精品解析：河南周口市第四初级中学2026-2027学年上学期第一次学科测评九年级数学试卷

周口四中2026年上学期第一次学科测评九年级 数学试卷 一．选择题（共10小题，30分） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的一元二次方程的根，则的值为（ ） A. B. C. 2026 D. 2025 3. 用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 4. 抛物线，，的共同性质是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. 函数值y随x的增大而增大 5. 已知一元二次方程（）的系数满足，则方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6. 如图是二次函数的图象，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 7. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线经过A(−1,)和B(3,)两点,那么下列关系式一定正确的是（ ） A. 0<< B. <<0 C. <<0 D. <0< 9. 如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（ ） A. 2.67 B. 2.56 C. 2.39 D. 2.26 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤若是抛物线上的两点，则，其中正确个数是（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（共5小题，15分） 11. 已知方程（x+1）（x+a）＝0有一个根是x＝3，则a＝_____． 12. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 13. 某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率为___________． 14. 若一元二次方程的两根为，，则二次函数的图象的对称轴是______． 15. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，若关于x的方程（是常数）是“伴根方程”，的值为______． 三．解答题（共8题，75分） 16. 解方程： （1）（配方法） （2）． 17. 已知抛物线． （1）在平面直角坐标系中画出这条抛物线． （2）直接写出这条抛物线的对称轴，顶点坐标． （3）直接写出当x取什么值时，？ 18. 关于 x 的方程 有两个实数根 ． （1）求 k 的取值范围； （2）若，求k的值． 19. 已知二次函数． （1）化成顶点式； （2）二次函数的值可以取到吗？说明理由； （3）求出抛物线与轴、轴交点坐标． 20. 用一根长为的细绳，能否围成一个面积为的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 21. 已知抛物线与交于A、B两点（A在B点左侧）． （1）请求出时x的取值范围； （2）求抛物线顶点C的坐标，并求△ABC面积． 22. 某学校劳动研学实践基地现有苹果树100棵，研学小组计划增种一批苹果树，以此探究果树种植数量与产量之间的关系．经查阅基地监测数据：若增种苹果树，果树之间的间距变小，光照、养分被分摊，单棵苹果树产量会随之下降．已知单棵苹果树的产量（千克）与增种苹果树的数量（棵）满足函数关系： （1）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，研学基地可以收获果实8250千克？ （2）当增种果树多少棵时，基地的总产量（千克）最大？最大产量是多少？ 23. 定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大4，则称点Q是点P的“星光搭档点”．例如抛物线上，点是点的“星光搭档点”． （1）点和点B在抛物线上，点B是点A的“星光搭档点”，且点B的纵坐标为20，求b、c的值． （2）点M，N在（1）中的抛物线上，且点N是点M的“星光搭档点”． ①若点M，N的纵坐标相等，求点M、N的横坐标． ②抛物线上M，N两点之间的部分（含M，N两点）记为图象W，设点M的横坐标为m，当时，若图象W上的最高点和最低点到x轴距离之差为6，请直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周口四中2026年上学期第一次学科测评九年级 数学试卷 一．选择题（共10小题，30分） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴． 2. 若是关于的一元二次方程的根，则的值为（ ） A. B. C. 2026 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程，通过计算即可求出的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的根， ∴把代入方程得：， 即， ∴， 故选：C． 3. 用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，即通过移项、配方将方程化为完全平方式． 【详解】解：对进行配方， 移项得， 配方：， 即，故． 故选：C． 4. 抛物线，，的共同性质是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. 函数值y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像性质，分别分析开口方向、对称轴、顶点、增减性，筛选出三个抛物线都具备的性质． 【详解】解：与的二次项系数为正，开口向上，有最低点；的二次项系数为负，开口向下，有最高点； 三个抛物线解析式均不含一次项，即，对称轴均为轴，增减性要分对称轴左右两侧讨论． 三个抛物线开口方向不都向上， 选项A不符合题意． 三个抛物线对称轴均为轴， 选项B符合题意． 不是所有抛物线都有最高点， 选项C不符合题意． 不存在随增大而一直增大的情况， 选项D不符合题意． 5. 已知一元二次方程（）的系数满足，则方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式，结合已知条件变形求出的值，判断根的情况． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， ∴一元二次方程（）的根的判别式为． ∴ 方程有两个相等的实数根． 6. 如图是二次函数的图象，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记抛物线图象与性质是解决问题的关键． 由抛物线与轴交点位置、对称轴位置得到，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 抛物线交于轴正半轴上， ， 满足条件的是AD； 抛物线的对称轴， ， 满足条件的是D； 故选：D． 7. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，则每个队参加场比赛，共有场比赛，可列出一个一元二次方程，再进行求解即可得出答案.； 【详解】解：∵设比赛组织者应邀请个队参赛，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴． 8. 已知抛物线经过A(−1,)和B(3,)两点,那么下列关系式一定正确的是（ ） A. 0<< B. <<0 C. <<0 D. <0< 【答案】C 【解析】 【分析】求出、的值即可判断. 【详解】当x=-1时，=-2-1=-3， 当x=3时，=-2×9+3=-15， ∴<<0， 故选C. 【点睛】本题主要考查二次函数图像上点的坐标特征. 9. 如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（ ） A. 2.67 B. 2.56 C. 2.39 D. 2.26 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤若是抛物线上的两点，则，其中正确个数是（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，图象上坐标的特征等知识，根据该二次函数图象的对称轴、开口方向、与轴的交点情况以及顶点坐标和图象上的坐标特征，分别判断每个小题的正误即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ， 当时，， ， ∵对称轴为直线， ， ，故①符合题意； ②∵对称轴为直线， ∴， ，故②不符合题意； ③根据图象可知，当时，，故③符合题意； ④有两个不同的实数根， ，故④不符合题意； ⑤距对称轴的距离为， 距对称轴的距离为， 与相比，距对称轴的距离更近， ，故⑤符合题意， 综上，符合题意的有个， 故选：B． 二．填空题（共5小题，15分） 11. 已知方程（x+1）（x+a）＝0有一个根是x＝3，则a＝_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝3代入方程，得到关于a的一次方程，然后解此方程即可． 【详解】解：∵方程（x+1）（x+a）＝0有一个根是x＝3， ∴4（3+a）＝0， 解之：a＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 12. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 13. 某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】列一元二次方程解决实际问题． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得： ， 解得，（舍去）． 14. 若一元二次方程的两根为，，则二次函数的图象的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，根据题意可得二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为，进而根据对称性求得对称轴，即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为 ∴二次函数的图象的对称轴是直线． 故答案为：直线． 15. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，若关于x的方程（是常数）是“伴根方程”，的值为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】先因式分解求出方程的两个根，再根据“伴根方程”的定义列出绝对值方程，求解得到的值； 【详解】解：对因式分解得， ∴，， ∵该方程是“伴根方程”，满足， ∴， 整理得， ∴或， 解得或． 三．解答题（共8题，75分） 16. 解方程： （1）（配方法） （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）把常数项移到等号的右边，把等号左边凑成完全平方式，可得：，再两边同时开方即可求出方程的解； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 方程两边同时加上可得：， 配方可得：， 两边同时开平方得：， 解得：， 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 分解因式得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，． 17. 已知抛物线． （1）在平面直角坐标系中画出这条抛物线． （2）直接写出这条抛物线的对称轴，顶点坐标． （3）直接写出当x取什么值时，？ 【答案】（1）解：抛物线的图像如下： （2）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据描点法作出抛物线即可． （2）观察抛物线的图像即可得此抛物线的对称轴、顶点坐标． （3）观察抛物线的图像即可得当时，的取值范围． 【小问1详解】 解：列表如下： … 0 1 2 3 … … 6 1 1 … 画出抛物线见解析； 【小问2详解】 解：根据图像得：抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问3详解】 解：根据图像得：当时，或． 18. 关于 x 的方程 有两个实数根 ． （1）求 k 的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及由一元二次方程根的情况求参数范围、解不等式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解决问题的关键． （1）根据根的判别式得出，求解即可． （2）根据根与系数关系得出，代入，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 解得：． 【小问2详解】 解：由题意可知，． 因为， 所以， 整理得， 解得：． ， ． 19. 已知二次函数． （1）化成顶点式； （2）二次函数的值可以取到吗？说明理由； （3）求出抛物线与轴、轴交点坐标． 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： 由（1）可知，二次函数的顶点式为， 二次项系数为， 抛物线开口向上，函数有最小值， 当时，取最小值为， ， 二次函数的值不可以取到． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、函数值的取值范围以及抛物线与坐标轴交点坐标的求解，准确计算是解题的关键． （1）将二次函数化为顶点式，需要通过配方法，将二次函数一般式化为顶点式； （2）先求出二次函数的最小值，再与比较，即可得解； （3）分别令和，求解方程即可． 【小问1详解】 ， 二次函数的顶点式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为和． 令，则， 抛物线与轴的交点坐标为． 20. 用一根长为的细绳，能否围成一个面积为的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 【答案】 能围成面积为的矩形区域，这样的矩形唯一 【解析】 【分析】利用题意，得到矩形的两条邻边的长度之和为，设未知数列面积方程，通过解方程判断存在性，结合矩形全等判断唯一性． 【详解】解：设矩形的一边长为，  ∵矩形的周长为， ∴矩形的另一条边长为，  根据题意，得， 整理，得，解得，， ∵矩形边长均为正数， ∴， ∴，均符合题意； 当时，邻边长为； 当时，邻边长为，两种情况对应的矩形全等，故满足条件的矩形唯一； 答：能围成面积为的矩形区域，且这样的矩形唯一． 21. 已知抛物线与交于A、B两点（A在B点左侧）． （1）请求出时x的取值范围； （2）求抛物线顶点C的坐标，并求△ABC面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，利用二次函数图像解一元二次不等式及二次函数上点围成图形面积，解题关键是联立函数解一元二次方程． （1）联立一次函数二次函数解方程，求出A、B坐标，根据函数图像及A、B两点坐标，选择直线下方部分的自变量的范围，即可得到答案； （2）连接，，根据二次函数的性质求出顶点C的坐标，过点C作轴交于点D，根据，即可得到答案． 【小问1详解】 解：联立方程组， 解得或， ∴，， 由函数图像可得， B点左侧与A点右侧二次函数图像在一次函数下方，即：， ∴当时，； 【小问2详解】 解： ， ∴顶点C坐标为， 过点C作轴交于点D， 则点D的横坐标为4， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 22. 某学校劳动研学实践基地现有苹果树100棵，研学小组计划增种一批苹果树，以此探究果树种植数量与产量之间的关系．经查阅基地监测数据：若增种苹果树，果树之间的间距变小，光照、养分被分摊，单棵苹果树产量会随之下降．已知单棵苹果树的产量（千克）与增种苹果树的数量（棵）满足函数关系： （1）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，研学基地可以收获果实8250千克？ （2）当增种果树多少棵时，基地的总产量（千克）最大？最大产量是多少？ 【答案】（1）增种果树棵时，研学基地可以收获果实8250千克； （2）增种果树棵时总产量最大，最大产量为千克． 【解析】 【分析】（1）根据增种后的果树棵数和单棵产量列一元二次方程求解即可； （2）先根据题意得出关于的二次函数，再根据二次函数性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 整理得，， 解得：，， 在投入成本最低的情况下， ， 答：增种果树棵时，研学基地可以收获果实8250千克； 【小问2详解】 解：由题意可得，， ，， 当时，有最大值为， 答：增种果树棵时总产量最大，最大产量为千克． 23. 定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大4，则称点Q是点P的“星光搭档点”．例如抛物线上，点是点的“星光搭档点”． （1）点和点B在抛物线上，点B是点A的“星光搭档点”，且点B的纵坐标为20，求b、c的值． （2）点M，N在（1）中的抛物线上，且点N是点M的“星光搭档点”． ①若点M，N的纵坐标相等，求点M、N的横坐标． ②抛物线上M，N两点之间的部分（含M，N两点）记为图象W，设点M的横坐标为m，当时，若图象W上的最高点和最低点到x轴距离之差为6，请直接写出m的值． 【答案】（1） ，. （2） ①点的横坐标为，点的横坐标为. ②. 【解析】 【分析】（1）根据“星光搭档点”定义确定点坐标，代入抛物线解析式求解、． （2）①设点M横坐标为m，则点N的横坐标为，分别代入（1）中求得的抛物线解析式表示出两点纵坐标，因为纵坐标相等，所以列方程求解m的值．②配方得写出抛物线的顶点坐标，对称轴直线方程，开口方向．求出点M、N的坐标，求出点N的纵坐标为0时与为5时的m的值，根据，当时，当时，当时，当时，分四种情况讨论图象W的最高点、最低点的位置，分别表示出最高点、最低点到x轴的距离，根据两者之差为6列方程求解． 【小问1详解】 ∵点是点的“星光搭档点”，点的横坐标为， ∴点的横坐标为． ∵点的纵坐标为， ∴． 将、代入， 得 解得． 【小问2详解】 由（1）得抛物线解析式为． 设点的横坐标为， ∵点是点的“星光搭档点”， ∴点的横坐标为． ①∵点、的纵坐标相等， ∴， 整理得， 解得， ∴， 即点的横坐标为，点的横坐标为． ②抛物线的顶点为，对称轴为直线，开口向上． 点M横坐标为m，， ∴点N横坐标，则． 当N点在x轴上时，， 解得或（舍去）， ∴当时，点M、N都在x轴下方， ∵， ∴N点比点M离对称轴远， ∴点N比点M的位置高， 此种情况W上最高点为N，最低点为顶点， 顶点到x轴距离为，点N到x轴距离为，，不合题意； 若， 则或（舍去）， ∴当时， 点N在x轴上方，点M在x轴下方，此种情况W上最高点为点N，最低点为顶点，， ∴，不合题意； 当时， 点N在x轴上方，点M在x轴下方，此种情况W上最高点为点N，最低点为顶点，， 若， 则， ∴， 解得或（舍去）； 当时， W上最高点为点N最低点为点M，， 若， 则， 化简得， 解得或（均不合题意）． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $