2.3二次函数的图象与性质（第3课时）课件 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

第3章　二次函数 2.3 二次函数的图象与性质（第3课时） 顶点式与配方作图 数学新教材鲁教版　九年级上册 情境引入 从表格走向曲线 观察与理解 研究一个函数，先取有代表性的输入，再计算对应输出；将这些有序数对放入直角坐标系，可以直观观察变化规律。 推理与运用 本课的曲线要通过计算和描点得到。作图时注意取点的范围、坐标尺度以及曲线的光滑性。 情境引入 探究 函数中，取。预测两侧函数值的关系并计算验证。 答：两侧相等，均为；中间为。 两个平方中的值互为相反数，平方相同。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 情境引入 确定研究对象 观察与理解 同一函数可以用表达式、表格与图象表示。表达式给出计算规则，表格提供作图坐标，图象把这些对应关系组织成整体。 推理与运用 从本课出发，依次观察曲线的形状、开口方向、对称性、特殊点和变化趋势。结论必须和表达式相互印证。 新知讲授 平移得到顶点式 图象规律 一般的，二次函数的图象是抛物线，它与抛物线的形状相同，只是位置不同。 参数联系 平移二次函数的图象便可得到二次函数的图象。它的开口方向、对称轴和顶点坐标与的值有关。 新知讲授 三个参数分别做什么 观察与理解 在中，决定开口方向和大小，给出对称轴的位置，给出顶点的纵坐标。 推理与运用 把三个作用分开理解，再组合判断整条曲线。先找顶点与开口，比逐个代入很多点更有助于确定图象位置。 新知讲授 两次平移得到目标位置 观察与理解 将先下移1，再左移1，得到。也可先左移再下移。 推理与运用 水平和竖直移动的先后不会影响最终图象，但每一步都要使用对应坐标的变化，避免把外部常数移入平方。 新知讲授 顶点式直接给最值 观察与理解 当时，，最小值为；当时，平方项的乘积非正，最大值为。 推理与运用 达到最值都要求。若有实际输入范围，还必须检查该输入是否被允许，不能只看表达式就下结论。 新知讲授 配方连接两种表达式 观察与理解 。 推理与运用 提取二次项系数后，要在括号内补成完全平方，同时在外面补偿差额。最终展开验证两式相同。 新知讲授 以对称轴为中心取点 观察与理解 先选顶点，再在对称轴左右各取一到两对输入。两侧相同距离的输入应给出相同输出，可用于检查运算。 推理与运用 画图时不必总以零为中心列表。若顶点远离原点，以对称轴为中心取点能更完整地展示抛物线。 例题讲解 例 求二次函数的顶点坐标和对称轴，并画出函数图象。 -2 2 4 -8 -6 -4 -2 x y O 答：顶点，对称轴。 。 开口向下，以顶点为中心左右对称取点。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 例题讲解 例 求二次函数的顶点坐标和对称轴，并画出函数图象。以列表。 -2 2 4 -8 -6 -4 -2 x y O 答：。 代入顶点式计算，每对对称输入的输出相同。 描点后用光滑曲线连接，不要把曲线画成折线。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 随堂练习 指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。 （1） （2） （1） 答：向上；；。 平方中的。 （2） 答：向下；；。 二次项系数为负，顶点纵坐标为。 先把括号写成的形式，再读出顶点坐标与对称轴。 课堂练习 变式 对函数，求时的函数值。 -4 -3 -2 -1 1 2 -4 -3 -2 -1 1 2 x y O 答：依次为。 逐个代入；中心两侧距离相同的输入得到相同函数值。 先算的平方，再乘负系数，最后减1，避免符号错误。 课堂练习 变式 把中对应的三个点写成坐标，并在图中定位。 -4 -3 -2 -1 1 2 -4 -3 -2 -1 1 2 x y O 答：，，。 每个点的横坐标是输入，纵坐标是对应输出。 顶点横坐标为−1；两侧等距点的纵坐标应相同。 课堂练习 变式 点与，哪个在的图象上？ 答：A在，B不在。 当时，唯一函数值是。 沿横轴从左向右读变化，精确数值用表达式核对。 课堂练习 变式 的图象上有点，求与它关于对称轴对称的点。 答：。 对称轴，两个横坐标的平均数等于。 先看横坐标，再判断图象的对称关系。 课堂练习 变式 说明的开口方向，并用平方项说明原因。 -4 -3 -2 -1 1 2 -4 -3 -2 -1 1 2 x y O 答：开口向下。 平方项非负，乘以后非正，故所有函数值不大于。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 写出的顶点坐标与对称轴。 -4 -3 -2 -1 1 2 -4 -3 -2 -1 1 2 x y O 答：顶点；对称轴。 顶点是一个点，要写坐标；对称轴是一条直线，要写直线方程。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 变式 函数在时，随增大怎样变化？ -4 -3 -2 -1 1 2 -4 -3 -2 -1 1 2 x y O 答：函数值逐渐增大。 从左侧向中心靠近，平方中的绝对值逐渐减小。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 函数在时，随增大怎样变化？ -4 -3 -2 -1 1 2 -4 -3 -2 -1 1 2 x y O 答：函数值逐渐减小。 从中心向右远离，平方中的绝对值逐渐增大。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 对，比较与时的函数值。 答：前者大于后者。 对应值为与。 开口向下，在对称轴右侧，离轴越远，函数值越小。 课堂练习 变式 对，比较与时的函数值。 答：前者小于后者。 两点到对称轴的距离分别为3和1；先比平方，再考虑二次项系数符号。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 变式 有最大值还是最小值？在什么输入处取得？ -4 -3 -2 -1 1 2 -4 -3 -2 -1 1 2 x y O 答：当时，最大值是。 平方项为零时达到极值；同时写出输入和输出。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 函数能否取到？ 答：不能。 所有函数值不大于。 函数的最大值为−1，不能达到更大的0。 课堂练习 变式 在中，函数值为时，求。 答：或。 移项后除以二次项系数，得到平方等于4，再取正负两个根。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 的图象与直线交于哪里？ -4 -3 -2 -1 1 2 -4 -3 -2 -1 1 2 x y O 答：。 把代入，平方项为零。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 变式 求图象与轴的交点。 答：。 纵轴上的点横坐标为零，代入即可。 沿横轴从左向右读变化，精确数值用表达式核对。 课堂练习 变式 有人把的五个描点依次用线段相连，作为整个函数图象。这样画是否准确？ -4 -3 -2 -1 1 2 -4 -3 -2 -1 1 2 x y O 答：不准确，应以光滑曲线连接。 二次函数图象是抛物线，五个点之间还有无数个对应点。 描点只确定位置，抛物线须用光滑曲线连接。 课堂练习 变式 对，当时，求函数值的最大值与最小值。 答：最小值，最大值。 区间包含顶点；再比较两个端点到对称轴的距离。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂总结 顶点式与配方作图 形状 抛物线；系数符号决定开口。 位置 本例顶点，轴。 变化 以对称轴为界，分左右描述。 作图 定位顶点，成对取点，光滑连接。 注意 实际图象受变量范围限制。 针对训练 原创训练 的顶点坐标是什么？A.；B.；C.；D.。 答：A 令平方中的式子为零，确定顶点横坐标。 此时函数值为常数项，确定顶点纵坐标。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 针对训练 原创训练 与开口方向相反的是哪一个？A.；B.；C.；D.。 答：B 二次项系数符号相反，开口方向才相反。 其他选项改变常数或不作改变，不会改变开口方向。 要改变开口方向，应改变二次项系数的正负。 针对训练 原创训练 中，当时，____。 答：。 平方中的值为3，平方为9。 再乘系数并加，得到结果。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 针对训练 原创训练 对于，判断下列说法。 （1） 关于直线对称。 正确 相距对称轴相等的输入，平方项相同。 （2） 不同输入的函数值一定不同。 错误 关于对称轴对称的两点可以有相同函数值。 （3） 顶点纵坐标为。 错误 顶点纵坐标应为。 先看横坐标，再判断图象的对称关系。 针对训练 原创训练 中，求和时的值。 答：都为。 两输入到对称轴距离均为1.5。 平方项为2.25，乘再加。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 针对训练 原创训练 中，比较与时的函数值。 答：前者大于后者。 比较平方4与9，再结合二次项系数符号。 两值分别为与，直接计算也可验证。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 针对训练 原创训练 的函数值为，求自变量。 答：或。 先减去常数项，再除以二次项系数。 平方等于1，取正负两个值，再还原x。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 针对训练 原创训练 画的草图，写出对称轴与最值。 -4 -2 2 -9 -6 -3 3 6 9 x y O 答：对称轴；当时，最小值为。 先定位顶点与开口，再描一对对称点。 光滑连线，根据开口方向判断顶点对应最大或最小值。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 针对训练 原创训练 某拱的高度，其中，单位为米。最高处在哪里？两端各高多少？ -1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 x/m H/m O 答：处高6 m；两端都高4 m。 由平方项非负确定最高点；代入。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 针对训练 原创训练 调节量的代价，。何时代价最小？的代价如何比较？ 答：时最小为5；、5时都为13。 平方项为零时最小；两个输入关于3对称。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 方法归纳 从表达式到图象 定位与作图 ① 先找顶点和对称轴，再判断开口。 ② 以轴为中心取对称点，使用同一刻度。 性质与验证 ① 增减区间以对称轴为分界。 ② 函数值比较结合开口与距轴距离。 ③ 最值必须连同取得它的输入一起写出。 $