2.4 一元二次方程的应用（分层作业练题型）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“分层进阶+中考衔接”为特色，通过A、B、C组及拓展的梯度设计，实现从一元二次方程建模到综合应用的知识巩固，培养数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|由实际问题抽象方程、基础应用|以选择、填空为主，聚焦增长率、传染问题等基础模型，如流感传染、产量增长题| |B组能力进阶|几何应用、古代数学问题|结合矩形面积、行程问题，引入《九章算术》情境，如门高竿长题，提升推理能力| |C组思维拔高|动态几何、综合实践|含动点问题、收纳盒制作等探究题，如矩形中P、Q点运动，培养创新意识| |拓展链接中考|中考真题再现|选取2026年各地中考题，如武汉几何解法、凉山销售问题，衔接测评需求|

分层作业 2.4 一元二次方程的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 由实际问题抽象出一元二次方程 题型02 应用一元二次方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 由实际问题抽象出一元二次方程题型01 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人，∴新增患病人数为，∴． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个，∴． 3．（25-26九年级·全国·暑假作业）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设每箱降价元，原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元，原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱，∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 4．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛，∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场，∴ 可列方程为． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设每盆多植株，∵原来每盆植3株，∴现在每盆总株数为株，∵每增加1株，平均每株盈利减少元，∴增加株后，平均单株盈利为元，∵要求每盆盈利达到20元，∴列出方程为 ． 6．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 应用一元二次方程题型02 7．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】设这个数为x，则，整理得，，解得．即这个数是． 8．（25-26九年级上·云南楚雄·期末）冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 【解析】解：设每轮传染中平均每人传染人．依题意，得 ， 解得（舍去）． 答：每轮传染中平均每人传染3人． 9．（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少． 【解析】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 10．（25-26九年级上·云南昭通·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 【解析】解：设云南共有个州（市）， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：云南共有16个州（市）． 11．（25-26八年级下·山东济南·期末）某果园原计划种80棵桃树，每棵桃树平均结800个桃子，现准备多种一些桃树提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，平均每棵桃树的产量就会减少2个桃子，但多种的桃树不能超过60棵．如果要使总产量达到76000个，那么应多种多少棵桃树？ 【解析】解：设应多种x棵桃树，根据题意得： ， 解得：，， ∵多种的桃树不能超过60棵， ∴不符合题意舍去， ∴， 答：应多种20棵桃树． 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【解析】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 13．（25-26八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【解析】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 14．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． (1)设售价为x元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； (2)若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 【解析】（1）解：依题意，（，且x为整数）； （2）解：依题意， 整理得： ∴解得 ∴售价定为70元． 15．（25-26八年级下·江苏南京·期末）某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 【解析】解：设每间客房的定价提高了x元，由题意得： ，解得：， 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 所以当时，能吸引更多的游客，则每间客房的定价为（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 16．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇．∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边），∴ 由勾股定理，得． 17．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高为尺.∵ 斜放竿与门对角线恰好相等，∴ 门对角线长为尺，由勾股定理得． 18．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．假设这两个月的平均增长率为x，则列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵九月份销售额为200万元，十月份销售额下降了，∴十月份的销售额为万元，∵十一、十二月份的平均增长率为，销售额从十月份开始连续增长两次，最终十二月份销售额为万元，∴可得方程 ． 19．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【解析】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示：石板小径的总面积占矩形地块面积的，空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，则，，则， 解得或（，舍去），石板小径的宽度为． 20．（25-26九年级上·山东青岛·周测）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 【解析】（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为； （2）解：设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，三月的销售量是， 当月的销售量为件， 依题意得：， 整理得：，解得，， 又∵要尽可能让利顾客，赢得市场，∴， 答：该商品售价定为元时，商场当月获利元． 21．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 【解析】（1）解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； （2）每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 22．（22-23九年级上·山西大同·阶段检测）你知道古代数学家怎样解一元二次方程吗？ 以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：计算大正方形面积用x表示为 ．长方形面积为3，小正方形面积为4． 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程 ， 两边开方可求得：． 则上述过程中，按顺序横线上应填入 ， ． 【答案】， 【解析】解：计算大正方形面积用x表示为； 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程． 23．（25-26八年级下·浙江台州·期末）芯片是我国“十五五”核心攻关项目，场效应晶体管（管）是基本单元．管饱和区工作电流（单位：）由栅源电压（单位：）调节控制，满足公式：，其中和为常数，．已知某S型管满足，某R型管满足． (1)当时， A，当时， V． (2)只要控制管电流相同，不同型号的管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该和两型号管串联在饱和区工作，若两款管的安全电压都为，将型管调整为，通过计算判断该型管是否安全工作． 【解析】解：（1）当时，A； 当时，可得， 解得（负数舍去）， 则当时，V； (2)R型管安全工作， 当S型时，， S和R两型号管电流相同， ． 由公式， 可得， 解得，（舍去）． ∵两款MOS管的安全电压都为， ∴R型MOS管在安全电压范围内，即安全工作． 24．（25-26八年级下·浙江台州·期末）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； (2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； 【解析】（1）解：，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形， ． 根据折叠后正好重合可知． （2）解：设，则，， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） ． 25．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【解析】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又，∴， 根据题意，得，解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得，整理得， ∴，∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得，解得：，； ②当时，， 由题意，得，解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 26．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）． (1)当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）． (2)机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由． (3)研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频． 【解析】（1）解：当步频（步/秒）时，步长（米/步），步行速度（米/秒）； （2）解：由，，可得 令，得方程 整理得 解得 ，符合条件 步行速度能达到（米/秒），此时； （3）解：设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） 第一次步行速度为，行走时间为 第二次步行速度为，行走时间为 由两次行走时间相等，得 整理得 解得， ∵，∴舍去 ∴第一次测试中机器人的步频为2步/秒． 27．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【解析】（1）解： ， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 28．（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，∴四个小正方形的边长为，∵大正方形的面积为，∴大正方形的边长为，∴方程的正数解是． 29．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵3月份产量为台，月平均增长率为 ，∴4月份产量为台 ，∴5月份产量为台 ，又∵5月份实际产量为台 ，∴可列方程为． 30．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛，又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数，∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场，∴可列方程． 31．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【解析】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：，解得：，， 尽可能的让利于顾客，， 即该款文创产品每件的售价为35元． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.4 应用一元二次方程 参考答案 由实际问题抽象出一元二次方程题型01 1．C 2．D 3．A 4．D 5．A 6．A 应用一元二次方程题型02 7．D 8．【解析】解：设每轮传染中平均每人传染人．依题意，得 ， 解得（舍去）． 答：每轮传染中平均每人传染3人． 9．【解析】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 10．【解析】解：设云南共有个州（市）， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：云南共有16个州（市）． 11．【解析】解：设应多种x棵桃树，根据题意得： ， 解得：，， ∵多种的桃树不能超过60棵， ∴不符合题意舍去， ∴， 答：应多种20棵桃树． 12．【解析】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 13．【解析】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 14．【解析】（1）解：依题意，（，且x为整数）； （2）解：依题意， 整理得： ∴ 解得 ∴售价定为70元． 15．【解析】解：设每间客房的定价提高了x元，由题意得： ，解得：， 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 所以当时，能吸引更多的游客，则每间客房的定价为（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 16．A 【解析】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇．∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边），∴ 由勾股定理，得． 17．B【解析】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高为尺. ∵ 斜放竿与门对角线恰好相等，∴ 门对角线长为尺， 由勾股定理得． 18．C【解析】解：∵九月份销售额为200万元，十月份销售额下降了， ∴十月份的销售额为万元，∵十一、十二月份的平均增长率为，销售额从十月份开始连续增长两次，最终十二月份销售额为万元，∴可得方程 ． 19．【解析】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的，空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ，，则， 解得或（，舍去），石板小径的宽度为． 20．【解析】（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为； （2）解：设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，三月的销售量是， 当月的销售量为件， 依题意得：， 整理得：，解得，， 又∵要尽可能让利顾客，赢得市场，∴， 答：该商品售价定为元时，商场当月获利元． 21．【解析】（1）解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； （2）每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 22．【答案】， 【解析】解：计算大正方形面积用x表示为； 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程． 23．【解析】解：（1）当时，A； 当时，可得， 解得（负数舍去）， 则当时，V； (2)R型管安全工作， 当S型时，， S和R两型号管电流相同， ． 由公式， 可得， 解得，（舍去）． ∵两款MOS管的安全电压都为， ∴R型MOS管在安全电压范围内，即安全工作． 24．【解析】（1）解：，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形， ． 根据折叠后正好重合可知． （2）解：设，则，， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） ． 25．【解析】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又，∴， 根据题意，得，解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得，整理得， ∴，∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得，解得：，； ②当时，， 由题意，得，解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 26．【解析】（1）解：当步频（步/秒）时，步长（米/步），步行速度（米/秒）； （2）解：由，，可得 令，得方程 整理得 解得 ，符合条件 步行速度能达到（米/秒），此时； （3）解：设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） 第一次步行速度为，行走时间为 第二次步行速度为，行走时间为 由两次行走时间相等，得 整理得 解得， ∵，∴舍去 ∴第一次测试中机器人的步频为2步/秒． 27．【解析】（1）解： ， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 28．A【解析】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，∴四个小正方形的边长为，∵大正方形的面积为，∴大正方形的边长为，∴方程的正数解是． 29．C 【解析】∵3月份产量为台，月平均增长率为 ，∴4月份产量为台 ，∴5月份产量为台 ，又∵5月份实际产量为台 ，∴可列方程为． 30．B 【解析】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛，又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数，∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场，∴可列方程． 31．【解析】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：，解得：，， 尽可能的让利于顾客，， 即该款文创产品每件的售价为35元． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.4 一元二次方程的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 由实际问题抽象出一元二次方程 题型02 应用一元二次方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 由实际问题抽象出一元二次方程题型01 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级·全国·暑假作业）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 应用一元二次方程题型02 7．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 8．（25-26九年级上·云南楚雄·期末）冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 9．（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    10．（25-26九年级上·云南昭通·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 11．（25-26八年级下·山东济南·期末）某果园原计划种80棵桃树，每棵桃树平均结800个桃子，现准备多种一些桃树提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，平均每棵桃树的产量就会减少2个桃子，但多种的桃树不能超过60棵．如果要使总产量达到76000个，那么应多种多少棵桃树？ 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 13．（25-26八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 14．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． (1)设售价为x元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； (2)若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 15.（25-26八年级下·江苏南京·期末）某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 16．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．假设这两个月的平均增长率为x，则列出的方程为（     ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 20．（25-26九年级上·山东青岛·周测）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 21．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 22．（22-23九年级上·山西大同·阶段检测）你知道古代数学家怎样解一元二次方程吗？ 以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：计算大正方形面积用x表示为 ．长方形面积为3，小正方形面积为4． 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程 ， 两边开方可求得：． 则上述过程中，按顺序横线上应填入 ， ．    23．（25-26八年级下·浙江台州·期末）芯片是我国“十五五”核心攻关项目，场效应晶体管（管）是基本单元．管饱和区工作电流（单位：）由栅源电压（单位：）调节控制，满足公式：，其中和为常数，．已知某S型管满足，某R型管满足． (1)当时， A，当时， V． (2)只要控制管电流相同，不同型号的管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该和两型号管串联在饱和区工作，若两款管的安全电压都为，将型管调整为，通过计算判断该型管是否安全工作． 24．（25-26八年级下·浙江台州·期末）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； (2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； 25．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 26．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）． (1)当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）． (2)机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由． (3)研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频． 27．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 28．（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 29．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 30．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 31．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $