5.3二元一次方程组的应用（分层作业，22大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 5.3 二元一次方程组的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 行程问题 题型02 工程问题 题型03 和差倍分问题 题型04 几何问题 题型05 数字问题 题型06 方案问题 题型07 分配问题 题型08 销售问题 题型09 其他问题 题型10 列二元一次方程组解经济问题 题型11 配制（或配套）类问题 B组 能力进阶 题型01 古典问题 题型02 列方程组解年龄问题 题型03 根据描述列二元一次方程组解决问题 题型04 根据表格列二元一次方程组解决问题 题型05 综合实践问题 题型06 坐标与图形中的方程组的应用 题型07 火车过桥、火车交汇类问题 C组 思维拔高 题型01 列方程组解“幻方”问题 题型02 动点问题 题型03 列多元方程组解决问题 题型04 分段类问题 行程问题题型01 1．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为，则方程组中x表示______． 【答案】从甲地到乙地的上坡路程 【分析】设从甲地到乙地的上坡路为，平路为，根据保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地用36分钟，从乙地到甲地用24分钟即可列出方程组，据此解答即可． 【详解】 解：设从甲地到乙地的上坡路为，平路为， 依题意得， 方程组中x表示从甲地到乙地的上坡路程， 故答案为：从甲地到乙地的上坡路程． 【点睛】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 2．A、B、C三地在同一直线上，甲、乙两车分别从A，B两地相向匀速行驶，甲车先出发2小时，甲车到达B地后立即调头，并将速度提高10%后与乙车同向行驶，乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地，设两车之间的距离为y（千米），甲行驶的时间x（小时）．y与x的关系如图所示，则B、C两地相距_____千米． 【答案】1320． 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得甲乙两车的速度，再根据“路程=速度×时间”，即可解答本题． 【详解】解：设甲车的速度为a千米/小时，乙车的速度为b千米/小时， ，解得， ∴A、B两地的距离为：80×9＝720千米， 设乙车从B地到C地用的时间为x小时， 60x＝80（1+10%）（x+2﹣9）， 解得，x＝22， 则B、C两地相距：60×22＝1320（千米） 故答案为：1320． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 3．一艘船在某河道上航行，已知顺水航行需要，逆水航行需要．那么，该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少？ 【答案】船在静水中的速度为，水流速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组和流水行船问题中的基本公式运用，解题的关键是根据顺水速度和逆水速度与路程、时间的关系建立方程组，易错点是混淆顺水速度、静水速度和水流速度之间的关系；设船在静水中的速度为，水流速度为​。根据公式：顺水速度​，逆水速度，结合题目中给出的顺水航行和逆水航行的路程与时间列出方程组，求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为，水流速度为． 由题意可得： 顺水航行： 逆水航行： 化简方程组： 解得 答：船在静水中的速度为，水流速度为． 4．甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？ 【答案】甲跑一圈需要3分钟，乙跑一圈需要6分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设甲跑一圈各需要x分钟，乙跑一圈各需要y分钟，根据相遇问题和追及问题的等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设甲跑一圈各需要x分钟，乙跑一圈各需要y分钟，根据题意得： ， 解得：， 答：甲跑一圈需要3分钟，乙跑一圈需要6分钟． 5．甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车， (1)求小车和摩托车的速度． (2)求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)小汽车和摩托车速度分别为135千米/小时，45千米/小时 (2)小时或小时或小时或小时 【分析】（1）小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，利用路程速度时间，结合两车速度间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出小车和摩托车的速度； （2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，利用路程速度时间，结合两车相距30千米，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：1小时20分小时． 设小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时， 根据题意得：， 解得：． 答：小车的速度为135千米时，摩托车的速度为45千米时； （2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米， 根据题意得：或或或， 解得：或或或． 答：相遇后，摩托车继续行驶小时或小时或小时或小时两车相距30千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是对于（2）要用分类讨论的思想求解，注意不要漏解． 工程问题题型02 1．某公司有新员工和老员工若干名．已知1名新员工每天制造的零件个数比1名老员工少30，1名新员工与2名老员工每天共可制造180个零件，则1名新员工与1名老员工每天各能制造多少个零件？设1名新员工每天能制造个零件，1名老员工每天能制造个零件．根据题意可列方程组为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题二元一次方程组的应用，解题的关键是能够根据题意找到两个等量关系，这是列方程的依据． 找到两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设一个新员工每天能制作x个零件，一个老员工每天能制造y个零件， 根据题意得：， 故选A． 2．现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道天，工程小组整治河道天，依题意可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据河道总长为180米和A、B两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解． 【详解】设A工程小组整治河道x天，B工程小组整治河道y天，依题意可得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组，工程问题的应用题等知识，解题的关键是学会利用未知数，构建方程组解决问题． 3．（25-26下·上海·期末）“6.18”大促期间，某快递站点现有待派送包裹件，另有新包裹持续从分拣中心匀速运入站点(每分钟新增包裹数量固定)．若同时安排名派送员，需要分钟才能全部派送完毕；若同时安排名派送员，需要分钟可全部派送完毕．如果同时安排名派送员，全部派送完需要的时间是____分钟． 【答案】 【分析】设每分钟新增件，每名派送员每分钟派送件．根据题意列出二元一次方程组，进而根据题意，6名派送员时，设需分钟，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设每分钟新增件，每名派送员每分钟派送件． ， 化简得， 解得， 6名派送员时，设需分钟， ， 分钟． 4．数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______； (2)淇淇同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天，请你按照她的思路解答老师的问题． 【答案】(1)甲工程队修建的米数，乙工程队修建的米数 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， （1）根据方程组中的等量关系结合题意，即可求解； （2）设甲队修建了p天，乙队修建了q天，根据题意，建立方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）根据二元一次方程组可知：组中未知数x表示的是甲工程队修建的米数，未知数y表示的是乙工程队修建的米数， 故答案为：甲工程队修建的米数，乙工程队修建的米数 （2）根据题意得：， 解得，． 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 5．甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？ 【答案】甲工程队原计划每月修建2千米，乙工程队原计划每月修建3千米 【分析】设甲工程队原计划每月修建x千米，乙工程队原计划每月修建y千米，根据原计划每月修建和甲提高效率后每月修建列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲工程队原计划每月修建x千米，乙工程队原计划每月修建y千米，根据题意得， 解得， 答：甲工程队原计划每月修建2千米，乙工程队原计划每月修建3千米 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程． 和差倍分问题题型03 1．已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得等量关系：①甲数乙数，②甲数乙数，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设甲数为，乙数为，根据题意， 可列方程组，得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 2．A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】首先设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果． 【详解】解：设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数， 由题意可得方程组：， 将代入②中得，消去x得： 即： ∵为正整数 ∴的值分别为1，3，5，15， ∴y的值只能为4，5，6，11， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上可得：n的值分别为8，3，2，1； 即n的可能值有4个． 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二元一次不定方程的运用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题意求方程组，注意消元思想和分类讨论思想的运用． 3．一群学生结对去郊外春游，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象：假设每个人都看不到自己头上戴的帽子，则每位男生看到白色与红色的帽子一样多，而每位女生看到白色帽子是红色的2倍；则这群学生共有_______人． 【答案】7 【分析】设其中的男生有x人，女生有y人，根据每位男生看到白色与红色的帽一样多，再根据每位女生看到白色的帽是红色的2倍列方程组求解即可． 【详解】解：设男生有x人，女生有y人， 由题意得出：， 解得：， 则x+y=7． 答：这群学生共有7人， 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，注意每个人看的时候，应当是这部分的人数减去1，才是看到的人数是解题关键． 4．在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 【答案】该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双，根据题意，列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双， 根据题意，得， 解得． 答：该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双． 5．清明假期，泰山受到广大市民和全国游客的热烈欢迎．据统计，假期第一天A入口比B入口登山游客多万人，第二天A入口登山游客增加了，B入口登山游客减少了，当天A，B入口登山游客总人数比第一天增加了，试求第二天A，B入口登山游客的人数各是多少万人？ 【答案】第二天入口登山游客的人数是2.86万人，入口登山游客的人数是1.26万人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设第一天入口登山游客的人数是万人，入口登山游客的人数是万人，则第二天入口登山游客的人数是万人，入口登山游客的人数是万人，根据“第一天入口比入口登山游客多1.2万人，且第二天、入口登山游客总人数增加了”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入及中，即可求出结论． 【详解】解：设第一天入口登山游客的人数是万人，入口登山游客的人数是万人，则第二天入口登山游客的人数是万人，入口登山游客的人数是万人， 根据题意得：， 解得：， （万人）； （万人）． 答：第二天入口登山游客的人数是万人，入口登山游客的人数是万人． 几何问题题型04 1．八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的宽等于（　　） A．15cm B．30cm C．12cm D．10cm 【答案】D 【分析】就从右边长方形的宽40cm入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝40；一个小长方形的长+一个小长方形的宽＝40． 【详解】解：设每块长方形地砖的长为xcm，宽为ycm． 依题意得， 解得：． 即：长方形地砖的宽为10cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．应从题中所给的已知量40入手，找到最简单的两个等量关系，列出方程组是解题的关键． 2．如图，长方形中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图，单位：厘米），则图中阴影部分的面积为（      ） A．82平方厘米 B．64平方厘米 C．60平方厘米 D．54平方厘米 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，要求学生会根据图示找出数量关系，根据图示列出两个方程． 设小长方形的长为厘米，宽为厘米，根据题意列出方程式，然后分别求出9个小长方形的面积和大长方形的面积，最后作差即可求得答案． 【详解】解：设小长方形的长为厘米，宽为厘米， 根据题意得， 解得：， 则9个小长方形的面积为(平方厘米)， 大长方形的面积为 (平方厘米)， (平方厘米)， 故阴影部分的面积为82平方厘米． 故选：A． 3．已知和互为补角，并且的一半比小30°，则的余角为_____度． 【答案】10° 【分析】根据互为补角的和等于，然后根据题意列出关于、的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：根据题意得， ①-②得，， 解得， 把代入①得，， 解得． ∴的余角为10°， 故答案为：10°． 【点睛】本题考查了互为补角的和等于的性质，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 4．如图是一个周长为8的长方形，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①、②、③、④、⑤），其中．若⑤的长与宽之差为1.4，则①的周长为 ____________． 【答案】5.4或2.6 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设，则⑤的长和宽分别为，由长方形的周长得，则，再求出或2.6，即可得出结论． 【详解】解：设， 则⑤的长和宽分别为， ∵长方形的周长为8， ∴， ∵⑤的长与宽之差为1.4， ∴或， ∴或， ∴或， ∴①的周长为：5.4或2.6， 故答案为：5.4或2.6． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·月考）如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 【答案】小长方形花坛的长为，宽为 【分析】设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为．构造方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为． 根据题意，得     解得 答：小长方形花坛的长为，宽为． 数字问题题型05 1．已知一个两位数，十位数字比个位数字大1，若将个位数字与十位数字对调后，新得的两位数比原来的两位数小9，设原来的两位数个位数字为，十位数字为，则可列方组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；先表示出颠倒前后的两位数，然后根据十位上的数字y比个位上的数字x大1，颠倒个位与十位数字的位置，得到新数比原数小9，列方程组即可． 【详解】解：根据十位上的数字y比个位上的数字x大1，得方程即； 根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，得方程． 列方程组为； 故选B． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（   ） A．154 B．155 C．156 D．157 【答案】D 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二元一次方程组的应用，设这一列数中有个，个3，其余为0，根据题意，建立关于和的方程组，解出和的值，再代入立方和的表达式即可求解． 【详解】解：设数列中有个，个3，则0的个数为个， 根据题意得：， 解得：， ∴ ， 故选：D． 3．（24-25下·上海·期中）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是________． 【答案】5和7 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，再结合两个等量关系：一个加数＋另一个加数，一个加数另一个加数可列出方程组，然后求解所得的方程组即可． 【详解】解：设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，根据题意得： ， 解得，． 故答案为：5和7． 4．一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 【答案】原来的两位数是81． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出等量关系是解决问题的关键． 根据等量关系，设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故原来的两位数是81． 5．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程组，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1)； (2)，； (3)，小明在时看到里程碑上的两位数为． 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）根据题意列代数式即可； （）由题意得，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为， ∴小明时看到的两位数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，小明时看到的两位数为，时看到的三位数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴小明在时看到里程碑上的两位数为． 方案问题题型06 1．有货物，大车一次能装，小车一次能运，若要一次运完且两种车都得用，派车方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】先设派辆大车，辆小车，根据有货物，大卡车一次能装，小车一次能运，列出方程，再进行讨论，即可得出答案；本题考查了列二元一次方程并分类讨论求解的实际应用，找到等量关系并设未知数列方程是解题的关键． 【详解】解：设派辆大车，辆小车， 由题意（、为正整数）， 当派大车1辆时，小车辆； 当派大车2辆时，小车辆； 当派大车3辆时，小车辆； 当派大车4辆时，小车辆； 则共有4种派车方案； 故选：D． 2．小明带7元钱去买中性笔和橡皮（两种文具都买），中性笔每支2元，橡皮每块1元，那么中性笔能买_____支． 【答案】1或2或3 【分析】分3种情况：买中性笔1只，买中性笔2只，买中性笔3只，即可求解． 【详解】解：∵小明带7元钱去买中性笔和橡皮（两种文具都买），中性笔每支2元，橡皮每块1元， ∴当买中性笔1只，则可以买橡皮5只， 当买中性笔2只，则可以买橡皮3只， 当买中性笔3只，则可以买橡皮1只， 故答案为：1或2或3． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，掌握分类讨论思想方法是关键． 3．5月19日是“中国旅游日”，为拓宽学生视野，某校组织去井冈山开展研学旅行活动．在此次活动中，小明、小亮等同学随家长一同到某游乐园游玩．已知成人票每张35元，学生票按成人票五折优惠．他们一共12人，门票共需350元． (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)如果团体票（16人或16人以上）按成人票六折优惠，请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？ 【答案】(1)8个成人，4个学生 (2)购买团体票更省钱 【分析】（1）设成人有x人，学生有y人．根据题意列出二元一次方程并求解即可． （2）先计算出按团体票购买的费用，再和原来购票的费用比较即可． 【详解】（1）解：设成人有x人，学生有y人． 由题意得： 解得： 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． （2）解：如果按团体票购买，按16人计算，共需费用为35×0.6×16＝336元． ∵336＜350， ∴购买团体票更省钱． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的大小比较，熟练掌握这些知识点是解题关键． 4．（24-25九年级下·湖南永州·期中）某村为建设美丽乡村、为村民提供良好的休闲活动场所，采购了33吨路面砖准备铺设一个村民活动场所，现向某运输公司同时租赁A、B两种车型货车运送．已知用2辆A型车和1辆B型车装满一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车装满一次可运13吨路面砖． (1)求1辆A型车和1辆B型车都装满路面砖一次可分别运多少吨？ (2)若A型车每辆租金为元/次，B型车每辆租金为元/次，33吨路面砖一次运完且恰好每辆车都装满．请求出较省钱的一种租车方案． 【答案】(1)1辆A型车一次可运3吨，1辆B型车一次可运5吨 (2)较省钱的一种租车方案为租A型车1辆，B型车6辆 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）根据设1辆A型车装满路面砖一次可运x吨，1辆B型车装满路面砖一次可运y吨，已知用2辆A型车和1辆B型车一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车一次可运13吨路面砖．列方程求解即可； （2）设计划同时租用A型车a辆，B型车b辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满一次可运x吨路面砖，1辆B型车装满一次可运y吨路面砖， 由题意得：，解得：， 答：1辆A型车装满一次可运3吨路面砖，1辆B型车装满一次可运5吨路面砖； （2）设租用A型车a辆，B型车b辆，由题意得：，整理得：， ∵a，b均为正整数，∴或，∴有2种租车方案： ①租A型车6辆，B型车3辆，方案租金：（元）， ②租A型车1辆，B型车6辆，方案租金：（元）， ∵， ∴较省钱的一种租车为方案②：A型车1辆，B型车6辆． 5．某校九年级314名学生准备坐客车到校外参加体育中考，客车类型和租车价格如下表，已知B型客车的座位数是A型客车座位数的两倍少1个，C型客车座位数比B型客车座位数多13个． 客车类型 A型客车 B型客车 C型客车 乘客座位（个） 19 _______ _______ 租车价格（元/辆） 1200 1500 1800 （1）根据题意，填写表格． （2）若计划同时租A型客车和C型客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，租车费用为14400元，求计划租A型和C型车各多少辆． （3）考试当天有老师和志愿者家长共36人一同前往，若同时租用三种车，且每辆车都坐满，已知A型车的数量是B型车的n倍（n为正整数），则租C型车________辆．（直接写出答案） 【答案】（1）37，50；（2）计划租A型客车6辆，租C型客车4辆；（3）1或 4 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设租A型客车x辆，租C型客车y辆，根据总人数314人以及总费用14400元列出二元一次方程组并求解即可； （3）先求得总人数为350人，再设租C型客车a辆，租B型客车b辆，租A型客车nb辆，然后列出方程19nb＋37b＋50a＝350，进而对其进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）B型客车的座位数：19×2－1＝37（个）， C型客车座位数：37＋13＝50（个）， 故答案为：37，50； （2）设租A型客车x辆，租C型客车y辆， 根据题意，得：， 解得：， 答：计划租A型客车6辆，租C型客车4辆； （3）总人数为：314＋36＝350（人）， 设租C型客车a辆，租B型客车b辆，则租A型客车nb辆（a≥1，b≥1，n≥1且a、b、n为正整数）， 由题意得：19nb＋37b＋50a＝350， 即：（19n＋37）b＋50a＝350， 当a＝1时，则（19n＋37）b＝300， ∵300＝2×2×3×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝300， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝150， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝3，则19n＋37＝100， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝4，则19n＋37＝75， 解得：（符合题意）， 若b＝5，则19n＋37＝60， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝6，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝2时，则（19n＋37）b＝250， ∵250＝2×5×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝250， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝125， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝5，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝3时，则（19n＋37）b＝200， ∵200＝2×2×2×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝200， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝100， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝4，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝4时，则（19n＋37）b＝150， ∵150＝2×3×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝150， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝75， 解得：（符合题意）， 若b＝3，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝5时，则（19n＋37）b＝100， ∵100＝2×2×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝100， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝6时，则（19n＋37）b＝50， 若b＝1，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1， 综上所述：符合题意的a的值为1或4， 故答案为：1或 4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，第（2）问的关键是理清题意，设出未知数，根据等量关系列出方程组求解，第（3）问的关键是学会正确进行分类讨论，要保证每种情况不重也不漏． 分配问题题型07 1．2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据面包总数为1000份，灾民人数为300位，列方程组即可． 【详解】解：设成人有x人，小孩有y人， 由题意可得，， 故选：A． 2．一旅行团游客入住一家宾馆，如果每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，那么就空出2间客房．设该宾馆有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组______． 【答案】 【分析】设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，那么就空出2间客房．再得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 3．某小区为了优化环境，计划在小区内甲、乙两块面积相同的空地上种植矮牵牛、金盏菊和三色堇三种花卉．现有10名工人参与种植，且每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积之比为 ．已知每名工人固定种植一种花卉，所有工人花费9天的时间完成了甲地的花卉种植．在乙地进行花卉种植时，为了加快乙地的种植进度，基于甲地的工人分配方案进行了调整，从种植金盏菊和三色堇的工人中分别抽调1人种植矮牵牛，这样乙地花卉种植的天数比甲地少且恰好为整数，则乙地种植金盏菊和三色堇的工人人数之比为___________． 【答案】 【分析】设每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积为 、 、 ，在甲地种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的人数分别为a人， b人，人，在乙地种植矮牵牛、金盏菊和三色革的人数分别为 人、 人、 人，在乙地种植的天数比甲地少y天，根据甲乙两地的种植面积相等列出方程，并求出其整数解，便可解决问题． 【详解】解∶设每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积为 、 、 ，在甲地种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的人数分别为a人，b人，人，在乙地种植矮牵牛、金盏菊和三色董的人数分别为 人、 人、 人，在乙地种植的天数比甲地少y天，则 ， 整理得， ∴ ， ∵a、b、y都是正整数，且 ， ， ， ∴ ， ， ， ∴乙地种植金盏菊和三色堇的工人人数之比为∶， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了方程的应用，读懂题意，找出等量关系列出方程，正确求出不定解方程的整数解是解题的关键． 4．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【答案】(1) (2)宿舍有11间，学生有45人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； （2）解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 5．为提高集团人力资源利用率，某集团对下属甲、乙两地分公司的员工人数进行了如下调整：甲分公司人数增加，乙分公司人数减少5人，已知调整前甲分公司比乙分公司人数少10人，调整后甲比乙多3人，求调整前甲、乙分公司的人数分别为多少人？ 【答案】调整前甲分公司的人数为80人，乙分公司的人数为90人 【分析】设调整前甲分公司的人数为人，乙分公司的人数为人，根据调整前甲分公司比乙分公司人数少10人，调整后甲分公司比乙分公司多3人，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设调整前甲分公司的人数为人，乙分公司的人数为人，根据题意，得 ， 解得：， 答：调整前甲分公司的人数为80人，乙分公司的人数为90人． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 销售问题题型08 1．不考虑优惠，买2本笔记本和3支水笔共需22元，买4本笔记本和3支水笔共需38元，则购买1本笔记本和1支水笔共需（    ） A．10元 B．8元 C．5元 D．3元 【答案】A 【分析】设每个笔记本x元，每支水笔y元，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设每个笔记本x元，每支水笔y元，根据题意得： ， 解得：， 所以每个笔记本8元，每支水笔2元， 则购买1本笔记本和1支水笔共需：（元）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，正确理解题意找出关系量列出方程组是解题的关键． 2．（25-26八年级上·质检）阳光学校的同学们为此次爱心助学活动组织了一场广场义演，售出单人票和双人票共1000张，筹得票款6950元．已知双人票每张8元，单人票每张5元，则单人票售出了________ 张． 【答案】350 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出方程组是解题的关键． 设单人票售出x张，双人票售出y张，根据总票数和总票款列方程组，求解即可． 【详解】解：设单人票售出x张，双人票售出y张， 由题意可得：， 解得：． 所以，单人票售出350张． 故答案为：350． 3．（24-25七年级下·云南临沧·期中）某中学要增设篮球和足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需要340元，购买4个篮球和5个足球共需要620元．购买一个篮球和一个足球各需要多少元？ 【答案】80元，60元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据购买2个篮球和3个足球共需要340元，购买4个篮球和5个足球共需要620元．进行列方程组，再解方程组，即可作答． 【详解】解：设购买1个篮球需要x元，购买1个足球需要y元． 由题意得，， 解得． ∴购买1个篮球需要80元，购买1个足球需要60元． 4．临近母亲节，某蛋糕店制作了一款节日礼盒，按标价出售，每盒可获利50元，若该礼盒以8折出售6盒与降价20元出售4盒获得的利润相等，求该礼盒的成本和标价． 【答案】该礼盒的成本和标价分别为100元，150元． 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解题关键．按照售价进价利润，售价标价打折率，再根据出售6盒与4盒的利润相等建立方程式求解即可． 【详解】解：设该礼盒的成本为x元，标价为y元，根据题意得： 解得： 答：该礼盒的成本100元，标价150元． 5．某饮料厂生产大瓶装甲饮料和小瓶装乙饮料，去年 11月份该饮料厂售出甲、乙两种饮料共 10000瓶，11月份的销售额为7.1万元，已知甲饮料每瓶出厂价是12元，乙饮料每瓶出厂价是5元． （1）去年11月份饮料厂售出甲、乙两种饮料各多少瓶？ （2）饮料厂生产甲、乙饮料需要两种果汁原料，表1是相关数据，原料每千克进价4元，原料每千克进价3元．去年12月份，饮料厂决定对甲饮料进行促销，买一瓶甲饮料送一瓶乙饮料，单独购买乙饮料无优惠．结果12月份售出的甲饮料数量比11月份售出甲饮料的数量增加40%， 12月份饮料厂销售甲、乙两种饮料的总利润为3.12万元，求去年12月份饮料厂实际售出乙饮料多少瓶（不含赠送）？ 每瓶用量    饮料 甲 乙 （单位：千克） 0.9 0.2 （单位：千克） 0.8 0.4 （3）今年1月份，即将迎来新春佳节，饮料厂决定量大从优，规定一次性购买甲、乙两种 饮料的优惠方案分别如表2、表3． 某超市分两次分别购进甲、乙两种饮料，第一次全部购进甲饮料，第二次全部购进乙饮料，两次共购进2000瓶饮料（第一次购进甲饮料的数量小于第二次购进的乙饮料的数量），超市两次实际共付给饮料厂11470元．超市甲饮料售价为每瓶18元，乙饮料的售价为每瓶10元，若超市将甲、乙两种饮料全部售出，那么超市可赚多少钱？ 一次性购买甲饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过500 所购饮料全部按九折优惠 超过500 所购饮料全部按八折优惠 一次性购买乙饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过500的部分 不享受优惠方案 超过500但未超过1000部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 【答案】（1）甲种饮料3000瓶，乙种饮料7000瓶；（2）4800瓶；（3）11730元 【分析】（1）设去年11月份饮料厂售出甲种饮料x瓶，乙种饮料y瓶，根据“去年11月份该饮料厂售出甲、乙两种饮料共10000瓶，且去年11月份的销售额为7.1万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设去年12月份饮料厂实际售出乙饮料m瓶，根据12月份饮料厂销售甲、乙两种饮料的总利润为3.12万元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设购进甲种饮料a（0＜a＜1000）瓶，则购进乙种饮料（2000-a）瓶，分0＜a≤500及500＜a＜1000两种情况考虑，根据饮料厂给出的优惠政策及两次实际共付给饮料厂11470元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值，再利用获得的利润=销售总额-进货成本，即可求出结论． 【详解】解：（1）设去年11月份饮料厂售出甲种饮料x瓶，乙种饮料y瓶， 依题意得：， 解得：， 答：去年11月份饮料厂售出甲种饮料3000瓶，乙种饮料7000瓶． （2）设去年12月份饮料厂实际售出乙饮料m瓶， 依题意得：12×3000×（1+40%）+5m-（0.9×4+0.8×3）×3000×（1+40%）-（0.2×4+0.4×3）×[3000（1+40%）+m]=31200， 整理得：3m-14400=0， 解得：m=4800． 答：去年12月份饮料厂实际售出乙饮料4800瓶． （3）设购进甲种饮料a（0＜a＜1000）瓶，则购进乙种饮料（2000-a）瓶． 当0＜a≤500时，12×0.9a+5×500+5×0.9×（1000-500）+5×0.8（2000-a-1000）=11470， 解得：a=400； 当500＜a＜1000时，12×0.8a+5×500+5×0.9×（1000-500）+5×0.8（2000-a-1000）=11470， 解得：a=485（不合题意，舍去）． ∴18a+10（2000-a）-11470=11730（元）． 答：超市可赚11730元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 其他问题题型09 1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）2026年5月1日晚，在鞍山市立山区南沙河举办了一场大型无人机灯光秀，这次灯光秀共有3000架无人机参加表演，这3000架无人机由外市用大型箱式半挂车通过高速公路运输到鞍山，然后用中型厢货车一次性转运到表演场地．参与转运的中型厢货车有A，B两种型号，每辆A型车运输240架无人机，每辆B型车运输120架无人机，且两种型号车均满载，A型车数量是B型车数量的2倍，求A型车和B型车各有多少辆？设A型车有辆，B型车有辆，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实际问题列二元一次方程组，只需从题干提取两个等量关系，分别列方程即可得到正确方程组． 【详解】设A型车有辆，B型车有辆，且A型车数量是B型车数量的倍， 可得第一个方程. 总共有架无人机，每辆A型车运架，每辆B型车运架，且两种车均满载， 运输无人机总数满足. 因此可得方程组． 2．（24-25七年级·河南信阳·期末）小明在教材116页活动2汽车轮胎换位的探究中，获得了数学信息，知道电动车一般也是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在电动车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．3000 B．3750 C．4000 D．4500 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 由题意可得， 两式相加可得， 解得：， 故这对轮胎最多可以行驶3750公里， 故选：B． 3．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则1辆大货车比1辆小货车一次多运货__________吨． 【答案】1.5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨， 由题意得，， ，得， ∴， 即辆大货车比辆小货车一次多运货吨， 故答案为：． 4．得益于“互联网”和人工智能的发展，无人配送服务行业已经进入人们的生活．某大学校园内使用了无人配送车和无人机配送快递．已知一架无人机一次可运送3千克货物，一辆无人配送车一趟可运送120千克货物．快递公司提供了无人机和无人配送车共30台运送2430千克货物，求运送物资使用的无人机和无人配送车各有几台． 【答案】无人机10台，无人配送车20台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设运送物资使用的无人机有台，无人配送车有台，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解． 【详解】解：设运送物资使用的无人机有台，无人配送车有台， 根据题意，得， 解得， 答：运送物资使用的无人机10台，无人配送车20台． 5．甲、乙、丙容器中分别有浓度为和的盐水溶液．从乙容器中取出m克盐水倒入甲容器，再给乙容器加入一些清水，当甲、乙容器盐水重量相同时，乙容器的浓度恰好是甲容器的2倍；再从丙容器中取m克盐水按的比例倒入甲、乙两个容器，然后再向乙、丙容器中加入清水，使三个容器中盐水的重量相等，这时三个容器中盐水浓度恰好也相同．若最初乙容器中的盐水重量比甲容器多60克，那么，原来丙容器的盐水重量是多少克？ 【答案】200克 【分析】本题考查了溶液的浓度，二元一次方程组的应用，比例分配，正确理解溶液的浓度是解题的关键．先设甲初始重量为x克、乙为克、丙为y克，结合 “乙取m克入甲后，乙浓度是甲的２倍” 建立方程，得；再根据 “丙取m克按倒入甲、乙后，三容器重量和浓度均相同（盐量相等）”，分别表示出甲、乙、丙的最终盐量，通过甲、乙盐量相等联立方程，求出，最后利用甲、丙盐量相等求出． 【详解】解：设甲容器初始重量为克，则乙初始重量为克，丙初始重量为克，转移量为m克． 第一次操作： 甲的重量：，含盐量：，浓度：， 乙的重量：，含盐量：，浓度：， 根据乙浓度是甲的2倍，得， 化简得：①， 第二次操作：（丙取克按1倒入甲、乙，再加水使三容器重量相等) 丙取克，其中倒入甲，倒入乙，丙剩余重量：， 三容器最终重量、浓度相同，故盐量相等， 甲最终盐量：， 乙最终盐量：， 丙最终盐量：， 由甲、乙盐量相等： ， ②， ①代入式②， ， ∴， ∴． ∵甲、丙盐量相等”， ∴， 解得，． 答：原来丙容器的盐水重量是200克． 列二元一次方程组解经济问题题型10 1．某公司计划2016年在甲、乙两个电视台播放总时长为300分钟的广告，已知甲、乙两电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，该公司的广告总费用为9万元．预计甲、乙两个电视台播放该公司的广告能给该公司分别带来0.3万元/分钟和0.2万元/分钟的收益，该公司在甲、乙两个电视台播放广告的时长应分别为多少分钟？预计甲、乙两电视台2016年为此公司所播放的广告将给该公司带来多少万元的总收益？ 【答案】甲电视台播放广告时长应为100分钟，乙电视台播放广告时长应为200分钟．带来的总收益为70万元． 【分析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，则根据广告总时长及总费用可得出x和y的值，继而代入可得出总收益． 【详解】解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟， 由题意得， ， 解得： ， 即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告， 此时公司收益为100×0.3+200×0.2=70万元， 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，甲、乙两电视台2016年为此公司所播放的广告将给该公司带来70万元的总收益． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，属于基础题，关键是仔细审题，得出题意中的两个等量关系，然后运用方程的思想进行解题． 2．某蔬菜种植户有甲、乙两块菜地，甲菜地去年收获西蓝花，乙菜地去年收获西蓝花，今年在县技术专家的帮助下，甲菜地增收，乙菜地增收． (1)今年两块菜地共收获__________西蓝花；（用含，的代数式表示） (2)若去年两块菜地共收获西蓝花，今年共收获西蓝花，求甲、乙两块菜地今年分别收获多少千克西蓝花． 【答案】(1) (2)甲菜地今年收获西蓝花，乙菜地今年收获西蓝花． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，列代数式： （1）分别求出甲、乙两块菜地的收获，然后求和即可得到答案； （2）根据去年两块菜地共收获西蓝花，今年共收获西蓝花，结合（1）所求列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ∴今年两块菜地共收获西蓝花， 故答案为：； （2）解：根据题意，得                       解得， ∴，． 答：甲菜地今年收获西蓝花，乙菜地今年收获西蓝花． 3．（2025·山西吕梁·一模）某企业为了在复杂多变的市场环境中实现跨越式发展，争取通过增收减支使得今年企业的利润是去年的2倍，该企业的具体目标如下：保证今年总产值比去年增加，总支出比去年减少．已知该企业去年的利润（利润＝总产值-总支出）为200万元，求去年的总产值和总支出． 【答案】去年的总产值为600万元，总支出为400万元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用， 设去年的总产值为万元，总支出为万元，则今年的总产值为万元，总支出为万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设去年的总产值为万元，总支出为万元，则今年的总产值为万元，总支出为万元， 根据题意得 解得 答：去年的总产值为600万元，总支出为400万元． 4．为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元，建造新校舍的费用为700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米； (2)如果绿化的费用为200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约是多少？ 【答案】(1)原计划拆、建面积分别是、 (2)在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约 【分析】（1）根据新旧校舍的总面积，列出方程组，即可求解， （2）根据节约资金原计划资金实际资金，列出算式，即可求解， 本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是：充分理解题意，列出等量关系式． 【详解】（1）解：设原计划拆、建面积各是，由题意得：，解得：， 故答案为：原计划拆、建面积分别是、， （2）解：， ， ． 故在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约． 配制（或配套）类问题题型11 1．某种仪器由1个A部件和2个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件50个或者加工B部件60个，现有工人72名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设安排x个人生产A部件，安排y个人生产B部件．则列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“生产A部件的人数和生产B部件的人数之和是72”，“生产的B部件的数量是A部件的2倍”即可列出二元一次方程组． 【详解】解：设安排x个人生产A部件，安排y个人生产B部件． 由题意得． 故选：B 【点睛】本题考查了根据题意列二元一次方程组，理解题意，找出题目中的数量关系是解题关键． 2．2026年我国蓝莓迎来大丰收，产量和种植规模均创近年来新高，某蓝莓种植园计划将某优质蓝莓包装成A、B两种不同规格的礼包销售．已知4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克．求A、B两种礼包每只分别需要多少千克的蓝莓． 【答案】A、B两种礼包每只分别需要4千克、3千克蓝莓 【分析】设A种礼包每只需要x千克蓝莓，B种礼包每只需要y千克蓝莓，根据“4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克”列方程组求解即可． 【详解】解：设A种礼包每只需要x千克蓝莓，B种礼包每只需要y千克蓝莓， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种礼包每只分别需要4千克、3千克蓝莓． 3．沤江镇小源同学的爸爸在种植黄桃的期间，发现黄桃树出现了炭疽病，他打算配一些杜邦克露溶液来喷洒治病，要用含药和的两种药液，配制含药的药水．你来帮他算算含药和的两种药水各需取多少？ 【答案】需的药液，的药液 【分析】设需的药液，的药液，根据“配制含药的药水”列出方程组求解即可． 【详解】解：设需的药液，的药液， 根据题意，可得：， 解得：， 答：需的药液，的药液． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程组求解． 4．用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)横式纸盒做个，竖式纸盒做个 (2) 解：是的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是的整数倍． 【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是的整数倍． 【详解】（1）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做个，竖式纸盒做个； （2）略 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 古典问题题型01 1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡只，兔只，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系．根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组． 【详解】解：设鸡只，兔只， 根据题意得， 故选：A． 2．《九章算术》中“盈不足术”问题的原文为：“今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文为：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？”设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．《九章算术》中有这样一个问题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？”其大意是：有5只麻雀和6只燕子，一共重16两（1斤＝16两）；5只麻雀的重量超过6只燕子的重量，若互换其中的一只，重量恰好相等，则1只麻雀、1只燕子的平均重量分别为多少两？若设每只麻雀平均重x两，每只燕子平均重y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设每只麻雀平均重x两，每只燕子平均重y两，根据题意列出方程组，即可求解． 【详解】解：设每只麻雀平均重x两，每只燕子平均重y两，根据题意得， 故选：B． 4．（24-25七年级下·福建·期末）《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？（利用二元一次方程组求解） 【答案】李三公家有间客房，来了位房客． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理清题意，根据等量关系列方程是解题关键． 设有间客房，位房客，根据等量关系建立二元一次方程组，解方程，即可求解． 【详解】解：设李三公家的店有间客房，来了位房客， 根据题意，得， 解得：， 李三公家有间客房，来了位房客． 5．阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只 (3)①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只． 理由：根据题意得：， 化简得：， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，舍去． 故除了问题（2）中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合、均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费； ②根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合公鸡数量是母鸡数量的3倍，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程，结合、均为整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：①要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱， 买了只小鸡，买小鸡花了文钱． 故答案为：；． ②根据题意得：． 故答案为：． （2）解：设公鸡有只，母鸡有只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． （3）略 列方程组解年龄问题题型02 1．爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（25-26七年级下·吉林长春·学情自测）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 3．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁 【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可 【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意， 得 解得 答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 4．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 根据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 根据描述列二元一次方程组解决问题题型03 1．如图是小颖与哥哥的对话，根据对话信息，下面结论正确的是（     ） A．哥哥比小颖大6岁 B．哥哥比小颖大7岁 C．哥哥比小颖大8岁 D．哥哥比小颖大9岁 【答案】A 【分析】利用年龄差不变列出二元一次方程组，解出两人现在年龄，相减求出年龄差，选出正确选项． 【详解】解：设哥哥现在x岁，小颖现在y岁，根据题意得到二元一次方程组： ，即 解得： ∴年龄差：，即哥哥比小颖大6岁． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶．（递上10元钱） 售货员：小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是足够的，但要再买一袋牛奶就少一元钱啦！今天是儿童节，我给你买的饼干打八折，两样东西请拿好，还找你8角钱．根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价是多少元？ 【答案】饼干和牛奶的标价分别是9元，2元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程组即可求解．设饼干和牛奶的标价是元和元，根据用10元钱买一盒饼干是足够的，但要再买一袋牛奶就少一元钱和饼干打8折还找8角钱两个数量关系列方程组求解． 【详解】解：设饼干和牛奶的标价是元和元，根据题意得： ， 解得：． 答：饼干和牛奶的标价分别是9元，2元． 3．某班举行了演讲活动，班长安排淇淇去购买奖品，下图是淇淇与班长的对话： 请根据淇淇与班长的对话，解答下列问题： (1)若找回55元钱，则淇淇买了两种笔记本各多少本？ (2)可能找回68元钱吗？若能，求出此时买了两种笔记本各多少本；若不能，说明理由． 【答案】(1)淇淇买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本． (2)不能找回68元， 理由如下： 设买y本5元的笔记本，则买本8元的笔记本， 根据题意，得， 解得， ∵不是整数， ∴不能找回68元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设买x本5元的笔记本，则买本8元的笔记本，根据题意列方程求解即可； （2）设买y本5元的笔记本，则买本8元的笔记本，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）设买x本5元的笔记本，则买本8元的笔记本， 根据依题意，得，     解得，     则（本）．     答：淇淇买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本． （2）略 4．小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜和1斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话： 妈妈：今天买了这两样菜共花了14.52元，上个月同等重量的这两样菜要15.6元． 爸爸：电视新闻上说今天的萝卜单价比上个月上涨了20%，排骨单价比上个月下降了10%． 请你根据小明的爸爸和妈妈的对话分别求出今天萝卜和排骨的单价． 【答案】萝卜和排骨的单价分别为0.96元、12.6元 【分析】设上个月的萝卜单价为元，排骨单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程即可求解． 【详解】设上个月的萝卜单价为元，排骨单价为元，根据题意得： ， 解这个方程组得， ，， 所以今天萝卜和排骨的单价分别为0.96元、12.6元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）请同学们根据以下素材，完成探索任务： 素材1：为满足市民对优质教育的需求，某校决定拆除部分旧教学楼，建造新教学楼．拆除旧教学楼每平方米需80元，建造新教学楼每平方米需700元，并计划拆除旧教学楼与建造新教学楼共． 素材2：在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的，而新建教学楼则只完成了计划的，实际拆、建总面积与原计划一致． 素材3：为美化校园环境，若绿化1平方米需400元，学校决定将实际完成的拆、建工程中节余的资金用来扩大绿化面积． 任务1：填表． 原计划 实际 拆除旧教学楼面积 x _________ 新建教学楼面积 y __________ 任务2：求学校实际新建教学楼面积． 任务3：求扩大的绿化面积． 【答案】任务1：；；任务2：；任务3： 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用： 任务1：根据题意求出拆除旧教学楼的实际面积，新建教学楼的实际面积，即可； 任务2：根据题意，列出方程组，即可求解； 任务3：求出多余资金，即可． 【详解】解：（1）拆除旧教学楼的实际面积为， 新建教学楼的实际面积为， 完成表格如下： 原计划 实际 拆除旧教学楼面积 x 新建教学楼面积 y （2）由题意，得 解得， 此时 答：学校实际新建教学楼面积为． （3）方法一：（元） 方法二：多余资金为， 扩大绿化面积为： 答：扩大的绿化面积为． 根据表格列二元一次方程组解决问题题型04 1．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量＝50克．根据这两个等量关系式可列一个方程组． 【详解】解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克． 由题意列方程组得：， 解方程组得：． 答：每块巧克力的质量是20克． 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程是关键． 2．（25-26七年级上·期末）某学校知识竞赛共18轮，每轮胜一场积分、负一场积分均不变（无平局情况），如表记录了A、B、C、D4名参赛者前5轮积分情况．若18轮结束后，参赛者胜场数是负场数的偶数倍，则参赛者B总积分是___________． 参赛者 胜场数 负场数 积分 A 4 1 19 B 3 2 13 C 3 2 13 D 2 3 7 【答案】54或78 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键． 由A和D的积分数据建立方程组，求解胜一场和负一场的积分；再根据B的总场数为18和胜场数是负场数的偶数倍的条件，列出方程求可能负场数，结合前5轮B已有2负，排除负场数为18的情况，得到负场数为2或6，计算积分分别为78或54． 【详解】解：设胜一场得分，负一场得分． 由A（4胜1负积分19）得： 由D（2胜3负积分7）得： 解方程组：， 得， 故胜一场得5分，负一场得分． 设B在18轮后胜场数为，负场数为，则，且（为正偶数）． 代入得，． 为18的正因数，且为偶数，为奇数． 18的正因数有1、2、3、6、9、18． 时，不是偶数； 时，是偶数； 时，不是偶数； 时，是偶数； 时，不是偶数； 时，不是正偶数，故无效． 因此或． B总积分． 若，则； 若，则． 故答案为：54或78． 3．课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    【答案】小丽的5次飞镖总分为37分 【分析】设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分，根据图示列二元一次方程组，解之即可. 【详解】解：设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分． 依题意得， 解得， 小丽：（分） 答：小丽的5次飞镖总分为37分． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 4．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人（设捐款10元的为x人、捐款15元的为y人，由总人数40人、总捐款500元列方程组解得） 捐款10元的有15人，捐款15元的有12人； 解答过程：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】略 5．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由： 假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）略 综合实践问题题型05 1．（24-25七年级下·重庆·期末）通过华师大版数学教材24页的数学活动“自己动手做一根杆秤”的学习，利用杠杆原理熟悉了物体的等量关系：处物体的重量的长度处物体的重量的长度（如图1）．根据这一原理，数学兴趣小组制作了简易杆秤（如图2），秤盘的重量为10克，秤砣重量为50克． (1)由于自身秤盘的重量，需确定秤盘、零刻度线和秤纽之间的相对位置（如图3）．若秤盘到零刻度线的水平距离（即）为6厘米时，请你确定秤纽到秤盘的水平距离； (2)称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡．为了方便快速得到在秤盘中重物的重量，从零刻度线向后依次标记等距的小刻度线，数学兴趣小组在（1）的条件下进行了实验，当秤盘放入200克重物后，秤砣从零刻度线向末刻度线方向移动，到第5个小刻度线时杆秤刚好平衡，求第1个小刻度线到零刻度线的水平距离是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合秤盘的重量为10克，秤砣重量为50克以及，算出，即可作答． （2）根据题意，得克，再结合杠杆原理进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，秤盘的重量为10克，秤砣重量为50克．秤盘到零刻度线的水平距离（即）为6厘米， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则； （2）解：依题意，（克） ∵秤砣从零刻度线向末刻度线方向移动，到第5个小刻度线时杆秤刚好平衡， 设每个刻度间距为， ∵题干的处物体的重量的长度处物体的重量的长度， ∴， ∴， 解得． 2．综合与实践：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，右侧托盘固定在点B处，左侧托盘的点P可以在横梁AC段滑动．已知，，m，n分别表示1个M物体和1个N物体的质量．已知平衡时，左盘物体质量右盘物体质量．（不计托盘与横梁质量） (1)若左侧托盘固定在点C处，如图2所示天平平衡，，则______g； (2)若右侧托盘放置1个的砝码，左侧托盘放9个M物体和30个N物体，滑动点P到时，天平平衡，已知m，n为整数，求的值； (3)测量小球的质量：如图1右侧托盘放置2个砝码，左侧托盘放入一个小球和若干个物体N，滑动点P至点A天平恰好平衡，若再次向左侧托盘中加入相同数量的物体N，发现点P移动到时，天平平衡．求这个小球的质量． 【答案】(1) (2) (3)20克 【分析】本题主要考查二元一次方程和二元一次方程组的应用： （1）根据“左盘物体质量右盘物体质量”进行计算即可得出结论； （2）根据题意得，结合m，n为整数可求出m，n的值，即可得出的值； （3）设一个小球的质量为x克，若干个物体N的质量为y克，根据右侧托盘放置2个砝码，左侧托盘放入一个小球和若干个物体n，滑动点P至点A天平恰好平衡，若再次向左侧托盘中加入相同数量的物体n，发现点P移动到时，天平平衡可列出方程组，求出方程组的解即可 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：3； （2）解：根据题意得，， ， ∵m，n为整数， ∴，， ∴； （3）解：设一个小球的质量为x克，若干个物体N的质量为y克， 化简得： 解得： 答：一个小球的质量为20克. 3．（25-26七年级下·福建·期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖和横式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)【任务1】若，求，，的值； (2)【任务2】求的最大值． 【答案】(1)，，的值分别为、、 (2) 【分析】（1）张标准卡纸通过剪裁得到张小长方形，而一张可以剪裁个小长方形，先算出总的小长方形，减去，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以即可求解，根据个竖式叠盖纸盒需要个小长方形和个正方形，个横式叠盖纸盒个小长方形和个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要个小长方形，则，求其整数解，判断其最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 则， 解得， ∴，，的值分别为、、． （2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， 即， 其整数解为、、、， ∴的最大值为． 4．综合与实践 【项目主题】 用正方形瓷砖铺设庭院． 【项目准备】 (1)观察下列等式，并完成填空． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… 猜想第个等式为 ． 【项目探究】 (2)小李准备用灰白两种瓷砖按图1、图2、图3⋯⋯的铺设方式逐渐将庭院铺满，图1由3块白色瓷砖和6块灰色瓷砖排列而成，每块瓷砖的边长都是50cm．小李家的庭院正好是一个边长为6m的正方形．若将整个庭院全部铺满，则需要灰色瓷砖 块、白色瓷砖 块． 【项目预算】 (3)小李在市场上买瓷砖时，发现买1块灰色瓷砖和2块白色瓷砖共20元，买2块灰色瓷砖和1块白色瓷砖共22元，则买1块灰色瓷砖需 元，1块白色瓷砖需 元．小李将整个庭院铺满共需 元． 【答案】(1) (2)66，78 (3)8，6，996 【分析】（1）直接根据给出的等式，进行推导即可； （2）根据（1）中结论求出灰色瓷砖的数量，用总数量减去灰色瓷砖的数量求出白色瓷砖的数量； （3）设购买1块灰色瓷砖的费用为元，1块白色瓷砖的费用为元，根据题意列出方程组进行求解即可. 【详解】（1）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… 猜想第个等式为． （2）解：观察可知，灰色瓷砖的数量符合（1）中规律， ∵每块瓷砖的边长都是，小李家的庭院正好是一个边长为的正方形，， ∴ ∴需要灰色瓷砖（块），需要白色瓷砖（块）； （3）解：设1块灰色瓷砖元，1块白色瓷砖元， 根据题意得，解得， 故设1块灰色瓷砖元，1块白色瓷砖元， 总费用：元. 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 【答案】(1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工 (2)需要安排初级工5人，高级工人 (3)应安排初级工名，高级工8名 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用．找准等量关系，列出正确的等式是解题的关键． （1）设需要安排名初级工，根据需要日生产件零件，可列出关于的一元一次方程，解之即可； （2）设需要安排初级工x人，高级工y人，根据日生产件零件且该工厂每日支付薪酬元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可； （3）设需要安排参与生产的初级工人，高级工人，根据日生产件零件，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出各安排方案，结合每4名初级工生产时需要1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），可列表得出具体安排方案，再求出选择各方案需支出工人的总日薪酬，比较后即可得出答案． 【详解】（1）解：设需要安排名初级工， 根据题意得：， 解得：， 答：若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工． （2）解：设安排初级工x人，高级工y人 ，解得 答：需要安排初级工5人，高级工人． （3）解：设参与生产的初级工人，高级工人 则，化简得， 则为5的倍数，可列表如下： 0 5 5 参与指导的高级工人数 8 6 4 2 高级工人数 8 费用 ∴应安排初级工29名，高级工8名． 坐标与图形中的方程组的应用题型06 1．用大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知点A的坐标为，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设长方形的长边长为a，短边长为b，根据点A的横坐标的绝对值为3个长边加上1个短边，纵坐标为1个长边加上1个短边减去2个短边列出方程组求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：设长方形的长边长为a，短边长为b， ∵， ∴， 解得， ∴点B的横坐标为，纵坐标为，即， 故选D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解二元一次方程组，正确列出方程组求出长方形长边和短边的长是解题的关键． 2．（25-26七年级·山东德州·期末）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数的和均相等，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据各行各列及对角线上三个数的和相等，列出关于的二元一次方程组，求解得到的值，再根据象限的坐标特征判断点的位置． 【详解】解：第一行三个数的和为 ， ∵第三列三个数的和与第一行和相等， ∴ ， 整理得， ∵左上到右下对角线的和与第一行和相等， ∴， 整理得， 用得， 解得， 把代入①得， 解得； ∴点的坐标为 ∵，， ∴点在第二象限． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，若点是线段的中点，则点的坐标为．如：，则的中点的坐标为，即点的坐标为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，则线段的中点的坐标是______； (2)若点，线段的中点的坐标为，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)已知点，若线段的中点与线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)点的坐标为． 【分析】本题考查了坐标中点公式，二元一次方程组的应用，掌握坐标中点公式是解题关键． （1）根据坐标中点公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据坐标中点公式列方程组求解即可； （3）先根据中点坐标公式得出线段和的中点坐标，再根据中点中和列方程组求解即可． 【详解】（1）解：， 线段的中点的坐标是，即, 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 点，线段的中点的坐标为， ，解得：， 即点的坐标为； （3）解：点， 线段的中点坐标为，线段的中点坐标为， 线段的中点与线段的中点重合， ，解得： 点的坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点分别为．对该长方形及其内部的每一个点都进行如下操作：把每个点的横坐标都乘以同一个实数a，纵坐标都乘以3，再将得到的点向右平移个单位长度，向下平移2个单位长度，得到长方形及其内部的点，其中点A，B，C，D的对应点分别为． (1)点的横坐标为__________（用含a，m的式子表示）； (2)若点的坐标为，点的坐标为，求a和m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据操作：把每个点的横坐标都乘以同一个实数a，纵坐标都乘以3，再将得到的点向右平移个单位长度，向下平移2个单位长度，求得点A′的坐标的横坐标、纵坐标填空； （2）根据题意得到：，联立方程组，即可求解； 【详解】（1）根据操作：把每个点的横坐标都乘以同一个实数a，纵坐标都乘以3，再将得到的点向右平移个单位长度，向下平移2个单位长度， ， ，即， 故答案为：， （2）解：由可得①， 由可得②， 由①②得， ． 【点睛】此题考查了点的坐标变换，解二元一次方程组，解题关键在于注意变换前后点的坐标的变化规律． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）重庆两江灯光秀是传统文化与现代科技融合的一场视觉盛宴，若河两岸，桥垂直于河两岸，如图1，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，河岸上点，点．为了强化灯光效果，在桥头、安置了可旋转探照灯．已知灯从开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为，灯从射线开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为．两灯同时开始旋转，且满足． (1)________，________． (2)如图1，连接，将线段平移到线段（点的对应点为），点在轴上，且，求的坐标． (3)如图2，点是河道中一航标灯，点是线段延长线上一点，连接、．和的角平分线交于点，和的角平分线交于轴上点，，．在点处设置一个可旋转的探照灯，当桥头、灯开始旋转时，点处的探照灯从开始绕以度/秒顺时针旋转，光线记为，当到达时，所有运动均停止．时间为何值时，射线所在直线，射线所在直线，射线所在直线能围成直角三角形，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或秒 【分析】（1）利用非负数的性质解答即可； （2）根据 ，得出，进而得出 ，则或，进而求得或； （3）分别过点作，根据角平分线的定义以及平行线的性质，，则，设，进而根据得出，即①，，得出②，解方程组得出，得出，进而分三种情况讨论，根据平行线的性质列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ， 又∵， ∴ ， 解得 ， ∵， ∴或， ∵， ∴或； （3）解：如图，分别过点作 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设 ∵， ∴ ∴ ∵平分 ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，即① ∵平分 ∴，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴② 联立①②得 解得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 已知灯从开始顺时针旋转，速度为3度/秒，，旋转至后开始回转，回转的速度为2度/秒，则，， 灯从射线开始顺时针旋转，速度为2度/秒，，旋转至后开始回转，回转的速度为3度/秒，则， 当时，如图 ∴当时，，解得：（舍去） 当时，，无解 当时，，解得：（舍去） ∴不存在的情形， 当时，如图，设交于点 当 ∴ ∴ 解得：（舍去） 当从返回时， 则 解得： 当时，如图，设直线，交于点，过点作 ∴， 当时， ∴ 解得：（舍去） 当时， 解得： 综上所述，时间或时，射线所在直线，射线所在直线，射线所在直线能围成直角三角形． 火车过桥、火车交汇类问题题型07 1．（24-25七年级下·河北·月考）已知某一铁路隧道长1500米．有一列火车匀速从隧道通过，测得火车开始进入隧道到完全出隧道共有1分钟，整列火车都在隧道里的时间为40秒，设火车长米，火车的速度米秒，则可得方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 设火车长米，火车的速度米秒，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】设火车长米，火车的速度米秒， 根据题意得，． 故选：B． 2．已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是________米/秒，火车的长度为________米． 【答案】 10 200 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设火车的速度为米／秒，火车的长度为米，根据铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒，再建立方程组求解即可. 【详解】解：设火车的速度为米／秒，火车的长度为米， 根据题意，得， 解得， 即火车的速度为10米／秒，火车的长度为200米． 故答案为：， 3．客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长450米，货车长600米．如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾离开货车车头共需1分45秒，求两车的速度． 【答案】客车：30米/秒，货车：20米/秒 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程组求解，注意时间单位的统一． 设客车的速度为米/秒，货车的速度为米/秒，根据“如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21秒钟；如果客车从后面追货车，那么客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分45秒”即可列方程组求解． 【详解】解：设客车的速度为米/秒，货车的速度为米/秒， 由题意得 ， 解得， 答：客车的速度为30米/秒，货车的速度为20米/秒． 4．开放题青藏铁路顺利通车后，青藏高原天堑变通途，圆了几代人的梦．作为世界上海拔最高、施工难度最大的铁路，青藏铁路线有一座大桥——拉萨河特大桥，全长约940m．小明在去年暑假乘列车从北京到拉萨游玩，记录了以下两个数据： ①列车完全在桥上的时间为35s； ②列车从上桥到完全通过该桥用了45s． 根据以上信息，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程． 【答案】求列车的长度与速度；列车的长度为117.5m，速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 根据火车完全在主桥上的时间为秒，火车从上桥到完全通过该桥用了秒，主桥长米，分别得出方程组成方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】解：提出的问题是：求列车的长度与速度． 设列车的长度为，速度为． 根据题意可得解得 故列车的长度为117.5m，速度为． 5．（25-26七年级下·山东烟台·期中）某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【答案】(1)车头与每节车厢的长度分别为4米，8米 (2)隧道的长度为120米 【分析】（1）设观光车的车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，根据观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设隧道的长度为a米，观光车身总长度为b米，根据观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，列出方程组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设车头与每节车厢的长度分别为米，米， 根据题意，得 解得 所以，车头与每节车厢的长度分别为4米，8米． （2）解：设隧道的长度为米，观光车总长为米，根据题意，得 ， 由得， 可得 所以，隧道的长度为120米． 列方程组解“幻方”问题题型01 1．《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小明的探索兴趣，他在如图的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的个数之和都相等，则的值为（　　） A．1 B．5 C．25 D．32 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组，有理数乘方运算的运用，根据题意列式，再根据解二元一次方程组的方法求出的值，代入，根据有理数乘方运算即可求解，掌握解二元一次方程组，有理数乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，可得：， 由①，可得：， 由②，可得：， 由③④，可得：， 解得， 把代入①，解得， ∴． 故选：C． 2．如图，在幻方中，填入个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等按以上规则填成的幻方中，的值为________． 【答案】 【分析】根据题意可知每行每列每对角线上的三个数之和都相等可知，即可得解； 【详解】∵每行每列每对角线上的三个数之和都相等， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，二元一次方程的应用，结合表格，由每行每列每对角线上的三个数之和都相等得知是解题的关键． 3．在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为___________． 【答案】9 【分析】本题考查了九宫格的知识，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和 相等的规律，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键． 设九宫格中最中间的数为x，由于第3列中间数与第2行的最右边的数重合，建立方程，求得x，设第1列最下面的数为y，第2行最右边数为z，由第1列与其中一条对角线的数之和相等得：，再由最后一列和另一条对角线的数之和相等得：，最后解方程组，然后再计算m值． 【详解】解：设九宫格中最中间的数为x， ∵第3列中间数与第2行的最右边的数重合， ∴ 解得：． 设第1列最下面的数为y，第2行最右边数为z， 则由题意得：， 解得：， ∴． 故答案为：9． 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值． 【答案】，的值分别为，． 【分析】根据题意列方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴，的值分别为，． 5．（24-25下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3) 当时，如图： 9 16 11 14 12 10 13 8 15 当时，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意并列出方程是解题的关键． （1）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，即可； （2）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程组，即可； （3）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，再结合m，a为正整数，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得： ， 解得：； （3）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ∵m，a为正整数， ∴或或， 当时， 第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15， 每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都为36，如图 9 16 11 14 12 10 13 8 15 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 动点问题题型02 1．（25-26七年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知长方形，动点，同时从点出发，点按照方向运动，点按照方向运动．点运动的速度是点运动速度的倍，两点到各自终点后分别停止运动，并且，两点在点处首次相遇． (1)若长方形周长为，求和的长度； (2)当运动秒时，连接，线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，请直接写出，两点从出发到首次相遇所用的时间． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】（1）根据长方形周长以及，两点在点处首次相遇，可得，，再进一步求解即可； （2）由（1）得：，设，则，可得长方形周长为，设的速度为，则的速度为，再分两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵长方形周长为， ∴，，，即， ∵点运动的速度是点运动速度的倍， ∴运动时间相同时点的运动路程是点P运动路程的倍， ∵，两点在点处首次相遇， ∴，即， ∴， 解得：，． （2）解：由（1）得：， 设，则， ∴长方形周长为， 设的速度为，则的速度为， 当运动秒时，的运动路程为，的运动路程为， 如图， ∵线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，长方形是中心对称图形， ∴， ∴， 解得：， ∴，两点从出发到首次相遇所用的时间为， 如图， ∵，， 当运动到的时间为：， 此时的运动路程为， ∴已经停止运动， ∴当运动秒时，停止，与重合，此时线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分， ∵长方形是中心对称图形， 此时， ∴， ∴，两点从出发到首次相遇所用的时间为， 综上：，两点从出发到首次相遇所用的时间为或． 2．如图，已知直线和交于点，，，垂足为，平分． (1)当时，则______；______； (2)当时，射线从开始绕点逆时针匀速转动，同时，射线从开始绕点匀速转动，且射线的转动速度大于射线的转动速度． ①若射线顺时针转动，则射线与射线经过7.5秒第一次重合；若射线逆时针转动，则射线与射线经过37.5秒第一次重合．求射线，绕点转动的速度分别是多少？ ②若射线，绕点转动的速度与①中转动速度相同，射线顺时针转动，当射线转动一周时，射线也停止转动，当时，直接写出射线转动的时间． 【答案】(1)60°，75° (2)①射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是；②射线转动的时间为3或12或21或30． 【分析】（1）利用互余可知，利用互补及角平分线的性质可知； （2）①先根据，可知，则两种情况可以类比二元一次方程应用中的路程问题，根据相遇、追及两种情况列出方程组，求解即可； ②分两种情况：在直线OE的左边和右边，根据其夹角列4个方程可得时间． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：60°，75°； （2）①设射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是， 由题意列方程组为， 解得， 答：射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是； ②设射线转动的时间为t秒， 由题意得：或或或， 解得：或或或， 综上所述：射线转动的时间为3或12或21或30． 【点睛】本题考查了对顶角相等，邻补角互补的定义，解二元一次方程组，角平分线的定义，角的计算，第二问有难度，难点在于要分情况讨论． 3．如图，在四边形中，，，，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点、、同时出发，当其中一个点到达终点时，另外两个点也随之停止运动，设移动时间为．    (1)如图1，连接、，当时，的值为______； (2)如图2，当以、、为顶点的三角形与全等时，求出相应和的值； (3)如图3，连接、交于点，当且时，试证明：． 【答案】(1) (2)，或， (3) 证明：且时，，而， ， 点在点、之间， ，， ， 如图3中，连接交于   ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 【分析】（1）当时，由，推出，列出方程即可解决问题； （2）当时或当时，分别列出方程即可解决问题； （3）如图连接交于只要证明，推出，可得，，推出，即． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ， 故答案为：； （2）， 当时，有，，即①， ②， 由①、②联立并解得：， 当时，有，，即③， ④， 由③、④联立并解得：， 综上所述，当，或，时，以、、为顶点的三角形与全等； （3）略 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，二元一次方程组的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 列多元方程组解决问题题型03 1．甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为a、b、c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是（　　　） A．甲的工作效率最高 B．丙的工作效率最高 C．c=3a D．b：c=3：2 【答案】D 【分析】将两式相减可得，从而判断C；然后求出，从而判断A、B和D． 【详解】解：由题意可得： ①－②，得 解得：，故C错误； 将代入①，得 解得： ∴b＞c＞a ∴乙的工作效率最高，故A、B错误； b：c=3a：2a=3：2，故D正确． 故选D． 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中的各个量之间的关系和消元法是解决此题的关键． 2．小明有张背面图案相同的扑克牌，分别是红心到红心，现从中任意抽取三张．已知第一张与第二张的点数之和为，第二张与第三张的点数之和为．则抽中的张牌依次是红心___________．（计算中，红心按数字处理） 【答案】，， 【分析】利用题意列方程组求特殊解即可. 【详解】解：设第一张为，第二张为，第三张为， ∵有张背面图案相同的扑克牌，分别是红心到红心，第一张与第二张的点数之和为，第二张与第三张的点数之和为， ∴，，是正整数， ∴当时，，与题意不符，此情况不成立； 当时，第二张为，； 故答案为：． 3．利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1的方式放置，再交换两木块的位置，按图2的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是__________．    【答案】 【分析】本题考查了运用列三元一次方程组解决实际问题的运用及方程组的解法的运用，在解答时设参数建立方程组是关键．设长方体长，宽，桌子的高为，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论． 【详解】解：设长方体长，宽，桌子的高为，由题意得 ， 两式相加得：， 解得． 故答案为：． 4．（24-25下·上海·月考）阅读下列材料： 问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅单价不变） 解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x，y，z元．根据题意，得方程组： 上述方程组可变形为： 设，，上述方程组可化为： 得： ，即 ． 答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需 元． 阅读后，细心的你，可以解决下列问题： (1)上述材料中， ； (2)选择题：上述材料中的解答过程运用了 思想方法来指导解题． A．整体    B．数形结合    C．分类讨论 (3)某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表： 甲 乙 丙 丁 用钱金额/元 第一次购买件数 5 4 3 1 1882 第二次购买件数 9 7 5 1 2764 根据表格中提供的数据信息填空，如果购买每种体育用品各一件，共需 元． 【答案】(1) (2)A (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组及其应用，熟练掌握整体思想是解此题的关键． （1）按要求补充完整上面求解过程，即可得出； （2）在解题过程中采用的是整体思想方法来解决问题，即可得解； （3）设体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的单价分别为、、、，根据题意列出方程组，仿照题干所给材料解方程组即可． 【详解】（1）解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x，y，z元．根据题意，得方程组： 上述方程组可变形为： 设，，上述方程组可化为： 得：，即， 答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需元． 故答案为：； （2）解：上述材料中的解答过程运用了整体思想方法来指导解题， 故选：A； （3）解：设体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的单价分别为、、、， 由题意可得：， 该方程组可变形为， 设，， 上述方程可转化为， 解得：， ∴， ∴购买每种体育用品各一件，共需元． 5．甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发，速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？ 【答案】摩托车走完全程要168分． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A、B两地的距离为S，按照原速同时出发时，t分钟甲乙两人相遇，则，据此可得，再根据如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们推出，可得；再根据如乙早30分出发，速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B得到，则，进而可得，，据此求出摩托车需要的时间即可． 【详解】解：设A、B两地的距离为S，按照原速同时出发时，t分钟甲乙两人相遇， 由题意得，， ∴； ∵如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵如乙早30分出发，速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （分）， 答：摩托车走完全程要168分． 分段类问题题型04 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到北京和上海，收费标准及实际收费如表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 上海 a b 北京 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 上海 2 9 北京 3 22 (1)求a，b的值； (2)若小丽寄10千克的快递到上海，则小丽需要付多少钱的快递费？ 【答案】(1)a的值为7，b的值为 (2)小丽需要付25元的快递费 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据小丽分别寄快递到上海和北京的快递质量和费用，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由题意列式计算即可． 【详解】（1）根据题意得：， 解得： 所以a的值为7，b的值为2， 答：a的值为7，b的值为 （2）根据题意，由（1）得，，． （元）， 即小丽需要付25元的快递费， 答：小丽需要付25元的快递费． 2．某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 【答案】(1)七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生 (2)八年级报名38人，九年级报名58人 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用． （1）设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：①若，②若，由题意分别列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生， 由题意，得， 解得， 答：七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生； （2）解：设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况： ①若，由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ②若，由题意，得， 解得， 答：八年级报名38人，九年级报名58人． 3．“滴滴打车”深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表： 时间（分钟） 里程数（千米） 车费（元） 小明 7 5 12.1 小亮 6 4.5 10.8 （1）求p，q的值； （2）“滴滴”推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费．某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，已知两次“滴滴打车”行驶的平均速度为40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车”的里程数？ 【答案】（1）p=2；q=0.3；（2）7或13． 【分析】（1）利用表格中信息列出方程组即可； （2）不妨设第一次的路程为x千米，有三种可能：分别列出方程即可解决问题． 【详解】解：（1）由题意 ， 解得； （2）不妨设第一次的路程为x千米，有三种可能： ①第一次路程不超过8千米，第二次的路程超过8千米， 2×20+0.3（20÷40）×60+（20-x-8）×0.6=52， 解得x=7； ②第一次路程超过8千米，第二次的路程也超过8千米， 2×20+0.3（20÷40）×60+（x-8）×0.6+（20-x-8）×0.6=52， 不存在； ③第一次路程超过8千米，第二次的路程不超过8千米， 2×20+0.3（20÷40）×60+（x-8）×0.6=52， 解得x=13． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 4．甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下： 所购苹果质量 不超过30kg 30kg以上但不超过50kg 50kg以上 单价 3元 2.5元 2元 甲班分两次共购买苹果48kg（第二次多于第一次），乙班一次购买苹果48kg，丙班分两次共购买苹果90kg． (1)若甲班第一次购买16kg，第二次购买32kg，则乙班比甲班少付多少元？ (2)若甲班两次共付费126元，则甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？ (3)若丙班两次共付费196元，则丙班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？ 【答案】(1)8 (2)甲班第一次买12kg，第二次买36kg (3)丙班第一次、第二次分别购买苹果和；和；和；和． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）分别求出甲乙两班的费用求差即可解决问题； （2）分两种情况构建方程即可解决问题； （3）分五种情况构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：甲班费用（元）， 乙班费用（元）， （元）， 答：乙班比甲班少付元． （2）解：设甲班第一次买，则第二次买， ①当时，则， 根据题意，得， 解得．则； ②当时，则， 根据题意，得，此方程不成立． 综上所述，甲班第一次买，第二次买 ． （3）解：设丙班第一次买，则第二次买， ①当时，则， 根据题意，得， 解得； ②当时，则， 根据题意，得， 解得； ③当时，则， 根据题意，得，此方程不成立． ④当时，， ， 解得； ⑤当时，， ， 解得． 综上所述，丙班第一次、第二次分别购买苹果和；和；和；和． 5．某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻抛件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2026年快递公司收费规则： 快递公司 省内 省外 首重（） 续重 首重（） 续重 顺丰 12元 2元/kg 22元 8元/kg 德邦 11元 3元/kg 11元 10元/kg 轻抛件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重体积． 例如：用顺丰寄往省内的轻抛件实际重量，体积为，其体积重，由于，则按收费共需支付元． 某商家需采购省内外的乒乓球（轻抛件）和乒乓球拍（非轻抛件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其3月进货量如下： 种类 省内 省外 重量/kg 体积/ 重量/kg 体积/ 乒乓球 2 24000 0.5 6000 乒乓球拍 15 / 10 / (1)若该商家3月与顺丰合作，请计算3月的快递费用共需多少钱？ (2)因乒乓球热销，该商家计划于5月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购，省内外均有订货，且全部发轻抛件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜50元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少kg？ 【答案】(1)3月的快递费用共需174元 (2)该商家省内体积重是，省外体积重是 【分析】本题考查有理数混合运算与二元一次方程组的实际应用. （1）先根据轻抛件计费规则确定各包裹的计费重量，再结合顺丰的收费标准分别计算各部分费用，求和得到总费用； （2）设省内和省外的体积重分别为未知数，根据总体积和费用差列出二元一次方程组，求解即可得到结果． 【详解】（1）解：计算省内乒乓球费用：体积重，，按计费，费用（元）； 计算省外乒乓球费用：体积重，，按计费，费用（元）； 计算省内乒乓球拍费用：非轻抛件按计费，费用（元）； 计算省外乒乓球拍费用：非轻抛件按计费，费用（元）； 总费用（元）； 答：3月的快递费用共需174元； （2）解：， 设该商家省内体积重为，省外体积重为， 由体积重公式可得总体积满足， 整理得， 计算顺丰总费用：， 计算德邦总费用：， 由顺丰比德邦便宜50元，可得， 整理得， 联立方程组得 解得， 答：该商家省内体积重是，省外体积重是． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.3 二元一次方程组的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 行程问题 题型02 工程问题 题型03 和差倍分问题 题型04 几何问题 题型05 数字问题 题型06 方案问题 题型07 分配问题 题型08 销售问题 题型09 其他问题 题型10 列二元一次方程组解经济问题 题型11 配制（或配套）类问题 B组 能力进阶 题型01 古典问题 题型02 列方程组解年龄问题 题型03 根据描述列二元一次方程组解决问题 题型04 根据表格列二元一次方程组解决问题 题型05 综合实践问题 题型06 坐标与图形中的方程组的应用 题型07 火车过桥、火车交汇类问题 C组 思维拔高 题型01 列方程组解“幻方”问题 题型02 动点问题 题型03 列多元方程组解决问题 题型04 分段类问题 行程问题题型01 1．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为，则方程组中x表示______． 2．A、B、C三地在同一直线上，甲、乙两车分别从A，B两地相向匀速行驶，甲车先出发2小时，甲车到达B地后立即调头，并将速度提高10%后与乙车同向行驶，乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地，设两车之间的距离为y（千米），甲行驶的时间x（小时）．y与x的关系如图所示，则B、C两地相距_____千米． 3．一艘船在某河道上航行，已知顺水航行需要，逆水航行需要．那么，该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少？ 4．甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？ 5．甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车， (1)求小车和摩托车的速度． (2)求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？ 工程问题题型02 1．某公司有新员工和老员工若干名．已知1名新员工每天制造的零件个数比1名老员工少30，1名新员工与2名老员工每天共可制造180个零件，则1名新员工与1名老员工每天各能制造多少个零件？设1名新员工每天能制造个零件，1名老员工每天能制造个零件．根据题意可列方程组为（） A． B． C． D． 2．现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道天，工程小组整治河道天，依题意可列方程组（   ） A． B． C． D． 3．（25-26下·上海·期末）“6.18”大促期间，某快递站点现有待派送包裹件，另有新包裹持续从分拣中心匀速运入站点(每分钟新增包裹数量固定)．若同时安排名派送员，需要分钟才能全部派送完毕；若同时安排名派送员，需要分钟可全部派送完毕．如果同时安排名派送员，全部派送完需要的时间是____分钟． 4．数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______； (2)淇淇同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天，请你按照她的思路解答老师的问题． 5．甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？ 和差倍分问题题型03 1．已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 2．A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 3．一群学生结对去郊外春游，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象：假设每个人都看不到自己头上戴的帽子，则每位男生看到白色与红色的帽子一样多，而每位女生看到白色帽子是红色的2倍；则这群学生共有_______人． 4．在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 5．清明假期，泰山受到广大市民和全国游客的热烈欢迎．据统计，假期第一天A入口比B入口登山游客多万人，第二天A入口登山游客增加了，B入口登山游客减少了，当天A，B入口登山游客总人数比第一天增加了，试求第二天A，B入口登山游客的人数各是多少万人？ 几何问题题型04 1．八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的宽等于（　　） A．15cm B．30cm C．12cm D．10cm 2．如图，长方形中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图，单位：厘米），则图中阴影部分的面积为（      ） A．82平方厘米 B．64平方厘米 C．60平方厘米 D．54平方厘米 3．已知和互为补角，并且的一半比小30°，则的余角为_____度． 4．如图是一个周长为8的长方形，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①、②、③、④、⑤），其中．若⑤的长与宽之差为1.4，则①的周长为 ____________． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·月考）如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 数字问题题型05 1．已知一个两位数，十位数字比个位数字大1，若将个位数字与十位数字对调后，新得的两位数比原来的两位数小9，设原来的两位数个位数字为，十位数字为，则可列方组是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（   ） A．154 B．155 C．156 D．157 3．（24-25下·上海·期中）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是________． 4．一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 5．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程组，求小明在时看到里程碑上的两位数． 方案问题题型06 1．有货物，大车一次能装，小车一次能运，若要一次运完且两种车都得用，派车方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．小明带7元钱去买中性笔和橡皮（两种文具都买），中性笔每支2元，橡皮每块1元，那么中性笔能买_____支． 3．5月19日是“中国旅游日”，为拓宽学生视野，某校组织去井冈山开展研学旅行活动．在此次活动中，小明、小亮等同学随家长一同到某游乐园游玩．已知成人票每张35元，学生票按成人票五折优惠．他们一共12人，门票共需350元． (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)如果团体票（16人或16人以上）按成人票六折优惠，请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？ 4．（24-25九年级下·湖南永州·期中）某村为建设美丽乡村、为村民提供良好的休闲活动场所，采购了33吨路面砖准备铺设一个村民活动场所，现向某运输公司同时租赁A、B两种车型货车运送．已知用2辆A型车和1辆B型车装满一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车装满一次可运13吨路面砖． (1)求1辆A型车和1辆B型车都装满路面砖一次可分别运多少吨？ (2)若A型车每辆租金为元/次，B型车每辆租金为元/次，33吨路面砖一次运完且恰好每辆车都装满．请求出较省钱的一种租车方案． 5．某校九年级314名学生准备坐客车到校外参加体育中考，客车类型和租车价格如下表，已知B型客车的座位数是A型客车座位数的两倍少1个，C型客车座位数比B型客车座位数多13个． 客车类型 A型客车 B型客车 C型客车 乘客座位（个） 19 _______ _______ 租车价格（元/辆） 1200 1500 1800 （1）根据题意，填写表格． （2）若计划同时租A型客车和C型客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，租车费用为14400元，求计划租A型和C型车各多少辆． （3）考试当天有老师和志愿者家长共36人一同前往，若同时租用三种车，且每辆车都坐满，已知A型车的数量是B型车的n倍（n为正整数），则租C型车________辆．（直接写出答案） 分配问题题型07 1．2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 2．一旅行团游客入住一家宾馆，如果每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，那么就空出2间客房．设该宾馆有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组______． 3．某小区为了优化环境，计划在小区内甲、乙两块面积相同的空地上种植矮牵牛、金盏菊和三色堇三种花卉．现有10名工人参与种植，且每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积之比为 ．已知每名工人固定种植一种花卉，所有工人花费9天的时间完成了甲地的花卉种植．在乙地进行花卉种植时，为了加快乙地的种植进度，基于甲地的工人分配方案进行了调整，从种植金盏菊和三色堇的工人中分别抽调1人种植矮牵牛，这样乙地花卉种植的天数比甲地少且恰好为整数，则乙地种植金盏菊和三色堇的工人人数之比为___________． 4．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 5．为提高集团人力资源利用率，某集团对下属甲、乙两地分公司的员工人数进行了如下调整：甲分公司人数增加，乙分公司人数减少5人，已知调整前甲分公司比乙分公司人数少10人，调整后甲比乙多3人，求调整前甲、乙分公司的人数分别为多少人？ 销售问题题型08 1．不考虑优惠，买2本笔记本和3支水笔共需22元，买4本笔记本和3支水笔共需38元，则购买1本笔记本和1支水笔共需（    ） A．10元 B．8元 C．5元 D．3元 2．（25-26八年级上·质检）阳光学校的同学们为此次爱心助学活动组织了一场广场义演，售出单人票和双人票共1000张，筹得票款6950元．已知双人票每张8元，单人票每张5元，则单人票售出了________ 张． 3．（24-25七年级下·云南临沧·期中）某中学要增设篮球和足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需要340元，购买4个篮球和5个足球共需要620元．购买一个篮球和一个足球各需要多少元？ 4．临近母亲节，某蛋糕店制作了一款节日礼盒，按标价出售，每盒可获利50元，若该礼盒以8折出售6盒与降价20元出售4盒获得的利润相等，求该礼盒的成本和标价． 5．某饮料厂生产大瓶装甲饮料和小瓶装乙饮料，去年 11月份该饮料厂售出甲、乙两种饮料共 10000瓶，11月份的销售额为7.1万元，已知甲饮料每瓶出厂价是12元，乙饮料每瓶出厂价是5元． （1）去年11月份饮料厂售出甲、乙两种饮料各多少瓶？ （2）饮料厂生产甲、乙饮料需要两种果汁原料，表1是相关数据，原料每千克进价4元，原料每千克进价3元．去年12月份，饮料厂决定对甲饮料进行促销，买一瓶甲饮料送一瓶乙饮料，单独购买乙饮料无优惠．结果12月份售出的甲饮料数量比11月份售出甲饮料的数量增加40%， 12月份饮料厂销售甲、乙两种饮料的总利润为3.12万元，求去年12月份饮料厂实际售出乙饮料多少瓶（不含赠送）？ 每瓶用量    饮料 甲 乙 （单位：千克） 0.9 0.2 （单位：千克） 0.8 0.4 （3）今年1月份，即将迎来新春佳节，饮料厂决定量大从优，规定一次性购买甲、乙两种 饮料的优惠方案分别如表2、表3． 某超市分两次分别购进甲、乙两种饮料，第一次全部购进甲饮料，第二次全部购进乙饮料，两次共购进2000瓶饮料（第一次购进甲饮料的数量小于第二次购进的乙饮料的数量），超市两次实际共付给饮料厂11470元．超市甲饮料售价为每瓶18元，乙饮料的售价为每瓶10元，若超市将甲、乙两种饮料全部售出，那么超市可赚多少钱？ 一次性购买甲饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过500 所购饮料全部按九折优惠 超过500 所购饮料全部按八折优惠 一次性购买乙饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过500的部分 不享受优惠方案 超过500但未超过1000部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 其他问题题型09 1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）2026年5月1日晚，在鞍山市立山区南沙河举办了一场大型无人机灯光秀，这次灯光秀共有3000架无人机参加表演，这3000架无人机由外市用大型箱式半挂车通过高速公路运输到鞍山，然后用中型厢货车一次性转运到表演场地．参与转运的中型厢货车有A，B两种型号，每辆A型车运输240架无人机，每辆B型车运输120架无人机，且两种型号车均满载，A型车数量是B型车数量的2倍，求A型车和B型车各有多少辆？设A型车有辆，B型车有辆，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级·河南信阳·期末）小明在教材116页活动2汽车轮胎换位的探究中，获得了数学信息，知道电动车一般也是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在电动车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．3000 B．3750 C．4000 D．4500 3．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则1辆大货车比1辆小货车一次多运货__________吨． 4．得益于“互联网”和人工智能的发展，无人配送服务行业已经进入人们的生活．某大学校园内使用了无人配送车和无人机配送快递．已知一架无人机一次可运送3千克货物，一辆无人配送车一趟可运送120千克货物．快递公司提供了无人机和无人配送车共30台运送2430千克货物，求运送物资使用的无人机和无人配送车各有几台． 5．甲、乙、丙容器中分别有浓度为和的盐水溶液．从乙容器中取出m克盐水倒入甲容器，再给乙容器加入一些清水，当甲、乙容器盐水重量相同时，乙容器的浓度恰好是甲容器的2倍；再从丙容器中取m克盐水按的比例倒入甲、乙两个容器，然后再向乙、丙容器中加入清水，使三个容器中盐水的重量相等，这时三个容器中盐水浓度恰好也相同．若最初乙容器中的盐水重量比甲容器多60克，那么，原来丙容器的盐水重量是多少克？ 列二元一次方程组解经济问题题型10 1．某公司计划2016年在甲、乙两个电视台播放总时长为300分钟的广告，已知甲、乙两电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，该公司的广告总费用为9万元．预计甲、乙两个电视台播放该公司的广告能给该公司分别带来0.3万元/分钟和0.2万元/分钟的收益，该公司在甲、乙两个电视台播放广告的时长应分别为多少分钟？预计甲、乙两电视台2016年为此公司所播放的广告将给该公司带来多少万元的总收益？ 2．某蔬菜种植户有甲、乙两块菜地，甲菜地去年收获西蓝花，乙菜地去年收获西蓝花，今年在县技术专家的帮助下，甲菜地增收，乙菜地增收． (1)今年两块菜地共收获__________西蓝花；（用含，的代数式表示） (2)若去年两块菜地共收获西蓝花，今年共收获西蓝花，求甲、乙两块菜地今年分别收获多少千克西蓝花． 3．（2025·山西吕梁·一模）某企业为了在复杂多变的市场环境中实现跨越式发展，争取通过增收减支使得今年企业的利润是去年的2倍，该企业的具体目标如下：保证今年总产值比去年增加，总支出比去年减少．已知该企业去年的利润（利润＝总产值-总支出）为200万元，求去年的总产值和总支出． 4．为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元，建造新校舍的费用为700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米； (2)如果绿化的费用为200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约是多少？ 配制（或配套）类问题题型11 1．某种仪器由1个A部件和2个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件50个或者加工B部件60个，现有工人72名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设安排x个人生产A部件，安排y个人生产B部件．则列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 2．2026年我国蓝莓迎来大丰收，产量和种植规模均创近年来新高，某蓝莓种植园计划将某优质蓝莓包装成A、B两种不同规格的礼包销售．已知4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克．求A、B两种礼包每只分别需要多少千克的蓝莓． 3．沤江镇小源同学的爸爸在种植黄桃的期间，发现黄桃树出现了炭疽病，他打算配一些杜邦克露溶液来喷洒治病，要用含药和的两种药液，配制含药的药水．你来帮他算算含药和的两种药水各需取多少？ 4．用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 古典问题题型01 1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡只，兔只，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中“盈不足术”问题的原文为：“今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文为：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？”设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中有这样一个问题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？”其大意是：有5只麻雀和6只燕子，一共重16两（1斤＝16两）；5只麻雀的重量超过6只燕子的重量，若互换其中的一只，重量恰好相等，则1只麻雀、1只燕子的平均重量分别为多少两？若设每只麻雀平均重x两，每只燕子平均重y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建·期末）《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？（利用二元一次方程组求解） 5．阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 列方程组解年龄问题题型02 1．爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 2．（25-26七年级下·吉林长春·学情自测）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 3．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 4．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 根据描述列二元一次方程组解决问题题型03 1．如图是小颖与哥哥的对话，根据对话信息，下面结论正确的是（     ） A．哥哥比小颖大6岁 B．哥哥比小颖大7岁 C．哥哥比小颖大8岁 D．哥哥比小颖大9岁 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶．（递上10元钱） 售货员：小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是足够的，但要再买一袋牛奶就少一元钱啦！今天是儿童节，我给你买的饼干打八折，两样东西请拿好，还找你8角钱．根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价是多少元？ 3．某班举行了演讲活动，班长安排淇淇去购买奖品，下图是淇淇与班长的对话： 请根据淇淇与班长的对话，解答下列问题： (1)若找回55元钱，则淇淇买了两种笔记本各多少本？ (2)可能找回68元钱吗？若能，求出此时买了两种笔记本各多少本；若不能，说明理由． 4．小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜和1斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话： 妈妈：今天买了这两样菜共花了14.52元，上个月同等重量的这两样菜要15.6元． 爸爸：电视新闻上说今天的萝卜单价比上个月上涨了20%，排骨单价比上个月下降了10%． 请你根据小明的爸爸和妈妈的对话分别求出今天萝卜和排骨的单价． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）请同学们根据以下素材，完成探索任务： 素材1：为满足市民对优质教育的需求，某校决定拆除部分旧教学楼，建造新教学楼．拆除旧教学楼每平方米需80元，建造新教学楼每平方米需700元，并计划拆除旧教学楼与建造新教学楼共． 素材2：在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的，而新建教学楼则只完成了计划的，实际拆、建总面积与原计划一致． 素材3：为美化校园环境，若绿化1平方米需400元，学校决定将实际完成的拆、建工程中节余的资金用来扩大绿化面积． 任务1：填表． 原计划 实际 拆除旧教学楼面积 x _________ 新建教学楼面积 y __________ 任务2：求学校实际新建教学楼面积． 任务3：求扩大的绿化面积． 根据表格列二元一次方程组解决问题题型04 1．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·期末）某学校知识竞赛共18轮，每轮胜一场积分、负一场积分均不变（无平局情况），如表记录了A、B、C、D4名参赛者前5轮积分情况．若18轮结束后，参赛者胜场数是负场数的偶数倍，则参赛者B总积分是___________． 参赛者 胜场数 负场数 积分 A 4 1 19 B 3 2 13 C 3 2 13 D 2 3 7 3．课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    4．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 5．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 综合实践问题题型05 1．（24-25七年级下·重庆·期末）通过华师大版数学教材24页的数学活动“自己动手做一根杆秤”的学习，利用杠杆原理熟悉了物体的等量关系：处物体的重量的长度处物体的重量的长度（如图1）．根据这一原理，数学兴趣小组制作了简易杆秤（如图2），秤盘的重量为10克，秤砣重量为50克． (1)由于自身秤盘的重量，需确定秤盘、零刻度线和秤纽之间的相对位置（如图3）．若秤盘到零刻度线的水平距离（即）为6厘米时，请你确定秤纽到秤盘的水平距离； (2)称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡．为了方便快速得到在秤盘中重物的重量，从零刻度线向后依次标记等距的小刻度线，数学兴趣小组在（1）的条件下进行了实验，当秤盘放入200克重物后，秤砣从零刻度线向末刻度线方向移动，到第5个小刻度线时杆秤刚好平衡，求第1个小刻度线到零刻度线的水平距离是多少？ 2．综合与实践：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，右侧托盘固定在点B处，左侧托盘的点P可以在横梁AC段滑动．已知，，m，n分别表示1个M物体和1个N物体的质量．已知平衡时，左盘物体质量右盘物体质量．（不计托盘与横梁质量） (1)若左侧托盘固定在点C处，如图2所示天平平衡，，则______g； (2)若右侧托盘放置1个的砝码，左侧托盘放9个M物体和30个N物体，滑动点P到时，天平平衡，已知m，n为整数，求的值； (3)测量小球的质量：如图1右侧托盘放置2个砝码，左侧托盘放入一个小球和若干个物体N，滑动点P至点A天平恰好平衡，若再次向左侧托盘中加入相同数量的物体N，发现点P移动到时，天平平衡．求这个小球的质量． 3．（25-26七年级下·福建·期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖和横式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)【任务1】若，求，，的值； (2)【任务2】求的最大值． 4．综合与实践 【项目主题】 用正方形瓷砖铺设庭院． 【项目准备】 (1)观察下列等式，并完成填空． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… 猜想第个等式为 ． 【项目探究】 (2)小李准备用灰白两种瓷砖按图1、图2、图3⋯⋯的铺设方式逐渐将庭院铺满，图1由3块白色瓷砖和6块灰色瓷砖排列而成，每块瓷砖的边长都是50cm．小李家的庭院正好是一个边长为6m的正方形．若将整个庭院全部铺满，则需要灰色瓷砖 块、白色瓷砖 块． 【项目预算】 (3)小李在市场上买瓷砖时，发现买1块灰色瓷砖和2块白色瓷砖共20元，买2块灰色瓷砖和1块白色瓷砖共22元，则买1块灰色瓷砖需 元，1块白色瓷砖需 元．小李将整个庭院铺满共需 元． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 坐标与图形中的方程组的应用题型06 1．用大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知点A的坐标为，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级·山东德州·期末）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数的和均相等，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，若点是线段的中点，则点的坐标为．如：，则的中点的坐标为，即点的坐标为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，则线段的中点的坐标是______； (2)若点，线段的中点的坐标为，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)已知点，若线段的中点与线段的中点重合，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点分别为．对该长方形及其内部的每一个点都进行如下操作：把每个点的横坐标都乘以同一个实数a，纵坐标都乘以3，再将得到的点向右平移个单位长度，向下平移2个单位长度，得到长方形及其内部的点，其中点A，B，C，D的对应点分别为． (1)点的横坐标为__________（用含a，m的式子表示）； (2)若点的坐标为，点的坐标为，求a和m的值． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）重庆两江灯光秀是传统文化与现代科技融合的一场视觉盛宴，若河两岸，桥垂直于河两岸，如图1，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，河岸上点，点．为了强化灯光效果，在桥头、安置了可旋转探照灯．已知灯从开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为，灯从射线开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为．两灯同时开始旋转，且满足． (1)________，________． (2)如图1，连接，将线段平移到线段（点的对应点为），点在轴上，且，求的坐标． (3)如图2，点是河道中一航标灯，点是线段延长线上一点，连接、．和的角平分线交于点，和的角平分线交于轴上点，，．在点处设置一个可旋转的探照灯，当桥头、灯开始旋转时，点处的探照灯从开始绕以度/秒顺时针旋转，光线记为，当到达时，所有运动均停止．时间为何值时，射线所在直线，射线所在直线，射线所在直线能围成直角三角形，请直接写出的值． 火车过桥、火车交汇类问题题型07 1．（24-25七年级下·河北·月考）已知某一铁路隧道长1500米．有一列火车匀速从隧道通过，测得火车开始进入隧道到完全出隧道共有1分钟，整列火车都在隧道里的时间为40秒，设火车长米，火车的速度米秒，则可得方程组（   ） A． B． C． D． 2．已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是________米/秒，火车的长度为________米． 3．客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长450米，货车长600米．如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾离开货车车头共需1分45秒，求两车的速度． 4．开放题青藏铁路顺利通车后，青藏高原天堑变通途，圆了几代人的梦．作为世界上海拔最高、施工难度最大的铁路，青藏铁路线有一座大桥——拉萨河特大桥，全长约940m．小明在去年暑假乘列车从北京到拉萨游玩，记录了以下两个数据： ①列车完全在桥上的时间为35s； ②列车从上桥到完全通过该桥用了45s． 根据以上信息，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程． 5．（25-26七年级下·山东烟台·期中）某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 列方程组解“幻方”问题题型01 1．《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小明的探索兴趣，他在如图的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的个数之和都相等，则的值为（　　） A．1 B．5 C．25 D．32 2．如图，在幻方中，填入个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等按以上规则填成的幻方中，的值为________． 3．在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为___________． 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值． 5．（24-25下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 动点问题题型02 1．（25-26七年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知长方形，动点，同时从点出发，点按照方向运动，点按照方向运动．点运动的速度是点运动速度的倍，两点到各自终点后分别停止运动，并且，两点在点处首次相遇． (1)若长方形周长为，求和的长度； (2)当运动秒时，连接，线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，请直接写出，两点从出发到首次相遇所用的时间． 2．如图，已知直线和交于点，，，垂足为，平分． (1)当时，则______；______； (2)当时，射线从开始绕点逆时针匀速转动，同时，射线从开始绕点匀速转动，且射线的转动速度大于射线的转动速度． ①若射线顺时针转动，则射线与射线经过7.5秒第一次重合；若射线逆时针转动，则射线与射线经过37.5秒第一次重合．求射线，绕点转动的速度分别是多少？ ②若射线，绕点转动的速度与①中转动速度相同，射线顺时针转动，当射线转动一周时，射线也停止转动，当时，直接写出射线转动的时间． 3．如图，在四边形中，，，，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点、、同时出发，当其中一个点到达终点时，另外两个点也随之停止运动，设移动时间为．    (1)如图1，连接、，当时，的值为______； (2)如图2，当以、、为顶点的三角形与全等时，求出相应和的值； (3)如图3，连接、交于点，当且时，试证明：． 列多元方程组解决问题题型03 1．甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为a、b、c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是（　　　） A．甲的工作效率最高 B．丙的工作效率最高 C．c=3a D．b：c=3：2 2．小明有张背面图案相同的扑克牌，分别是红心到红心，现从中任意抽取三张．已知第一张与第二张的点数之和为，第二张与第三张的点数之和为．则抽中的张牌依次是红心___________．（计算中，红心按数字处理） 3．利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1的方式放置，再交换两木块的位置，按图2的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是__________．    4．（24-25下·上海·月考）阅读下列材料： 问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅单价不变） 解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x，y，z元．根据题意，得方程组： 上述方程组可变形为： 设，，上述方程组可化为： 得： ，即 ． 答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需 元． 阅读后，细心的你，可以解决下列问题： (1)上述材料中， ； (2)选择题：上述材料中的解答过程运用了 思想方法来指导解题． A．整体    B．数形结合    C．分类讨论 (3)某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表： 甲 乙 丙 丁 用钱金额/元 第一次购买件数 5 4 3 1 1882 第二次购买件数 9 7 5 1 2764 根据表格中提供的数据信息填空，如果购买每种体育用品各一件，共需 元． 5．甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？ 分段类问题题型04 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到北京和上海，收费标准及实际收费如表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 上海 a b 北京 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 上海 2 9 北京 3 22 (1)求a，b的值； (2)若小丽寄10千克的快递到上海，则小丽需要付多少钱的快递费？ 2．某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 3．“滴滴打车”深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表： 时间（分钟） 里程数（千米） 车费（元） 小明 7 5 12.1 小亮 6 4.5 10.8 （1）求p，q的值； （2）“滴滴”推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费．某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，已知两次“滴滴打车”行驶的平均速度为40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车”的里程数？ 4．甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下： 所购苹果质量 不超过30kg 30kg以上但不超过50kg 50kg以上 单价 3元 2.5元 2元 甲班分两次共购买苹果48kg（第二次多于第一次），乙班一次购买苹果48kg，丙班分两次共购买苹果90kg． (1)若甲班第一次购买16kg，第二次购买32kg，则乙班比甲班少付多少元？ (2)若甲班两次共付费126元，则甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？ (3)若丙班两次共付费196元，则丙班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？ 5．某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻抛件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2026年快递公司收费规则： 快递公司 省内 省外 首重（） 续重 首重（） 续重 顺丰 12元 2元/kg 22元 8元/kg 德邦 11元 3元/kg 11元 10元/kg 轻抛件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重体积． 例如：用顺丰寄往省内的轻抛件实际重量，体积为，其体积重，由于，则按收费共需支付元． 某商家需采购省内外的乒乓球（轻抛件）和乒乓球拍（非轻抛件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其3月进货量如下： 种类 省内 省外 重量/kg 体积/ 重量/kg 体积/ 乒乓球 2 24000 0.5 6000 乒乓球拍 15 / 10 / (1)若该商家3月与顺丰合作，请计算3月的快递费用共需多少钱？ (2)因乒乓球热销，该商家计划于5月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购，省内外均有订货，且全部发轻抛件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜50元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少kg？ 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $