5应用技巧专题 建立二元一次方程组模型解决实际问题&问题解决策略：逐步确定-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（北师大版2024）

应用技巧专题 建立二元- 题型① 和、差、倍、分问题 1.“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明： 树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附 空气中的志浮颗粒物，具有滞尘净化空气的 作用.已知1片银杏树叶一年的平均滞尘量 比1片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少 4mg;1片国愧树叶与1片银杏树叶一年的 平均滞尘总量为62mg (1)请分别求出1片国槐树叶和1片银杏树 叶一年的平均滞尘量， (2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始 于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共 有约50000片树叶.这三棵银杏树一年的平 均滞尘总量约为多少千克？ 题型②工程问题 2.某商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组 同时施工，8天可以完成，需付两组费用共 3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组 单独做12天可以完成，需付两组费用共 3480元. (1)甲、乙两组单独做1天，商店应各付多少元？ 次方程组模型解决实际问题 (2)设工作总量为单位1，单独请哪个装修组 商店所付费用较少？ 题型③ 百分数问题 3.下图所示的为一对父子的对话内容，请根据 对话内容分别求出该农户今年两块农日的 花生产量 儿子昆：“去年响们两决农田 父亲说：“今年第一换 的花生产童一共是470kg,可 农田的产量比去年惑少 今年前块农田的花生产量 10%,第二块攻田的产 共只有386kg.” 童北去年减少20%. 上册第五章 ⑦△ 题型④付费问题 4.真实情境五一劳动节假期期间，某超市为 顾客提供如下优惠： 一次性购物 优惠方法 低于200元 不予优患 低于500元但 九折优惠 不低于200元 其中500元部分给予九折优 500元或 点，高于500元部分给予八折 高于500元 优急 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款 元 (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小 于500但不小于200时，他实际付款 元：当x大于或等于500时， 他实际付款 元.（用含x的 代数式表示) (3)如果王老师两次购物合计820元，他实 际付款共计728元，且第一次购物的货款少 于第二次购物的，那么两次购物各多少元？ /八年级数学BS版 题型⑤方案问题 5.某公司有A,B两种型号的商品需运出，这 两种商品的体积和质量分别如下表所示： 型号 体积/八立方米/件) 质量/八吨/件) A型 0.8 0.5 B型 2 1 (1)已知一批商品有A,B两种型号，体积一 共是20m3,质量一共是10.5t.A,B两种型 号的商品分别有多少件？ (2)物流公司可供使用的货车每辆额定载重 3.5t,容积为6m3,其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费 600元： ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费 200元. 要将(1)中的商品一次性或分批运输到目的 地，该公司应如何选择运送方式才能使运费 最少？运费最少是多少？ ☆问题解决策略：逐步确定 已课内基础闯关 (1)若BC=CD=2,CE=1,M为线段AC 知识点逐步确定 上一点，且AM:CM=1:2,连接BM,求 1.今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之 点C到BM的距离. 剩二，七七数之剩四，问物几何.你知道物品 (2)请说明：BC+CD-AC. 最少有多少个吗？ 2.(教材变式)若四位数8c7d能被15整除，则 这个数最小是多少？ 变式题若五位数3A7B5能被15整除，则 这个数最小是多少？ 已课外拓展提高 知识要点归纳 3.如下图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC 采用“逐步确定”策略解决问题的一般过程：极据 题意我出问题的解需要满足的各个条件：按照某 =CD,∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接 个顺序，逐步满足这些条件，最终确定问题的解。 AC,BD交于点E. 上册第五章 79所以顺成的两种无盖纸盒一共可能是6十6=12（个）. 11.解：示例：求列车的长度与速度 设列车的长度为zm,速度为ym/s. 根据圈意可得85940-解得任117.5， l45y=940+x, y=23.5. 故列车的长度为117.5m,速度为23.5m/s. 4二元一次方程与一次函数 第1课时二元一次方程与一次函数 1.A2.无数y=-2x十4y=-2z+4 3A4.-55{3 6.解：a)=L, y=3 (2)-14 (3)由1)(2)得点C的坐标为(1,3)，一次函数的表达式为y =一x十4. 当y=0时，0=一x十4，解得x=4, 所以点B的坐标为(4,0)，所以OB=4. 设点D的坐标为(0，a),所以OD=a, 因为S△c=S△oe,所以la·1=4X3,解得a=士12， 所以点D的坐标为(0,12)或(0.一12). 第2课时用二元一次方程组确定一次函数表达式 1.B变式题1y=2x十1变式题2-22 2.解：因为点A在正比例函数y=一2x的图象上，且点A的纵 坐标为2，所以当y=2时，一2x=2,解得x■一1， 所以点A的坐标为（一1,2）. 把A(一1,2)，B(1,0)分别代入y=z十b中，得 一k十6=2解得6=1 /k=一1， k+6=0, 故这个一次函数的表达式为y■一x十1， 3.D4.2.25 5.解：(1)由图可知，函数图象经过点(2023,4)和(2025,6). 设y与x之间的函数关系式为y=kx十6. 由题意，得亿23十-4解得 =1, 12025k+b=6, h=-2019, 所以y与x之间的函数关系式为y=x一2019. (2)令x=2026,所以y=2026-2019=7 所以该市2026年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为7 万吨. 6.B7.1 8.解：(1)根据题意，画出示意图如图 设直线1，与y轴交于点C,点C的坐标 为(0，)(n>0).因为直线11与两坐标 轴园成的三角形的面积为4，点A的坐 1 标为(-2,0)，所以2×1一21·n=: 解得n=4,所以点C的坐标为(0,4).设 直线41的表达式为y=k红十6.把A(-2, 使=2， 0,C0,4)分别代人得正60解 解得b=4 所以y=2x十 4.因为直线2由直线1平移得到，所以设直线2的表达式为y =2x+,因为点A与点B关于y轴对称，所以点B的坐标为 (2,0).把B(2,0)代人，得2×2+b=0,解得=一4，所以直线 L2的表达式为y=2x一4. (2)如图，设直线12与y轴交于点D. 当x=0时，y=2x一4=一4，所以点D的坐标为(0，一4).因 186 /八年级数学BS版 为C(0,4), 所以m=4一（一4）=8. 9.解：(1)由题意，得■360÷60■6， m=1十360÷90=5. 做m的值为5，n的值为6. (2)投ym=红.将(6,360)代人ym=红，得6k=360,解得表 =60,所以y。=60x. 设y2='x十6.将(1,0)，(5,360》分别代入yz='x十b,得 '+6=0:解得 使'=90， 15k'十6=360， =-90, 所以yz=90x-90. 放甲、乙两车行驶过程中y关于x的函数表达式分别为y甲 =60z,yz=90x-90. (3)由题意，得60x一(90x-90)=30或(90x一90)一60x= 30或60x=360-30, 解得x=2或x=4或x=5.5, 所以x一1=1或x一1=3或x-1=4.5. 故当甲，乙两车之间的距离为30km时，乙车出发了1h或 3h或4.5h. *5三元一次方程组 1.A2.D3.x十y十x=3(答案不唯-) 4.解：①-②，得2y=-22,解得y=-11 把y=-11代人③，得x=6. 把x=6,y=-11代入①，得x=3 「x=6, 所以原方程组的解为<y=一11， x=3. 5.2.5 6.解：(1)设有x辆汽车装运乙种家电，y辆汽车装运丙种 家电 根据超意，得任十y=8, 得/5， (20x+30y=190, y=3. 故有5辆汽车装运乙和家电，3辆汽车装运丙种家电. (2)设有a辆汽车装运甲种家电，b辆汽车装运乙种家电，G 辆汽车装运丙种家电 a+b+c=20, 由题意，得40a十20b+30c=720, 0,05×40a十0.07×20b+0.04×30c=36,6, a=15, 解得b=3, c=2. 故有15辆汽车装运甲种家电，3辆汽车装运乙种家电，2辆 汽车装运丙种家电， 应用技巧专题建立二元一次方程组模型 解决实际问题 1.解：(1)设1片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg1片国律 树叶一年的平均滞尘量为y四g, 、由医意，得任解得{” x=2y-4, 故1片银杏树叶一年的平均蒂尘量为40四g,1片国槐树叶 一年的平均滞尘量为22mg. (2)50000×40=2000000(mg)=2(kg). 放这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约为2kg 2解：(1)设甲组单独做1天，商店应付x元，乙组单独做1天， 商店应付y元. 由恶意，得6x十12y=3480, 8(x+y)=3520, 解得/300， y=140 因此，甲组单独做1天，商店应付300元，乙组单貌做1天， 商店应付140元. (2)设甲组每天的工作效率为m,乙组每天的工作效率为 由题意，得m十）-1解得 m一12 16m十12n=1, 1 n=24 1 所以甲组华独完成装修需1÷2=12（天），乙组单独完成装 修需1÷24=24（天）， 所以单独请甲组需付300×12=3600（元），单独清乙组需付 140×24=3360(元). 因为3600>3360，所以单独请乙组商店所付费用较少. 3解：设去年第一块农田的花生产量是xkg,第二块农田的花 生产量是ykg, 根累题盒得十0沿+a-的y=38 条得仁一网 故该农户今年第一块农田的花生产量是100×(1一10%)=90 (kg),第二块农田的花生产量是370×(1一206)=296(kg). 4.解，(1)530 (2)0.9x(0.8x+50) (3)设第一次购物的货款为x元，第二次购物的货款为y元 ①当x<200,y≥506时，由题意，得任十y=820, 解 1x十0.8y+50=728, 得/=10， 1y=710: ②当200≤x<500,y≥500时，由题意，得 0红+0.8y+50=72a,解得二3： |x十y=820, y=600: ③当x,y均小于500元但不小于200元时，由题意，得 x十y=820, 0.9x十0.9y=728,此方程组无解 综上所运，两次购物的货款分别为110元，710元或220元、 600元 5.解：(1)设A,B两种型号的商品分别有x件、y件 由题意得/0.8x+2y=20, 10.5x+y=10.5 解得/5， y=8 故A,B两种型号的商品分别有5件、8件. (2)①按车收费：10.5÷3.5=3（辆），但车辆的容积为6×3= 18(m3),18<20,所以3辆车不够，需要4辆车，此时运费为 4×600=2400(元)： ②按t收费：200×10.5=2100（元）： ⑤③先按车收费，用3辆车运送18m的商品，剩余1件B型 商品按吨妆费，则共希付3×600十200=2000（元） 因为2400>2100>2000，所以公司应选择先按车收费，用3 桐车运送18的商品，再选择按纯收费，运送1件B型塑商 品，此时运费最少，最少为2000元， ☆问题解决策略：逐步确定 1.解：满足“三三数之利一”的发设为3x十1(x为白然数. 满足“三三数之利一，五五数之利二”的数可表示为15y十7 (y为自然数). 在上述数中找满足“七七数之刺四”的数，即15y十7除以7 余4.从y=1开始尝试，当y=4时，满足条件，此时这个数 是15×4十7=67. 故物品最少有67个 2.解：因为15=3×5，所以这个数既能被3整除，又能被5整 涂，而能被5整除的数的个位数字是0或5 当d=0时，8+c十7+0=15+c,c=0时，这个四位数能被3 擎除，此时这个数为8070： 当d=5时，8十c十7+5=20+c.c=1时，这个四位数能被3 擎除，此时这个数为8175.因为8070<8175，所以这个数最 小是8070. 变式题 解：因为能被15整除需同时满是被3和5整除，个位上是5 已满足能被5整除.因为3十A十7十B十5=15十A十B,要 使数最小，先令A=0,此时15十B菱是3的倍数，B最小为 0,所以这个数最小是30705， 3.解：(1)因为AB=AD,∠BAD=60°， 所以易得△ABD是等边三角形， 所以∠ABD=,∠ADB=60”,AB=BD 因为BC=CD,AC=AC, 所以△ABC2△ADC(SSS), 所以∠BAC=∠DAC=专∠BAD=30,LACB=∠ACD -∠cn-60 所以∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°， 所以AC⊥BD.同理可得△ABE2△ADE(ASA),所以BE =DE. 因为C=CD=2,CE=1,所以BE=√BC-CE=V3, 所以AB=BD=2BE=23. 在Rt△ABC中，AC=√/AB+BC=4. 因为AM:CM=1÷2, 所以AM-，CM-号 所收EM-号 在R△BEM中，M-V+()-2 3 如图①，过点C作CF⊥BM于点F. 因为BM,CF-CM·BE 2 2 所以BM·CF=CM·BE, 即2厘.c-号×6， 3 解得CF✉439 ① 13 故点C到BN的短离为 (2)如图②，延长BC到点G,使CG=CB,连接DG. 由(1)得△ABD是等边三角形， 所以∠ADB=6的°，AD=BD 44444 上册参考答案 187 因为BC=CD, 所以CG=CD. 因为∠BCD=120°， 所以∠DCC■180°-∠BCD■60°， 所以易得△DCG是等边三角形， 所以，∠CDG=∠ADB=60°，DC=DG, 所以∠ADC=∠BDG 又因为AD=BD, 园② 所以△ACD2△BGD(SAS), 所以AC=BG=BC十CG, 即AC=BC+CD 章未对点导练 5 1.D2.3z+y(答案不唯一)3.A4.C 5 6.解：(1)由①，得x=3+3y.③ 把③代人②，得3(3+3y)一y=9,解得y=0.把y=0代人 ①，得x■3， 所以原方程组的解为下=3， y=0. 2x-y=一7，③ (2)源方程组可化为2x-4y=一10.国 由③-④，得3y=3,解得y=1. 把y=1代入③，得x=-3, 所以原方程组的解为：二一3 y=1. (3)由①+②，得5x+2y=16.④ 由②十②，得3x十4y=18.⑤ 由④×2-⑤，得7x■14，解得x=2. 把x=2代人④，得10+2y=16,解得y=3 把x=2,y=3代人③，得2十3十=6，解得z=1, x=2, 所以原方程组的解为y=3, x=1. A- 、 2A-7B=8, 7.解：根据题意，得 13A-8B=10. 解得 B 8.A 9.解：设A,B两种产品的销售件数分别为x,y, 由题意，得/5x十7y=2060, 12x十4y=2060-1020, 解得/工-160， y=180. 故A,B两种产品的销售件数分别为160,180. 10.解：(1)设A种花草每棵的价格是z元，B种花草每根的价 格是y元. 根据题意，得 30x+15y=675解得任=20， (12x+5y=265, y=5. 故A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是 5元. (2)设购买花草的总费用为W,则W=20m十5(30一m) 15m+150, 因为15>0，所以W随m的增大而增大 又因为m≥10， 188 /八年级数学BS版 所以当m=10时，W取得最小值，此时W=300. 故购买A种花草10棵、B种花草20棵时，费用最少，所需 的费用是300元 11,都：(1)由题意，得 d-R+1, 10X2+14X2R+(14-1)d=156, 务得低 故d的值为4，R的值为3。 (2)由(1)得R=3. 因为圆环内圆的半径rcm比外圆的半径Rcm少1cm, 所以r=R-1=3-1=2. 因为制作一面密帘需将内圆棱空裁去， 所以裁去的面积为14×π×r2=14x×2=56x(cm). 故裁去的面积为56#cm°， 12.- 13.任=0,14.35015.A16.4500 y=1 17.解： 2x-y=5,① 14x+3y=-10.@ 由①×3十②，得10x=5,解得x=2 把x=2代入0，得2X号-y=5,解得y=-4, 1 1 所以该方程组的解为工一2 y=-4. 8,解：设从每纯废旧智能手机中能提陈出工g黄金、yg白银 根据题意，得二十760：解得 x=240, 12.5x=0.6y. y=1000. 故从每吨废日智能手机中能提炼出240g黄金，1000g白银。 第六章 数据的分析 1平均数与方差 第1深时众数与平均数 1.92.8利43.D4.C5.896.C7.B 8.解：1)该店本星期的日平均营业额为7560÷7=1080（元）， (2)不合理.理由如下： 因为在显期一至显期日的营业领中显期六和显期日的营业 额明显高于其他五天的营业额，所以去掉星期六和三期日的 营业额对平均数的影响较大，所以用该店本虽期星期一到星 期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合理。 方案：用该店本星期星期一至星期日的日平均营业额乘当月 天数估计当月营业总颜，当月的营业总额为1080×30 32400(元). 第2课时加权平均数 1.B2.773.10.2 4.解：小明的解答过程不正确.正确的解答过程如下： 设该校八年毁期末考试的平均分为x,则无= 81X55+90×40+85×45+84X60=84.6(分1， 55+40+45+60 5.C 6.解：1)风录区计算：调整前的平均价格是号×(20十20+25 +30十50)=29（元），调整后的平均价格是号×10+10+25 十40十60)=29（元）.因为调整前后的平均价格不变，日平均 人数基本不变， 所以日平均收入也持平