2.4 解直角三角形（第3课时）课件 2026--2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

第2章　直角三角形的边角关系 2.4 解直角三角形（第3课时） 一般图形向直角三角形转化 数学新教材鲁教版　九年级上册 情境引入 没有直角怎样使用三角函数 观察 一般三角形中三角函数的边长比不能直接套用。图上没有直角，首先需要把它转化为含直角三角形的图形。 办法 从一个顶点向对边所在直线作垂线，得到两个直角三角形。它们往往通过同一条高相互联系。 情境引入 变式练习 在锐角三角形 中，过 作 ，垂足为D。指出得到的两个直角三角形及共同边。 A D B C 答： 和 ，共同边为 。 垂线给出两个直角。 公共高可把一个直角三角形的计算结果传递到另一个。 添加辅助线的目标是制造可用的直角结构。 情境引入 变式练习 在钝角三角形中，从一个锐角顶点向对边所在直线作高，垂足可能在什么位置？ D A B C 答：可能在对边的延长线上。 高必须垂直于对边所在直线。 垂足在外时，底边通常表示为两条投影线段的差。 作图前先判断角的大小和点的顺序。 新知讲授 选择辅助线的原则 从条件出发 优先让已知边与已知角落在同一个直角三角形中，这样可以立即求出一条高或投影。 向目标推进 再用求得的公共边进入另一个直角三角形，得到目标线段所需的另一部分。不要为作高而作高。 新知讲授 垂足在线段内部：用和 点的顺序 若垂足 在 之间，则 。两段投影长度都为正，底边是它们的和。 结构 先求出AD与CD，再在另一直角三角形中求DB，最后加起来。 A D B C 新知讲授 垂足在外部：用差 点的顺序 若点的顺序为 ，则 ，所以 。 结构 两个直角三角形共享高CD；各自求出水平投影后，根据点的顺序相减。 D A B C 新知讲授 先补齐需要的角 内角和 三角形的三个内角和为一百八十度，若已知两个角，可先求第三个角。 外角 当作高落在边的延长线上时，小直角三角形中的锐角可能是原钝角的补角；也可由三角形外角等于两个不相邻内角之和求得。 新知讲授 等腰三角形的高特别有用 三线合一 等腰三角形底边上的高，同时平分底边和顶角。这样可把底边数据减半，得到条件明确的直角三角形。 常见目标 底角的函数值、腰长、底边长、面积，都可转化到其中一个直角三角形中计算。 新知讲授 平行四边形先找底和高 面积 平行四边形的面积是底乘对应高，不是相邻两边直接相乘。已知夹角时，可以通过三角函数求高。 对角线 若题目给对角线，可作高把对角线纳入直角三角形；再由投影的和或差求出底长。 新知讲授 不要把一般三角形直接当直角 常见错误 在没有直角条件的一般三角形中，不能直接写 。这个比值必须来自含锐角A的某个直角三角形。 检查 每写一个三角函数等式，都能说出正在使用哪个直角三角形，并确认对边、邻边和斜边。 例题讲解 例 5 如图，在 中，已知 ，求 的长。 A D B C 答：。 作 ，有 ，。 在 中，。 。 高CD是从左侧三角形进入右侧三角形的公共量。 例题讲解 例 6 如图，在 中，，求 的长（结果精确到 ）。 D A B C 答：。 作 交BA延长线于D，。 ，，。 。 垂足在外，用较长投影减较短投影。 例题讲解 变式练习 例5的高在内部，例6的高在外部。两题的计算结构有哪些共同点，最后一步有何不同？ 答：共同点是作高、解两个直角三角形；内部高用线段和，外部高用线段差。 第一步都由已知边角求高和一个投影。 第二步利用公共高求另一个投影。 最后根据垂足位置决定和差。 公共高不变，线段关系随点的顺序改变。 例题讲解 议一议 在 中，，求 （精确到 ）。这次从A向BC作高AH。 答：。 在 中，。 在 中，。 同一题可有多条转化路线，应比较哪种关系更直接。 例题讲解 变式练习 在 中，，求 。 A D B C 答：。 作高CD，得 。 。 。 先求高，再把高传到另一个直角三角形。 例题讲解 变式练习 在 中，，求 。 D A B C 答：。 向BA延长线作高CD，。 。 。 先用补角找出小三角形中的锐角。 例题讲解 变式练习 等腰三角形底边为 ，底角为 ，求腰长和面积。 答：腰长 ，面积 。 作底边上的高，半底为5。 腰长 ，高 。 面积 。 等腰三角形先取半底。 例题讲解 变式练习 等腰三角形腰长为 ，顶角为 。求底边和面积。 答：底边 ，面积 。 作高平分顶角，半顶角为60度。 半底 ，高 。 面积 。 角平分后的角与边也要重新对应。 例题讲解 变式练习 平行四边形相邻边长为 ，夹角为 。以长为8的边为底，求高和面积。 答：高 ，面积 。 高 。 面积 。 斜边5不是高度，需要先求竖直投影。 例题讲解 变式练习 锐角三角形两底角为 ，底边上的高为 。求底边长。 答：。 两个投影分别为 和 。 将两个投影相加。 高已知时可分别直接求两段底边。 课堂练习 随堂练习 1 在 中，，求 的值。 A B C D 答：。 作 ，则 。 ，由边长比求值。 先借助三线合一把底边减半。 课堂练习 随堂练习 2 如图，在 中，，求 的长。 A D B C 答：。 。 。 。 题图垂足在内部，底边为两段之和。 课堂练习 随堂练习 3 如图，在平行四边形 中，，求平行四边形 的面积。 A B C D 答：。 从B、C分别向AD所在直线作垂线，高均为 。 A到C垂足的距离为 ，B的水平投影为 。 ，面积 。 对角线帮助求整体水平投影，再减去侧边投影。 课堂练习 随堂练习 判断并说明。 （1） 在任何三角形中都能直接用对边比斜边求正弦。 错误 该定义要求在直角三角形中使用。 （2） 垂足在边外时，所有线段仍直接相加。 错误 需要按点顺序列和差关系。 （3） 等腰三角形底边上的高平分顶角。 正确 三线合一。 逐项明确所用的边角关系。 课堂练习 变式练习 点 依次位于一直线上，。若已求得 ，求 ；应满足什么大小关系？ D A B C 答：，且 。 由点顺序得BD=AD+AB。 线段AB为正，所以p大于q。 先读点序再列式，避免负长度。 新知讲授 从图形到计算链 内部高模型 已知边角→公共高和第一段投影→第二段投影→两段相加。 外部高模型 先求需要的补角→公共高和两段投影→较长投影减较短投影。每一步都对应一个明确的直角三角形。 方法归纳 把本课方法连起来 辅助线选择 ① 让已知边与已知角进入同一直角三角形。 ② 用公共高连接两个计算区域。 目标线段还原 ① 垂足在内用和，垂足在外按点序用差。 ② 面积题最后用底乘对应高。 课堂总结 一般图形向直角三角形转化 核心 作高制造直角 桥梁 公共高连接两三角形 内部 底边为两投影之和 外部 按点顺序取投影之差 面积 还原底与对应高 针对训练 针对训练 一般三角形中使用本章直角三角函数关系求边，通常先做什么？A. 任意两边相除；B. 作合适的高；C. 直接套勾股；D. 假设一个角为直角。 答：B。 作高制造直角三角形，才能使用相应定义。 辅助线服务于已知量与目标量的连接。 针对训练 针对训练 若 在 内，则 ____；若点序为 ，则 ____。 答：；。 根据点在线段上的先后顺序列等式。 和差由点序决定。 针对训练 针对训练 判断并说明。 （1） 一般三角形的高一定在三角形内部。 错误 钝角三角形有外部高。 （2） 相邻两边相乘总是平行四边形面积。 错误 必须是底乘对应高。 （3） 等腰三角形的底边高可平分底边。 正确 三线合一。 逐项明确所用的边角关系。 针对训练 针对训练 等腰三角形腰为 ，底为 ，求底角的正切。 答：。 半底为5，高为 。 先作底边高。 针对训练 针对训练 三角形两底角为 ，底边高为 ，求底边。 答：。 两段投影为 与 。 内部高模型把两个投影相加。 针对训练 针对训练 锐角三角形中 ，求面积。 答：。 高 ，两段投影为 。 面积 。 先求底和高，再求面积。 针对训练 针对训练 三角形中 ，求 。 答：。 外部高为 ，短投影为3，长投影为9。 。 图形有钝角时先判断垂足位置。 针对训练 针对训练 平行四边形两邻边为 ，夹角为 。有人说面积为60，改正。 答：面积为30。 以10为底，对应高 。 面积 。 面积必须使用与底垂直的高度。 针对训练 针对训练 等腰三角形腰长8，顶角90度，求底边及面积。 答：底边 ，面积32。 两腰相互垂直，原三角形就是等腰直角三角形。 底边 ，面积 。 先识别已有直角，不一定总要再作高。 针对训练 针对训练 已知 ，要求 。从C作高到AB，还是从A作高到BC，哪一种能更直接先用已知边和角？ 答：从C向AB作高更直接。 AC和角A同时落在直角三角形ACD内，可立即求高和投影。 再借角B求另一段投影。 比较的是已知条件在辅助图形中的利用效率。 针对训练 针对训练 等腰屋架两斜梁各长 ，每根与水平底边成 。求底宽与架高。 答：底宽 ，架高 。 半底 。 高 。 对称结构先求一半，再还原全长。 针对训练 针对训练 三角形地块两底角为 ，底边上的高为 。求底边长和面积。 答：底边 ，面积 。 两段底边为12和 。 面积 。 高是连接两侧直角三角形的共同数据。 方法归纳 把本课方法连起来 构造法 ① 选择让已知边角进入同一小三角形的高。 ② 利用相似、等腰或平行关系补齐条件。 还原法 ① 画清垂足和各点顺序后确定和差。 ② 把小三角形结果还原到原题目标。 $