精品解析：四川省成都市四川大学附属中学新城分校2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

川大附中新城分校高2026级10月月考数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 【答案】A 【解析】 【详解】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断， 所以命题“，使”的否定是“，使”. 2. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程组即可. 【详解】得，故集合为 故选：C 3. 设集合，集合，则（ ） A. ⫋ B. C. ⫋ D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以是任意奇数，所以集合是所有奇数构成的集合. 同理，当，时，表示的是所有比4的整数倍多1的数，即①， 当时，表示的是所有比4的整数倍少1的数，即②， 所以①②合起来也是全部奇数，所以集合也是所有奇数构成的集合， 所以，故A，C错误，B正确； 因为集合是所有奇数构成的集合，所以是所有偶数构成的集合， 所以，故D错误. 4. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式性质，取特殊值，根据充分条件、必要条件的判断即可. 【详解】充分性：取，则，但是，故充分性不成立， 必要性：由可知，则， 所以即，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 5. 如果集合中只有一个元素，则a的值是（ ） A. 0 B. 4 C. 0或4 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用与，结合集合元素个数，求解即可． 【详解】解：当时，集合，只有一个元素，满足题意； 当时，集合中只有一个元素，可得，解得． 则的值是0或4． 故选：． 【点睛】本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题． 6. 关于基本不等式，下列选项正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为2 C. 存在a，使得不等式成立 D. 的最大值为1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合选项，利用基本不等式，以及二次函数的性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，由， 当且仅当，即时，此时不存在这样的实数， 所以等号不成立，即，所以A不正确； 对于B，当时，可得，当且仅当，即时，取等号； 当时，可得， 当且仅当，即时，取等号， 综上可得，的取值范围为，所以B不正确； 对于C，当时，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以存在实数，使得不等式成立，所以C正确； 对于D，由， 当时，，所以的最大值为，所以D错误. 7. 《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系计算，即可判断. 【详解】解：连接，由题知，， 所以，即， 因为， 所以， 所以，即， 因为，， 所以，， 所以 所以由可以证明 故选：D 8. 设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】解题的关键在于理解的定义，然后利用基本不等式求出的最小值，再结合的定义求出的最小值. 【详解】因为为正实数，所以， 当且仅当时等号成立， 从而中至少有一个不小于2，不妨设，则，所以.假设的最小值为2，，，所以， 所以，与矛盾，假设不成立，A错误；假设的最小值为3，则，或，， 同理，可得，显然不成立，B错误；假设的最小值为4，同理，易得， 若取，则，即，假设成立，C正确，D错误. 故选：. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设集合，集合，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，则，分和进行讨论，从而确定的取值. 【详解】由，则， 又， 当时，则，此时符合题意； 当时，即，则， 当，即，此时，，符合题意； 当，即，此时，，符合题意； 故选：ACD. 10. 已知，，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用不等式的基本性质可判断A、C、D选项的正误；取可判断B选项的正误. 【详解】，，则，，A选项错误； ，，当时，，B选项错误； ，由于，所以，，C选项正确； ，，，D选项错误. 故选：ABD. 11. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. ，是一个戴德金分割 B. M没有最大元素，N有一个最小元素 C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D. M没有最大元素，N也没有最小元素 【答案】BD 【解析】 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，有一个最小元素为0，故B正确； 对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素， 则不能同时满足，，故C错误； 对于D，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则__________. 【答案】1或2； 【解析】 【分析】 由，可得或，注意要满足集合元素的互异性，即可得解. 【详解】由，， 若，，， 此时，符合题意； 若，则，， 当时，，不符题意， 当时，，符合题意， 综上可得：或. 故答案为：1或2. 13. 已知集合的子集有且只有两个，则实数a的值为_________. 【答案】0或2 【解析】 【分析】由一个集合的子集只有两个可知该集合中只含有一个元素，对方程二次项系数分为和两种情况，进行判断求解即可. 【详解】由集合的子集有且只有两个，则集合中只含有一个元素， 当时，，符合题意； 当时，则方程有两个相等的实数根，即，解得. 综上，实数a的值为0或2. 14. 命题，使得成立；命题，不等式恒成立若命题与只有一个为真命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先令两个命题为真分别判断实数的范围,再确定两个命题一真一假时的范围即可. 【详解】若命题为真命题,则存在,使,令 即,,,所以; 若命题为真命题,则任意,使,即, 令 即,,，当x=1时等好成立, ,所以; 若命题与命题只有一个为真命题时 ①若命题为真命题且命题为假命题, 且,所以 ②若命题为假命题且命题为真命题, 且,所以 综上①②, 实数的取值范围为 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）求 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由交并补的混合运算即可求解. 【小问1详解】 由条件可得：； 【小问2详解】 或 所以或 16. 甲，乙两名同学家到学校的距离都为2公里，某一天两人约定同时从家出发走路去上学．若甲一半的路程用速度匀速行走，另一半的路程用速度匀速行走；乙在前一半的时间用速度匀速行走，后一半的时间用速度的匀速行走， （1）设甲、乙两人上学所需的时间分别为，，用，表示，； （2）问甲、乙两人谁先到达学校？并说明理由． 【答案】（1）； （2）当时, 乙先到达学校；当时，甲、乙同时到达学校. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，求出答案；（2）作差法比较大小，分与两种情况. 【小问1详解】 （1）甲上学所需的时间， 乙上学所需的时间满足，所以， 故甲上学所需的时间； 【小问2详解】 （2）因为， 所以当时，，即，此时，乙先到达学校， 当时，，即，此时，甲、乙同时到达学校． 17. 已知集合. （1）若，定义集合且，求； （2）给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合间运算的新定义直接得解； （2）根据集合间的关系及命题的充分必要性列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，又， . 【小问2详解】 若选①，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为. 18. 设a，b为正实数，且. （1）求ab的最小值； （2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）求的最小值. 【答案】（1）8； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，直接化简求解即可； （2）由不等式恒成立，等价于小于或等于的最小值，根据基本不等式“1”的应用，先求出的最小值，再求出m的取值范围即可； （3）先化简分式，再利用已知条件找到分母的关系，最后利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由a，b为正实数，则，即， 两边同时平方得，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为； 【小问2详解】 由题可知， 又a，b为正实数，由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时取最小值， 又恒成立，所以，解得m的取值范围为； 【小问3详解】 由且为正实数， 可得，故；同理，故.因此. 又，所以，即， 所以，令，则， 又， 所以由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号， 此时，即当时，取最小值为. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意把代入式中可求值； （2）将代入方程可求解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 原方程可化为： 即： ，即，解得：． 【小问3详解】 ，当且仅当，即时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川大附中新城分校高2026级10月月考数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 2. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，集合，则（ ） A. ⫋ B. C. ⫋ D. 4. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如果集合中只有一个元素，则a的值是（ ） A. 0 B. 4 C. 0或4 D. 不能确定 6. 关于基本不等式，下列选项正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为2 C. 存在a，使得不等式成立 D. 的最大值为1 7. 《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（ ） A. B. C. D. 8. 设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设集合，集合，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 已知，，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. ，是一个戴德金分割 B. M没有最大元素，N有一个最小元素 C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D. M没有最大元素，N也没有最小元素 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则__________. 13. 已知集合的子集有且只有两个，则实数a的值为_________. 14. 命题，使得成立；命题，不等式恒成立若命题与只有一个为真命题，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）求 16. 甲，乙两名同学家到学校的距离都为2公里，某一天两人约定同时从家出发走路去上学．若甲一半的路程用速度匀速行走，另一半的路程用速度匀速行走；乙在前一半的时间用速度匀速行走，后一半的时间用速度的匀速行走， （1）设甲、乙两人上学所需的时间分别为，，用，表示，； （2）问甲、乙两人谁先到达学校？并说明理由． 17. 已知集合. （1）若，定义集合且，求； （2）给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 18. 设a，b为正实数，且. （1）求ab的最小值； （2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）求的最小值. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $