精品解析：河南郑州市第六十四中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年上学期10月学情调研九年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（ ） A. B. 8 C. D. 16 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线相等，且互相垂直平分 6. 下列说法正确的是（ ） A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B. 某种彩票中奖的概率是，因此买张该种彩票就一定会中奖 C. 抛掷一枚图钉，要么针尖朝上，要么针尖朝下，则“针尖朝上”的概率为 D. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数，那么事件A发生的概率 7. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，有一组邻边相等 C. ③，对角线互相垂直 D. ④，有一个角是直角 8. 若方程的两个实数根为，，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，、是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色，同时转动两个转盘，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，不记，重转）的颜色，则两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，M为的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 把一元二次方程化为一般形式为______________________． 12. 如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点，，，得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此四边形也被称为瓦里尼翁四边形．已知原四边形的对角线，瓦里尼翁平行四边形是_________．（填“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”） 13. 如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，若在正方形区域内任意取80个点，有45个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为_______． 14. 一个不透明的袋中装有红、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如下表： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸到红球的频数 28 58 121 183 238 301 摸到红球的频率 0.280 0.290 0.303 0.305 0.298 0.301 请估计袋中红球的个数是_____． 15. 已知正方形的边长为4，点为线段上的动点（不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，，当是以为腰的等腰三角形时，的值为______． 三、解答题（75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 17. 在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 18. 如图，在中，，D为的中点．，． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）若，请你求出的度数． 19. 如图，在正方形中，点F为对角线上一点，连接． （1）求证：． （2）在对角线上取一点Q，使得，连接，则四边形的形状是_________，若，，则四边形的面积为_________． 20. 某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料，根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格（元/瓶） 0 2 3 4 （1）这个班级有多少名同学？ （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如上表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？ （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率． 21. 已知：如图，在中，，是的一条角平分线，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，交于点F，线段与有怎样的关系？请说明理由． 22. 已知关于的方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若是该方程的一个根，求代数式的值． 23. 如图1，点C是线段上一动点，分别以线段、为边，在线段的同侧作正方形和等腰直角三角形，，连接、． （1）猜想线段与线段的数量关系和位置关系（不用证明）． （2）当点C在线段上方时，其它条件不变，如图2，（1）中的结论是否成立？说明你的理由． （3）在图1的条件下，探究：当点C在线段上运动到什么位置时，直线垂直平分线段？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期10月学情调研九年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，不符合题意． 2. 课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为的中点，， ． 3. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先求一元二次方程的判别式，由判别式与0的大小关系来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 方程没有实数根． 4. 如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（ ） A. B. 8 C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质和勾股定理求得即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，， ∴该菱形的周长是． 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线相等，且互相垂直平分 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．一般的平行四边形不是轴对称图形，是假命题． B． 对角线相等的四边形不一定是矩形，是假命题． C． 菱形的四个角不一定相等，是假命题． D． 正方形的对角线相等且互相垂直平分，是真命题． 6. 下列说法正确的是（ ） A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B. 某种彩票中奖的概率是，因此买张该种彩票就一定会中奖 C. 抛掷一枚图钉，要么针尖朝上，要么针尖朝下，则“针尖朝上”的概率为 D. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数，那么事件A发生的概率 【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项事件发生的可能性逐项判断正误． 【详解】解：选项A： “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，不是必然事件，该说法错误，不合题意； 选项B：某种彩票中奖的概率是表示中奖的可能性大小，买100张该种彩票不一定会中奖，该说法错误，不符合题意； 选项C：抛掷一枚图钉时，针尖朝上与针尖朝下不是等可能事件，“针尖朝上”的概率不为，该说法错误，不符合题意； 选项D：在大量重复试验中，事件A发生的频率稳定于某个常数，则事件A发生的概率，符合相关定义，该说法正确，符合题意． 7. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，有一组邻边相等 C. ③，对角线互相垂直 D. ④，有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理． 根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，对角线互相垂直的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意． 故选：A． 8. 若方程的两个实数根为，，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， ， ， 当时，， 方程有2个相等的实数根，满足题意． 9. 如图，、是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色，同时转动两个转盘，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，不记，重转）的颜色，则两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： B盘 A盘 黑 蓝 红 蓝 （蓝，黑） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，黑） （红，蓝） （红，红） 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的情况有种， 故两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为． 10. 如图，在菱形中，，，M为的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点，点与点关于直线对称，连接交于点，得出就是的最小值，结合直角三角形的性质可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴点与点关于直线对称， 连接交于点， ∴，即就是的最小值， ∵，且在菱形中，， ∴是等边三角形， ∵M为的中点， ∴，， ∴， 即的最小值为3． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 把一元二次方程化为一般形式为______________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项整理为一元二次方程的一般形式得． 12. 如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点，，，得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此四边形也被称为瓦里尼翁四边形．已知原四边形的对角线，瓦里尼翁平行四边形是_________．（填“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”） 【答案】菱形 【解析】 【分析】利用三角形中位线的性质结合，证明即可得到结论. 【详解】解：∵点E、F、G、H分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形. 13. 如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，若在正方形区域内任意取80个点，有45个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：， 即二维码中黑色部分的面积约为9． 14. 一个不透明的袋中装有红、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如下表： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸到红球的频数 28 58 121 183 238 301 摸到红球的频率 0.280 0.290 0.303 0.305 0.298 0.301 请估计袋中红球的个数是_____． 【答案】15 【解析】 【详解】解：由表格数据可知，随着摸球次数增大，摸到红球的频率逐渐稳定在． 因此估计摸到红球的概率为． 则估计袋中红球的个数为． 15. 已知正方形的边长为4，点为线段上的动点（不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，，当是以为腰的等腰三角形时，的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】当△是以为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：①当时，过点作于点，的延长线交于点，则四边形是矩形，进而得，△是等边三角形，则，，在四边形中，，，则进而得，则；②当时，过点作，的延长线交于点，则是正方形的一条对称轴，进而得，则△是等边三角形，然后在中可求出，综上所述即可得出的值． 【详解】解：四边形是正方形，且边长为4， ，， 根据轴对称的性质得：，，，， 当是以为腰的等腰三角形时，有以下两种情况： ①当时，过点作于点，的延长线交于点，如图1所示： ， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在四边形中，，， ， ， 在中，， ； ②当时，过点作，的延长线交于点，如图2所示： ， 是的垂直平分线， 所在直线是正方形的一条对称轴， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ． 综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 三、解答题（75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：； 【小问3详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：． 17. 在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平． 理由如下： 树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种， 其中两球上的数字之和为5的结果数有4种， ∴，， ∵ ， ∴ 该游戏规则对甲乙双方不公平． 【解析】 【详解】略 18. 如图，在中，，D为的中点．，． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）若，请你求出的度数． 【答案】（1）解：四边形为菱形，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中点， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平行可以证明四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可求得，进而得出四边形为菱形； （2）由直角三角形的性质可求得，，根据三角形的外角性质求得，再利用菱形的性质可求得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． 19. 如图，在正方形中，点F为对角线上一点，连接． （1）求证：． （2）在对角线上取一点Q，使得，连接，则四边形的形状是_________，若，，则四边形的面积为_________． 【答案】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴． （2）菱形， 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，再利用即可证明结论； （2）利用正方形的性质结合可得与相互垂直平分，利用对角线相互垂直平分的四边形是菱形；利用正方形的性质结合已知条件可得、，最后根据菱形的性质求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：与相交于点O， ∵正方形， ∴， ∵， ∴，即， ∴与相互垂直平分， ∴四边形的形状是菱形； ∵正方形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积为． 20. 某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料，根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格（元/瓶） 0 2 3 4 （1）这个班级有多少名同学？ （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如上表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？ （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率． 【答案】（1）这个班级有50名同学 （2）该班同学每天用于饮品的人均花费为2.2元 （3）根据题意画树状图如下： 根据树状图得：共20种结果，其中恰好抽到2名班长的有2种， 则：恰好抽到2名班长的概率为：， ∴恰好抽到2名班长的概率为． 【解析】 【分析】（1）用该班学生选择B．瓶装矿泉水的人数除以所占百分数即可得该班学生数． （2）先根据条形统计图求出该班学生选择C．碳酸饮料的人数，再根据表格数据求出该班同学每天用于饮品的总费用，最后用总费用除以该班学生数即可得该班同学每天用于饮品的人均花费． （3）根据题意画出树状图，根据树状图得：共20种结果，其中恰好抽到2名班长的有2种，代入概率公式求解即可得恰好抽到2名班长的概率． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图、条形统计图得：该班学生选择B．瓶装矿泉水所占百分数为，人数为15人， ∴该班的总人数为：（人）， ∴这个班级有50名同学． 【小问2详解】 解：根据题意得： 该班学生选择C．碳酸饮料的人数为：（人）， ∴该班同学每天用于饮品的人均花费为：（元）， ∴该班同学每天用于饮品的人均花费为2.2元． 【小问3详解】 略 21. 已知：如图，在中，，是的一条角平分线，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，交于点F，线段与有怎样的关系？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵在中，，平分， ∴，即， ∵， ∴． ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：，，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，即点F为中点， ∵在中，，平分， ∴，即点D为中点， ∴是的中位线， ∴，． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义结合平角的定义可得，利用等腰三角形三线合一可得，再结合垂直的定义可得，即可证明结论； （2）由四边形为矩形可得，利用等腰三角形三线合一可得，易得是的中位线，最后根据三角形中位线的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，理由略． 22. 已知关于的方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若是该方程的一个根，求代数式的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）根据题意求出的值，再代入要求的代数式求值即可． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， 且， 整理得：且， 且． 【小问2详解】 解：是该方程的一个根， ， ， 把代入得： ． 23. 如图1，点C是线段上一动点，分别以线段、为边，在线段的同侧作正方形和等腰直角三角形，，连接、． （1）猜想线段与线段的数量关系和位置关系（不用证明）． （2）当点C在线段上方时，其它条件不变，如图2，（1）中的结论是否成立？说明你的理由． （3）在图1的条件下，探究：当点C在线段上运动到什么位置时，直线垂直平分线段？ 【答案】（1）， （2）成立，理由如下： 如图， 四边形为正方形， ，． 等腰直角三角形中，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ． （3）当时，直线垂直平分线段． 【解析】 【分析】（1）利用即可得出，进而可得出； （2）首先得出，再利用全等三角形的性质得出，以及，进而得出答案； （3）根据直线垂直平分线段时，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点M， 四边形为正方形， ，． 等腰直角三角形中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：连接， 四边形为正方形， ，． ， 垂直平分线段， ， ． 故当时，直线垂直平分线段． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $