2.4一元二次方程的应用 分层卷 2026～2027 学年北师大版九年级上册数学

2.4一元二次方程的应用分层卷2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：2.4 一元二次方程的应用 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．某商品原价为 100 元，经过两次降价后为 81 元，设平均每次降价的百分率为 ，则可列方程（　　） A． B． C． D． 2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患流感，设每轮传染中平均一个人传染 人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 3．一个矩形长 8 米、宽 5 米，把它的长和宽都增加相同的长度后，面积为 70 平方米，设增加的长度为 米，则可列方程（　　） A． B． C． D． 4．一个两位数，十位数字比个位数字大 2，且十位数字与个位数字的积为 15，设个位数字为 ，则可列方程（　　） A． B． C． D． 5．某工厂 2024 年产量为 500 吨，2026 年产量为 720 吨，设年平均增长率为 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 6．某商品每件进价 40 元、售价 50 元时，每天可售出 200 件；每件涨价 1 元，每天少售出 10 件。设每件涨价 元，要使每天利润为 1200 元，则可列方程（　　） A． B． C． D． 7．一个直角三角形的两条直角边之和为 14，斜边长为 10，则这个三角形较短的直角边长是（　　） A． B． C． D． 8．在矩形 中，，。点 从点 出发沿 向点 运动，点 从点 出发沿 向点 运动，速度都是每秒 1 个单位长度。设运动时间为 秒，当三角形 的面积为 4 时，则可列方程（　　） A． B． C． D． 9．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手 45 次，设参加聚会的有 人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 10．某商品原价为 元，连续两次降价，每次降价的百分率都是 ，现价为 元。给出下列四个结论，其中正确的个数是（　　） ① ； ② ； ③ 若 ，，则 ； ④ 若 ，，则 ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．某商店 3 月份的营业额为 200 万元，5 月份的营业额增长到 242 万元，设 4 月、5 月每月的增长率相同，则可列方程______． 12．一个矩形的长比宽多 3 米，面积为 40 平方米，设宽为 米，则可列方程______． 13．某企业 2024 年产值为 100 万元，2026 年产值为 144 万元，设年平均增长率为 ，则 的值是______． 14．一个矩形的周长为 34 厘米，对角线长为 13 厘米，则这个矩形的面积是______平方厘米． 15．一个两位数，十位数字与个位数字之和为 9，且这个两位数等于它的两个数字之积的 2 倍，则这个两位数是______． 16．用一根长 40 米的篱笆靠墙围成一个矩形菜园，墙长 12 米，篱笆只围三边（与墙平行的一边和垂直于墙的两边），菜园面积为 150 平方米，则垂直于墙的一边长是______米． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）某商店 4 月销售额为 50 万元，6 月销售额为 72 万元，且 5 月、6 月的月平均增长率相同． (1) 求月平均增长率； (2) 按此增长率，求 7 月的销售额． 18．（6 分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91． (1) 求每个支干长出的小分支的数目； (2) 求小分支的总数． 19．（6 分）一个矩形的长比宽多 4 米，面积为 96 平方米． (1) 求这个矩形的长和宽； (2) 求这个矩形对角线的长． 20．（6 分）如图，一块长 30 厘米、宽 20 厘米的矩形纸板，在它的四周裁去一条宽度相同的边（四条边宽度都为 厘米），使剩下部分的面积为 336 平方厘米． (1) 求裁去的边的宽度 ； (2) 求裁去部分的总面积． 21．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB = 8 厘米，BC = 6 厘米。点 P 从点 A 出发沿 AB 向点 B 以每秒 1 厘米的速度运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 向点 C 以每秒 2 厘米的速度运动，设运动时间为 秒（）． (1) 用含 的式子表示 与 的长； (2) 当三角形 的面积为 12 平方厘米时，求 的值． 22．（6 分）如图，一块长 45 米、宽 30 米的矩形草地，在草地中间修建两条宽度相同的小路（一条平行于长边，一条平行于宽边），剩余草地的面积为 1000 平方米． (1) 求小路的宽度； (2) 求两条小路的总面积． 23．（8 分）用长为 50 米的篱笆靠一面墙围成一个矩形菜园，墙长 22 米，篱笆只围三边（与墙平行的一边和垂直于墙的两边）． (1) 若菜园面积为 300 平方米，求垂直于墙的一边长； (2) 能否用这根篱笆围出面积为 320 平方米的菜园？请说明理由． 24．（8 分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。经调查发现，每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。设每件衬衫降价 元． (1) 若商场平均每天要盈利 1200 元，求 的值； (2) 在 (1) 的条件下，为了尽快减少库存，商场应选择哪种降价方案？此时每天售出多少件？ (3) 商场平均每天的盈利能否达到 1300 元？请说明理由． 参考答案与详细解析 1．【答案】 A 【解析】 每次降价后的价格是降价前的 倍； 第一次降价后为 元； 第二次降价后为 元； 由题意 ．选 A． 【解题提示】两次变化率相同，就用「原量乘 的平方」；降价取 ，增长取 ，别把一次变化与两次变化混淆． 2．【答案】 B 【解析】 第一轮传染后患病人数为 ； 第二轮里每个患病者又传染 人，第二轮后共有 人； 所以 ．选 B． 【解题提示】两轮传染的通用式是「每轮结束后人数乘 」，即 ；起始不止一人时改为「起始人数乘 」． 3．【答案】 D 【解析】 长增加 米后为 米，宽增加 米后为 米； 由面积公式得 ．选 D． 【解题提示】「两边都增加同一个量」时，长和宽各加上 ，面积直接等于新长乘新宽，不要写成原面积加 ． 4．【答案】 A 【解析】 个位数字为 ，十位数字比它大 2，为 ； 由「十位数字与个位数字的积为 15」得 ．选 A． 【解题提示】数位问题先表示每个数位上的数字，「大 2」就在个位基础上加 2，再用积（或和）列等式． 5．【答案】 C 【解析】 由增长率模型得 ； 即 ； 因为 ，所以 ，．选 C． 【解题提示】开方取 时只取正值（产量增长率使 ）； 是两年的总增长率，不是年平均增长率． 6．【答案】 B 【解析】 每件涨价 元后，利润为每件 元； 每天售出 件； 每天利润为 元，由题意 ．选 B． 【解题提示】销售问题的两个关键量：单件利润 = 售价减进价，销量随价格变化；列式时利润一定用「售价减进价」，不要把售价 50 直接当利润乘上去． 7．【答案】 A 【解析】 设一条直角边为 ，另一条为 ； 由勾股定理得 ； 展开整理得 ，即 ； 解得 或 ； 较短的直角边是 ．选 A． 【解题提示】两直角边之和与斜边已知时，设一边为 ，用勾股定理列方程，解出的两个值恰好是两条直角边；看清问题问的是「较短」的那条． 8．【答案】 D 【解析】 运动 秒后，，，； 三角形 是直角三角形，两直角边为 与 ； 面积为 ，由题意 ．选 D． 【解题提示】动点题先用 表示各段长：从起点出发用 ，到终点剩下的用「总长减 」；三角形面积别忘了乘 ． 9．【答案】 C 【解析】 每人要与其余 人握手，共 人次； 每次握手被两人各算了一次，所以要除以 2； 由题意 ．选 C． 【解题提示】两两配对的计数问题（握手、单循环比赛、互赠照片）都用 ；注意与传播问题的 区分． 10．【答案】 C 【解析】 ① 每次降价后是原来的 倍，两次后为 ，正确； ② 是两次降价的总降低率，不是每次的百分率，错误； ③ ，，，，正确； ④ ，正确； 正确的是 ①③④，共 个．选 C． 【解题提示】「每次的百分率」与「总的降低率」是两回事：总的降低率不等于每次的百分率乘 2，必须通过 换算． 11．【答案】 【解析】 3 月到 5 月经过了 4 月、5 月两个月，每月增长率都是 ； 4 月营业额为 万元； 5 月营业额为 万元； 由题意得 ． 【解题提示】先数清「隔了几个月」：3 月到 5 月是两次变化，所以是 的平方． 12．【答案】 【解析】 宽为 米，则长为 米； 由面积公式得 ． 【解题提示】「长比宽多 3」即长 = 宽 + 3；设较小的量（宽）为 ，列式更简洁． 13．【答案】 【解析】 由增长率模型得 ； 即 ； 因为 ，所以 ，． 【解题提示】结果用百分数表示： 要写成 ． 14．【答案】 【解析】 设矩形的长为 厘米、宽为 厘米，则 ； 由勾股定理，； 由 得 ； 所以 ； 面积为 平方厘米． 【解题提示】不需要分别求出长和宽，利用 把周长条件与对角线条件连起来；面积单位写「平方厘米」． 15．【答案】 【解析】 设十位数字为 ，则个位数字为 ； 这个两位数为 ； 由题意 ； 整理得 ； 解得 或 ； 不是整数，舍去，所以 ，个位数字为 6； 这个两位数是 ． 【解题提示】数位问题的解要检验「是不是一位非负整数」，分数解必须舍去；求出十位数字后别忘了还原成两位数本身． 16．【答案】 【解析】 设垂直于墙的一边长为 米，则与墙平行的一边长为 米； 由面积得 ； 整理得 ，即 ； 解得 或 ； 检验：墙长 12 米，与墙平行的一边不能超过 12 米，即 ，解得 ； 当 时，平行的一边为 米，超过墙长，舍去； 所以垂直于墙的一边长是 米（此时与墙平行的一边为 米）． 【解题提示】靠墙围栏问题必须检验「与墙平行的一边不超过墙长」，这一条往往能舍掉一个解；应用题的解不能只看方程，要看实际意义． 17．【答案】 (1) ；(2) 86.4 万元 【解析】 (1) 设月平均增长率为 ，由题意得 ； ； 因为 ，所以 ，； (2) 7 月销售额为 （万元）． 【解题提示】求出增长率后，下一年的量等于「当年量乘 」，不是再平方一次． 18．【答案】 (1) 个；(2) 个 【解析】 (1) 设每个支干长出 个小分支，则支干有 个，小分支有 个； 由题意得 ； 整理得 ； 解得 或 （不合实际，舍去）； 所以每个支干长出 个小分支； (2) 小分支总数为 （个）． 【解题提示】这类「层层分支」问题按层计数：主干 1、支干 、小分支 ；负数解要按实际意义舍去． 19．【答案】 (1) 长 米、宽 米；(2) 米 【解析】 (1) 设宽为 米，则长为 米； 由题意得 ； 整理得 ； 解得 或 （边长为正，舍去）； 所以宽为 米，长为 米； (2) 由勾股定理，对角线长为 ； （米）． 【解题提示】边长为负的解要舍去；求对角线用勾股定理，结果化成最简二次根式 ，不要写成 就完事． 20．【答案】 (1) 厘米；(2) 264 平方厘米 【解析】 (1) 裁去后剩下部分的长为 厘米、宽为 厘米； 由题意得 ； 展开整理得 ，即 ； 解得 或 ； 检验：宽只有 20 厘米，两边各裁去一段后 ，即 ，所以 舍去； 所以裁去的边的宽度为 厘米； (2) 裁去部分面积为 平方厘米． 【解题提示】四周各裁去 ，长和宽都要减 （两边各一段）；解出 后必须用「剩下部分的长、宽为正」来舍去不合实际的值． 21．【答案】 (1) 厘米， 厘米；(2) 【解析】 (1) 点 走过的路程 厘米，所以 厘米； 点 走过的路程 厘米； (2) 四边形 是矩形，所以 是直角，三角形 的两直角边为 与 ； 面积为 ； 由题意 ； 整理得 ； 解得 或 ； 因为 ，所以 舍去，取 ． 【解题提示】动点问题的约束条件（）不是摆设，它是舍去不合理解的依据；速度不同时，走过的路程分别是 与 ． 22．【答案】 (1) 米；(2) 350 平方米 【解析】 (1) 设小路宽 米，把两条小路分别平移到草地边缘，剩余草地可拼成一块长 米、宽 米的矩形； 由题意得 ； 展开整理得 ，即 ； 解得 或 ； 草地宽只有 30 米， 不合实际，舍去； 所以小路宽 米； (2) 小路总面积为 平方米． 【解题提示】十字形道路用「平移拼补」最简单：剩余部分的长宽各减去一个路宽；注意十字路口的面积被算了两次，但拼补法天然把它处理对了． 23．【答案】 (1) 米；(2) 不能 【解析】 (1) 设垂直于墙的一边长为 米，则与墙平行的一边长为 米； 由题意得 ； 整理得 ，即 ； 解得 或 ； 检验：墙长 22 米，与墙平行的一边不能超过 22 米，即 ，解得 ； 当 时，平行的一边为 米，超过墙长，舍去； 所以垂直于墙的一边长为 米（此时与墙平行的一边为 米）； (2) 假设能围成，则 ； 整理得 ； 判别式 ； 方程无实数解，所以不能围出面积为 320 平方米的菜园． 【解题提示】(2) 用「方程有没有实数解」来判断能否实现，判别式小于 0 就直接下结论；(1) 的两个解要用实际意义（篱笆三边的合理配置）筛选． 24．【答案】 (1) 或 ；(2) 降价 20 元，每天售出 60 件；(3) 不能 【解析】 (1) 降价 元后，每件盈利 元，每天售出 件； 由题意得 ； 展开整理得 ，即 ； 解得 或 ； 两个解都符合实际（每件盈利与销量都为正）； (2) 为了尽快减少库存，应选销量大的方案，即降价 元； 此时每天售出 件； (3) 假设能达到 1300 元，则 ； 整理得 ； 判别式 ； 方程无实数解，所以每天盈利不能达到 1300 元． 【解题提示】「尽快减少库存」提示选销量大的方案；(3) 的问法把最值问题转成了「方程是否有解」，用判别式判断即可，不需要求二次函数顶点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4一元二次方程的应用分层卷2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：2.4 一元二次方程的应用 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．某商品原价为 100 元，经过两次降价后为 81 元，设平均每次降价的百分率为 ，则可列方程（　　） A． B． C． D． 2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患流感，设每轮传染中平均一个人传染 人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 3．一个矩形长 8 米、宽 5 米，把它的长和宽都增加相同的长度后，面积为 70 平方米，设增加的长度为 米，则可列方程（　　） A． B． C． D． 4．一个两位数，十位数字比个位数字大 2，且十位数字与个位数字的积为 15，设个位数字为 ，则可列方程（　　） A． B． C． D． 5．某工厂 2024 年产量为 500 吨，2026 年产量为 720 吨，设年平均增长率为 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 6．某商品每件进价 40 元、售价 50 元时，每天可售出 200 件；每件涨价 1 元，每天少售出 10 件。设每件涨价 元，要使每天利润为 1200 元，则可列方程（　　） A． B． C． D． 7．一个直角三角形的两条直角边之和为 14，斜边长为 10，则这个三角形较短的直角边长是（　　） A． B． C． D． 8．在矩形 中，，。点 从点 出发沿 向点 运动，点 从点 出发沿 向点 运动，速度都是每秒 1 个单位长度。设运动时间为 秒，当三角形 的面积为 4 时，则可列方程（　　） A． B． C． D． 9．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手 45 次，设参加聚会的有 人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 10．某商品原价为 元，连续两次降价，每次降价的百分率都是 ，现价为 元。给出下列四个结论，其中正确的个数是（　　） ① ； ② ； ③ 若 ，，则 ； ④ 若 ，，则 ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．某商店 3 月份的营业额为 200 万元，5 月份的营业额增长到 242 万元，设 4 月、5 月每月的增长率相同，则可列方程______． 12．一个矩形的长比宽多 3 米，面积为 40 平方米，设宽为 米，则可列方程______． 13．某企业 2024 年产值为 100 万元，2026 年产值为 144 万元，设年平均增长率为 ，则 的值是______． 14．一个矩形的周长为 34 厘米，对角线长为 13 厘米，则这个矩形的面积是______平方厘米． 15．一个两位数，十位数字与个位数字之和为 9，且这个两位数等于它的两个数字之积的 2 倍，则这个两位数是______． 16．用一根长 40 米的篱笆靠墙围成一个矩形菜园，墙长 12 米，篱笆只围三边（与墙平行的一边和垂直于墙的两边），菜园面积为 150 平方米，则垂直于墙的一边长是______米． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）某商店 4 月销售额为 50 万元，6 月销售额为 72 万元，且 5 月、6 月的月平均增长率相同． (1) 求月平均增长率； (2) 按此增长率，求 7 月的销售额． 18．（6 分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91． (1) 求每个支干长出的小分支的数目； (2) 求小分支的总数． 19．（6 分）一个矩形的长比宽多 4 米，面积为 96 平方米． (1) 求这个矩形的长和宽； (2) 求这个矩形对角线的长． 20．（6 分）如图，一块长 30 厘米、宽 20 厘米的矩形纸板，在它的四周裁去一条宽度相同的边（四条边宽度都为 厘米），使剩下部分的面积为 336 平方厘米． (1) 求裁去的边的宽度 ； (2) 求裁去部分的总面积． 21．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB = 8 厘米，BC = 6 厘米。点 P 从点 A 出发沿 AB 向点 B 以每秒 1 厘米的速度运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 向点 C 以每秒 2 厘米的速度运动，设运动时间为 秒（）． (1) 用含 的式子表示 与 的长； (2) 当三角形 的面积为 12 平方厘米时，求 的值． 22．（6 分）如图，一块长 45 米、宽 30 米的矩形草地，在草地中间修建两条宽度相同的小路（一条平行于长边，一条平行于宽边），剩余草地的面积为 1000 平方米． (1) 求小路的宽度； (2) 求两条小路的总面积． 23．（8 分）用长为 50 米的篱笆靠一面墙围成一个矩形菜园，墙长 22 米，篱笆只围三边（与墙平行的一边和垂直于墙的两边）． (1) 若菜园面积为 300 平方米，求垂直于墙的一边长； (2) 能否用这根篱笆围出面积为 320 平方米的菜园？请说明理由． 24．（8 分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。经调查发现，每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。设每件衬衫降价 元． (1) 若商场平均每天要盈利 1200 元，求 的值； (2) 在 (1) 的条件下，为了尽快减少库存，商场应选择哪种降价方案？此时每天售出多少件？ (3) 商场平均每天的盈利能否达到 1300 元？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $