2.3一元二次方程的根与系数的关系（分层作业，11大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型 一元二次方程根与系数的关系基础应用 B组 能力进阶 题型01 利用一元二次方程根与系数的关系求值 题型02 利用根与系数的关系降次求值 题型03 利用根与系数的关系分式化整求值 题型04 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 题型05 根与系数的关系关联根的判别式 题型06 利用方程的根和根与系数的关系构建方程 题型07 利用根与系数的关系及代根法综合求值 题型08 根与系数的关系与三角形综合 C组 思维拔高 题型01 利用根与系数的关系分类讨论根的分布 题型02 根与系数关系中的新定义问题 一元二次方程根与系数的关系基础应用题型 1．已知和是方程的两个根，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．2 3．（2025·广东惠州·模拟）方程的一个根为2，则另一个根为（   ） A． B．1 C． D． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为______． 5．求下列方程两根的和与两根的积： (1)； (2)； (3)； (4)． 利用一元二次方程根与系数的关系求值题型01 1．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B．2023 C．2024 D．2023 2．已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为，，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 3．已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若方程的两个根是和，则的值为___________． 5．设a、b是方程的两个实数根，则的值为___________． 利用根与系数的关系降次求值题型02 1．（24-25九年级上·四川达州·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是________． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知，是方程的两个根，则__________． 3．（25-26九年级·期末）已知方程，与是方程的两个根，则______． 4．（24-25八年级上·上海·月考）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，那么．例如：已知方程的两根分别是，则：． 请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题： (1)已知方程的两根分别是，求和的值； (2)已知方程的两根分别是，求的值． 利用根与系数的关系分式化整求值题型03 1．（24-25九年级上·期中）已知分别是方程的两个根，则代数式的值为（  ） A．4 B．5 C．2 D．6 2．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 3．若是方程的两个根，则（    ） A． B．16 C． D．20 4．已知实数，满足，．且，则 的值为___________________． 5．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）阅读材料，解答问题： 已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道：m与n的和，m与n的积．根据上述材料，解决以下问题： (1)材料理解：__________，__________． (2)类比应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值． (3)思维拓展： 已知实数s，t满足：，，且，求的值． 利用一元二次方程根与系数的关系求参数题型04 1．（25-26八年级上·上海·月考）若方程的两根之和为，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26九年级·四川·期末）已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为_________． 3．（24-25九年级上·山东济宁·月考）已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是_______________． 4．（24-25八年级上·上海·月考）若三个整数使得方程的两个根为，则的值为____． 5．（25-26八年级上·上海·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，求的值． 根与系数的关系关联根的判别式题型05 1．（24-25九年级上·四川乐山·月考）方程与的所有实数根之和是______． 2．已知关于的一元二次方程． (1)请你为选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根； (2)设、是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求的值． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程两个实数根的差为2，求的值． 4．已知关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况； (2)设，是方程的两个根，求的值． 利用方程的根和根与系数的关系构建方程题型06 1．若，，则以，为根的一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·天津·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，则原方程可化为（    ） A． B． C． D． 3．设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 4．（24-25九年级·重庆·质检）已知实数a，b，c，m，n，其中，满足，．则以下说法：①；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程的两根为，n．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25九年级上·福建宁德·期中）阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， 例：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 已知实数a，b满足：，且，则______，______； (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，，求的值； (3)拓展应用： 已知a，b，c满足，，求正整数c的最小值． 利用根与系数的关系及代根法综合求值题型07 1．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）若，为方程的两根，则的值是（　　）． A．1 B． C． D．4043 2．若m，n是方程的两个实数根，则的值为___． 3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 4．设，是方程的两个根，则________． 5．已知关于的一元二次方程． (1)小明在解方程时，得到一个根为，求的值． (2)在（1）的条件下，设是该方程的两个根，求的值． 根与系数的关系与三角形综合题型08 1．已知等腰的底边长为3，两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为____． 2．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 3．已知a、b和c是的三边，，，方程两根之差是，求的底角的度数． 4．已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 利用根与系数的关系分类讨论根的分布题型01 1．（24-25九年级上·福建·期中）关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②③；④，其中正确结论的序号是_____． 2．已知关于x的方程． (1)当k是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根、满足：，求k的值． 3．关于x的方程有两个实数根x1,x2． （1）求实数k的取值范围； （2） 若x1,x2满足，求k的值． 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2． (1)求m的取值范围； (2)若x1，x2满足2x1=|x2|+3，求m的值． 5．关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 根与系数关系中的新定义问题题型02 1．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值． 2．定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）规定：我们用表示一元二次方程，用数组表示一元二次方程的两个解（其中），当时，唯一对应一个数组，可记作：．如方程：的两个解分别为1，；则有，又如，，反之，当数组确定时，却有无数个一元二次方程与之对应，如方程和的解都是则称方程和为同解方程，记作方程．研究发现：当时，总有成立． (1)若则_______，若则_______； (2)若，且，求t的值； (3)如果实数a、b、c、d满足，，，探究是否为定值？如果是，请求出k的值，如果不是，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型 一元二次方程根与系数的关系基础应用 B组 能力进阶 题型01 利用一元二次方程根与系数的关系求值 题型02 利用根与系数的关系降次求值 题型03 利用根与系数的关系分式化整求值 题型04 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 题型05 根与系数的关系关联根的判别式 题型06 利用方程的根和根与系数的关系构建方程 题型07 利用根与系数的关系及代根法综合求值 题型08 根与系数的关系与三角形综合 C组 思维拔高 题型01 利用根与系数的关系分类讨论根的分布 题型02 根与系数关系中的新定义问题 一元二次方程根与系数的关系基础应用题型 1．已知和是方程的两个根，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：和是方程的两个根， ． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程有两个实数根，，那么，，掌握上述内容是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．设该方程的另一个根为，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可． 【详解】解：设该方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，得， 解得． 故选：． 3．（2025·广东惠州·模拟）方程的一个根为2，则另一个根为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到两根之积为，进而求出方程的另一根即可． 【详解】解：∵方程的一个根为 2 ，且两根之积为， ∴另一个根为； 故选：C． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的应用．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据两个不相等的实数a，b满足，，得出，是方程的两个根，由根与系数的关系，得即可． 【详解】解：∵两个不相等的实数a，b满足，， ∴可以把，看作是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可知：． 故答案为：． 5．求下列方程两根的和与两根的积： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查根与系数的关系：，是一元二次方程的两根，则，． （1）利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解； （2）利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解； （3）先将方程整理成一般式，再利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解； （4）先将方程整理成一般式，再利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设，是方程的两根， 则，； （2）解：设，是方程的两根， 则，； （3）解：变形为， 设，是方程的两根， 则，； （4）解：变形为， 设，是方程的两根， 则，． 利用一元二次方程根与系数的关系求值题型01 1．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B．2023 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：A． 2．已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为，，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系公式是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得，，进一步求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两实数根分别为， ∴根据根与系数的关系得，， ∴， 故选：D． 3．已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是解出方程的解，根据，即可计算出结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 4．若方程的两个根是和，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求式子进行变形代入计算． 先根据一元二次方程根与系数的关系，求出方程的两根之和与两根之积，然后将所求式子变形为，最后代入计算． 【详解】解：由题意可得：， ， 将代入上式，得到： ． 故答案为：． 5．设a、b是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再由进行求解即可． 【详解】解；∵a、b是方程的两个实数根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 利用根与系数的关系降次求值题型02 1．