解得， 所以， 因此， 故答案为：和． 5．5名同学参加市级作文比赛，老师只公布了其中4人的成绩，分别为88分、80分、75分、82分，没有公布小红的成绩，但告诉大家5个人的平均成绩为84分．小红得了多少分？ 【答案】小红得了95分 【分析】设小红得了x分，根据平均成绩列出方程，求解即可． 【详解】解：设小红得了x分，根据题意，得 ， 解得， 答：小红得了95分． 利用已知平均数求相关数据的平均数题型03 1．x1、x2、……、x10的平均数为m，x11、x12、……、x50的平均数为n，则x1、x2、……、x50的平均数为（    ） A．m+n B． C． D． 【答案】D 【分析】由x1、x2、……、x10的平均数为m，x11、x12、……、x50的平均数为n知，x1+x2+……+x10＝10m，x11+x12+……+x50＝40n，再根据算术平均数的定义可得答案． 【详解】解：∵x1、x2、……、x10的平均数为m，x11、x12、……、x50的平均数为n， ∴x1+x2+……+x10＝10m，x11+x12+……+x50＝40n， ∴x1、x2、……、x50的平均数为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义． 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． 根据题意即可判断A；设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、，求出即可判断C，根据已知条件无法判断B、D． 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 3．数据，，，，，，的平均数为，则数据，，，，，，的平均数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平均数的概念求解可得． 【详解】解：，，，，，， 又数据，，，，，，的平均数为， 数据，，，，，，的平均数为． 故选：． 【点睛】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义． 4．五个数的平均数是，如果把其中一个数改为，则这五个数的平均数变为，改动前这个数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平均数的计算，五个数的前后平均数相差，这说明改后的这个数比改前大了，则改前这个数是． 【详解】解：改前后平均数的差：， 改的数前、后之差：， ． 答：改动前这个数是． 故答案为：． 5．某中学600名学生参加了“让青春飞扬”知识竞赛．竞赛组委会从中随机抽取了部分学生的成绩（得分都是整数，最高分98分）作为样本进行统计分析，并绘制成抽样分析分类统计表和频率分布直方图（如表和图，部分数据缺失）．试根据所提供的信息解答下列问题： 表1：抽样分析分类统计表 成绩范围 x＜60 60≤x＜80 x≥80 成绩等第 不合格 合格 优良 频率 0.5 平均成绩 55 a b (1)本次随机抽样调查的样本容量是_______； (2)试估计全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数； (3)若本次随机抽样的样本平均数为79，又表1中b比a大15，试求出a、b的值． 【答案】(1)80 (2)240人 (3) 【分析】（1）根据成绩在的频数和频率即可求出样本容量； （2）用学校的总人数乘以样本中成绩等第为优良的学生人数占比即可得到答案； （3）根据平均数的定义结合已知条件构建方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：成绩在的人数为：（人）， ∴样本容量=40÷0.5=80， 故答案为：80； （2）解：（人）， ∴估计全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数为240人； （3）解：由题意得：， 解得． 【点睛】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，样本容量，平均数，二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识． 已知加权平均数求未知数据的值题型04 1．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　） A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元 【答案】C 【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：这天销售的矿泉水的平均单价是（元）， 故选C． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 2．某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．利用加权平均数的计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设成绩为分的人数为，由题意，得 ， 解得． 故选：． 3．已知某班共有学生50人，其中男生30人．若该班学生的平均身高是，女生的平均身高是，则该班男生的平均身高是，这里的__________． 【答案】175 【分析】设30名男生的平均身高为acm，根据平均数的定义，列出方程即可解决问题． 【详解】解：某班共有50名学生，其中30名男生，20名女生，平均身高为168cm； 设30名男生的平均身高为acm， 则有：=168， 解得a=175（cm）． 故答案为：175． 【点睛】本题考查的是加权平均数的应用．本题易出现的错误是对，168这两个平均数的理解不正确． 4．某校招聘教师，规定综合成绩由笔试成绩和面试成绩构成，其中笔试占60%，面试占40%，有一名应聘者的综合成绩为78分，笔试成绩是80分，则面试成绩为_______分． 【答案】75 【分析】设面试成绩为x分，根据综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，则可得出关于x的方程，即可求解． 【详解】解：设面试成绩为x分，根据题意，得 80×60%+40%x=78， 解得x=75． 故答案为：75． 【点睛】本题考查了加权平均数及其计算，是中考的常考知识点，熟练掌握其计算方法是解题的关键． 5．在某校园科技节中，学生们需要完成三个项目：科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告．每个项目的成绩都会对学生的最终评价产生影响．只有当学生的综合评价得分（满分100分）达到85分及以上时，才能被授予“科技小达人”的称号．现在我们关注两名学生小玉和小榕，她们在科技节中的部分项目成绩已经公布． 姓名 科技小制作 科技知识竞赛 科技创新报告 小玉 92 82 84 小榕 82 90 (1)如果综合评价得分是科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告三项成绩的平均分，请为小玉计算出这一得分，并判断她是否符合“科技小达人”的标准； (2)学校考虑将科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告的权重设为计算综合评价得分．请确定小榕在科技创新报告中至少需要获得多少分才能达到“科技小达人”的标准．（分数需为整数） 【答案】(1)86分，小玉符合“科技小达人”的标准 (2)小榕在科技创新报告中至少需要获得83分才能达到“科技小达人”的标准 【分析】本题考查求平均数和加权平均数： （1）求出平均数，进行判断即可； （2）设小榕在科技创新报告中需要获得分，根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：分； ∵， ∴小玉符合“科技小达人”的标准； （2）设小榕在科技创新报告中需要获得分，由题意，得： ， 解得：， 故小榕在科技创新报告中至少需要获得83分才能达到“科技小达人”的标准； 答：小榕在科技创新报告中至少需要获得83分才能达到“科技小达人”的标准． 出错情况下的平均数问题题型05 1．某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【答案】C 【分析】本题主要是平均数的运用问题，根据题意可以得到错误的数据总和与实际的数据总和的差；再除以总个数30即可得出求出的平均数与实际平均数的差. 【详解】解：求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入成15，即少加了90， 则由此求出的平均数与实际平均数的差是：， 故选：C． 2．某同学使用计算器求15个数据的平均数时，错将一个数据15输成105，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　） A．6.5 B．6 C．0.5 D．－6 【答案】B 【详解】求15个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，即使总和增加了90；那么由此求出的这组数据的平均数与实际平均数的差是90÷15=6． 故选B． 3．长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数， 关键是要理清各数量间的关系， 明白“多输入的数值”就是“ 个 ” ．根据平均数的定义可得： 最大的一个数的错误数据与实际数据相差元， 据此求出错误数据 ． 【详解】解： 由题意得， 输入错误的数据为：． 故答案为： ． 4．小颖使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据15输入为105，另一个数据65输入56，由此求得的平均数为61，求实际平均数． 【答案】 【分析】先通过输入的数据得到总数比正确的总数多加了81，然后得到平均数多加了，进而可得到实际平均数． 【详解】解：由题意知，错将其中一个数据15输入为105，则多加了， 错将另一个数据65输入56，则少加了9， 故总的多加了， ∴平均数多了， 此时求得的平均数为61， ∴实际平均数为． 5．为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 【答案】(1)分 (2)160份 (3)变大 【分析】本题考查条形统计图、加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义和计算方法是正确解答的关键． （1）将条形统计图中各个分数段的人数相加，即可得出总人数，再根据加权平均数的计算方法计算即可； （2）求出10分占调查人数的百分比，即可预测出一等奖的人数即可． （3）计算平均数解答即可． 【详解】（1）解：依题意， （分）， 答：本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分； （2）解：依题意，（份）， 答：估计需准备160份一等奖奖品． （3）解：将得8分的居民统计为14人， （分）， ∵ ∴平均数会变大． 已知方差求未知数据的值题型06 1．已知某组数据方差为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据方差公式，确定这组数据中的每个数据，再求这组数据的平均数即可． 【详解】解：根据方差公式可知，这组数据分别是：2，3，3，8； ， 故选：A． 【点睛】本题考查了方差公式的理解和求平均数，解题关键是明确方差公式的意义，确定每个数据，准确进行计算求平均数． 2．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查方差及平均数的计算公式，根据方差及平均数计算公式解答即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为2、2、3、3、3、3、4、4、4、8， ， 故选C． 3．如果一组数据2，3，4，5，的方差与另一组数据101，102，103，104，105的方差相等，那么的值（  ） A．6 B．1 C．6或1 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据数据x1，x2，…xn与数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同这个结论即可解决问题． 【详解】解：∵一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据101，102，103，104，105的方差相等， ∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5， ∴x=1或6， 故选：C． 【点睛】本题考查方差、平均数等知识，解题的关键利用结论：数据x1，x2，…xn与数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同解决问题，属于中考常考题型． 4．一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于________． 【答案】12 【分析】由方差的计算算式知，这组数据共有6个，且这组数据的平均数为2，再根据平均数的概念可得答案． 【详解】解：由方差的计算算式知，这组数据共有6个，且这组数据的平均数为2， 所以这组数据的和为6×2＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及平均数的定义． 5．已知一组数据的方差s2＝[（6﹣10）2+（9﹣10）2+（a﹣10）2+（11﹣10）2+（b﹣10）2]＝6.8，则a2+b2的值为_____． 【答案】296 【分析】先根据方差公式得出平均数为10，进而求出a+b=24，再根据方程公式计算得到，展开代入即可求解． 【详解】解：∵一组数据的方差s2＝[（6﹣10）2+（9﹣10）2+（a﹣10）2+（11﹣10）2+（b﹣10）2]＝6.8， ∴这组数据的平均数是10， ∴， ∴a+b=24， ∵s2＝[（6﹣10）2+（9﹣10）2+（a﹣10）2+（11﹣10）2+（b﹣10）2]＝6.8， ∴， 即 ， ∴， ∴． 故答案为：296 【点睛】本题考查了一组数据的方差公式，完全平方公式，理解方差公式意义是解题关键． 离差平方和的应用题型07 1．小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（   ） A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5 【答案】D 【分析】离差平方和的计算公式为每个数据与样本平均数的差的平方之和． 从给定的列式可知，每个数据均减去后平方，因此样本平均数为；列式中共有个平方项，因此样本容量为． 本题考查了样本容量和平均数，通过离差平方和公式的结构直接得出样本容量和平均数，需明确样本容量是数据的个数，平均数则是离差平方和计算中统一减去的数值． 【详解】解：∵ 离差平方和公式为，其中为样本平均数，为样本容量． 给定列式为， ∴ 每个数据与的差，故． 列式中有个平方项，故． ∴ 这组样本的平均数为，样本容量为， 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·联考）若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了离差和方差，根据方差定义为离差平方和的平均数，给定数据个数为，直接计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵离差平方和，数据个数， ∴方差， 故选：． 3．下表是10个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，计算按第4个间隔分组时的组间离差平方和．（提示：总离差平方和组内离差平方和组间离差平方和，总离差平方和为875.0） 【答案】组间离差平方和为 【分析】根据公式：组间离差平方和总离差平方和组内离差平方和求解即可． 【详解】解：∵总离差平方和为875.0，按第4个间隔分组时的组内离差平方和为290.8． ∴组间离差平方和． 答：组间离差平方和为． 4．观察下面三组数据的频数分布直方图的特征，思考哪组数据适合用组内离差平方和最小的原则进行分组．请说明理由． 【答案】解：适合用组内离差平方和最小原则分组的是第三组：80名九年级学生体能测试得分的数据．理由如下： 组内离差平方和最小的分组原则，是让同一组内的数据尽可能相近、不同组的数据差异尽可能大，适合存在天然“数据聚集簇”、呈现多峰分布的数据． 观察三组直方图： 第一组居民月均用水量，是单峰的、从左到右频数逐步递减的偏态分布，没有明显的多组数据聚集的特征； 第二组测量误差，是对称的单峰正态分布，数据集中在中心附近向两侧均匀递减，也没有分离的聚集簇； 第三组体能测试得分的直方图呈现明显的双峰形态，数据自然分成了低分段、高分段两个聚集的群体，用组内离差平方和最小的原则分组，可以把相近的得分归为同一组，让组内数据的差异尽可能小，契合这类存在多个数据聚集区的分布的分组需求． 【详解】略． 5．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）大连某饮品企业为优化生产管理、提升产品品质；针对旗下灌装生产线与合作代工厂开展数据统计分析，请结合所学知识解答下列问题： (1)甲、乙两条自动灌装线均灌装标准含量为的瓶装饮料，现从两条生产线上各随机抽取瓶产品，测量实际含量，结果（单位：）记录如下： 甲生产线： 乙生产线： 根据行业标准： 若单瓶饮料的含量误差（实际含量-标准含量）的绝对值超过，则判定该条灌装线的灌装质量不合格. 甲组误差/mL 乙组误差/mL ①请判断甲、乙两条灌装线的灌装质量是否合格，并说明理由； ②计算甲、乙灌装线被抽取的饮料实际含量的平均数和方差，分析哪条灌装线的灌装质量更好； (2)该企业有家合作代工厂，去年的年产值统计如表： 企业 产值/亿元 企业计划将这家代工厂按年产值的组内离差平方和最小的原则，把这家代工厂分为两组．请写出符合要求的分组方案． 小明的思路如下：将表中的数据按从小到大排序，可得，，，，，，将它们分成两组共有种分法，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和，结果如下表所示： 分组间隔 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 观察表中最后一列的组内离差平方和可以发现，当第 个间隔分组时，组内离差平方和达到最小值．因此，按组内离差平方和最小的原则，分组方案为 ． 请补全小明同学的解题过程． 【答案】(1)①甲、乙两条灌装线的灌装质量都合格，理由如下： 从误差表可知，甲、乙两条灌装线的灌装质量误差的绝对值最大分别是、，两者都小于，因此甲、乙两条灌装线的灌装质量都合格；②，，，，甲灌装线的灌装质量更好； (2)，第一组：，；第二组：，，，． 【分析】（1）①从误差表可知，甲、乙两条灌装线的灌装质量误差的绝对值最大分别是、，两者都小于，即可判断；②根据平均数和方差的定义分别求出甲、乙两条灌装线的平均数和方差，再根据平均数和方差即可判断哪条灌装线的灌装质量更好； （2）对五种分组的组内离差平方和进行比较，选取数值最小的那一组，对应写出企业分组． 【详解】（1）①略 ②解：， ， ， 甲、乙灌装线的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以甲灌装线的灌装质量更好； （2）解：， 当第个间隔分组时，组内离差平方和达到最小值． 根据产值的组内离差平方和最小的分法为第一组：，；第二组：，，，， 即第一组：，；第二组：，，，． 平均数与方差·创新性问题题型 1．甲、乙两个生物兴趣小组在探究“光照对绿豆种子发芽影响”的活动中，分别安排相同组数的实验，每组放置10粒种子，在相同的条件下，经过一段时间后，记录每组种子发芽的粒数，并把结果制成尚不完整的扇形统计图（图1）和完整的条形统计图（图2）． (1)求甲兴趣小组种子发芽为“8粒”的有几组； (2)甲兴趣小组种子发芽粒数的平均数，方差，求乙兴趣小组种子发芽粒数的平均数和方差，并判断哪个小组种子发芽情况较好些； (3)甲兴趣小组发现把一组种子发芽粒数记错了，若把正确的甲兴趣小组种子发芽粒数与乙兴趣小组种子发芽粒数合并得到一组新数据，这组数据的众数有3个，求甲兴趣小组的正确样本数据． 【答案】(1)2组 (2)，；甲组种子发芽情况较好些 (3) 【分析】（1）根据图2可得组数为，进而结合扇形统计，即可求解； （2）根据平均数与方差的定义，进行计算即可求解； （3）根据众数的定义分析，即可求解． 【详解】（1）解：∵甲、乙安排相同组数的实验，根据图2可得组数为 ∴甲兴趣小组种子发芽为“8粒”的有组 （2）解： ∵甲组的平均数大于乙组的平均数，且甲组的方差小于乙组的方差， ∴甲组种子发芽情况较好些 （3）解：甲组原数据为：，乙组的原数据为： 合并到一起为， ∵这组数据的众数有3个，且乙数据不变，则众数为，， ∴甲兴趣小组的正确样本数据为 2．（2025·福建莆田·二模）某大型超市对4种畅销商品的促销策略进行调整，据统计调整前后各商品的日均销售量不变，有关数据如表： 商品 A B C D 原售价（元） 8 8 12 16 现售价（元） 6 6 12 20 日均销售量（件） 100 100 200 300 (1)超市声称调整前后这4种商品的平均售价不变．请问超市是怎样计算的？ (2)然而部分消费者认为调整后这4种商品的平均售价增加了．请问消费者是怎样计算的？你认为超市和消费者哪一个的说法较能反映整体实际情况？ 【答案】(1) 超市是这样计算的， 调整前的平均售价：元， 调整后的平均售价：元； (2)消费者的说法较能反映整体实际情况， 调整前的平均售价：元， 调整后的平均售价：元， ， 部分消费者认为调整后这4种商品的平均售价增加了． 根据加权平均数的定义可知，消费者的说法较能反映整体实际情况． 【分析】本题考查平均数、加权平均数，熟知加权平均数的求法及其意义是解答的关键． （1）根据平均数的求解方法解答即可； （2）利用加权平均数的求解方法求的调整前后的加权平均数，再根据加权平均数反映整体实际情况可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 3．有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（），③．该小组成员分别得到一个结论： 甲：取，5个正整数不满足上述3个条件； 乙：取，5个正整数满足上述3个条件； 丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件； 丁：5个正整数，，，，满足上述3个条件，则（k为正整数）； 戊：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是（p为正整数）； 以上结论正确的个数有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】当时，再根据条件分别求解，，，，从而可判断甲；当时，再根据条件分别求解，，，，从而可判断乙；当是4的倍数，设，再根据条件分别求解，，，，可判断丙；设（k是正整数），再同时满足三个条件的情况下分别求解，，，，可判断丁；设（m是正整数），同时满足三个条件的情况下分别求解，，，，可得，，的平均数为，，的平均数为，得到，，的平均数与，的平均数之和为，从而可判断戊． 【详解】解：甲：若， 由条件①可得： ，， 由条件②得： ， 由条件③得： ， 解得：， 而是奇数， ∴“甲：取，5个正整数不满足上述3个条件”，结论正确； 乙：若， 由条件①可得： ，， 由条件②得： ， 由条件③得： ， 解得：，，符合题意， ∴“乙：取，5个正整数满足上述3个条件”，结论正确； 丙：若是4的倍数，设 （n是正整数）， 由条件①知： ，， 由条件②知： ， 由条件③，得 ， 解得：， 是奇数，符合题意， ∴“丙：当满足是4的倍数时，5个正整数满足上述3个条件”，结论正确； 丁：设（k是正整数）， 由条件①知： ，， 由条件②知： ，、是奇数， 由条件③，得 ， 解得：， ∵k是正整数， ∴也是正整数， ∴“丁：5个正整数，，，，满足上述3个条件，则（k为正整数）”，结论正确； 戊：设（m是正整数）， 由条件①知： ，， 由条件②知： ，、是奇数， 由条件③，得： ， 解得：， ∴， ∴，，的平均数为， ，的平均数为为偶数， ∴，，的平均数与，的平均数之和为， ∵m是正整数， ∴是5的倍数，也是10的倍数， ∴“戊：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与， 的平均数之和是（p为正整数）”结论正确． 综上所述，结论正确的个数有5个． 故选：D． 【点睛】本题考查的是数字规律的探究，一元一次方程的应用，整式的加减运算的应用，平均数的含义，理解题意，确定探究方法与解题思路是解本题的关键． 4．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n为整数）的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （Ⅰ）假设花店在这100天内每天购进16枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数和方差； （Ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，请从日利润的平均数的角度说明理由． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）平均数76，方差44； （Ⅱ）应购进17枝，理由如下： 当时，17枝玫瑰花全部卖出，每枝利润为（元）， 所以利润为； 当时，卖出n枝，每枝利润5元，剩下的枝损失成本每枝5元， 所以利润为； 综上，当一天购进 17枝玫瑰花时，利润y关于当天需求量n的函数解析式为 当时，元，共10天总利润为（元）； 当时，元，共20天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共15天总利润为（元）； 当时，元，共13天总利润为（元）； 当时，元，共10天总利润为（元）； 这100天的总利润为（元）， ∴当一天购进 17枝玫瑰花时，日利润的平均数为（元）； ∵当一天购进 16枝玫瑰花时，日利润的平均数为76元，且， ∴应购进17枝． 【分析】本题考查算术平均数和方差，概率公式，掌握算术平均数和方差的计算方法以及用频率估计简单随机事件发生的概率是正确解答的关键． （1）根据当天的利润与每天需求量之间的变化关系进行解答即可； （2）（Ⅰ）求出日需量为14、15、16、17、18、19、20时的每一天的利润，再求出100天的日利润的平均数和方差即可；（Ⅱ）先求出当一天购进 17枝玫瑰花时，利润y关于当天需求量n的函数解析式，再求出当一天购进 17枝玫瑰花时的日利润，即可求解． 【详解】（1）解：当时，16枝玫瑰花全部卖出，每枝利润为（元）， 所以利润为； 当时，卖出n枝，每枝利润5元，剩下的枝损失成本每枝5元， 所以利润为； 综上，利润y关于当天需求量n的函数解析式为； （2）解：（Ⅰ）当时，元，共10天总利润为（元）； 当时，元，共20天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共15天总利润为（元）； 当时，元，共13天总利润为（元）； 当时，元，共10天总利润为（元）； 这100天的总利润为（元）， ∴日利润的平均数为（元）； 日利润的方差为； （Ⅱ）解：略． 5．【平均数】李老师在黑板上写上若干个从1开始的连续自然数1，2，3，……，后来擦掉其中的一个，剩下的数的平均数是，则擦掉的这个自然数是________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设李老师一定写了（n是自然数）个数，擦掉的那个数为x，则可求出这个数的和为，再根据平均数的定义得到，可证明一定是正整数，则可证明是正整数，则n一定要是10的倍数，据此讨论n的值，进而解方程求出x的值看是否符合题意即可得到答案． 【详解】解：设李老师一定写了（n是自然数）个数，擦掉的那个数为x， 所以这个数的和为， 因为擦掉x后，剩下的数的平均数是， 所以，即， 因为n为自然数， 所以当n为奇数时，为偶数，为奇数，当n为偶数时，为奇数，为偶数， 所以不管n取何值，和为一奇一偶数， 所以一定是正整数， 又因为x也是正整数， 所以是正整数， 所以n一定要是10的倍数， 当时，，解得，此时不成立； 当时，，解得，此时成立； 当时，，解得，此时不成立； 同理可验证当，x的值都不符合题意； 综上所述，擦掉的数为13， 故答案为：13． 6．数据观念某年级140名学生的体重如下（单位：kg）： 49 48 43 52 62 74 43 51 46 47 51 45 50 46 52 54 50 58 55 58 48 48 53 49 56 55 56 43 54 68 47 61 51 44 41 49 53 52 49 52 62 58 52 54 50 47 66 46 47 44 72 55 43 60 51 41 48 49 43 52 63 44 41 47 48 49 55 53 58 50 50 43 60 61 52 50 42 44 46 67 47 66 46 47 69 48 43 50 50 43 46 47 44 42 55 56 55 56 43 54 49 56 55 56 65 43 60 51 41 48 43 52 62 46 52 54 50 58 58 52 49 48 43 50 50 47 44 42 55 63 60 48 43 50 50 43 49 53 52 49 用计算机计算出总体的平均数约为51.23，方差约为47.28． (1)用简单随机抽样的方法，从上述数据中抽取容量为10的两个样本，并分别计算这两个样本的平均数、方差，所得的结果一致吗？与总体的平均数、方差一致吗？如果抽取容量为20的样本呢？ (2)通过以上的抽样和计算，你有什么发现？请与同学交流 【答案】(1) 示例：从上述数据中抽取容量为10的两个样本，如下： 样本一：43  50  47  50  43  60  43  49  52  55 样本二：51  48  49  44  47  44  47  43  52  50 再抽取样本容量为20的一个样本，如下： 样本三：45  55  52  60  53  66  56  48  50  53  50  56  62  51  58  46  55  43  50  52 用计算器分别求出三个样本的平均数、方差如下表： 平均数 方差 样本一 49.2 27.96 样本二 47.5 8.65 样本三 53.05 31.0475 总体 51.23 47.28 这几个样本的平均数分别为，方差为，与总体的平均数、方差不一致． (2)当样本容量较小时，样本平均数、方差与总体的平均数、方差相差较大；当样本容量越接近总体数量时，其平均数、方差就越接近总体平均数、方差 【分析】本题考查了平均数、方差的计算方法以及样本与总体的关系等知识，解决问题的关键是掌握平均数、方差的计算方法． （1）从总体中任意抽取两个样本容量为10的样本，分别计算这两个样本的平均数、方差，再抽取样本容量为的一个样本，再计算平均数、方差，比较做出答案； （2）从样本容量的变化，观察样本平均数、方差与总体平均数、方差的变化情况，进行概括总结得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：通过以上的抽样和计算，我们可以发现，当样本容量较小时，样本平均数、方差与总体的平均数、方差相差较大；当样本容量越接近总体数量时，其平均数、方差就越接近总体平均数、方差． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $