1.3 公式法 题型专练2026-2027学年湘教版数学八年级上册

湘教版（2024）八年级上册 1.3 公式法 题型专练 【题型1】运用平方差公式因式分解 【典例】已知可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（   ） A.61、63 B.61、65 C.61、67 D.63、65 【举一反三1】已知，则按此规律推算的结果一定能（    ） A.被12整除 B.被13整除 C.被14整除 D.被15整除 【举一反三2】若，则              . 【举一反三3】已知，则的值为           . 【举一反三4】先分解因式，再求值：，其中 【举一反三5】把下列各式因式分解： (1)； (2) 【题型2】运用完全平方公式因式分解 【典例】已知加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方,给出下面五个单项式①,②,③,④,⑤-1其中,正确的个数共有(    ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】下列各式能运用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A. B. C. D. 【举一反三2】下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】多项式能用完全平方公式分解因式，则      ． 【举一反三4】当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 【题型3】综合运用公式法因式分解 【典例】下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（    ） A.①③④⑤ B.②③④ C.②④⑤ D.②③④⑤ 【举一反三1】在有理数范围内，下列各多项式能用公式法进行因式分解的是（    ）． A.a2－6a B.a2－ab+b2 C.a2－ab+b2 D.a2－ab+b2 【举一反三2】因式分解的结果为（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】公式法分解因式：a2-b2=        ；a2±2ab+b2=         . 【举一反三4】分解因式： (1) (2) 【题型4】提公因式法与公式法的综合应用 【典例】多项式4x-x3分解因式的结果是(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】将多项式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】把多项式分解因式的结果是      . 【举一反三3】因式分解： （1）． （2）． 【题型5】十字相乘法因式分解 【典例】将分解因式，正确的结果是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2－4，乙与丙相乘为x2＋15x－34，则甲与丙相加的结果为(　　) A.2x＋19 B.2x－19 C.2x＋15 D.2x－15 【举一反三2】下列算式计算结果为的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】（________）（________）； （________）（________）； （________）（________）； （_______）（_______）； （______）（______）； （______）（______）． 【举一反三4】阅读理解：用“十字相乘法”因式分解： ． ． 例如：． 求： (1)； (2)． 【题型6】分组分解法因式分解 【典例】把分解因式的结果是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】若a、b为有理数，且a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0，则a＋3b＝（    ） A.8 B.4 C.－4 D.－8 【举一反三2】下列式子中，属于的因式的是（ ） A. B. C. D. 【举一反三3】分解因式：         ． 【举一反三4】因式分解：              ． 【举一反三5】观察下列因式分解的过程： ① （分成两组） （直接提取公因式） ； ② （分成两组） （直接运用公式） ． 请仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【题型7】因式分解在有理数简算中的应用 【典例】运用因式分解计算：的结果为（    ） A.314 B.264 C.256 D.300 【举一反三1】计算：101×1022﹣101×982=（ ） A.404 B.808 C.40400 D.80800 【举一反三2】计算：  ． 【举一反三3】利用因式分解计算: (1)29×20.16+72×20.16-20.16; (2); 【题型8】利用因式分解进行求值 【典例】已知ab＝4，b﹣a＝7，则a2b﹣ab2的值是（　　） A.11 B.28 C.﹣11 D.﹣28 【举一反三1】若a+b=1，则的值为（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 【举一反三2】若=           . 【举一反三3】已知x＝2，x+y＝3，则x2y+xy2＝     ． 【举一反三4】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)，．求的值． 【题型9】因式分解的实际应用 【典例】图1中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形），图2中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个长为a，宽为b的小长方形），，设，则k的取值范围为（    ）.    A. B. C. D. 【举一反三1】如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（    ）    A. B. C. D. 【举一反三2】小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（    ）      A. B. C. D. 【举一反三3】如图，将一张长方形纸板裁剪成十二块，其中有两块是边长都为m的大正方形，三块是边长都为n的小正方形，七块是长为m，宽为n的完全相同的小长方形．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为       ． 【举一反三4】如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且 (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【举一反三5】如图，把边长为a的一块正方形纸板的四角，各剪去一个边长为的小正方形． (1)求该纸板剩余部分（阴影部分）的面积；（用含a、b的代数式表示） (2)先因式分解，再请计算出当，时，剩余部分的面积． 湘教版（2024）八年级上册 1.3 公式法 题型专练（参考答案） 【题型1】运用平方差公式因式分解 【典例】已知可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（   ） A.61、63 B.61、65 C.61、67 D.63、65 【答案】D 【解析】解：原式， ∴这两个数是 选D 【举一反三1】已知，则按此规律推算的结果一定能（    ） A.被12整除 B.被13整除 C.被14整除 D.被15整除 【答案】D 【解析】本题考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可求解． ， 故选：D． 【举一反三2】若，则              . 【答案】2019 【解析】解：＝（+）（-）=x(-y)=-xy=2019. 故答案为:2019. 【举一反三3】已知，则的值为           . 【答案】 【解析】解：∵， ∴= = =12， 故答案为：12． 【举一反三4】先分解因式，再求值：，其中 【答案】解： ， 当时，原式 【举一反三5】把下列各式因式分解： (1)； (2) 【答案】（1）解： （2）解： 【题型2】运用完全平方公式因式分解 【典例】已知加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方,给出下面五个单项式①,②,③,④,⑤-1其中,正确的个数共有(    ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】解：∵4x2+1+4x=（2x+1）2，4x2+1-4x2=12，4x2+1+4x4=（2x2+1）2，4x2+1-1=4x2=（2x）2，而和-2x相加不能得出一个式子的平方， ∴正确的个数是4， 故选D． 【举一反三1】下列各式能运用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：根据完全平方公式的结构特点，只有 ，符合题意，当选. 故选D. 【举一反三2】下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：：A、，不能用完全平方公式进行因式分解； B、，不能用完全平方公式进行因式分解； C、，不能用完全平方公式进行因式分解； D、，能用完全平方公式进行因式分解； 故选：D． 【举一反三3】多项式能用完全平方公式分解因式，则      ． 【答案】 【解析】解：∵多项式能用完全平方公式分解因式， ∴， 解得， 故答案为：． 【举一反三4】当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 【答案】解：， ∵，∴， ∴当时，二次三项式取得最小值，最小值为1． 【题型3】综合运用公式法因式分解 【典例】下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（    ） A.①③④⑤ B.②③④ C.②④⑤ D.②③④⑤ 【答案】C 【解析】解：①不能用公式法因式分解； ②，可以用公式法因式分解； ③不能用公式法因式分解； ④=，能用公式法因式分解； ⑤=，能用公式法因式分解． ∴能用公式法分解因式的是②④⑤.故选C． 【举一反三1】在有理数范围内，下列各多项式能用公式法进行因式分解的是（    ）． A.a2－6a B.a2－ab+b2 C.a2－ab+b2 D.a2－ab+b2 【答案】C 【解析】解：A、这两条边的夹角不一定相等，故错误； B、这个角可能是不对应，若一个是顶角，一个是底角，则两图形不相似； C、符合有两组角对应相等的两个三角形相似的判定； D、这个角可能不是这两条边的夹角，故错误． 故选C． 【举一反三2】因式分解的结果为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 原式， 故选：D． 【举一反三3】公式法分解因式：a2-b2=        ；a2±2ab+b2=         . 【答案】(a+b)(a-b) (a±b)2 【解析】解：根据平方差和完全平方的性质得： a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2. 【举一反三4】分解因式： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1） ． （2） ． 【题型4】提公因式法与公式法的综合应用 【典例】多项式4x-x3分解因式的结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：4x-x3=x(4-x2)=x(2-x)(2+x)． 故选B． 【举一反三1】将多项式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：， 故选：D． 【举一反三2】把多项式分解因式的结果是      . 【答案】 【解析】解：． 故答案为：． 【举一反三3】因式分解： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）． 【解析】解：（1）=xy（2x-3y）（2x+3y） （2）.=（x2-6-3）2=（x+3）2（x-3） 【题型5】十字相乘法因式分解 【典例】将分解因式，正确的结果是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： 故选：D． 【举一反三1】已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2－4，乙与丙相乘为x2＋15x－34，则甲与丙相加的结果为(　　) A.2x＋19 B.2x－19 C.2x＋15 D.2x－15 【答案】A 【解析】解：∵ ∴甲为：x+2，乙为：x－2，丙为：x+17， ∴x+2+x+17=2x+19， 故选A． 【举一反三2】下列算式计算结果为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解： 故选：A． 【举一反三3】（________）（________）； （________）（________）； （________）（________）； （_______）（_______）； （______）（______）； （______）（______）． 【答案】；；；；； 【解析】解：； ； ； ； ； ； 故答案为：；；；；；． 【举一反三4】阅读理解：用“十字相乘法”因式分解： ． ． 例如：． 求： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【解析】解：（1）根据题意， ， ∴， （2）根据题意， ∴． 【题型6】分组分解法因式分解 【典例】把分解因式的结果是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： ； 故选D 【举一反三1】若a、b为有理数，且a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0，则a＋3b＝（    ） A.8 B.4 C.－4 D.－8 【答案】D 【解析】解：a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝a2－2ab＋b2＋b2＋4b＋4＝ a-b=0  b+2=0   a+3b=  故选择D 【举一反三2】下列式子中，属于的因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解： 由此可知是的因式，而都不是它的因式． 故选：C． 【举一反三3】分解因式：         ． 【答案】 【解析】解： ====． 故答案为 【举一反三4】因式分解：              ． 【答案】 【解析】本题考查了因式分解，先运用分解分组法，得，再进行提公因式，得，即可作答． 故答案为：． 【举一反三5】观察下列因式分解的过程： ① （分成两组） （直接提取公因式） ； ② （分成两组） （直接运用公式） ． 请仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】解：（1）． （2） ． 【题型7】因式分解在有理数简算中的应用 【典例】运用因式分解计算：的结果为（    ） A.314 B.264 C.256 D.300 【答案】A 【解析】解：． 故选：A． 【举一反三1】计算：101×1022﹣101×982=（ ） A.404 B.808 C.40400 D.80800 【答案】D 【解析】解：101×1022﹣101×982=101（1022﹣982）=101（102+98）（102﹣98）=101×200×4=80800； 故选D． 【举一反三2】计算：  ． 【答案】2 【解析】解： ． 故答案为：． 【举一反三3】利用因式分解计算: (1)29×20.16+72×20.16-20.16; (2); 【答案】（1）2 016；（2）； 【解析】解： (1)原式=20.16×(29+72-1)=20.16×100=2 016; (2)原式==100×; 【题型8】利用因式分解进行求值 【典例】已知ab＝4，b﹣a＝7，则a2b﹣ab2的值是（　　） A.11 B.28 C.﹣11 D.﹣28 【答案】D 【解析】解：∵ab＝4，b﹣a＝7，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝4×（﹣7）＝﹣28． 故选D． 【举一反三1】若a+b=1，则的值为（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】D 【解析】解： 故选：D 【举一反三2】若=           . 【答案】39 【解析】解： ====3×（9+2×2）=39， 故答案是：39． 【举一反三3】已知x＝2，x+y＝3，则x2y+xy2＝     ． 【答案】6y 【解析】解：∵x＝2，x+y＝3，∴原式＝xy（x+y）＝6y， 故答案为：6y 【举一反三4】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)，．求的值． 【答案】（1）解： ． （2）解： ， 把，代入， 原式． 【题型9】因式分解的实际应用 【典例】图1中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形），图2中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个长为a，宽为b的小长方形），，设，则k的取值范围为（    ）.    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由题意可得：，， ∴， ∵；∴ ∴，即. 故选C. 【举一反三1】如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵四边形是一个长方形， ∴该长方形的面积=， ∵该图形由两个边长为n的正方形，3个长、宽为n与m的长方形，1个边长为m的正方形组成， ∴该图形的面积=， ∴=， 故选：B. 【举一反三2】小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（    ）      A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成， ∴大长方形的面积为， 另外大长方形可以看作一般长为宽为的长方形组成， ∴大长方形的面积为， ∴可以得到一个因式分解的等式为，故B正确． 故选：B． 【举一反三3】如图，将一张长方形纸板裁剪成十二块，其中有两块是边长都为m的大正方形，三块是边长都为n的小正方形，七块是长为m，宽为n的完全相同的小长方形．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为       ． 【答案】 【解析】解：由图可知，长方形的两条邻边的长分别为：，， ∴长方形纸板的面积为：， 又长方形纸板的面积为：， ∴； 故答案为：． 【举一反三4】如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且 (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：①根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ． 答：的值为5． ②空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 【举一反三5】如图，把边长为a的一块正方形纸板的四角，各剪去一个边长为的小正方形． (1)求该纸板剩余部分（阴影部分）的面积；（用含a、b的代数式表示） (2)先因式分解，再请计算出当，时，剩余部分的面积． 【答案】（1）解：根据题意得：阴影的面积； （2）解： 当，时， 原式． 学科网（北京）股份有限公司 $