（24-25九年级上·四川达州·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】2032 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式及求代数式的值，掌握这些知识点是解题的关键． 由根与系数的关系可得，再将变形，即可求得结果的值． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：2032． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系求出，，再利用恒等式计算． 【详解】解：对于方程，有，，． 根据根与系数的关系，，． 则． 故答案为：5． 3．（25-26九年级·期末）已知方程，与是方程的两个根，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数，完全平方公式的变形．将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根和与积，再通过恒等式求平方和，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 由根与系数的关系，得 ,， 则． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海·月考）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，那么．例如：已知方程的两根分别是，则：． 请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题： (1)已知方程的两根分别是，求和的值； (2)已知方程的两根分别是，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，掌握如果一元二次方程程的两个根分别是，那么是解题的关键． （1）直接根据公式求解即可； （2）先化为一般式，将化为，再求出值，代入即可． 【详解】（1）解：， 则； （2）解： ， 则， 而， ∴． 利用根与系数的关系分式化整求值题型03 1．（24-25九年级上·期中）已知分别是方程的两个根，则代数式的值为（  ） A．4 B．5 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵分别是方程的两个根， ∴， ∴； 故选A． 2．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，．先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 3．若是方程的两个根，则（    ） A． B．16 C． D．20 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出本题中，，再将变形为，代入计算即可得出答案． 【详解】解：是方程的两个根， ，， ， 故选：C． 4．已知实数，满足，．且，则 的值为___________________． 【答案】## 【分析】本题考查了根与系数的关系．把变形为，则可以把、看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，然后利用，所以变形为，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ， ， 、可看作方程的两根， ，， ， ． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）阅读材料，解答问题： 已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道：m与n的和，m与n的积．根据上述材料，解决以下问题： (1)材料理解：__________，__________． (2)类比应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值． (3)思维拓展： 已知实数s，t满足：，，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． （1）直接根据根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再由进行求解即可； （3）先推出，进而得到，则可推出是关于x的方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到，进而推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：；； （2）解：∵实数a，b满足：，且， ∴实数a，b是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 利用一元二次方程根与系数的关系求参数题型04 1．（25-26八年级上·上海·月考）若方程的两根之和为，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键． 由根与系数的关系结合两根之和为，即可求出值． 【详解】解：在中，两根之和等于， 关于的一元二次方程的两根之和为， ． 故选：D． 2．（25-26九年级·四川·期末）已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，倒数，解一元一次方程，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据已知条件“该方程的两根互为倒数”可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：， 又该方程的两根互为倒数，即：， ， 解得：， 3．（24-25九年级上·山东济宁·月考）已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是_______________． 【答案】3 【分析】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是灵活运用根与系数的关系与代数式变形相结合知识． 先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式．然后代入求值即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 依题意得：， ，即， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， ， 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·上海·月考）若三个整数使得方程的两个根为，则的值为____． 【答案】18 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系是解题关键． 先通过根与系数之间的关系得到，，再通过计算得出a的解，进而得出b与c的解，进而可得到答案 ． 【详解】解：∵与是方程的两个根，故通过韦达定理可得到， 故 ∴ ∵为整数， ∴或 故（舍）， ∴ ∴，故 ∴ 故答案为：18 ． 5．（25-26八年级上·上海·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则故，又因为，得，解得或，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为、， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或． 根与系数的关系关联根的判别式题型05 1．（24-25九年级上·四川乐山·月考）方程与的所有实数根之和是______． 【答案】2 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式．由于没有实数解，而根据根与系数的关系可判断方程两实数根之和为2，据此求解即可． 【详解】解：对于方程， ， 根据根与系数的关系为：， 对于方程， ， 方程没有实数解， 方程与的所有实数根之和为2． 故答案为：2． 2．已知关于的一元二次方程． (1)请你为选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根； (2)设、是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）根据求得的取值范围，再进一步在范围之内确定的一个整数值，代入求得方程，解方程即可； （2）根据根与系数的关系，对进行变形求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得：． ∴只要是的整数即可． ∴可以取值为（答案不唯一）． （2）解：当时，则得方程， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数关系；掌握根的判别式定理，根与系数关系是解题的关键． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程两个实数根的差为2，求的值． 【答案】(1) 解：关于的一元二次方程的根的判别式 ， 不论取任何实数，都有即成立； 当时，方程有两个不相等的实数根， 当时，方程有两个相等的实数根； 故该方程总有两个实数根； (2)2或． 【分析】（1）先求一元二次方程的根的判别式，然后再证明即可； （2）不妨设方程的两实数根为且，则，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得，进而变形即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：不妨设方程的两实数根为且， 则， ， 又， ， 或， 故的值为2或． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式以及直接开平方求解一元二次方程等知识，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系的应用是解答此题的关键． 4．已知关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式的关系． （1）若方程有两个不相等的实数根，则，从而求出a的取值范围； （2）根据根与系数的关系求出，再借助完全平方公式解决即可． 【详解】（1）， ∵方程有两个不相等的实数根， ； （2）由题意得： ， , 解得：或 ， ． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况； (2)设，是方程的两个根，求的值． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根 (2)3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）将方程化为一般式，再根据根的判别式计算即可得出答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原方程化为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：由题意得：， ∴原式． 利用方程的根和根与系数的关系构建方程题型06 1．若，，则以，为根的一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴以，为根的一元二次方程是， 故选：A． 2．（24-25九年级上·天津·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，则原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，直接代入计算即可，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴，， ∴原方程可化为：， 故选：C． 3．设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 【答案】A 【分析】把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可 【详解】解：，， 看作以上方程的两个不同的根， 即是方程的两根， 故，即 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键． 4．（24-25九年级·重庆·质检）已知实数a，b，c，m，n，其中，满足，．则以下说法：①；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程的两根为，n．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用和整式的混合运算．①根据题意，可得，，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式，根据a，m，n是实数，可知，即可得；②若m,n都为整数，其可能情况有：m，n都为奇数；m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可．③根据根与系数的关系，将变形得，进而可得结论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵a，m，n是实数， ∴， ∴，即①正确； 若m，n都为整数，其可能情况有以下两种： 当m，n都为奇数时，则必为偶数， 又∵， ∴， ∵a为奇数， ∴必为偶数，这与b为奇数矛盾； 当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数， 又∵， ∴， ∵a为奇数， ∴必为偶数，这与c为奇数矛盾； 综上所述，若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数．即②正确； ∵，， ∴，， ∴关于x的一元二次方程的两根为，n．即③正确． 故选：D． 5．（24-25九年级上·福建宁德·期中）阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， 例：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 已知实数a，b满足：，且，则______，______； (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，，求的值； (3)拓展应用： 已知a，b，c满足，，求正整数c的最小值． 【答案】(1)， (2)2或 (3)3 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系． （1）由题意可知a、b是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得，； （2）由题意可知分两种情况，或时，m、n可看作方程的两根，分别计算原式的值即可； （3）由已知得，故a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式计算出c的取值范围，取最小正整数即可． 【详解】（1）解：由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，， 故答案为：，； （2）解：∵m，n满足， 当时，原式， 当时，m、n可看作方程的两根， ∴， ∴原式， 综上，的值为2或； （3）解：∵， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵， ∵正整数， ∴，即． ∴正整数c的最小值为3． 利用根与系数的关系及代根法综合求值题型07 1．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）若，为方程的两根，则的值是（　　）． A．1 B． C． D．4043 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握根与系数的关系成为解题的关键． 根据方程的解以及根与系数的关系可得、、，再对所求代数式变形，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，为方程的两根， ∴，，， ∴ ． 故选B． 2．若m，n是方程的两个实数根，则的值为___． 【答案】1 【详解】解：根据韦达定理可得：m+n=－1， 将m代入方程可得：+m=2， 则原式=+m+m+n=2+(－1)=1． 故答案是：1． 3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意可得到，，进而求解即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：0． 4．设，是方程的两个根，则________． 【答案】10 【分析】利用方程根的定义，将根代入方程得到关于和的等式，再对所求代数式进行整体代换，最后结合韦达定理完成计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 因此． 同理，也是方程的根， ∴． 因此． 于是，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入思想，解题关键是利用根的定义对代数式进行降次与代换，避免直接求解方程根的复杂计算． 5．已知关于的一元二次方程． (1)小明在解方程时，得到一个根为，求的值． (2)在（1）的条件下，设是该方程的两个根，求的值． 【答案】(1)； (2)11． 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系． （）把代入计算即可求解； （）利用根与系数的关系得到、的值，再整体代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴一元二次方程为， ∴，， ∴． 根与系数的关系与三角形综合题型08 1．已知等腰的底边长为3，两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，三角形三边关系，掌握一元二次方程的解，根的判别式，三角形三边关系是解题的关键． 由题意知方程有两个相等的实数根，据此得出k的值，再利用三角形的周长公式可得答案． 【详解】解：由题意知方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∵两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根， ∴两腰的和为， ∴的周长为， 故答案为：． 2．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 【答案】(1) 证明：，， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根 (2)3 【分析】本题考查了根的判别式，韦达定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明； （2）根据韦达定理用表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到的方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：和是的两个根 ， 是以为斜边的直角三角形 ，即 解得：，（，不合题意，舍去） 的值为3 3．已知a、b和c是的三边，，，方程两根之差是，求的底角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及根与系数的关系，首先利用根与系数的关系得到两根与系数的式子，然后根据方程的两根之差是得到，代入得到的a、b的关系，从而确定底角的度数． 【详解】解：设方程的两根分别为m、n， ， 方程两根之差是， ， 整理得， 即 ， ， 即， 是底边为b的等腰三角形， 由图可知，， 的底角． 4．已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)m的值为6 (2)这个三角形的周长为 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系，等腰三角形的定义．掌握一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式和对等腰三角形恰当分类是解题的关键． （1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）分类讨论：若时，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去． 【详解】（1）解：，是关于的一元二次方程的两实数根， ， ，， ∴， ，即， ， 整理得， 解得，， ， 的值为6； （2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得， 解得，， 当时，，解得，而，不能构成三角形，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则， ∴， ∴， 方程化为，解得， 则，不能构成三角形，故舍去， 所以这个三角形的周长为． 利用根与系数的关系分类讨论根的分布题型01 1．（24-25九年级上·福建·期中）关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②③；④，其中正确结论的序号是_____． 【答案】①③④ 【分析】根据根与系数的关系可得，，进而得到，，再根据有理数的加法法则判断①正确；利用根的判断式可得，即可判断②③；利用根与系数的关系可得，，再根据，，即可判断④． 【详解】解：设关于x的方程的两个根分别为、，关于y的方程的两个根分别为、， ∵关于x的方程的两个根的乘积为正，关于y的方程的两个根的乘积为正， ∴，， ∴，， ∴这两个方程的根都是负根，故①正确； ∵关于x的一元二次方程有两个整数根， ∴， ∴，即， ∴，故②错误； ∵关于x的一元二次方程有两个整数根，关于y的一元二次方程有两个整数根， ∴，即，， ∴，， ∴，即，故③正确； 由根与系数的关系得， ∵、均为负整数， ∴， ∴， 同理可得，， ∵、均为负整数， ∴， ∴，即， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根与判别式的关系、有理数的加法法则、配方法，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 2．已知关于x的方程． (1)当k是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根、满足：，求k的值． 【答案】(1)当时，方程有实数根 (2) 【分析】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元一次方程不等式，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；根据根与系数的关系结合找出关于k的一元一次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出、，结合k的取值范围可得出、均为正数，根据可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值． 【详解】（1）解：关于x的方程有实数根， ， 解得：， 当时，方程有实数根． （2）解：方程的两个实数根为、， ， ， 、均为正数， ，即， 解得： ． 3．关于x的方程有两个实数根x1,x2． （1）求实数k的取值范围； （2） 若x1,x2满足，求k的值． 【答案】（1）k≥;（2）k=2 【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（2k＋1）2−4（k2＋2）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1＋x2＝−（2k＋1）＜0，x1x2＝k2＋2＞0，则利用有理数的乘法性质可判断x1＜0，x2＜0，然后去绝对值得到−（x1＋x2）＝x1x2−1，则2k＋1＝k2＋2−1，整理得到k2−2k＝0，再解关于k的方程即可得到满足条件的k的值． 【详解】（1）根据题意得△＝（2k＋1）2−4（k2＋2）≥0， 解得k≥； （2）根据题意得x1＋x2＝−（2k＋1）＜0，x1x2＝k2＋2＞0， ∴x1＜0，x2＜0， ∵|x1|＋|x2|＝|x1x2|−1， ∴−（x1＋x2）＝x1x2−1， ∴2k＋1＝k2＋2−1， 整理得k2−2k＝0，解得k1＝0，k2＝2， ∵k≥， ∴k＝2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．也考查了根的判别式． 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2． (1)求m的取值范围； (2)若x1，x2满足2x1=|x2|+3，求m的值． 【答案】(1)m的取值范围为m≤5 (2)m的值为5 【分析】（1）由关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根可知，根的判别式：△，由此列出关于“m”不等式可求得m的取值范围； （2）由关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2可得：x1+x2=6，x1x2=m+4．结合2x1=|x2|+3，分和两种情况讨论，先求出的值，再由x1x2=m+4可求出m的值. 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（-6）2-4（m+4）=20-4m≥0， 解得：m≤5， ∴m的取值范围为m≤5． （2）∵方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1、x2， ∴x1+x2=6①，x1x2=m+4②． ∵2x1=|x2|+3， ∴当x2≥0时，有2x1=x2+3 ③；当x2＜0时，有2x1=-x2+3 ④； 联立①③，解出：x1=x2=3， ∴3×3=m+4， ∴m=5； 联立①④，解得：x1=-3，x2=9（不合题意，舍去）． 综上所述：m的值为5． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）分x2≥0及x2<0两种情况找出关于x1、x2的二元一次方程组． 5．关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于的不等式，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，根的定义可得，，，，根据可得，再根据可得，求解即可得出的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得：， 解得：． （2）解：∵、是一元二次方程的解， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：（不符合题意舍弃）， 故的值为． 根与系数关系中的新定义问题题型02 1．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值． 【答案】5 【分析】①根据凤凰方程的定义可知：是方程的一个根，以及方程有两个相等的实数根，，求出的值，再进行计算即可；②利用凤凰方程的定义、根据根与系数的关系求解． 【详解】解：法一：根据题意得： 解得：， 则． 法二：∵是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根， ∴的两个根均为1， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程判别式与根的个数的关系．理解凤凰方程的定义，得到是方程的一个根，是解题的关键．本题也可以利用根与系数的关系进行解题． 2．定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 【答案】(1) 解：方程是“差积方程”， 证明：， 即， 解得，， ， 是差积方程； (2)或 (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，；根据新定义列出方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 解得方程的解为：，， 是差积方程， ， 即：或． 解得：或， （3）解： ， 解得，， 是差积方程， ， 即， 即． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）规定：我们用表示一元二次方程，用数组表示一元二次方程的两个解（其中），当时，唯一对应一个数组，可记作：．如方程：的两个解分别为1，；则有，又如，，反之，当数组确定时，却有无数个一元二次方程与之对应，如方程和的解都是则称方程和为同解方程，记作方程．研究发现：当时，总有成立． (1)若则_______，若则_______； (2)若，且，求t的值； (3)如果实数a、b、c、d满足，，，探究是否为定值？如果是，请求出k的值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；5 (2) (3)是定值， 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，理解新定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意知，表明一元二次方程有两个实数解与4，由一元二次方程根与系数的关系即可求解；当时，总有，由此可求得c的值； （2）由知，m、n是一元二次方程的两个实数解，且; 由根与系数的关系知；结合，则，再利用完全平方公式的变形即可求得t的值； （3）由，，则c、d是方程的两个实数解，则a、b是方程的两个实数解，由根与系数的关系得，则，，从而有，；再由c是的解，有，同理，整理得，利用完全平方公式变形可求得的值，而，即可判定k为定值． 【详解】（1）解：由题意知，与4是一元二次方程的两个实数解， 由根与系数的关系得：； 当时，总有，而 ∴， ∴； 故答案为：；5； （2）解：由知，m、n是一元二次方程的两个实数解，且; ∴； ∵， 当m、n全为正或全为负时，则，这与矛盾； ∴， ∴， 则有， 即， ∴， 解得：； （3）解：∵，， ∴c、d是方程的两个实数解，a、b是方程的两个实数解， 由根与系数的关系得：， ∴,， ∴，； ∵c是的解， ∴，即； ∵a是方程的解， ∴，即； ∴， 即， ∴， 整理得：， 解得：或； ∵当，时，a、c是方程的两个实数解， 解此方程得：， 即 这与题设矛盾， ∴， ∴， ∴k为定值48． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $