第5章 第5节 三元一次方程组&☆问题解决策略：逐步确定&综合与实践5 神奇的加密术-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第五章二元一次方程组 *5三元一次方程组 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ x+y十之=3①， 1.解三元一次方程组3.x+2y+之=10②，若要消去未知数，则正确的变形为 () 2x-y+x=-1③. A.①+③，①X2-②B.①+③，③X2+②C.②-①，②-③ D.①-②，①X2-③ 2.若x-x-21+(3x-6y-7)2+√3y+3z-4=0,则x十y十之=： 3.★解方程组： x-y+z=7, 3.x-y+之=10， (1)x+y=-1, (2) x+2y-之=6， 2x=y+z. x+y+之=12. 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4,若3x一y一7=2x+3y-1=y一kx+9=0,则k的值为 () A.3 B.-3 C.4 D.-4 5.购买7支铅笔、3本作业本和1支圆珠笔共需11元，购买同样的10支铅笔、4本作业本和1支圆 珠笔共需15元，则购买同样的11支铅笔、5本作业本和2支圆珠笔共需 元 6.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身和1个衣领 组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个或衣身15个或衣领12个，那么应该如何安排工人，才能 使每天缝制出的衣袖、衣身和衣领正好配套？ 7.某步行街上摆放若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景.甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭 配而成；乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花 搭配而成.若这些盆景一共用了2900朵红花和3750朵紫花，则一共用了多少朵黄花？ “答案与解析”见P40 87 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 ☆问题解决策略：逐步确定 1.在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片 上只写一个数，每一个数只写在一张卡片上，而且把写有数的那一面朝下).他先像洗扑克牌一样 打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五名同学叫到讲台上，随机地发给每名同学两张卡 片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数之和写在黑板上，写出的结果依次是甲：11； 乙：4；丙：16；丁：7；戊：17.根据以上信息，可知甲同学手里拿的两张卡片上的数是 ;乙同 学手里拿的两张卡片上的数是 ;丙同学手里拿的两张卡片上的数是 ；丁同学手 里拿的两张卡片上的数是 ;戊同学手里拿的两张卡片上的数是 2.若一个正整数，它各位上数字是左右对称的，则称这个数是优雅数.如33,262,45654都是优雅数， 最小的优雅数是11，但没有最大的优雅数，因为数位是无限的.设一个三位优雅数为aba(a十b< 10),且与各数位上数字之和的差能被11整除，且该优雅数与11相乘后得到一个四位数，且该四 位数各位上数字之和为8，求这个三位优雅数！ 3.[2025南昌期末]已知M,N两点在数轴上所表示的数分别为m,n,且m,n满足|m一10十(n十 2)2=0. (1)填空：m= ,n= (2)①问题探究：如图，将一根木棒AB放置在数轴上.将木棒沿数轴左右水平移动，当点A移 动到点B时，点B所对应的数为m;当点B移动到点A时，点A所对应的数为n.由此可得，这 根木棒的长为 个单位长度， ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生； 你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄 (3)在(2)①的条件下，现将木棒AB从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位长度的 速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位长度的速度往右移动，是否存在某一时刻，M,N 刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由， M 。6 m 备用图 (第3题) 88 >“答案与解析”见P41 第五章二元一次方程组 综合与实践5神奇的加密术 1.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将暗文发送给接收方，接收方收到暗文后按照某种规 则解密为明文.某种加密规则为明文(a,b)→暗文(c,d),其中c=a+3b,d=3a一b,例如，(1,2)→ (7,1).当发送方发送的暗文是(1,7)时，解密得到的明文是 2.如图①，现将10个数字排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则：加密钥匙为“&5”，它 代表把明文n各数位上的数字分别换成图①中从它开始顺时针跳过5个数字后的那个数字.例 如明文是3，对应的密文是9.若收到的密文是2025，则通过解密，它对应的明文是 o① ⑨ ③ 加密 、传输 解密 明文n 密文m ④ 密文m 明文n ⑦o ① (第2题) 3.[2025贵阳花溪期末]加密术是保障数据安全的一种方式，它的历史相当久远，其数据传输中发 送方由明文→密文称为加密，接收方由密文→明文称为解密： 【感悟与理解】 (1)某种加密术规定：26个英文字母中，每个字母按顺序后移3位，最后三个字母依次对应A,B, C,以此来实现对信息的加密，如将“ARMY”加密成“DUPB”传递. ①将英文单词“SAFE”按此规则加密，则密文是 ②若收到密文“KRSH”,则按规则解密，明文是“ 【设计与交流】 (2)某小组在交流中发现，如果将字母A~Z依次赋值126（如下表），那么(1)中的加密术实际 上是用一次函数进行加密（加密前的数值为自变量，加密后的数值为函数值），请写出该一次函数 的表达式。 字母 A B D E F H J K L M 数字 1 2 3 5 6 7 f 9 10 11 12 13 字母 N 0 力 Q R S T ◇ W X Y Z 数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【反思与拓展】 (3)小星发现该加密术容易被破解，于是他设计了更复杂的一次函数进行加密，明文“SAFE”对 应的数值在信息传输过程中得到的密文数值分别为“一14,18,12,14”，但其中有一个密文数值在 传输中出现错误，请你找出错误的密文数值，将其改正. “答案与解析”见P41 894 -m2十n2=0, n2= 7 44 4解得 所以此时直线（对 4 3 2=-7 应的函数表达式为y=一一x一，综上所述，所有符合条 件的直线l对应的函数表达式为y=一4x一4或y= 4 ① ② (第3题) 4.(1)设一辆燃油汽车每千米产生的二氧化碳排放量是 x克，一辆新能源汽车每千米产生的二氧化碳排放量是 /10.x+10y=2600 x=186, y克.根据题意得 解得 所以 5x+6y=1374 (y=74, 一辆燃油汽车每千米产生的二氧化碳排放量是186克，一 辆新能源汽车每千米产生的二氧化碳排放量是74克. (2)由题意，得购买的冷杉为(100一a)棵，则=172a+ 111(100一a)=61a+11100,所以关于a的函数表达式 为=61a+11100(0≤a≤100).(3)由61>0，可知 随a的增大而增大，因为a≤30，所以当a=30时，w的值 最大，100一30=70（棵.所以最优采购方案是购买30棵杨 树和70棵冷杉. 5.（(①由题图，可知校车的速度为3÷4=子（m/mim,所 以m=子×(8-2》=号、(2)因为m=号，所以易得 点B的坐标为(10，号)因为9÷ =12(min),所以易得 点C的坐标为(16,9)，点E的坐标为(15,9).设线段BC 对应的函数表达式为y=k1x十b,(10≤x≤16).根据题 9 3 意，得 0,+6,=之解得，=产'所以线段BC对应 16k1+b1=9, b,=一3. 的圈数表达式为y=子一3(10<：≤16.根据题查，得 点F的坐标为(9,0).设线段FE对应的函数表达式为y= 15k2+b2=9, k2x十b2(9≤x≤15).由题意，得 解得 {9k2+b2=0, k2= 3 27 所以线段FE对应的函数表达式为y= 2- b2= y= 4x3, /x=14, 号（9≤≤15.联立 解得15因为 327 y= 2x-2 y=21 14-9=5(mim).9一5-号km,所以小刷乘坐出租车出 2 发后经过5min能追上小强乘坐的校车，此时他们距学校 的路程为号km *5三元一次方程组 1.C由方程组中各方程的系数的特点，若消去未知数， 则变形可以为②一①，②一③ x=3, x-x-2=0, 3 2.3 根据题意，得3x-6y一7=0，解得y=弓，所以 3y+3x-4=0, z=1, +y+= 3 x一y十x=7①， 3.(1)记x十y=-1②，由③，得2x-y-之=0④.①+ 2x=y+z③， ④，得3x一2y=7⑤.②X2十⑤，得5x=5,解得x=1.将 x=1代人⑤，得3-2y=7,解得y=-2.将x=1,y=一2 代人④，得2十2一之=0，解得之=4.所以原方程组的解为 x=1, 3x-y+z=10①， y=-2,(2)记x+2y-z=6②，①十②，得4x+y= x=4. x+y+x=12③ 16④.①-③，得2x-2y=-2,即x-y=-1⑤.④+⑤， 得5x=15,解得x=3.把x=3代入⑤，得3-y=一1，解 得y=4.把x=3,y=4代入③，得3十4+z=12,解得x= x=3, 5.所以原方程组的解为 y=4, =5. 方法归纳 解方程组的基本思路 解二（三）元一次方程组的基本思路是消元，因此应 围绕怎样消元来选择解题的切入点，重点应考虑两个方 面：一是根据方程组的特点分析代入消元法与加减消元 法哪个更方便些；二是在利用代入消元法与加减消元法 之前需要思考对方程组应进行怎样的变形. 3x-y-7=0①， 4.C由题意，得2x+3y-1=0②，①×3十②，得11x- y一k.x十9=0③. 22=0,解得x=2.将x=2代人①，得6一y一7=0，解得 y=-1.将x=2,y=-1代人③，得-1-2k十9=0，解得 k=4. 5.18设每支铅笔x元，每本作业本y元，每支圆珠笔 f7x+3y+x=11①， 之元.根据题意，得 ①×3一②，得 10x+4y+x=15②. 11x+5y+2x=18.所以购买同样的11支铅笔、5本作业 本和2支圆珠笔共需18元， 6.设安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，之名工 /x+y+z=210, 人缝制衣领.根据题意，得 了10x=2×15y,解得 10x=2×12x, x=120 y=40,所以安排120名工人缝制衣袖，40名工人缝制衣 x=50. 身，50名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身和 衣领正好配套。 7.设甲种盆景有x盆，乙种盆景有y盆，丙种盆景有x盆. 15.x+10y+10x=2900①， 根据题意，得 由①，得3x十 25.x+25z=3750②. 2y+2z=580③.由②，得x+x=150④.③+④，得4x十 2y+3x=730.所以24x+12y+18x=6(4x+2y+3x)= 6×730=4380.所以一共用了4380朵黄花 ☆问题解决策略：逐步确定 1.4和71和36和102和58和9由题意可知， 一共十张卡片，五人每人两张卡片，所以每人手里的数字 不重复.由甲是11，可知甲手里的数可能是1和10,2和9， 3和8,4和7,5和6；由乙是4，可知乙手里的数是1和3； 由丙是16，可知丙手里的数可能是6和10,7和9：由丁是 7,可知丁手里的数可能是1和6,2和5,3和4；由戊是17， 可知戊手里的数可能是7和10,8和9.所以丁只能是2和 5,甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9. 2.设这个三位优雅数为100a+10b+a.由题意，得100a十 106+a-(2a十b)=9a+9%=11(9a+驰).因为所得的 结果能获11整除，所以9如十曾为整数因为u,6为整数。 且0<≤9，所以曾为整数所以b-0,a有9种可能所以 满足条件的三位优雅数共有9个，分别是101,202,303， 404,505,606,707,808,909.其中，只有202满足与11相乘 后得到一个四位数，且该四位数各位上数宇之和为8.所以 这个三位优雅数是202. 3.(1)10;-2.因为m-10|+(n+2)2=0,所以m- 10=0,n十2=0.所以m=10,n=-2.(2)①4.由(1) 知，MN=10-(-2)=12根据题意，可得AB=号MN 4,即这根木棒的长为4个单位长度.②因为116 (116+34):3=66(岁)，所以爷爷的年龄是66岁. (3)存在设木棒切断处所表示的数为x,两段木棒移动 的时间为t秒.点A表示的数为一2十4=2，点B表示的数 2-4t+x-4t 2 一2 为10-4=6.根据题意，得 解得 z+5t+6+5t=10, 2 26 x= 9 10 所以木样切断处所表示的数为器 综合与实践5神奇的加密术 11 1(传-) 由题意，得a十6=1， a= 5” 解得 即 {3a-b=7, 2 b=一1 5 解密得到的明文是（得，-）】 2.6469根据题意，可知密文2025各个数位对应的明文 中的数字分别是6,4,6,9，即明文是6469. 3.(1)①VDH.S后移3位对应V,A后移3位对应D, F后移3位对应I,E后移3位对应H. ②HOPE.K前移3位对应H,R前移3位对应O,S前移 3位对应P,H前移3位对应E. (2)(1)中的加密术是每个字母后移3位，设明文数值为 x,密文数值为y,则y=x十3.(3)明文“SAFE”对应的 数值分别是19,1,6,5.设加密函数为y=kx十b.将(19， 19k+b=-14, -14),(6,12)代入，得 解得/一2， 所以 6k+b=12, b=24, y=-2x+24.当x=1时，y=22≠18；当x=5,y=14,符 合题意.综上所述，错误的数值为18，应改正为22. 第五章拔尖自主测评 1.D若①十②可直接消去未知数，则k和b互为相反数， 2.D把（一1，a)代入y=2x,得a=一2.所以直线y=2a