广东省湛江市雷州市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

1 2024-2025 学年度第一学期高一级第一次月考数学 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合 A={0，1，2}，B={1，2，3}，则 A∩B=( ) A. {0，1，2，3} B. {3} C. {1，2} D.Ø 2.命题：∀x＜0，x+1 � ＜−2的否定是( ) A.∀x＜0，x+1 � ≥−2 B.∃x≥0，x+1 � ≥−2 C.∃x＜0，x+1 � ≥−2 D.∃x≥0，x+1 � <−2 3.若集合 M={a，b，c}中的元素是ΔABC的三边长，则ΔABC一定不是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.不等式 x2+5x-24＜0的解集是( ) A. {x|x＜-8或 x＞3} B. {x|x＜-3或 x＞8} C. {x|-3＜x＜8} D. {x|-8＜x＜3} 5.下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A.   32f x x  与   2g x x x  B.  f x x 与   2xg x x  C.   2 2 1f x x x   与   2 2 1g t t t   D.   1 1f x x x    与     1 1g x x x   2 6.一元二次方程（1-k）x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围（ ） A.k>0 B.k<2,且 k≠1 C.k<2 D.k>2且 k≠1 7.设 a>0，b>0，且 a+b=3，则2�+� �� 的最小值为( ) A. 2 2 B.2+ 2 3 C.1+2 2 3 D. 2+2 2 8.已知关于 x 的不等式 x2−4ax+3a2<0（a<0）的解集为（x1,x2），则（x1+x2） + � x1x2 的最大值是( ) A．－ 6 3 B. 2 3 3 C．4 3 3 D.− 4 3 3 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6分，部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分。 9.若-1＜x＜4是-3＜x＜a的充分不必要条件，则实数 a的值可能是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10.若 a，b，c∈R 且 a<b<0，则下列不等式一定正确的是( ) A.1 � < 1 b B.ab>b2 C.a � < � � D.a(c2+1)<b(c2+1) 11.下列命题中为真命题的是( ) A. “x＞4”是“x＜5”的既不充分又不必要条件 B. “三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C.“关于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ=b2-4ac≥0” D. 若集合 A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件 三、填空题:本题共 3小题，每题 5 分，共 15 分。 12.方程 � + � = 2 � − � = 5的解集用列举法表示为 13.二次函数 y=-x2+2 3x+1的图像与 x轴两交点之间的距离为 3 14.已知集合 A={x/ax2-3x+1=0,a∈R},若集合 A中至多只有一个元素，则 a的取 值范围 。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤。 15.（13分）已知全集 U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合 A={2，3，6}，集 合 B={1，2，3，5}．求： (1)求 A∪B；(2)求 A∩B；(3)求���UB．． 16.（15 分）已知关于 x方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个 实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m的值 17.（15 分）设集合 A={x|3x-2＞1}，B={x|2m≤x≤m+3}． (1)当m=-1 时，求 A∩B，A∪B． (2)若 B⊆A，求 m的取值范围 4 18.（17 分）设矩形 ABCD(AB>AD)的周长为 24cm，把△ABC 沿 AC 向△ADC 折 叠，AB 折过去后交 DC于点 P，设 AB=x cm,求△ADP 的最大面积及相应 x 值。 19.已知 x＞0，y＞0，xy=x+4y+a． (1)当 a=12 时，求 xy 的最小值； (2)当 a=0 时，满足 x+y+4 � +1 � ≥m2−3m恒成立，求 m的取值范围． 5 答案 1，C【详解】由集合 A= 0,1, 2 ，B= �, 2,3}，得 A∩B={1,2},选 C 2.C【评解】命题"∀x＜0，x+1 � ＜−2全称命题，该命题的否定：∃x≥0，x+1 � ≥−2，选 C 3.D【评解】由题可知，集合 M ={a,b,c}中的元素是△ABC 的三边长， 则 a≠b≠c，所以△ABC 一定不是等腰三角形·故选:D· 4. D【评解】因为 x2+5x-24=(x-3)(x+8)<0，所以-8<x<3,即不等式 x2+5x-24<0 的解集是{x/-8<x<3} 5.C 6.B【评解】:a=1-k，b=-2，c=-1，一元二次方程有两个不相等的实数根， :Δ=62-4ac=2 2 -4x(1-k)x(-1)>0 解得 k < 2. ∵(1-k)是二次项系数，不能为 0, ∴k≠1月 k<2· 故选 B· 7. C ��+� �� =� � +� � =� � � + � � � + � � = � + �� � + � � =1+�� �� + � �� ≥1+2 �� �� + � �� =1+2 � � 当 且仅当 �� �� = � �� ，a+b=3,即 a=3 �-3,b=6-� �时等号成立。故选 C 8. 因为 a<0，所以 3a<a，所以不等式的解集为(3a,a), 所以 x1=3a，x2=a,则 x1 + x2+ � ���� =4a+ 1 3� 因为 a<0，所以 -4a >0， - 1 3� >0 则 -(4a+ 1 3� )=(-4a)+(- 1 3� )≥2 ( − 4�)( − 1 3� )=4 3 3 时取等号当且仅当-4a =− 1 3� 即 a =− 3 6 所以 4a+ 1 3� ≤--4 3 3 故本题正确答案为 D 9. .BCD 因 为 “ -1<x<4 ” 是 “ -3<x<a ” 的 充 分 不 必 要 条 件 , 所 以 {x|-1<x<4}={x-3<x<a),所以 a>4,所以实数 a 的值可以是 4,5,6.故选 BCD. 6 10. BD【评解】对于 A，a=-2,b=-1，则1 � =-1 2 >-1 � =-1，故 A 错误:对于 B，由 a<b<0， 两边同时乘以 b，ab>b2，故 B正确.对于 C，若 c=0，则 a � =b � ，故 C 错误; 对于 D，因为 a<b<0，c2+1>0，则 a(c2+l)<b(c2 +1)，故 D 正确,故选:BD 11.AC【评解】A:x>4⇏ x<5且 x<5⇍ x>4. B:正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形 为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件. C:一元二次方程有实数根，则∆≥0，反之亦然. D:当集合 A=B 时，应为充要条件.. 故选 AC 12.答案为： 7 2 ，− 3 2 13.解析设二次函数 y=-x2+2 ��+1 的图象与 x 轴两交点的坐标分别为 (x1,0) ,(x2,0)，则κ,+x₂=2√3 ,x1 x2=-1, 所以 lx1-x2|= (�� + ��)� − �����= ��=4. 14解析当 a=0时，方程可化为-3x+1=0,解得 x=� � ,故成立;当 a≠0时，Δ=-9-4a≤0, 解得 a≥� � . 综上所述,a的取值范围是 a≥� � . 或 a=0. 答案 a≥� � . 或 a=0 15.解：因全集 U = {1,2,3,4,5,6,7}，集合 A ={2,3,6}集合 B ={1,2,3,5}， (1)由并集定义得:AUB={1,2,3,5,6}; (2)由交集定义得:AnB={2,3}; (3)由补集定义得:���={1,4,5,7,8} 所以���UB={1,2,3,4,5,7,8} 16.解：设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1+x2=-2(m-2)，x1x2=m2+4 因为 x12+x22-x1x2=21所以(x1+x2)2-3x1x2=21[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21 整理得 m2-16m-17=0 ∴(m+1)(m-17)=0 解得 m=-1或 m=17 当 m=-1时，方程为 x2-6x+5=0,△=(-6)2-4x5=16>0，满足题意;当 m=17时，方 7 程为 x2+30x+293=0,△=302-4x293=-272<0，不符合题意，舍去。 综上所得 m =-1。 17解：.当 m=-1时，B={x|2m≤x≤m+3}={x|-2≤x≤2}, 又因为 4={x|3x-2>0}，A={x|x>1}, 所以 AnB={x|1<x≤2},AUB={x|x≥-2) 【小问 2 详解】若 B⊆A,则分以下两种情形讨论: 情形一:当集合 B={x|2m≤x≤m+3}为空集时，有 2m>m+3, 解不等式得 m>3. 情形二:当集合 B={x|2m≤x≤m+3}不为空集时，由以上情形以可知，此时首 先有 m≤3，其次若要保证 B⊆A，在数轴上画出集合 A,B 如下图所示: 由图可知 2m>1，解得 m>1 2 ;结合 m≤3可知1 2 <m≤3. 综合以上两种情形可知:m 的取值范围为(1 2 ,+∞） 18. 8 19.【小问 1详解】 ∵x>0，y>0，∴当 a=12时，xy=x+4y+a=x+4y+12≥2 4xy+12， 当且仅当 x=4y时等号成立， 令 xy=t，得 t2-4t-12≥0，解得:t≤-2(舍去)或 t≥26， ·xy≥6，解得 xy≥36，当且仅当 x=12,y=3时等号成立的最小值是 36: 【小问 2 详解】当 a=0时，xy=x+4y+a=x+4y，可得 x+y+� � +1 � =x+y+x+4y �� =x+y+1 由 xy=x+4y得� � +1 � =1. 又∵ x>0 y>0∵ x+y+ � � + 1 � =(x+y)( � � + 1 � )+1= �� � + � � +6≥� � � �� � +6=10・当且仅当 4� � = � � �� = � + 4� 即 � = 6 � = 3.∴当 a=0时，求 x+y+ � � +1 � 的最小值是 10. 则有 m2-3m≤10，解得-2≤m≤5，即 m的取值范围为[-2,5].