精品解析：福建泉州市东海中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年10月份初三年数学学科校本阶段练习 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单选题 1. 下列一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，即，不是一元二次方程，不符合题意； B、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程是解题的关键． 2. 方程化为一元二次方程的一般形式是，则m，n的值分别是（ ） A. 12， B. 1， C. ，25 D. 0，25 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程化为一般形式，熟练掌握知识点是解题的关键． 把方程化为一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程化为一元二次方程的一般形式是， ∴． 故选：A 3. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式，故此选项不符合题意； B．∵的根指数是3，∴不是二次根式，故此选项不符合题意； C．∵，∴是二次根式，故此选项符合题意； D．当时，是二次根式，原选项没有说明的取值范围，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，包括加减、乘除法则．加减法要求同类二次根式才能合并；乘除法可直接依据和进行计算． 【详解】解： A： 与不是同类二次根式，不能相减，错误，不符合题意； B：，正确，符合题意； C：，错误，不符合题意； D：，错误，不符合题意． 故选：B． 5. 股票每天的涨幅、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．现有一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．设这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与增长率的计算，股票某天跌停后价格为原价的，之后两天以平均增长率x连续上涨，最终恢复原价，根据复利增长模型，建立方程即可求解． 【详解】解：设原价为1，跌停后价格为， 接下来两天每天增长率为，则两天后的价格为， ∴两天后价格恢复原价1， ∴方程为：， 故选：A． 6. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m＜3 B. m＞3 C. m≤3 D. m≥3 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根可得△=（-2）2-4m＞0，求出m的取值范围即可． 详解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根， ∴△=（-2）2-4m＞0， ∴m＜3， 故选A． 点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 7. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式各项利用二次根式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：∵ 在实数范围内，平方根的被开方数必须大于等于0. A、，成立，符合题意； B、，但右边无意义，不成立，不符合题意； C、和无意义，不成立，不符合题意； D、，不成立，不符合题意； 故选：A. 8. 若，则 A. -2 B. 6 C. 6或-2 D. -6或2 【答案】B 【解析】 【分析】设a2+b2=x，把原式化简成关于x的方程，解方程并检验即可得答案． 【详解】解：设a2+b2=x，则原式化简成x(x-4)=12, 解方程得：x1=6，x2=-2 ∵a2+b20， ∴x2=-2舍去， 故选B 【点睛】本题考查一元二次方程的解法及平方和的含义，熟练掌握平方和的含义是解题关键． 9. 已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键．根据数轴上表示的点的值和根的判别式，判定根的情况有两个不相等的实数根即可． 【详解】解：由数轴看出，， ∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 10. 若式子有意义，则点的坐标在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件与平面直角坐标系中象限的符号特征，掌握二次根式有意义的条件及各象限内点的坐标符号特征是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，确定的取值范围，再判断点的坐标符号，从而确定所在象限． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，即， ∴， ∴点中，，且，故， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点在第二象限． 故选：B． 二、填空题 11. 计算：____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的除法法则运算即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 12. 成立的条件是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式需满足被开方数大于等于零，然后根据题意二次根式的性质列不等式求解即可． 【详解】解：因为，所以， 解得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式的概念及性质、一元一次不等式组的解法，关键是根据二次根式的概念列出不等式组即可． 13. 若一元二次方程有一根为x=﹣1，则a+b=_____． 【答案】2017 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=-1代入程中即可得到a+b的值． 【详解】把x=﹣1代入得 a+b﹣2017=0， ∴a+b=2017， 故答案为：2017 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了整体代入的方法． 14. 定义，则方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法-公式法以及新定义运算，正确运用新定义化简方程是解题的关键． 利用题中的新定义化简所求方程，然后再运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：， ∵， ∴，整理得：， 这里， ∵， ∴，即． 故答案为：． 15. 已知a，b是方程的两个根，则的值_____． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数关系知，，即知a＜0，b＜0，化简原式，所以原式 故答案为：﹣14． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴，， ∴a＜0，b＜0， ∴ ∴原式 故答案为：﹣14． 【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键． 16. 如图，在△ABC中，AC＝50cm，BC＝40cm，∠C＝90°，点P从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度匀速移动，同时另一点Q从点C出发沿CB边向点B以3cm/s的速度匀速移动，当△PCQ的面积等于300cm2时，运动时间为__． 【答案】5s 【解析】 【分析】设x秒后，△PCQ的面积等于300m2，根据路程＝速度×时间，可用时间x表示出CP和CQ的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去，即可得出时间的值． 【详解】解：设x秒后，△PCQ的面积等于300m2，有： （50﹣2x）×3x＝300， ∴x2﹣25x＋100＝0， ∴x1＝20，x2＝5． 当x＝20时，CQ＝3x＝3×20＝60＞BC＝40， 即x＝20s不合题意，舍去． 答：5秒后，△PCQ的面积等于300cm2． 故答案是：5s． 【知识点】此题主要考查一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键． 三、解答题 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先找出同类二次根式，再合并即可； （2）先用完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，然后再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18. 解下列方程： （1）（用配方法）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了配方法解一元二次方程． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 所以，． 19. 已知的三条边长，， ，在下面的方格图内画出，使它的顶点都在格点上(每个小方格的边长均为1)． （1）求的面积． （2）求点A到边的距离． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； 面积为3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用网格求三角形面积，求三角形的高，二次根式的除法计算等等： （1）先根据题意画出对应的图形，然后利用网格求出三角形面积即可； （2）设点A到边的距离为h，利用三角形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 ∴； 【小问2详解】 解：设点A到边的距离为h， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴点A到边的距离为． 20. 已知关于x的一元二次方程mx2−(m+1)x+1=0. (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值. 【答案】(1)见解析；（2）m的值为1或−1. 【解析】 【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结论； （2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m的值． 【详解】(1)证明：△=[−(m+1)]2−4m=(m−1)2. ∵(m−1)2⩾0， ∴△⩾0. ∴该方程总有两个实数根； (2)x=. ∴x1=1,x2=. 当m为整数1或−1时,x2为整数，即该方程的两个实数根都是整数， ∴m的值为1或−1. 【点睛】本题考查根的判别式和解一元二次方程-公式法，解题的关键是掌握根的判别式和解一元二次方程-公式法. 21. 已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）如果x1，x2满足不等式4+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据判别式的意义得到＝（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝，再变形已知条件得到4+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2，于是有4+6×＞1，解得m＞﹣2，所以m的取值范围为﹣2＜m≤﹣，然后找出此范围内的整数即可． 【详解】解：（1）根据题意得＝（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0， 解得m≤﹣． 故实数m的取值范围是m≤﹣； （2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝， ∵4+4x1x2＞x12+x22， ∴4+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2， 即4+6x1x2＞（x1+x2）2， ∴4+6×＞1， 解得m＞﹣2， ∴﹣2＜m≤﹣， ∴整数m的值为﹣1． 【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系和根与系数的关系是解决此题的关键． 22. 为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． （1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过的用水量为　　　吨，超过部分应交水费　　　元（用含x的式子表示）． （2）如表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该x吨是多少？ 【答案】（1）， （2）60吨 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． （1）根据题意列式即可； （2）根据表格提供的数据，可以知道，根据9月份用水情况列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）依题意得：超过的用水量为吨， ∴超过部分应交水费元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据表格提供的数据，可以知道， 由题意得， 解得， ， ， 答：该x吨是60吨． 23. 如图是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和的边长，显然 ，我们把关于的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”.请解决下列问题： （1）方程是不是“弦系一元二次方程”： （填“是”或“否”）； （2）写出一个“弦系一元二次方程” ； （3）在（2）的条件下，判断此方程根的情况. 【答案】（1）是； （2）； （3）此方程有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】（1）根据弦系一元二次方程的定义解答即可； （2）根据弦系一元二次方程的定义解答即可； （3）根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【小问1详解】 是． 根据题意可知，，，则， 所以是弦系一元二次方程． 故答案为：是； 【小问2详解】 ． 令，，则，可知一次项系数为， 所以方程为． 故答案为：； 【小问3详解】 ， 可知，，， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题主要考查了新定义的理解，一元二次方程根的判别式，理解系数之间的关系是解题的关键． 24. 现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． （1）若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； （2）若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 【答案】（1） （2）①拼图如下： ② 【解析】 【分析】（1）由面积相等列出方程，求解出的值即可； （2）①将3张A和2张C拼成一列，3张C和2张B拼成一列即可； ②由面积相等列出方程，求解出的值，再求出长方形的长即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，则， ∵， ∴，则； 【小问2详解】 ①略 ②由题意可知：， 整理，得， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， ∴大长方形的长为：． 25. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数， 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： （1）若，，则 ， ， ； （2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N 没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表 ． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：__________（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 【答案】（1），， （2） ①用阴影标出一个面积为的图形如下所示： 用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． （1）将，分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得； ②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：当，时， ， ， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：①， ， ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月份初三年数学学科校本阶段练习 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单选题 1. 下列一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程化为一元二次方程的一般形式是，则m，n的值分别是（ ） A. 12， B. 1， C. ，25 D. 0，25 3. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 股票每天的涨幅、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．现有一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．设这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m＜3 B. m＞3 C. m≤3 D. m≥3 7. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则 A. -2 B. 6 C. 6或-2 D. -6或2 9. 已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 10. 若式子有意义，则点的坐标在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题 11. 计算：____________. 12. 成立的条件是_____________． 13. 若一元二次方程有一根为x=﹣1，则a+b=_____． 14. 定义，则方程的解为______． 15. 已知a，b是方程的两个根，则的值_____． 16. 如图，在△ABC中，AC＝50cm，BC＝40cm，∠C＝90°，点P从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度匀速移动，同时另一点Q从点C出发沿CB边向点B以3cm/s的速度匀速移动，当△PCQ的面积等于300cm2时，运动时间为__． 三、解答题 17. 计算： （1）． （2）． 18. 解下列方程： （1）（用配方法）； （2）． 19. 已知的三条边长，， ，在下面的方格图内画出，使它的顶点都在格点上(每个小方格的边长均为1)． （1）求的面积． （2）求点A到边的距离． 20. 已知关于x的一元二次方程mx2−(m+1)x+1=0. (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值. 21. 已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）如果x1，x2满足不等式4+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值． 22. 为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． （1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过的用水量为　　　吨，超过部分应交水费　　　元（用含x的式子表示）． （2）如表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该x吨是多少？ 23. 如图是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和的边长，显然 ，我们把关于的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”.请解决下列问题： （1）方程是不是“弦系一元二次方程”： （填“是”或“否”）； （2）写出一个“弦系一元二次方程” ； （3）在（2）的条件下，判断此方程根的情况. 24. 现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． （1）若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； （2）若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 25. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数， 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： （1）若，，则 ， ， ； （2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N 没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表 ． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：__________（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $