4.1 投影（第3课时）课件 2026--2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

第4章　投影与视图 4.1 投影（第3课时） 正投影 数学新教材鲁教版　九年级上册 情境引入 如果阳光正对地面 情境问题 当地面受到垂直照射时，一根木棒的影子会怎样？平放、斜放或竖直放置，结果并不相同，投影线方向相同不代表所有物体影子相同。 研究目标 在平行投影基础上增加投影线垂直投影面的条件。通过点、线段和平面图形，逐步研究几何体的正投影。 情境引入 把一个端点投到平面 操作 过点作垂直于投影面的直线，与投影面相交于一点。这一点就是原点在投影面上的正投影，位置由垂足唯一确定。 由点到形 线段、平面图形和几何体的轮廓都可以通过关键点的正投影研究。先找顶点或轮廓点，再连接应有的投影边界。 情境引入 正投影仍是平行投影 共同之处 垂直于同一平面的投影线彼此平行，因此正投影属于平行投影。两者不是互不相容的两类，而是一般情形与特殊情形的关系。 新增条件 仅说明投影线平行，还不能确定为正投影；必须进一步知道光线垂直于投影面。判断时先找投影面，再检查垂直关系。 新知讲授 正投影的定义 定义 在平行投影中，当投影线垂直于投影面（即投影线正对着投影面）时，物体在投影面上的投影称为正投影（orthographic projection）。 条件 既有平行投影，又有投影线垂直于投影面。 新知讲授 线段平行投影面 位置关系 一条线段平行于投影面时，它的两个端点沿相同方向垂直落到投影面上，投影线段与原线段平行且等长。 结论边界 等长需要这条平行条件。不能把这种特殊位置的结果推广到所有线段，斜放或垂直放置都会产生不同的投影长度。 新知讲授 线段斜对投影面 投影变短 线段斜着放置时，两个端点的投影仍一般形成一条线段，但长度比原线段短。可用直角三角形理解斜边与直角边的关系。 检查大小 正投影不会把一条线段拉长。若计算得到投影长度大于原长，应检查是否把斜边与直角边弄反，或把斜投影误当正投影。 新知讲授 线段垂直投影面 端点重合 线段本身与投影线同方向时，它的两个端点沿同一条垂线落到投影面上的同一点，整条线段的正投影退化成一个点。 认识退化 投影维度可以降低，线段不一定投成线段。几何图形在特定位置会压缩为点或线，这不是作图失败，而是位置关系的结果。 新知讲授 平面图形平行投影面 形状大小 平面图形所在平面与投影面平行时，正投影与原图形全等。各个点沿相同垂直方向移动，边长和角度保持不变。 例如 水平放置的矩形纸片垂直投到水平地面上，得到与纸片全等的矩形。纸片离地面的高度改变，不会改变这种投影的大小。 新知讲授 平面图形倾斜时 变化 纸片所在平面斜对投影面时，投影一般仍是面状图形，但形状或大小可能改变。某些方向的长度缩短，不能无条件认为全等。 观察重点 比较图形整体轮廓，同时关注哪条边与投影面平行。平行方向的长度可以保持，倾斜方向的长度则会受到压缩。 新知讲授 平面垂直投影面 退化成线段 矩形纸片所在平面与投影面垂直时，从正对投影面的方向看，纸片像被“侧着看”，其正投影会成为一条线段。 联系生活 一本很薄的书，正面看是矩形，沿纸页平面方向看接近线段。这帮助理解投影随相对位置变化，而非物体本身改变。 新知讲授 几何体的整体轮廓 面与整体 一个长方体有多个面，但整体正投影只显示所有点投影组成的区域。不同的面可能重叠到同一块区域，不能简单把各面平铺相加。 逐面分析 先判断每个面相对投影面的关系，再识别它投成区域还是线段。这种逐面观察能解释为什么一个立体可能投成一个矩形。 新知讲授 球的正投影 任意方向 球在任意方向的正投影都是圆，圆的半径等于球半径。球具有各方向相同的对称性，换观察方向不会改变投影的形状和大小。 画图提醒 这里画的是平面圆形轮廓，不是带明暗的球面照片。正投影表达轮廓形状，不能把立体透视画法直接当作投影图。 新知讲授 圆柱的两种典型方向 沿轴线 投影方向平行圆柱轴线，投影面垂直轴线时，圆柱正投影为与底面全等的圆。柱高被压缩到同一方向，图中不再显示高度。 垂直轴线 投影方向垂直轴线时，圆柱投成矩形，矩形两边分别为圆柱高与底面直径。底面半径不能误当成矩形的宽。 新知讲授 一个投影不能唯一还原 相同轮廓 一个圆可能是球的正投影，也可能是圆柱沿轴线方向的正投影，还可能是圆锥沿轴线方向的轮廓。因此单幅投影往往信息不足。 补充信息 若需要判断几何体形状，应增加其他方向的投影或给出结构条件。不要看到圆就直接认定物体一定是球。 探究活动 情境问题 （1）地球上的居民能不能看到阳光垂直照射在地面上的情况？（2）当阳光垂直照射地面时，拿起一根细木棒，它在地面上的影子有哪些可能？ 答：（1）能，在适当纬度和时刻可以。（2）可能为等长线段、较短线段或一个点。 依次对应木棒与地面平行、倾斜和垂直。 物体姿态改变决定投影结果。 探究活动 观察 根据图4-11，分别说明线段与投影面平行、倾斜、垂直时的正投影。 答：依次为等长线段、较短线段、一个点。 平行时两端投影距离不变。 倾斜时缩短，垂直时两端垂足重合。 探究活动 议一议 图4-12表示矩形在投影面上的三种正投影。分析三种情况，平面图形的正投影有什么规律？ 答：平行时全等；倾斜时形状或大小可改变；垂直时退化成线段。 比较各个顶点的垂足及轮廓。 先说清相对位置，再说投影结果。 例题讲解 例 3 一个长方体与投影面的相对位置如图4-13所示，矩形是长方体在投影面上的正投影。你能说出长方体各个面在投影面上的正投影吗？ （1） 平行于投影面的两个面 （2） 其余四个面 （1） 答：面与面均投成矩形。 两面与投影面平行，对应顶点沿垂线重合。 （2） 答：面分别投成线段。 这四个面均垂直于投影面。 探究活动 想一想 例3中，长方体各个面与它们的正投影，形状和大小分别有什么联系？ 答：两个平行面与其矩形投影全等；四个垂直面压缩成线段。 形状是否保持，取决于面与投影面的相对位置。 投成线段的面不再保留面积，不能与原矩形说成全等。 例题讲解 示例 长度为的线段斜放，其两个端点到水平投影面的高度差为，求正投影长度。 A B C 答：。 原线段是直角三角形的斜边。 投影长度为。 例题讲解 示例 长为、宽为的矩形纸片与投影面平行，求正投影的形状及面积。 答：投影是全等矩形，面积为。 平面图形与投影面平行时，正投影与原图形全等。 面积。 课堂练习 随堂练习 1 回答下列问题。 （1） 球的正投影是什么图形？ （2） 长方体的正投影一定是矩形吗？ （1） 答：圆。 任意方向的正投影均为圆。 （2） 答：不一定。 正对一个面时是矩形；斜对时轮廓还可能为六边形。 课堂练习 随堂练习 2 分别按图中投影线的方向，画出圆柱体的正投影。 （1） 从上向下沿圆柱轴线投影 （2） 从侧面垂直圆柱轴线投影 （1） 答：圆。 投影与圆柱底面全等。 （2） 答：矩形。 两边分别是圆柱的底面直径和高。 课堂练习 作图解答 按圆柱轴线方向向下作正投影，画出投影的轮廓，并说明大小。 答：如图为圆，半径与圆柱底面半径相同。 上下两底面沿投影线重合。 投影的外边界就是底面圆的轮廓。 课堂练习 作图解答 垂直于圆柱轴线作正投影，画出投影的轮廓，并说明尺寸。 答：如图为矩形，宽为底面直径，高为圆柱高。 圆柱左右最外侧轮廓给出直径。 上下底面位置给出高度。 课堂练习 辨析 判断正误。 （1） 线段的正投影可能比原线段长。 错误 正投影长度不超过原长。 （2） 平面图形的正投影一定是面状图形。 错误 垂直投影面时可以退化为线段。 （3） 圆形投影只可能来自球。 错误 圆柱等也可能投成圆。 课堂练习 反例 立方体使一条体对角线垂直于投影面，其整体轮廓可以是什么形状？ 答：可以是正六边形。 投影同时反映三个方向的边界。 这提供了长方体投影不一定是矩形的一个例子。 课堂练习 巩固 一根长为的线段，其正投影长度可能为中的哪些？ 答：可能为，不可能为。 正投影长度介于和原长之间。 两端情况分别对应垂直和平行投影面。 方法归纳 从位置关系判断正投影 线段 ① 平行投影面→等长线段。 ② 斜对投影面→缩短；垂直投影面→点。 平面与几何体 ① 先分面判断相对位置。 ② 再合并重叠区域，找整体轮廓。 课堂总结 正投影 定义 投影线垂直投影面 线段 等长、缩短或点 平面 平行全等，垂直成线 几何体 逐面分析再看整体轮廓 边界 单个投影不能唯一还原 针对训练 训练 投影线相互平行且与投影面成斜角，是否为正投影？ 答：不是。 正投影还要求投影线垂直于投影面。 平行只是必要的一个条件。 针对训练 训练 一根厘米长的细棒垂直于投影面，其正投影是什么？ 答：一个点。 棒上的点沿同一条投影线落在同一垂足。 长度不是影长；特定位置可退化。 针对训练 训练 判断正误。 （1） 线段与投影面平行时正投影等长。 正确 两端沿同一方向垂直平移。 （2） 球换投影方向会投成椭圆。 错误 球的正投影总是圆。 （3） 面与投影面垂直时可能投成线段。 正确 面沿投影方向压缩。 先说清物体形状和相对位置。 针对训练 训练 线段长，两个端点在投影面同一侧，到投影面的距离之差为，求正投影长。 答：。 投影长为。 原长为斜边，高度差与投影长为直角边。 针对训练 训练 圆柱高厘米、底面半径厘米，垂直轴线投影所得矩形面积是多少？ 答：。 矩形宽为直径厘米，高为厘米。 使用直径，不是半径。 针对训练 训练 半径为厘米的球，其正投影面积是多少？ 答：。 投影为半径的圆。 计算的是平面投影面积，不是球表面积。 针对训练 训练 矩形纸片的正投影与原图形全等，给出一种保证该结果的位置关系。 答：纸片所在平面平行于投影面。 在此条件下各边与角都保持。 问题要求一种充分条件，不是猜测所有情形。 针对训练 训练 一个物体正投影为圆，写出两种可能的几何体及投影方向。 答：球任意方向；圆柱沿轴线方向。 圆柱投影面应垂直轴线。 名称之外还要交代摆放和投影方向。 针对训练 训练 圆柱零件高厘米、底面半径厘米，从侧面垂直轴线检测轮廓，矩形长宽应是多少？ 答：厘米与厘米。 轴向尺寸保留高度。 横向轮廓保留直径。 轮廓尺寸可用来核对零件，但不等于展开图。 针对训练 训练 矩形卡片长厘米、宽厘米，与幕布平行，平行光垂直幕布照射。卡片向幕布平移后，投影面积会改变吗？ 答：不会，仍为。 位置变化不改变卡片与幕布的平行关系。 正投影保持形状大小，面积为。 区别平行正投影与近处点灯造成的放大。 方法归纳 本课方法总结 判断投影形状 ① 先确认投影线与投影面垂直。 ② 再判断物体与投影面的相对位置。 ③ 从端点、边界到整体逐步作图。 由尺寸求投影 ① 平行方向保留真实长度。 ② 倾斜线段可用勾股关系求投影。 ③ 圆柱侧投影的宽等于底面直径。 $