6.1平均数与方差同步练习2026-2027学年北师大版八年级上册数学

**基本信息** 本练习通过基础计算、情境应用、综合分析三层设计，实现从平均数与方差概念理解到数据处理应用的递进，适配新授课知识巩固，培养运算能力与数据意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平均数、方差定义及简单计算|直接考查公式应用，如选择2计算平均分、填空11合并平均数| |巩固层|加权平均数、方差稳定性判断|结合实际情境，如选择6演讲比赛评分、填空14送教时间波动分析| |综合层|数据分组、统计图表分析|通过频数分布表（解答20）、条形统计图（解答18）提升数据处理与模型应用能力|

【北师大版八年级数学（上）课时练习】 §6.1 平均数与方差 一、选择题（每小题3分 共30分） 1．（本题3分）对甲、乙、丙3位同学的跳远成绩进行分析，他们的方差分别是，，，则这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 2．（本题3分）在学校举行的“阳光少年励志青春”演讲比赛中，5位评委给选手小明的评分分别为90，85，90，80，95，则这组数据的平均数是（  ） A．88 B．85 C．90 D．89 3．（本题3分）小丽在本学期的数学成绩如下：平时测验成绩为93分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是（　　） A．92.5分 B．92.8分 C．93.1分 D．93.3分 4．（本题3分）下列说法正确的是（ ） A．调查黄河的水质情况应采用普查的方式 B．一组数据2，2，2，2，2的方差是2 C．一组数据2，4，5，5，6的众数是5 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组数据波动小 5．（本题3分）某班级前十名的数学成绩分别为100，100，97，95，95，94，93，93，92，91，则这组数据的平均分为（　　） A．95 B．94.5 C．95.5 D．96 6．（本题3分）某校举办了以“红心颂党恩，喜迎二十大”为主题的演讲比赛．已知某位选手在演讲内容、演讲结构、演讲表达三项的得分分别为94分，80分，90分，若依次按照50%，30%，20%的百分比确定成绩，则该选手的成绩是(   ) A．85分 B．88分 C．89分 D．90分 7．（本题3分）某校足球队队员年龄的平均数为13岁，方差为2岁．若两年后该足球队队员不变，则下列关于队员前后年龄的说法，正确的是（  ） A．平均数不变，方差改变 B．平均数不变，方差不变 C．平均数改变，方差不变 D．平均数改变，方差改变 8．（本题3分）运动会米赛跑，位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ） 运动员 平均成绩 标准差 时间（秒） A． B． C． D． 9．（本题3分）五位同学的实心球成绩分别为6.8，6.0，5.6，5.0，7.2（单位：），老师计划将他们按成绩高低分成两组，分别计算出组内离差平方和（结果精确到0.01），如下表： 分组方案 第1组 第2组 组内离差平方和 方案① 5.0 5.6，6.0，6.8，7.2 方案② 5.0，5.6 6.0，6.8，7.2 0.93 方案③ 5.0，5.6，6.0 6.8，7.2 0.59 方案④ 5.0，5.6，6.0，6.8 7.2 1.71 想让组内同学的水平最接近，上述分组最合理的是（  ） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案④ 10．（本题3分）一组数据：-1，1，3，4，a，若它们的平均数为2，则这组数据的众数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分 共15分） 11．（本题3分）有6个数据的平均数是10，另有4个数据的平均数是5，那么这10个数据的平均数是________． 12．（本题3分）数据的方差等于______． 13．（本题3分）极差，方差，标准差，都是用来描述数据的___________，一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越___________． 14．（本题3分）某校老师承担了对甲、乙两名学生每周“送教上门”的任务甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）如下： 甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9． 从接受“送教上门”的时间波动大小来看，______学生每周接受送教的时间更稳定（填“甲”或“乙”）． 15．（本题3分）某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A，B，C三名候选人进行了三项素质测试．他们的各项测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩/分 A B C 创新 72 85 67 综合知识 50 74 70 语言 88 45 67 （1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？ （2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4： 3：1 的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ 当一组数据中各个数据重要程度不同时，加权平均数能更好地反映这组数据的平均水平． 权反映数据的重要程度，数据权的改变一般会影响这组数据的平均水平． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）某商场招聘员工一名，现有甲、乙、丙三人竞聘．通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩（百分制）如下表所示． 应试者 计算机 语言 商品知识 甲 70 50 80 乙 90 75 45 丙 50 60 85 （1）若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知识分别赋权2，3，5，计算三名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？ （2）若商场需要招聘电脑收银员，计算机、语言、商品知识成绩分别占50%，30%，20%，计算三名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？ 17．（本题7分）某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王 65 75 （1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩； （2）若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1∶3∶6的权重来确定期末评价成绩． ①请计算小张的期末评价成绩为多少分？ ②小王在期末应该最少考多少分才能达到优秀？ 18．（本题8分）“五四”青年节前夕，学校为每个班都拍摄了若干张风格迥异的集体照，由各同学自行选择留作纪念．为了解同学们对集体照的选择情况，全校进行了一次抽样调查，按照同学们选择的张数把选择情况分为四个层次：A：4张；B：3张；C：2张；D：1张．并将调查结果绘制成了条形统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）抽样调查的学生总人数为 （人）；（2）补全条形统计图和扇形统计图； （3）根据调查结果，估计全校2000名同学一共选择了多少张集体照？ 19．（本题8分）某地教育局为了解某校高中学生的每天平均睡眠时间的情况，随机抽取了该校50名高中学生进行调查访问，收集数据，整理数据，将数据分成7组，用频数分布直方图描述数据，请你根据图表解决以下问题： （注：每个组取值范围包含左端点不包含右端点） (1)该校500名高中学生中，每天平均睡眠时间至少8小时的人数约有多少？ (2)求这组数据的平均数．（提示：利用直方图求平均数时，一般取每个组的取值范围的中点值作为估算值进行计算．例如，第1组的取值范围，则取作为第1组的估算值．） (3)如果你是当地教育局负责人，请你根据以上数据，对该学校提出一条整改建议． 20．（本题8分）为了解某果园中苹果树的产量情况，果农随机抽取了20棵苹果树，统计其苹果产量，得到如下频数分布表． 产量（千克） 组中值 频数（苹果树数量） 35 b 45 3 a 7 65 5 75 2 85 1 (1)______，______； (2)求抽取的这20棵苹果树的平均产量． 21．（本题9分）我县某校响应教体局号召，开展了向贫困学校捐书的活动，为了解学生的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名学生作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本，5本，6本，7本，8本五类，分别用A，B，C，D，E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)这30名学生捐书本数的众数为______； (3)计算这30名学生捐书本数的平均数，并估计该校八年级300名学生共捐书多少本？ 22．（本题9分）为进一步加强学生体质，某中学推行“阳光体育活动”计划，要求学生在课后自主完成体育锻炼并记录，经过一段时间后，学校随机抽查了该校30名学生某一天课后体育锻炼时间（单位：分钟），如图是根据抽查结果绘制的统计图的一部分： 根据以上信息解决以下问题： (1)这一天课后体育锻炼时间为60分钟的人数为__________人，请补全条形统计图； (2)这一天课后体育锻炼时间的众数是__________； (3)若该校共有600名学生，请估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数． 学科网（北京）股份有限公司 【北师大版八年级数学（上）课时练习】 §6.1 平均数与方差 一、选择题（每小题3分 共30分） 1．（本题3分）对甲、乙、丙3位同学的跳远成绩进行分析，他们的方差分别是，，，则这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 解：∵，，， ∴， ∴这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是乙． 故选：B． 2．（本题3分）在学校举行的“阳光少年励志青春”演讲比赛中，5位评委给选手小明的评分分别为90，85，90，80，95，则这组数据的平均数是（  ） A．88 B．85 C．90 D．89 解：． 故选：A． 3．（本题3分）小丽在本学期的数学成绩如下：平时测验成绩为93分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是（　　） A．92.5分 B．92.8分 C．93.1分 D．93.3分 解：∵ 权重比为， ∴ 总权重为， ∴ 总评成绩 （分）． 故选：D． 4．（本题3分）下列说法正确的是（ ） A．调查黄河的水质情况应采用普查的方式 B．一组数据2，2，2，2，2的方差是2 C．一组数据2，4，5，5，6的众数是5 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组数据波动小 解：A．调查黄河的水质情况适合采用抽样调查，普查的调查难度大，故本选项不合题意； B．一组数据2，2，2，2，2的方差是0，故本选项不合题意； C．一组数据2，4，5，5，6的众数是5，故本选项符合题意； D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差， 则甲组数据比乙组数据波动大，故本选项不合题意； 故选：C． 5．（本题3分）某班级前十名的数学成绩分别为100，100，97，95，95，94，93，93，92，91，则这组数据的平均分为（　　） A．95 B．94.5 C．95.5 D．96 解：这组数据的平均分为 ＝95． 故选A． 6．（本题3分）某校举办了以“红心颂党恩，喜迎二十大”为主题的演讲比赛．已知某位选手在演讲内容、演讲结构、演讲表达三项的得分分别为94分，80分，90分，若依次按照50%，30%，20%的百分比确定成绩，则该选手的成绩是(   ) A．85分 B．88分 C．89分 D．90分 解：由题意可得， 94×50%+80×30%+90×20% =47+24+18 =89（分）， 故选：C． 7．（本题3分）某校足球队队员年龄的平均数为13岁，方差为2岁．若两年后该足球队队员不变，则下列关于队员前后年龄的说法，正确的是（  ） A．平均数不变，方差改变 B．平均数不变，方差不变 C．平均数改变，方差不变 D．平均数改变，方差改变 解：∵原平均年龄为13 岁，两年后每个队员年龄均增加 2 岁， ∴新平均数为 岁，平均数改变． 方差反映数据的波动程度．设原年龄为，原平均数为；两年后年龄为，新平均数为 ． 此时，每个数据与新平均数的差为 ，与原数据和原平均数的差 完全相同． 由于方差是 “差的平方的平均数”，差不变则方差不变． 综上，平均数改变，方差不变， 故选：C． 8．（本题3分）运动会米赛跑，位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ） 运动员 平均成绩 标准差 时间（秒） A． B． C． D． 解：由表可得，运动员的成绩为， ∴位运动员成绩分别为 ∴个数据的方差为， ∴标准差为， 故选：． 9．（本题3分）五位同学的实心球成绩分别为6.8，6.0，5.6，5.0，7.2（单位：），老师计划将他们按成绩高低分成两组，分别计算出组内离差平方和（结果精确到0.01），如下表： 分组方案 第1组 第2组 组内离差平方和 方案① 5.0 5.6，6.0，6.8，7.2 方案② 5.0，5.6 6.0，6.8，7.2 0.93 方案③ 5.0，5.6，6.0 6.8，7.2 0.59 方案④ 5.0，5.6，6.0，6.8 7.2 1.71 想让组内同学的水平最接近，上述分组最合理的是（  ） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案④ 解：∵方案①第一组只有个数据，离差平方和为， 第二组数据为，第二组的平均数， ∴第二组的离差平方和为， ∴， 比较四个方案的组内离差平方和得 ， ∵组内离差平方和越小，组内同学成绩越接近，水平越一致， ∴方案③分组最合理．故选：C 10．（本题3分）一组数据：-1，1，3，4，a，若它们的平均数为2，则这组数据的众数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 解:根据题意得： 解得 则这组数的众数为3． 故选：C． 二、填空题（每小题3分 共15分） 11．（本题3分）有6个数据的平均数是10，另有4个数据的平均数是5，那么这10个数据的平均数是________． 解：有6个数据的平均数是10，另有4个数据的平均数是5， 这10个数据的平均数， 故答案为：． 12．（本题3分）数据的方差等于______． 解：数据的平均值为， 各数据与平均值的差分别为，平方后为， 这些平方的平均值为． 故答案为：2． 13．（本题3分）极差，方差，标准差，都是用来描述数据的___________，一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越___________． 解: 离散程度 稳定 14．（本题3分）某校老师承担了对甲、乙两名学生每周“送教上门”的任务甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）如下： 甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9． 从接受“送教上门”的时间波动大小来看，______学生每周接受送教的时间更稳定（填“甲”或“乙”）． 解:平均数： ， ， 方差： ， ， ∵， ∴甲学生每周接受送教的时间更稳定， 故答案为：甲． 15．（本题3分）某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A，B，C三名候选人进行了三项素质测试．他们的各项测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩/分 A B C 创新 72 85 67 综合知识 50 74 70 语言 88 45 67 （1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？ （2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4： 3：1 的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ 当一组数据中各个数据重要程度不同时，加权平均数能更好地反映这组数据的平均水平． 权反映数据的重要程度，数据权的改变一般会影响这组数据的平均水平． 解：（1）A的平均成绩为 B的平均成绩为 C的平均成绩为 因此候选人______将被录用． （2）根据题意，三人的测试成绩如下： A的测试成绩为（分） B的测试成绩为（分） C的测试成绩为（分） 因此候选人_____将被录用． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）某商场招聘员工一名，现有甲、乙、丙三人竞聘．通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩（百分制）如下表所示． 应试者 计算机 语言 商品知识 甲 70 50 80 乙 90 75 45 丙 50 60 85 （1）若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知识分别赋权2，3，5，计算三名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？ （2）若商场需要招聘电脑收银员，计算机、语言、商品知识成绩分别占50%，30%，20%，计算三名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？ 解:（1）甲的平均成绩为： 乙的平均成绩为： 丙的平均成绩为： 显然丙的平均成绩最高，故录取丙； （2）甲的平均成绩为： 乙的平均成绩为： 丙的平均成绩为： 显然乙的平均成绩最高，故录取乙； 17．（本题7分）某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王 65 75 （1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩； （2）若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1∶3∶6的权重来确定期末评价成绩． ①请计算小张的期末评价成绩为多少分？ ②小王在期末应该最少考多少分才能达到优秀？ 解：（1）小张的期末评价成绩为（分）； （2）①小张的期末评价成绩为（分）； ②设小王期末考试x分，根据题意可得：，解得， ∴小王在期末应该最少考85分才能达到优秀． 18．（本题8分）“五四”青年节前夕，学校为每个班都拍摄了若干张风格迥异的集体照，由各同学自行选择留作纪念．为了解同学们对集体照的选择情况，全校进行了一次抽样调查，按照同学们选择的张数把选择情况分为四个层次：A：4张；B：3张；C：2张；D：1张．并将调查结果绘制成了条形统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）抽样调查的学生总人数为 （人）；（2）补全条形统计图和扇形统计图； （3）根据调查结果，估计全校2000名同学一共选择了多少张集体照？ 解：（1）调查的总人数为90÷30%＝300（人）； （2）C层次的人数： （人）， B层次的人数： （人）， D层所占百分比： ， B层次所占百分比： ； 补全图形如下： （3）∵（张/人）， ∴（张）， ∴估计全校2000名同学一共选择了5800张集体照． 19．（本题8分）某地教育局为了解某校高中学生的每天平均睡眠时间的情况，随机抽取了该校50名高中学生进行调查访问，收集数据，整理数据，将数据分成7组，用频数分布直方图描述数据，请你根据图表解决以下问题： （注：每个组取值范围包含左端点不包含右端点） (1)该校500名高中学生中，每天平均睡眠时间至少8小时的人数约有多少？ (2)求这组数据的平均数．（提示：利用直方图求平均数时，一般取每个组的取值范围的中点值作为估算值进行计算．例如，第1组的取值范围，则取作为第1组的估算值．） (3)如果你是当地教育局负责人，请你根据以上数据，对该学校提出一条整改建议． （1）解：（人）； 答：该校500名高中学生中，每天平均睡眠时间至少8小时的人数约有190人； （2）解：， 答：这组数据的平均数为． (3)建议学校减少学生课后作业量，增加学生的睡眠时间．（答案不唯一合理即可） 20．（本题8分）为了解某果园中苹果树的产量情况，果农随机抽取了20棵苹果树，统计其苹果产量，得到如下频数分布表． 产量（千克） 组中值 频数（苹果树数量） 35 b 45 3 a 7 65 5 75 2 85 1 (1)______，______； (2)求抽取的这20棵苹果树的平均产量． （1）解：， ． 故答案为：55，2； （2）解：（千克）， 答：抽取的这20棵苹果树的平均产量为千克． 21．（本题9分）我县某校响应教体局号召，开展了向贫困学校捐书的活动，为了解学生的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名学生作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本，5本，6本，7本，8本五类，分别用A，B，C，D，E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)这30名学生捐书本数的众数为______； (3)计算这30名学生捐书本数的平均数，并估计该校八年级300名学生共捐书多少本？ （1）解： D组人数=30-4-6-9-3=8． 补全的条形统计图如图所示： （2）解：捐6本书的人数最多，所以众数是6本，故答案为：6； （3）解：（本）（本） 答：这30名学生捐书本数的平均数是6，估计该校八年级300名学生共捐书1800本． 22．（本题9分）为进一步加强学生体质，某中学推行“阳光体育活动”计划，要求学生在课后自主完成体育锻炼并记录，经过一段时间后，学校随机抽查了该校30名学生某一天课后体育锻炼时间（单位：分钟），如图是根据抽查结果绘制的统计图的一部分： 根据以上信息解决以下问题： (1)这一天课后体育锻炼时间为60分钟的人数为__________人，请补全条形统计图； (2)这一天课后体育锻炼时间的众数是__________； (3)若该校共有600名学生，请估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数． （1）解：体育锻炼时间为60分钟的人数为（人）； 补全条形统计图为 故答案为：7 （2）解：由条形图可知，体育锻炼时间55分钟的人数最多，故众数为55． 故答案为：55 （3）解：（人） 答：估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生由180人． $