2.3一元二次方程的根与系数的关系 分层卷 2026～2027 学年北师大版九年级上册数学

2.3一元二次方程的根与系数的关系分层卷2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：2.3 一元二次方程的根与系数的关系 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列关于方程 的说法中，正确的是（　　） A．两根之和为 B．两根之积为 C．两根之和为 D．两根之积为 2．小明在解一道一元二次方程时，把一次项系数抄错了，得到两个根 和 ；小亮把同一个方程抄错常数项，得到两个根 和 ．则原方程的两个根之积是（　　） A． B． C． D． 3．一个矩形的相邻两边长是方程 的两个根，则这个矩形的周长是（　　） A． B． C． D． 4．方程 的两个根记作 、，则 的值是（　　） A． B． C． D． 5．一元二次方程的两个根之和为 、两个根之积为 ，则这个方程可以是（　　） A． B． C． D． 6．方程 的两个根的平方和是（　　） A． B． C． D． 7．若方程 有两个不相等的实数根，且这两个根同号，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知一元二次方程 有两个实数根 、，给出下列四个结论，其中正确的个数是（　　） ① ； ② ； ③ 若 ，则 ，； ④ 若 、 都是正数，则 ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 9．若一元二次方程 的两个根中，一个根恰好是另一个根的 倍，则 的值是（　　） A． B． C． D． 10．若关于 的方程 的两个根互为倒数，则 的值是（　　） A． B． C． 或 D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．不解方程 ，可知它的两个根相加得______，两个根相乘得______． 12．若 是方程 的一个根，则 ______，这个方程的另一个根是______． 13．已知 、 是方程 的两个根，则 的值是______． 14．若关于 的方程 的两个根之积比两个根之和大 ，则 的值是______． 15．若 、 是方程 的两个根，则 的值是______． 16．方程 的两个根记作 、，则以 、 为两个根的一元二次方程（二次项系数为 ）是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）对于一元二次方程 ，解答下列问题： (1) 不解方程，写出它的两个根之和与两个根之积； (2) 不解方程，判断它的两个根是否都是正数，并说明理由． 18．（6 分）关于 的方程 有一个根是 ． (1) 求 的值； (2) 求这个方程的另一个根； (3) 不解方程，求这个方程两个根的平方和． 19．（6 分）两个正数的和是 ，积是 ． (1) 求这两个数； (2) 写出以这两个数为根、二次项系数为 的一元二次方程． 20．（6 分）不解方程 ，设它的两个根为 、，求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ． 21．（6 分）设方程 的较大根为 ，较小根为 ． (1) 求 与 ； (2) 求 的值． 22．（6 分）已知关于 的方程 的两个实数根都是整数，且 是正整数．求 的所有可能值． 23．（8 分）已知关于 的方程 的两个根之和为 ，两个根之积为 ． (1) 求 、 的值； (2) 求这个方程的两个根； (3) 求 的值． 24．（8 分）已知一元二次方程 有两个实数根． (1) 求 的取值范围； (2) 若这两个根的平方和是 ，求 的值及此时方程的两个根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3一元二次方程的根与系数的关系分层卷2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：2.3 一元二次方程的根与系数的关系 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列关于方程 的说法中，正确的是（　　） A．两根之和为 B．两根之积为 C．两根之和为 D．两根之积为 2．小明在解一道一元二次方程时，把一次项系数抄错了，得到两个根 和 ；小亮把同一个方程抄错常数项，得到两个根 和 ．则原方程的两个根之积是（　　） A． B． C． D． 3．一个矩形的相邻两边长是方程 的两个根，则这个矩形的周长是（　　） A． B． C． D． 4．方程 的两个根记作 、，则 的值是（　　） A． B． C． D． 5．一元二次方程的两个根之和为 、两个根之积为 ，则这个方程可以是（　　） A． B． C． D． 6．方程 的两个根的平方和是（　　） A． B． C． D． 7．若方程 有两个不相等的实数根，且这两个根同号，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知一元二次方程 有两个实数根 、，给出下列四个结论，其中正确的个数是（　　） ① ； ② ； ③ 若 ，则 ，； ④ 若 、 都是正数，则 ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 9．若一元二次方程 的两个根中，一个根恰好是另一个根的 倍，则 的值是（　　） A． B． C． D． 10．若关于 的方程 的两个根互为倒数，则 的值是（　　） A． B． C． 或 D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．不解方程 ，可知它的两个根相加得______，两个根相乘得______． 12．若 是方程 的一个根，则 ______，这个方程的另一个根是______． 13．已知 、 是方程 的两个根，则 的值是______． 14．若关于 的方程 的两个根之积比两个根之和大 ，则 的值是______． 15．若 、 是方程 的两个根，则 的值是______． 16．方程 的两个根记作 、，则以 、 为两个根的一元二次方程（二次项系数为 ）是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）对于一元二次方程 ，解答下列问题： (1) 不解方程，写出它的两个根之和与两个根之积； (2) 不解方程，判断它的两个根是否都是正数，并说明理由． 18．（6 分）关于 的方程 有一个根是 ． (1) 求 的值； (2) 求这个方程的另一个根； (3) 不解方程，求这个方程两个根的平方和． 19．（6 分）两个正数的和是 ，积是 ． (1) 求这两个数； (2) 写出以这两个数为根、二次项系数为 的一元二次方程． 20．（6 分）不解方程 ，设它的两个根为 、，求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ． 21．（6 分）设方程 的较大根为 ，较小根为 ． (1) 求 与 ； (2) 求 的值． 22．（6 分）已知关于 的方程 的两个实数根都是整数，且 是正整数．求 的所有可能值． 23．（8 分）已知关于 的方程 的两个根之和为 ，两个根之积为 ． (1) 求 、 的值； (2) 求这个方程的两个根； (3) 求 的值． 24．（8 分）已知一元二次方程 有两个实数根． (1) 求 的取值范围； (2) 若这两个根的平方和是 ，求 的值及此时方程的两个根． 参考答案与详细解析 1．【答案】 C 【解析】 这里 ，，； ，； A 漏了公式自带的负号，B 把「和」的数值当成了「积」，D 的符号取错；只有 C 正确．选 C． 【解题提示】同一个方程的两个式子要分开算：和取 （带负号），积取 （不带）； 时两个结果的分母都是 ． 2．【答案】 B 【解析】 小明抄错一次项系数，说明常数项是正确的：原方程的常数项对应 ； 小亮抄错常数项，说明一次项系数是正确的：原方程两根之和对应 ； 所以原方程的两个根之积是 ．选 B． 【解题提示】抄错一次项系数只影响「两根之和」，抄错常数项只影响「两根之积」，先判断错的是哪一项，就知道哪一个关系仍然可信． 3．【答案】 A 【解析】 设两边长为 、，则 ； 矩形周长 ．选 A． 【解题提示】矩形周长是「两边之和的 倍」，只要两根之和就够；B 是两边之和本身，C 是面积，都是常见的量错对象． 4．【答案】 D 【解析】 因为 是方程的根，代入得 ，即 ； 所以 ； 由根与系数的关系 ，原式 ．选 D． 【解题提示】见到 这样的高次项，先用「根的定义」把它降成一次式，再合并出 ；B 就是只算 的结果． 5．【答案】 B 【解析】 以 、 为根、二次项系数为 的方程是 ； 代入得 ，即 ．选 B． 【解题提示】一次项系数是「两根之和的相反数」，常数项就是「两根之积」，两个位置别装反；A 就是把和的符号用反了． 6．【答案】 A 【解析】 设两个根为 、，则 ，； ．选 A． 【解题提示】配方时 的符号跟着「积」走，积为负这一项就变成加；B 是把积当成正的算出来的． 7．【答案】 C 【解析】 有两个不相等的实数根：，解得 ； 两个根同号：； 两个条件同时成立，取公共部分得 ．选 C． 【解题提示】「有两个不相等实根」管的是判别式，「两根同号」管的是积的符号，两个条件都要写成不等式再取交集；A 只用了判别式，B 只用了一个条件． 8．【答案】 B 【解析】 ，①正确； ，②正确； ③ 当 时，方程为 ，即 ，两根为 和 ，③正确； ④ 两根都是正数，需要积 ，同时方程有实数根，即 ，解得 ，不是 ，④错误； 正确的是 ①②③，共 个．选 B． 【解题提示】「两根都是正数」要同时满足三条：判别式非负、和为正、积为正；本题里「和为正」自动成立，最容易只盯着积而漏掉判别式． 9．【答案】 D 【解析】 设两个根为 和 ； 由两根之和得 ，解得 ； 所以两个根为 和 ，．选 D． 【解题提示】碰到根的「倍比关系」，先把两根设成 与 ，用「和」定出 ，再用「积」求参数；C 是把 误当成根的结果． 10．【答案】 A 【解析】 两根互为倒数，即 ； 由根与系数的关系 ，所以 ，解得 或 ； 检验判别式：； 当 时 ，方程没有实数根，故舍去； 当 时 ，符合题意；所以 ．选 A． 【解题提示】由两根关系解出的参数值，必须回代判别式检验， 的要舍去；C 就是给「两个值都留下」设的陷阱． 11．【答案】 ； 【解析】 这里 ，，； ，． 【解题提示】两个式子的分母都是 ；积的负号来自 本身，不是公式自带的． 12．【答案】 ； 【解析】 把 代入：，即 ，解得 ； 此时方程为 ，两根之积为 ； 另一个根为 ； 检验：两根之和 ，与 一致． 【解题提示】先代入求参数，再用「积除以已知根」求另一根，最后用「和」验算，三步走最稳． 13．【答案】 【解析】 ，； ． 【解题提示】这类式子先提公因式 ，括号里剩下的正好是 ，口诀是「提积留和」． 14．【答案】 【解析】 两根之和为 ，两根之积为 ； 由题意 ，解得 ； 检验：此时方程为 ，判别式 ，两根为 和 ，积 、和 ，积比和大 ，符合题意． 【解题提示】把「积比和大 」直接写成等式，注意「两根之和」是 而不是 ，那个负号最容易丢． 15．【答案】 【解析】 由根与系数的关系，，； ． 【解题提示】倒数之和通分后就是「和除以积」；本题积为负，结果一定是负数，先把符号定下来再算． 16．【答案】 【解析】 ，； 新两根之和：； 新两根之积：； 所求方程为 ． 【解题提示】构造新方程只认「新两根的和与积」，先用旧的和、积把它们表示出来，再套 ． 17．【答案】 (1) 和为 ，积为 ；(2) 两个根都是正数 【解析】 (1) 这里 ，，； ，； (2) 因为两根之积 ，所以两个根同号； 又两根之和 ，两个同号的根相加为正，只能都是正数； 所以这两个根都是正数． 【解题提示】判断两根的符号分两步：先用「积」定同号还是异号，再用「和」定同为正是同为负． 18．【答案】 (1) ；(2) 另一个根是 ；(3) 【解析】 (1) 把 代入：，即 ，解得 ； (2) 此时方程为 ，两根之积为 ； 另一个根为 ； 检验：两根之和 ，符合题意； (3) ． 【解题提示】(3) 不必再把两个根解出来，直接用 最快． 19．【答案】 (1) 和 ；(2) 【解析】 (1) 设这两个数为 、，则 ，； 由根与系数的关系，它们是方程 的两个根； 因式分解得 ，所以这两个数是 和 ； (2) 所求方程为 ． 【解题提示】已知两数的和与积，就把它们当作某个一元二次方程的两个根，用 造出方程再求解． 20．【答案】 (1) ；(2) ；(3) 【解析】 先求：，； (1) ； (2) ； (3) ． 【解题提示】(2) 展开后要重新组合成「积」与「和」，中间的 最容易漏；(3) 直接用 (1) 的结果当分子． 21．【答案】 (1) ，；(2) 【解析】 (1) 这里 ，，； ，； (2) ； 因为 是较大根，所以 ； ． 【解题提示】由完全平方开方求两根之差，一定要根据「 是较大根」取正的平方根，不能写成 ． 22．【答案】 或 【解析】 方程有两个实数根，故 ，解得 ； 又 是正整数，所以 只能取 、、、； 由根与系数的关系，两根之和为 ，两根之积为 ； 逐一检验： 时方程为 ，两根为 ，不是整数； 时方程为 ，两根为 ，不是整数； 时方程为 ，两根为 和 ，都是整数，符合； 时方程为 ，两根都是 ，都是整数，符合； 所以 的所有可能值是 和 ． 【解题提示】「两根都是整数」这类题，先用判别式把参数缩到一个很小的范围，再逐个代回去检验，比直接猜根稳得多． 23．【答案】 (1) ，；(2) 与 ；(3) 【解析】 (1) 由根与系数的关系，，得 ； ，得 ； (2) 方程为 ； 因式分解得 ； 所以两个根为 与 ； (3) ． 【解题提示】反求系数时注意「两根之和等于 」这个负号；求出系数后可以因式分解求根，(3) 也可以把两根平方相加来验算． 24．【答案】 (1) ；(2) ，两根为 与 【解析】 (1) 方程有两个实数根，故 ，即 ，解得 ； (2) 设这两个根为 、，由根与系数的关系得 ，； ； 由题意 ，解得 ； 检验： 满足 ，符合题意； 此时方程为 ，因式分解得 ； 所以两个根为 与 ． 【解题提示】压轴题的固定套路：先用判别式定出参数的取值范围，再由两根关系列方程求参数，最后必须回代范围检验，求出的值不在范围内要舍去． 学科网（北京）股份有限公司 $