精品解析：广东省湛江市雷州市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

雷州一中2026—2027学年第一学期高一年级第一次月考数学试题 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章，第二章. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列关系中正确的是（   ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知a是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，则不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，，则（ ） A. 当时， B. 当时，有4个元素 C. 当时， D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，并且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则ab的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 若，则的最小值为9 D. 若，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则________ 13. 对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 14. 已知，，且，则的最小值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）求； （2）若集合，满足，求实数的取值范围. 16. 已知集合. （1）若，求和； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 17. 设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，使不等式成立，求实数的取值范围. 18. 设一个矩形长为，宽为． （1）当点位于直线上时，求该矩形面积的最大值． （2）当点位于曲线上时，求该矩形周长的最小值． （3）当该矩形的面积比周长多5时，求该矩形面积的取值范围． 19. 问题：已知，，均为正实数，且，求证： 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知，，均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，，，均为正实数，且，求证：； （3）求的最大值，并求出使得取得最大值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雷州一中2026—2027学年第一学期高一年级第一次月考数学试题 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章，第二章. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知集合，， 故. 2. 下列关系中正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查存在量词命题的否定. 【详解】”的否定为. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 5. 已知a是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得或， 当时，成立，即充分性成立； 反之：当时，不一定成立，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 6. 若，则不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 7. 若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对二次项系数分情况讨论，结合一元二次不等式恒成立问题列不等式组求解即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 故实数a的取值范围为. 8. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，，则（ ） A. 当时， B. 当时，有4个元素 C. 当时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据交集和并集运算判断AB，举反例判断C，结合元素的互异性和子集关系，分类讨论判断不成立，即可判断D. 【详解】A选项：当时，，，所以，正确； B选项：当时，或即， 当时，，，，有4个元素； 当时，，，，有4个元素；正确； C选项：由A选项可知当时，，， ，符合，但是不满足，错误； D选项：当时，，则，， 根据集合中元素满足互异性，得到，所以， 当时，，，不满足； 当即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 综上，不存在，使得，所以，正确； 故选：ABD 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】AD选项，可举出反例；B选项，作差法比较出大小；C选项，利用不等式的性质得到C正确. 【详解】A选项，若，则，A错误； B选项，若，则，故， 所以，B正确； C选项，若，则，故，C正确； D选项，不妨设，满足，但，D错误. 故选：BC 11. 已知，并且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则ab的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 若，则的最小值为9 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式 求解判断AB；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用二次函数求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，， ，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，当时，，而，则， 于是，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 13. 对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【解析】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 14. 已知，，且，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过条件中的等式消元，再使用基本不等式求解. 【详解】由，得，则， 由，，得， ， 当且仅当即时等号成立，此时， 所以的最小值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）求； （2）若集合，满足，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集、并集运算求解即可. （2）根据集合的交集运算求解即可. 【小问1详解】 由，， 则，. 【小问2详解】 因为，，， 所以，故的取值范围为. 16. 已知集合. （1）若，求和； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合B的取值范围； （2）根据题意得到集合B是集合A的真子集，分类和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 因为，所以或，. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合B是集合A的真子集，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 17. 设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求得正确答案. （2）由分离参数，结合基本不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 ，，. ，. 不等式的解集为； 【小问2详解】 由题意，，使不等式成立 即时，能成立. 所以大于的最小值 由基本不等式得 当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 18. 设一个矩形长为，宽为． （1）当点位于直线上时，求该矩形面积的最大值． （2）当点位于曲线上时，求该矩形周长的最小值． （3）当该矩形的面积比周长多5时，求该矩形面积的取值范围． 【答案】（1）4 （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）表达出矩形面积，配方后求出最大值； （2）表达出矩形周长，变形后，利用基本不等式求出最小值； （3）由题意得到，由基本不等式得到，求出答案. 【小问1详解】 该矩形面积为，， 故当时，取得最大值，最大值为4； 【小问2详解】 该矩形周长， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故该矩形周长的最小值为9； 【小问3详解】 由题意得，即， 因为，由基本不等式得，故， 即，解得或（舍去）， 故， 该矩形面积的取值范围为. 19. 问题：已知，，均为正实数，且，求证： 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知，，均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，，，均为正实数，且，求证：； （3）求的最大值，并求出使得取得最大值时的值. 【答案】（1）9 （2）证明： 因为、、、均为正实数，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即证. （3）T的最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）将与相乘，展开后利用基本不等式可求解； （2）将与相乘，展开后利用基本不等式可求解； （3）分析可得，分别令，，结合（2）中结论可得，再结合基本不等式可得及取等条件得，即可求解. 【小问1详解】 由、、均为正实数，且， 所以 ， 当且仅当，，，即当时等号成立， 所以的最小值为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为， 则，解得， 令，，则，即， 由(2)可知，，，所以， 当且仅当时等号成立，即， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $