5.1 直角三角形的性质定理 题型专练 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦直角三角形性质定理，通过“典例+分层举一反三”设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一性质直接应用|典例及举一反三1-2题，以选择填空为主，如直接计算锐角互余、中线长度| |提升层|性质综合推理|举一反三3-4题，融入网格图、旋转等图形变换，如结合角平分线证明直角三角形| |综合层|实际情境应用|题型5及举一反三5题，如航海距离、折断树高度计算，培养数学建模与应用意识|

湘教版（2024）八年级上册 5.1 直角三角形的性质定理 题型专练 【题型1】直角三角形中的两锐角互余 【典例】中，，，则（    ） A.66° B.36° C.56° D.46° 【举一反三1】在Rt△中，其中一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　　） A. B. C. D. 【举一反三2】在中，，，则（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图所示的网格是正方形网格，，，是网格线交点，则的度数为        ． 【举一反三4】如图，中，，将逆时针旋转后得到，求的度数．      【举一反三5】如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数．    【题型2】有两个角互余的三角形是直角三角形 【典例】根据下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A.∠B=50° ，∠C=40° B.∠B=∠C=45° C.∠A，∠B，∠C的度数比为5：3：2 D.∠A-∠B=90° 【举一反三1】下列对的判断，错误的是（   ） A.若，，则是等边三角形 B.若，则是直角三角形 C.若，，则是等腰三角形 D.若，，则 【举一反三2】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：∵（已知）， 又∵（          ）， ∴（等量代换）， ∵平分（已知）， ∴（             ）， ∵（已知）， ∴（            ）， ∴（等量代换）， ∴       （有两个角互余的三角形是直角三角形）， ∴（垂直的定义）. 【举一反三4】如图，是等腰直角三角形，，为上一点，延长至点使，连接，并延长交于点．求证：是直角三角形．    【举一反三5】如图，，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形，并证明． 【题型3】直角三角形斜边上的中线性质 【典例】如图，在中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（　　） A.26° B.38° C.42° D.52° 【举一反三1】如图，在中，是斜边上的中线，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】的斜边长为20，则其斜边上的中线长为        ． 【举一反三3】如图所示，在中，，是斜边上的中线，，分别为，的中点，若，则        . 【举一反三4】如图，在中，是斜边上的中线，．求，的度数． 【举一反三5】如图，在中，是边上的中线，且，于点E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【题型4】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图，在△中，，，，直线垂直平分，点为直线上的动点，则的最小值是（　　） A.1 B. C.2 D.3 【举一反三1】中，，，，则的长是（    ） A.2.5 B.10 C. D.5 【举一反三2】在△中，，平分，一个等边三角形如图摆放，交于点．若，，则等边三角形的边长为              ． 【举一反三3】已知：如图，在中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线分别与,交于点,； (2)若，求的长． 【题型5】30°角的直角三角形的性质的实际应用 【典例】如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．如果要使，，三点在同一直线上，那么开挖点离点的距离是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从高地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（　　） A.米 B.米 C.米 D.12米 【举一反三2】如图，一艘渔船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏东60°方向，距离16海里，10点到达B处，灯塔A在其正北方向，此时渔船与灯塔A相距        海里． 【举一反三3】如图，一条船上午8时从海岛A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处，分别从A，B处望灯塔，测得，．若这条船到达海岛处后，继续向正北方向航行，还要经过多长时间，船与灯塔之间的距离最短？    湘教版（2024）八年级上册 5.1 直角三角形的性质定理 题型专练（参考答案） 【题型1】直角三角形中的两锐角互余 【典例】中，，，则（    ） A.66° B.36° C.56° D.46° 【答案】B 【解析】利用直角三角形的两锐角互余列方程解题即可． 设，则，根据直角三角形的两锐角互余可得： ， 解得， ∴， 故选B． 【举一反三1】在Rt△中，其中一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． ∵在Rt△中，其中一个锐角是， ∴另一个锐角的度数是， 故选：C． 【举一反三2】在中，，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据直角三角形的两个锐角互余解答即可． 在中，，， ， ， ， ， 故选A． 【举一反三3】如图所示的网格是正方形网格，，，是网格线交点，则的度数为        ． 【答案】. 【解析】如图，根据等腰直角三角形的性质求得∠ACD=∠CAD=45°，再利用邻补角定义求解即可． 如图， ∵AD=CD，∠ADC=90°， ∴∠ACD=∠CAD=45°， ∴∠ACB=180°−45°=135°， 故答案为：135°． 【举一反三4】如图，中，，将逆时针旋转后得到，求的度数．      【答案】解：∵逆时针旋转后得到，C点落在边上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 【举一反三5】如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数．    【答案】解：∵是边上的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴. 【题型2】有两个角互余的三角形是直角三角形 【典例】根据下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A.∠B=50° ，∠C=40° B.∠B=∠C=45° C.∠A，∠B，∠C的度数比为5：3：2 D.∠A-∠B=90° 【答案】D 【解析】A．是直角三角形，因为∠B+∠C=90°,根据有两个锐角互余的三角形是直角三角形,可知是直角三角形； B．是直角三角形．因为∠B+∠C=90°，根据有两个锐角互余的三角形是直角三角形,可知是直角三角形； C．是直角三角形．因为∠A:∠B:∠C=5:3:2，∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A=90°，故是直角三角形; D．由∠A−∠B=90°可知∠A为钝角，故∠B，∠C均为锐角，没有角是直角， 故选D. 【举一反三1】下列对的判断，错误的是（   ） A.若，，则是等边三角形 B.若，则是直角三角形 C.若，，则是等腰三角形 D.若，，则 【答案】D 【解析】利用等边三角形的性质（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）即可判断A；三个角的度数之比为，利用三角形内角和为计算求解即可判断B；利用三角形内角和为求解未知角度数即可判断C；根据等腰三角形的性质（等边对等角）即可判断D． 选项A：∵，， ∴是等边三角形，故本选项正确，不符合题意． 选项B：∵，， ∴最大角的度数是． ∴是直角三角形，故本选项正确，不符合题意． 选项C：∵，， ∴． ∴． ∴是等腰三角形，故本选项正确，不符合题意． 选项D：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【举一反三2】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分别进行变形结合，进行逐一求解，即可判断． A.∵，∴，，∵，∴，解得：，，，∴不是直角三角形，故符合题意； B.∵，∴，∵，∴，解得：，∴是直角三角形，故不符合题意； C.∵，设，，，∵，∴，解得：，∴，∴是直角三角形，故不符合题意； D.∵，∴，，∵， ∴，解得：，，，∴是直角三角形，故不符合题意. 故选：A． 【举一反三3】把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：∵（已知）， 又∵（          ）， ∴（等量代换）， ∵平分（已知）， ∴（             ）， ∵（已知）， ∴（            ）， ∴（等量代换）， ∴       （有两个角互余的三角形是直角三角形）， ∴（垂直的定义）. 【答案】对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC 【解析】根据对顶角性质、角平分线性质和直角三角形定义可推出∠ADC． 证明：∵（已知）， 又∵（ 对顶角相等 ）， ∴（等量代换）， ∵平分（已知）， ∴（ 角平分线定义 ）， ∵（已知）， ∴（ 直角三角形两个锐角互余 ）， ∴（等量代换）， ∴ADC （有两个角互余的三角形是直角三角形）， ∴（垂直的定义）. 故答案为：对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC. 【举一反三4】如图，是等腰直角三角形，，为上一点，延长至点使，连接，并延长交于点．求证：是直角三角形．    【答案】证明：∵是等腰直角三角形，． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴是直角三角形． 【举一反三5】如图，，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形，并证明． 【答案】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴∠DAE+∠ADE=∠BAD+∠ADC=(∠BAD+∠ADC)=90°， ∴是直角三角形， ∴， ∵和交于点E， ∴∠DEC=∠AEB=∠AED=90°， ∴，，均为直角三角形． 【题型3】直角三角形斜边上的中线性质 【典例】如图，在中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（　　） A.26° B.38° C.42° D.52° 【答案】D 【解析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD＝AD，求出∠DCA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可． ∵∠ACB＝90，CD是斜边AB上的中线， ∴BD＝CD＝AD， ∴∠A＝∠DCA＝26， ∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26+26＝52． 故选：D． 【举一反三1】如图，在中，是斜边上的中线，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了对三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出和的度数是解此题的关键． ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【举一反三2】的斜边长为20，则其斜边上的中线长为        ． 【答案】10 【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得结论． ∵在中，斜边长为20， ∴斜边上的中线长为． 故答案为：10． 【举一反三3】如图所示，在中，，是斜边上的中线，，分别为，的中点，若，则        . 【答案】8 【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与三角形中位线定理即可得出答案． ∵，是斜边上的中线， ∴CM=AM=BM=， ∵，分别为，的中点， ∴EF为△BCM的中位线， ∴CM=2EF， ∵， ∴CM=2EF=4， ∴CM==4， ∴AB=8， 故答案为：8． 【举一反三4】如图，在中，是斜边上的中线，．求，的度数． 【答案】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴，， 又∵ ∴， ∴． 【举一反三5】如图，在中，是边上的中线，且，于点E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】解：（1）∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型4】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图，在△中，，，，直线垂直平分，点为直线上的动点，则的最小值是（　　） A.1 B. C.2 D.3 【答案】C 【解析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，含30度角的直角三角形以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是找到点P所在的位置．根据直线m垂直平分，得到点A与C关于直线m对称，设直线m与的交点为D，当点P与D重合时，的值最小，且最小值是的长度，根据直角三角形的性质得到结论． ∵直线m垂直平分， ∴点A与C关于直线m对称， 设直线m与的交点为D， 当点P与D重合时，的值最小，此时则的最小值是的长度， ∵在△中，，，， ∴， ∴的最小值是2， 故选：C． 【举一反三1】中，，，，则的长是（    ） A.2.5 B.10 C. D.5 【答案】B 【解析】根据题意，作出图形，由含的直角三角形性质即可得到答案． 如图所示： 在中，，，， ， 故选：B． 【举一反三2】在△中，，平分，一个等边三角形如图摆放，交于点．若，，则等边三角形的边长为              ． 【答案】5 【解析】本题考查了等腰三角形的性质、一元一次方程，等边三角形的性质、含角的直角三角形的特征. 设， ，平分，， ，， △是等边三角形， ，， ， ， ，， ， 解得：， ， 等边三角形的边长为5， 故答案为：5． 【举一反三3】已知：如图，在中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线分别与,交于点,； (2)若，求的长． 【答案】解：（1）如图，直线即为所求. （2）连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中，，， ∴． ∴． 【题型5】30°角的直角三角形的性质的实际应用 【典例】如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．如果要使，，三点在同一直线上，那么开挖点离点的距离是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了邻补角的定义，含角的直角三角形的性质，解题的关键是判断出是直角三角形．根据邻补角的定义求出，然后判断出是直角三角形，最后根据角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． ， ， ， 是直角三角形， 开挖点离点的距离：(m)， 故选：B． 【举一反三1】如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从高地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（　　） A.米 B.米 C.米 D.12米 【答案】D 【解析】根据含有角的直角三角形的性质计算即可． ∵， ∴， 这棵树在折断前的高度为（米）． 故选D． 【举一反三2】如图，一艘渔船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏东60°方向，距离16海里，10点到达B处，灯塔A在其正北方向，此时渔船与灯塔A相距        海里． 【答案】8 【解析】本题考查了含角直角三角形的性质，根据题意，直接应用此性质即可完成． 由题意知，，海里， 则(海里). 故答案为：8． 【举一反三3】如图，一条船上午8时从海岛A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处，分别从A，B处望灯塔，测得，．若这条船到达海岛处后，继续向正北方向航行，还要经过多长时间，船与灯塔之间的距离最短？    【答案】解：根据题意，得（海里）. ，， ， ， 海里， 如图，过点作于点，    根据垂线段最短，线段的长为船与灯塔之间的最短距离，. 又， ， 在中，， （海里）， （小时）， 答：还要经过1小时，船与灯塔之间的距离最短． 学科网（北京）股份有限公司 $