3.3 二次函数的图象与性质（第1课时）课件 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

第3章　二次函数 3.3 二次函数的图象与性质（第1课时） 与 数学新教材鲁教版　九年级上册 情境引入 从表格走向曲线 观察与理解 研究一个函数，先取有代表性的输入，再计算对应输出；将这些有序数对放入直角坐标系，可以直观观察变化规律。 推理与运用 本课的曲线要通过计算和描点得到。作图时注意取点的范围、坐标尺度以及曲线的光滑性。 情境引入 探究 函数中，取。预测两侧函数值的关系并计算验证。 答：两侧相等，均为；中间为。 两个平方中的值互为相反数，平方相同。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 情境引入 确定研究对象 观察与理解 同一函数可以用表达式、表格与图象表示。表达式给出计算规则，表格提供作图坐标，图象把这些对应关系组织成整体。 推理与运用 从本课出发，依次观察曲线的形状、开口方向、对称性、特殊点和变化趋势。结论必须和表达式相互印证。 新知讲授 抛物线与顶点 图象特征 如图3-5，二次函数的图象是一条抛物线（parabola），它的开口向上，且关于轴对称。对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点。 图象观察 两侧点成对出现。顶点位置既由图象可见，也可以由平方的最小值为零说明。 -3 -2 -1 1 2 3 2 4 6 8 x y O 新知讲授 先列表再描点 观察与理解 对可取，对应函数值为。对称选点能清楚展示曲线的左右关系。 推理与运用 描点时从横坐标定位，再确定纵坐标。负数的平方为正数，不能将左侧点误放在第三象限。 新知讲授 光滑曲线连接 观察与理解 的点不是互不相关的离散标记。函数对每个实数输入有对应输出，图象应当连续并光滑通过所描的点。 推理与运用 取点只帮助确定形状，不能把五点连成折线后停止。注意顶点附近平缓，远离顶点时上升更快。 新知讲授 开口向下的伙伴 观察与理解 与在相同横坐标处的函数值互为相反数。上下对应点关于轴对称。 推理与运用 把的所有点关于轴反射，得到。其顶点仍在原点，开口向下。 -2 2 -6 -3 3 6 x y O 新知讲授 变化规律要分两侧 观察与理解 在时随增大而减小，在时随增大而增大。不能笼统说整个图象上一直增大。 推理与运用 的变化趋势相反。描述变化时总沿横轴从左往右观察，并先交代输入所在范围。 新知讲授 最值是一个函数值 观察与理解 的最小值为0，在时取得；的最大值为0，也在时取得。 推理与运用 顶点坐标是一个有序数对，最值是纵坐标，而取得最值的位置是横坐标。三者应分别写清楚。 课堂练习 随堂练习 在同一直角坐标系中，画出与的图象，并回答问题。 （1） 两个图象关于哪条直线对称？ （2） 两个图象关于哪个点对称？ （3） 如何由前一个图象得到后一个？ -2 2 -6 -3 3 6 x y O （1） 答：关于轴对称。 相同横坐标对应的纵坐标互为相反数，关于横轴反射可相互得到。 （2） 答：关于原点对称。 横纵坐标同时变号，上的点落到上。 先看横坐标，再判断图象的对称关系。 课堂练习 随堂练习 在同一直角坐标系中，画出与的图象，并回答问题。 （1） 两个图象关于哪条直线对称？ （2） 两个图象关于哪个点对称？ （3） 如何由前一个图象得到后一个？ -2 2 -6 -3 3 6 x y O （3） 答：关于轴反射，也可以绕原点旋转。 变为；旋转则变为。 先看横坐标，再判断图象的对称关系。 课堂练习 变式 对函数，求时的函数值。 -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O 答：依次为。 逐个代入；中心两侧距离相同的输入得到相同函数值。 先把负数加括号再平方，核对相反数是否得到相同函数值。 课堂练习 变式 把中对应的三个点写成坐标，并在图中定位。 -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O 答：，，。 每个点的横坐标是输入，纵坐标是对应输出。 坐标按先横后纵书写，再核对三点关于纵轴对称。 课堂练习 变式 点与，哪个在的图象上？ 答：A在，B不在。 当时，唯一函数值是。 沿横轴从左向右读变化，精确数值用表达式核对。 课堂练习 变式 的图象上有点，求与它关于对称轴对称的点。 答：。 对称轴，两个横坐标的平均数等于。 先看横坐标，再判断图象的对称关系。 课堂练习 变式 说明的开口方向，并用平方项说明原因。 -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O 答：开口向上。 平方项非负，乘以后非负，故所有函数值不小于。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 写出的顶点坐标与对称轴。 -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O 答：顶点；对称轴。 顶点是一个点，要写坐标；对称轴是一条直线，要写直线方程。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 变式 函数在时，随增大怎样变化？ -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O 答：函数值逐渐减小。 从左侧向中心靠近，平方中的绝对值逐渐减小。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 函数在时，随增大怎样变化？ -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O 答：函数值逐渐增大。 从中心向右远离，平方中的绝对值逐渐增大。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 对，比较与时的函数值。 答：前者小于后者。 对应值为与。 两输入都在纵轴右侧，可用增减性比较，也可直接平方。 课堂练习 变式 对，比较与时的函数值。 答：前者大于后者。 两点到对称轴的距离分别为3和1；先比平方，再考虑二次项系数符号。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 变式 有最大值还是最小值？在什么输入处取得？ -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O 答：当时，最小值是。 平方项为零时达到极值；同时写出输入和输出。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 函数能否取到？ 答：不能。 所有函数值不小于。 利用平方非负，先判断函数值的下界。 课堂练习 变式 在中，函数值为时，求。 答：或。 移项后除以二次项系数，得到平方等于4，再取正负两个根。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 课堂练习 变式 的图象与直线交于哪里？ -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O 答：。 把代入，平方项为零。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 变式 求图象与轴的交点。 答：。 纵轴上的点横坐标为零，代入即可。 沿横轴从左向右读变化，精确数值用表达式核对。 课堂练习 变式 有人把的五个描点依次用线段相连，作为整个函数图象。这样画是否准确？ -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O 答：不准确，应以光滑曲线连接。 二次函数图象是抛物线，五个点之间还有无数个对应点。 描点只确定位置，抛物线须用光滑曲线连接。 课堂练习 变式 对，当时，求函数值的最大值与最小值。 答：最小值，最大值。 区间包含顶点；再比较两个端点到对称轴的距离。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂练习 变式 计算在和时的值。 答：两个函数值均为。 两输入关于对称轴对称，只需计算其中一个。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 课堂总结 与 形状 抛物线；系数符号决定开口。 位置 本例顶点，轴。 变化 以对称轴为界，分左右描述。 作图 定位顶点，成对取点，光滑连接。 注意 实际图象受变量范围限制。 针对训练 原创训练 的顶点坐标是什么？A.；B.；C.；D.。 答：A 令平方中的式子为零，确定顶点横坐标。 此时函数值为常数项，确定顶点纵坐标。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 针对训练 原创训练 关于横轴对称的图象是：A.；B.；C.；D.。 答：B 关于横轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数。 一次函数图象是直线，不可能是该抛物线的反射图象。 先看横坐标，再判断图象的对称关系。 针对训练 原创训练 中，当时，____。 答：。 平方中的值为3，平方为9。 再乘系数并加，得到结果。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 针对训练 原创训练 对于，判断下列说法。 （1） 关于直线对称。 正确 相距对称轴相等的输入，平方项相同。 （2） 不同输入的函数值一定不同。 错误 关于对称轴对称的两点可以有相同函数值。 （3） 顶点纵坐标为。 错误 顶点纵坐标应为。 先看横坐标，再判断图象的对称关系。 针对训练 原创训练 中，求和时的值。 答：都为。 两输入到对称轴距离均为1.5。 平方项为2.25，乘再加。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 针对训练 原创训练 中，比较与时的函数值。 答：前者小于后者。 比较平方4与9，再结合二次项系数符号。 两值分别为与，直接计算也可验证。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 针对训练 原创训练 的函数值为，求自变量。 答：或。 先减去常数项，再除以二次项系数。 平方等于1，取正负两个值，再还原x。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 针对训练 原创训练 画的草图，写出对称轴与最值。 -2 2 -9 -6 -3 3 6 9 x y O 答：对称轴；当时，最大值为。 先定位顶点与开口，再描一对对称点。 光滑连线，根据开口方向判断顶点对应最大或最小值。 比较两个输入到对称轴的距离，相等距离对应相等函数值。 针对训练 原创训练 正方形面积S与边长a满足。边长从2 cm增至3 cm，面积增加多少？只画有实际意义的图象。 1 2 3 4 2 4 6 8 10 x y O 答：增加5 cm²；取的部分。 面积由4增至9；边长必须为正。 总面积和面积增量不同，先辨清题目所求的量。 针对训练 原创训练 某活动偏离指定位置x m时扣分。两人分别偏离−3 m和2 m，谁扣分少？相差多少？ 答：第二人扣分少，相差5分。 比较9和4；距离方向不影响平方值。 注意平方运算的作用范围，括号内先计算。 方法归纳 从表达式到图象 定位与作图 ① 先找顶点和对称轴，再判断开口。 ② 以轴为中心取对称点，使用同一刻度。 性质与验证 ① 增减区间以对称轴为分界。 ② 函数值比较结合开口与距轴距离。 ③ 最值必须连同取得它的输入一起写出。 $