5.5三元一次方程组（分层作业，9大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 5.5 三元一次方程组 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 三元一次方程定义 题型02 解三元一次方程组 题型03 三元一次方程组的应用-商品购买问题 题型04 三元一次方程组的应用-数字组合问题 题型05 三元一次方程组的应用-生产工程问题 题型06 三元一次方程组的应用-其他问题 题型07 列三元一次方程组 B组 能力进阶 题型 利用三元一次方程组求代数式值 C组 思维拔高 题型 三元一次不定方程组的应用 三元一次方程定义题型01 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 2．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组．含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程叫做三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、未知数的最高次数为2次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； B、分母含有未知数，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； C、未知数的最高次数为3次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； D、是三元一次方程组，符合题意，选项正确； 故选：D． 3．下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 4．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 5．含有________个未知数，并且所含未知数的项的次数都是________，这样的方程叫做三元一次方程．例如：x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝20 【答案】 三 1 【解析】略 解三元一次方程组题型02 1．已知，，则y与x的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两等式相加消去k即可得到y与x的关系式． 【详解】解：联立得：， ①+②得：x+y=5． 故选：C． 【点睛】此题考查了解三元一次方程，利用了消元的思想，消去k是解本题的关键． 2．请写出三元一次方程的一组解：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三元一次方程的解，熟练掌握该知识点是解题的关键．写出合适的答案即可． 【详解】解：当时，那么符合题意； 故答案为：． 3．（25-26八年级·期末）在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ：______________. 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程的变形，掌握移项法则和等式的性质是解题的关键．通过移项和系数化为1，将z用含x、y的代数式表示． 【详解】　解：将方程 移项，得 ； 两边同时除以，得 ，化简得 故答案为： ． 4．方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，先整理出，再代入，得出，再把代入，得出，则把代入解出，即可作答． 【详解】解： 由得出，整理得 把代入，得出 解得 把代入，得出 把代入，得出 ∴方程组的解为 故答案为： 5．若方程组的解是，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，方程组的解就是使方程组中每一个方程都成立的未知数的值是解题的关键．把代入方程组通过整体思想即可求解 【详解】解：把代入方程组得： 得： 由①得 将④代入得： 将③代入 故： 故答案为： ． 三元一次方程组的应用-商品购买问题题型03 1．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元；若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（    ） A．20元 B．30元 C．40元 D．50元 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元；若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元．”可得出关于的三元一次方程组，得，，即可求出购买一件二等奖所需的费用． 【详解】解：设一等奖奖品的单价是元，二等奖奖品的单价是元，三等奖奖品的单价是元，根据题意得， 得， 解得： 故选：B． 2．特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为_________． 【答案】4：3 【分析】设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，根据三种特产的总利润是总成本的25%列得，计算可得． 【详解】解：设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，由题意得 ， 解得3y=4x， ∴y：x=4：3， 故答案为：4：3． 【点睛】此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键． 3．夏季来临，某饮品公司推出A、B、C三种新饮品试销，4月份A、B、C三种饮品的销量之比为5：4：1．在5月份，公司对A打折促销，将A价格调整为原来的，B的价格不变，并停止销售C饮品，结果原来C销量的转移购买了A，其余转移购买了B．5月的总销量在4月的基础上增加了，其中B饮品的销量除去从C转移过的部分增长了，5月A的销售额占5月总销售额的，5月的销售总额是4月的倍，则4月C的销售额与4、5两月的销售总额的比为_________． 【答案】##1：91 【分析】设4月份A、B、C三种饮品的销量分别为5a，4a，a，4月份A、B、C三种饮品的销售价格分别为x元、y元、z元，根据题意可得5月份A、B两种饮品的销售价格和销售量，并得出x、y、z之间的关系，再列式求解即可． 【详解】设4月份A、B、C三种饮品的销量分别为5a，4a，a，4月份A、B、C三种饮品的销售价格分别为x元、y元、z元，5月份A饮品的销量除去从C转移过的部分为m， 根据题意可得，5月份A种饮品的销售价格为元，B种饮品的销售价格为y元，5月份A种饮品的销量为，B种饮品的销售量为； ∵5月的总销量在4月的基础上增加了， ∴， 解得， ∴5月份A种饮品的销量为， ∵5月A的销售额占5月总销售额的， ∴， ∴， ∴5月的销售总额是=13ax， ∵5月的销售总额是4月的倍， ∴， ∴， ∴4月份的销售总额为：， ∴4月C的销售额与4、5两月的销售总额的比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用，列代数式，关键是根据题意正确列出方程． 4．合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行月总收入＝基本工资计件奖金的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息： 营业员：月销售件数件，月总收入元； 营业员：月销售件数件，月总收入元． 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值； (2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元；如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买一件甲服装需要元，购买一件乙服装需要元，购买一件丙服装需要元，根据题意列出三元一次方程组，得出，即可求解． 【详解】（1）解：设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元， 根据题意得：， ， （2）解：设购买一件甲服装需要元，购买一件乙服装需要元，购买一件丙服装需要元， 根据题意得：， ，得：． 答：购买甲、乙、丙服装各一件共需元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 5．（24-25七年级下·河南周口·期末）[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： (1)已知实数x、y满足，，求和的值． (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 【答案】(1)，19； (2)购买5 支铅笔、5块橡皮．5本日记本共需30元． 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，掌握加减消元法是解题的关键． （1）根据整体代入的思想，即可求得的值，由即可求得的值； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据题意列出方程组，根据整体的思想由可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵实数x、y满足，， ∴得， 得． （2）解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得：， 由可得， ∴， 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 三元一次方程组的应用-数字组合问题题型04 1．一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（    ） A．325 B．217 C．433 D．541 【答案】B 【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加，设个位、十位、百位上的数字为，则原来的三位数表示为：，新数表示为：,故根据题意列三元一次方程组即可求得． 【详解】解：设个位、十位、百位上的数字为 依题意得： , 解得 原来的三位数字是217 故选：B 【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解． 2．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（   ） A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．根据“加密规则为：明文，，，对应密文，，”，即可得出关于，，的三元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：依题意得：， 解得：． 故选：C． 3．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（    ） a b c 10 d e A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：， ， ； 故选：D． 4．（24-25七年级上·山东临沂·期中）相传洛书是一个三阶幻方，就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在如图的幻方中也有类似的规律，则的值为_________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，根据每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，可列出关于的三元一次方程，变形后，即可求出的值，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 【详解】根据题意得：， ∴， 故答案为：3． 5．一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组在数字问题中的应用，核心是掌握三位数的代数表示方法：原三位数可表示为(其中为百位数字，为十位数字，为个位数字)，并根据题目给出的三个等量关系构建方程组求解．首先设出三个数位的数字，根据“各数位数字和为”“个位与十位数字和比百位大2”“对调百位与十位后的新数比原数小”分别列出方程；接着化简第三个方程得到，再将第二个方程代入第一个方程求出的值；然后代入求出的值，最后代入第二个方程求出的值，进而组合得到原三位数． 【详解】解：设原三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为． 根据题意，列出方程组：， 化简得， 将②代入①，得：，解得：； 把代入③，得：，解得； 把，代入②，得：，解得； 原三位数为； 答：原三位数为． 三元一次方程组的应用-生产工程问题题型05 1．某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？ 【答案】第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人 【分析】本题主要考查三元一次方程组的运用，根据题意，设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，由数量关系列式求解即可． 【详解】解：设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，依题意，得     ， 解得 ， 答：第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人． 2．（24-25下·山东·月考）某服装厂专门安排名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖个，或衣身个，或衣领个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 【答案】应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是找准等量关系． 设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，根据题中的等量关系列出方程组求解． 【详解】解：设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套， 依题意有， 解得． 答：应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 3．某公司装修需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．于是需将每张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)填空：上表中， ， ； (2)如果所购的标准板材为张，按裁法一、裁法二和裁法三全部裁完，且所裁出的、两种型号的板材块数与所需块数相符．问按三种裁法各裁标准板材多少张？ 【答案】(1)， (2)按裁法一、裁法二和裁法三裁裁标准板材分别为张、张和张 【分析】（1）按裁法二裁剪时，块型板材块的长为，，所以无法裁出型板，按裁法三裁剪时，块型板材块的长为，，而块型板材块的长为所以无法裁出块型板，即可得出答案； （2）设按裁法一裁张，按裁法二裁张，按裁法三裁张，由题意等量关系列出一元三次方程组即可． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材块的长为，， 无法裁出型板，则； 按裁法三裁剪时块型板材块的长为，， 可以裁出块型板， 而块型板材块的长为，， 无法裁出块型板，则， 故答案为：，； （2）设按裁法一裁张，按裁法二裁张，按裁法三裁张， 根据题意：， 解得：， 答：按裁法一、裁法二和裁法三裁裁标准板材分别为张、张和张． 【点睛】主要考查了三元一次方程组的应用，解答此题的关键是正确理解题意，在做题时要明缺所裁出型板材和型板材的总长度不能超过． 4．下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）． (1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？ 甲 乙 丙 每辆汽车能装的吨数 2 1 每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4 (2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆 (2)安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元 【分析】（1）设装运乙种蔬菜的汽车为辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为辆、辆、辆，可以得到出，即可得，根据、、都为自然数，可得为3的倍数，结合，可得或或，问题随之得解． 【详解】（1）解：设装运乙种蔬菜的汽车为辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆． 列方程：， 解得． 即． 答：装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆； （2）解：设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为辆、辆、辆， 则， 得：， ∴， ∴． ∵、、都为自然数， ∴为3的倍数， 又∵， ∴或或， ∴或或， 当时，利润为：（元）， 当时，利润为：（元）， 当时，利润为：（元）， 由上可知，最大利润为元． 答：安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及三元一次方程组的应用，明确题意，正确列出方程，是解答本题的关键． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 【答案】(1)两种类型食物各需13名，11名志愿者 (2)方案一：A类型11人，B类型17人，C类型12人；方案二：A类型12人，B类型14人，C类型14人；方案三：A类型13人，B类型11人，C类型16人． 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． （1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可． 【详解】（1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，由题意，得 ， 解得， 所以两种类型食物各需13名，11名志愿者； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，由题意，得 ， 得： ， ∴， ∵每种类型的食物至少安排11名志愿者， ∴当时，， 当时，， 当时，， 所以方案一：A类型11人，B类型17人，C类型12人；方案二：A类型12人，B类型14人，C类型14人；方案三：A类型13人，B类型11人，C类型16人． 三元一次方程组的应用-其他问题题型06 1．已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是，根据题意列出方程组为，解方程组即可解答，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是， 根据题意得为， 解得：， ∴黄铜含有铜和锌的比， 故选：． 2．（2025·陕西西安·模拟）勾股定理是人类最伟大的数学发现之一、如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，两个阴影部分的面积分别记为，，若已知，，的斜边的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，读懂题意得到阴影部分的面积与正方形的面积关系是解题的关键．设边的正方形面积为，边的正方形面积为，边的正方形面积为，根据勾股定理得到，然后根据阴影部分的面积关系得到，，解之得到，即可得到的值． 【详解】解：设边的正方形面积为，边的正方形面积为，边的正方形面积为， ， ， ， ，， ，， ， 解得， ， ． 故答案为：． 3．甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解对其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多？(多的比少的)多几道题？ 【答案】难题多   20道 【分析】本题有三个未知数：难题个数、容易题个数、正好两人解出的题（中等难度的题）的个数，有两个等量关系： （1）难度题个数+容易题个数+中等难度题个数=100．（2）难题个数+容易题个数×3+中等难度题个数×2=60×3． 【详解】设难题道，容易题道，中等难度题道，则有 ， 由①×2-②，得. 所以难题比容易题多20题. 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”． 4．下表是2015-2016赛季英超联赛积分表的一部分（ 截至2月16日上午8点）． 排名 球队 场次 胜 平 负 进球 失球 净胜球 积分 1 莱斯特城 26 15 8 3 48 29 19 53 2 托特纳姆热刺 26 14 9 3 47 20 27 51 3 阿森纳 26 15 6 5 41 23 18 51 4 曼城 26 14 5 7 28 20 47 5 曼联 26 11 8 7 33 24 9 41 6 南安普敦 26 11 7 8 34 24 10 40 备注 积分=胜场积分+平场积分+负场积分  净胜球=进球-失球 (1)表格中曼城进球数的值为_______，本次比赛胜一场积_______分，平一场积_______分，负一场积_______分． (2)已知利物浦队比赛26场积38分，且平场和负场次数相同，求利物浦队胜场次数． 【答案】(1)48，3，1，0 (2)利物浦队胜了10场 【分析】本题考查了有理数加法的应用，三元一次方程组的应用，一元一次方程的应用， （1）直接根据净胜球=进球-失球列式计算即可求得m；设本次比赛胜一场积x分，平一场积y分，负一场一场积z分，根据积分列三元一次方程组，求解即可； （2）设利物浦队胜m场，根据积分列一元一次方程，求解即可； 准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， 设本次比赛胜一场积x分，平一场积y分，负一场一场积z分，由题意得 ， 解得， ∴本次比赛胜一场积3分，平一场积1分，负一场一场积0分， 故答案为：48，3，1，0； （2）设利物浦队胜m场，由题意得 解得， 所以，利物浦队胜了10场． 5．如图，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是，，，，直线通过，，直线通过，，用表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是，直线，之间被圆盖住的面积是，阴影部分的面积，，满足关系式，求． 【答案】 【分析】本题考查的是三元一次方程组的应用，根据题意结合图形列方程组，用代入消元法解方程组求出的值．观察图形可以得到四个圆之间的位置关系，根据重叠部分的面积可以列出一个方程，然后与题目中，，的关系联立方程组，解方程组得到的值． 【详解】解：由题设可得： ， ∴①， 又， 即：②， 把①代入②消去得：． 列三元一次方程组题型07 1．现有A，B，C三箱橘子，其中A，B两箱共100个橘子，A，C两箱共102个橘子，B，C两箱共106个橘子，求每箱各有多少个橘子．在该问题中，若设A，B，C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个，则可列方程组为______． 【答案】 【分析】题目主要考查三元一次方程组的应用，理解题意是解题关键． 根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设A，B，C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个， 根据题意得：， 故答案为：． 2．在学校为七年级同学进行体检时．校医室的体重计出现了故障，只能称出60千克以上的质量，恰好参加体检的大多数同学的体重不足60千克．要使体检顺利进行，你能利用方程组的知识，为校医设计一种称体重的方案吗？ 【答案】 解：三个人一组，进行称重，设三个人的体重分别为：， 第一个人与第二个人一起称，第二个人与第三个人一起称，第三个人与第一个人一起称， 根据称重的结果，列出三元一次方程组，进而即可得到每个人的体重． 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用； 三个人一组，进行称重，设三个人的体重分别为：，每两个人一起称重，列出三元一次方程组，即可求解． 【详解】略 利用三元一次方程组求代数式值题型 1．（24-25七年级下·吉林长客·月考）已知方程组，则的值为（  ） A．6 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，直接把三个方程相加即可得到答案． 【详解】解：， 得：， ∴， 故选：C 2．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三个方程相加，即可求解． 【详解】解： 得 ∴ 故答案为：． 3．（25-26七年级下·河南周口·月考）若，则______． 【答案】 【分析】将三个方程左右两边分别相加，整理化简即可得到的值． 【详解】解：， 得：， 整理得：， 等式两边同时除以得：． 4．（24-25下·上海·期末）已知方程组，则的值_____． 【答案】5 【分析】本题考查了三元一次方程组，利用整体思想解题是关键．利用加减消元法可得，再整体代入方程组求解即可． 【详解】解：， 由得：， 将③代入①得：， 则， 故答案为：5． 5．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中的三角形是格点三角形，其中；图中格点多边形所对应的S，N，L分别是________．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为，其中a，b，c为常数，则当时， _______．（用数值作答） 【答案】 7，3，10 11 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，求出S与N，L的关系是解答本题的关键．根据S，N，L的含义可解答空1，根据图可知四边形由四个小正方形组成求出，，，然后根据题意组成三元一次方程组，解出a，b，c的值，进而求出，然后代入，可解答空2． 【详解】解：对于格点多边形：，，， ∴图中格点多边形所对应的S，N，L分别是7，3，10； 由图可知四边形由四个小正方形组成，此时， ，，， ∵格点多边形的面积， ∴结合图中的格点三角形，格点四边形及格点多边形可得， ， 解得： ∴， 当时， ． 故答案为：7，3，10；11． 三元一次不定方程组的应用题型 1．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（    ）． A．11支 B．9支 C．7支 D．5支 【答案】D 【分析】根据题意列出三元一次方程组消元，再求解即可． 【详解】解：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为x、y、z支，由题意，得 ①×4-②×5得， 所以， 将代入①，得． 即． ∵， ∴， ∴x为小于6的正整数， 四个选项中只有D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了三元一次方程组，一元一次不等式，熟练掌握列方程组，解不等式的基本步骤是解题的关键． 2．（25-26七年级·浙江杭州·期末）已知关于，，的方程组，若为定值，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】消去后整理出含的式子，因为为定值，因此的系数为，即可推得与的关系． 【详解】解： 得 ， ， 为定值， ， ． 3．（25-26七年级上·四川成都·月考）在a，b，c，d，e，f，g，h中，每个字母的值恰好选自，0，4这三个数值中的一个（每个数字至少被选中一次），若，则______． 【答案】6或14 【分析】本题考查了绝对值，根据已知条件a，b，c，d，e，f，g，h中，每个字母的值恰好是，0，4这三个数值中的一个，，求出其中5个字母的值的和为0，进行推导即可． 【详解】解：∵a，b，c，d，e，f，g，h中，每个字母的值恰好是，0，4这三个数值中的一个，，， ∴有3个字母的值分别为，0，4，另5个字母的值的和为0， 设这5个字母取4，0，的个数依次为x，y，z， 则有： ， 解得或， ∴这5个字母的值分别为：0，0，0，0，0或， ∴ ， 或 ． 故答案为：6或14． 4．我们探究得方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，…，那么方程的正整数解有______组． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于时对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，，，， ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故答案为：． 5．有7个完全相同的小球，3个完全相同的盒子，他们都不加以区别，若将这7个小球分别放入这3个盒子中，允许有盒子空着不放，则不同放法有______种． 【答案】8 【分析】首先假设出三个盒子里的球数，得出，，得出一个盒子的球数后，再进行分析推理．本题考查的是三元一次方程的应用，加法原理与乘法原理，根据题意得出的值，再根据的值进行分析是解决问题的关键． 【详解】解：设放在三个盒子里的球数分别为、、，球无区别，盒子无区别，故可令，依题意有，于是，，故只有取3、4、5、6、7共五个值． ①时，，则只取3、2，相应取1、2，故有2种放法； ②时，，则只取3、2，相应取0、1，故有2种放法； ③时，，则只取2、1，相应取1、0，故有2种放法； ④时，，则只取1，相应取0，故有1种放法； ⑤时，，则只取0，相应取0，故有1种放法． 综上所求，故有8种不同放法． 故答案为：8． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.5 三元一次方程组 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 三元一次方程定义 题型02 解三元一次方程组 题型03 三元一次方程组的应用-商品购买问题 题型04 三元一次方程组的应用-数字组合问题 题型05 三元一次方程组的应用-生产工程问题 题型06 三元一次方程组的应用-其他问题 题型07 列三元一次方程组 B组 能力进阶 题型 利用三元一次方程组求代数式值 C组 思维拔高 题型 三元一次不定方程组的应用 三元一次方程定义题型01 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．含有________个未知数，并且所含未知数的项的次数都是________，这样的方程叫做三元一次方程．例如：x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝20 解三元一次方程组题型02 1．已知，，则y与x的关系是（    ） A． B． C． D． 2．请写出三元一次方程的一组解：________． 3．（25-26八年级·期末）在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ：______________. 4．方程组的解为______． 5．若方程组的解是，则的值为________． 三元一次方程组的应用-商品购买问题题型03 1．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元；若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（    ） A．20元 B．30元 C．40元 D．50元 2．特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为_________． 3．夏季来临，某饮品公司推出A、B、C三种新饮品试销，4月份A、B、C三种饮品的销量之比为5：4：1．在5月份，公司对A打折促销，将A价格调整为原来的，B的价格不变，并停止销售C饮品，结果原来C销量的转移购买了A，其余转移购买了B．5月的总销量在4月的基础上增加了，其中B饮品的销量除去从C转移过的部分增长了，5月A的销售额占5月总销售额的，5月的销售总额是4月的倍，则4月C的销售额与4、5两月的销售总额的比为_________． 4．合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行月总收入＝基本工资计件奖金的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息： 营业员：月销售件数件，月总收入元； 营业员：月销售件数件，月总收入元． 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值； (2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元；如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？ 5．（24-25七年级下·河南周口·期末）[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： (1)已知实数x、y满足，，求和的值． (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 三元一次方程组的应用-数字组合问题题型04 1．一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（    ） A．325 B．217 C．433 D．541 2．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（   ） A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6 3．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（    ） a b c 10 d e A． B．0 C．2 D．4 4．（24-25七年级上·山东临沂·期中）相传洛书是一个三阶幻方，就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在如图的幻方中也有类似的规律，则的值为_________． 5．一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数． 三元一次方程组的应用-生产工程问题题型05 1．某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？ 2．（24-25下·山东·月考）某服装厂专门安排名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖个，或衣身个，或衣领个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 3．某公司装修需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．于是需将每张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)填空：上表中， ， ； (2)如果所购的标准板材为张，按裁法一、裁法二和裁法三全部裁完，且所裁出的、两种型号的板材块数与所需块数相符．问按三种裁法各裁标准板材多少张？ 4．下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）． (1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？ 甲 乙 丙 每辆汽车能装的吨数 2 1 每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4 (2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 三元一次方程组的应用-其他问题题型06 1．已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·模拟）勾股定理是人类最伟大的数学发现之一、如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，两个阴影部分的面积分别记为，，若已知，，的斜边的长为___________． 3．甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解对其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多？(多的比少的)多几道题？ 4．下表是2015-2016赛季英超联赛积分表的一部分（ 截至2月16日上午8点）． 排名 球队 场次 胜 平 负 进球 失球 净胜球 积分 1 莱斯特城 26 15 8 3 48 29 19 53 2 托特纳姆热刺 26 14 9 3 47 20 27 51 3 阿森纳 26 15 6 5 41 23 18 51 4 曼城 26 14 5 7 28 20 47 5 曼联 26 11 8 7 33 24 9 41 6 南安普敦 26 11 7 8 34 24 10 40 备注 积分=胜场积分+平场积分+负场积分  净胜球=进球-失球 (1)表格中曼城进球数的值为_______，本次比赛胜一场积_______分，平一场积_______分，负一场积_______分． (2)已知利物浦队比赛26场积38分，且平场和负场次数相同，求利物浦队胜场次数． 5．如图，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是，，，，直线通过，，直线通过，，用表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是，直线，之间被圆盖住的面积是，阴影部分的面积，，满足关系式，求． 列三元一次方程组题型07 1．现有A，B，C三箱橘子，其中A，B两箱共100个橘子，A，C两箱共102个橘子，B，C两箱共106个橘子，求每箱各有多少个橘子．在该问题中，若设A，B，C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个，则可列方程组为______． 2．在学校为七年级同学进行体检时．校医室的体重计出现了故障，只能称出60千克以上的质量，恰好参加体检的大多数同学的体重不足60千克．要使体检顺利进行，你能利用方程组的知识，为校医设计一种称体重的方案吗？ 利用三元一次方程组求代数式值题型 1．（24-25七年级下·吉林长客·月考）已知方程组，则的值为（  ） A．6 B． C．5 D． 2．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知，则的值为________． 3．（25-26七年级下·河南周口·月考）若，则______． 4．（24-25下·上海·期末）已知方程组，则的值_____． 5．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中的三角形是格点三角形，其中；图中格点多边形所对应的S，N，L分别是________．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为，其中a，b，c为常数，则当时， _______．（用数值作答） 三元一次不定方程组的应用题型 1．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（    ）． A．11支 B．9支 C．7支 D．5支 2．（25-26七年级·浙江杭州·期末）已知关于，，的方程组，若为定值，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·四川成都·月考）在a，b，c，d，e，f，g，h中，每个字母的值恰好选自，0，4这三个数值中的一个（每个数字至少被选中一次），若，则______． 4．我们探究得方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，…，那么方程的正整数解有______组． 5．有7个完全相同的小球，3个完全相同的盒子，他们都不加以区别，若将这7个小球分别放入这3个盒子中，允许有盒子空着不放，则不同放法有______种． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $