2.4 第1课时几何问题与古代数学问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

拔尖特训·数学（北师版）九年级上 4 一元二次方程的应用 第1课时几何问题与古代数学问题 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.新青境数学文化中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这么一道题：“直田积八百六十 四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它 的长与宽共60步，则它的长比宽多 () A.12步 B.24步 C.36步 D.48步 2.如图，将面积为16的正方形分为①②③④四部分，分成的四部分恰好拼成矩形ABCD,则AB的 长为 ①② (第2题) (第3题) 3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以 2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P,Q两点 分别从A,B两点同时出发，设移动时间为ts.有下列结论：①当t=2时，PQ=8√2mm; ②△PBQ的面积可以为35mm2;③t=1时的四边形APQC的面积大于t=5时的四边形 APQC的面积.其中，正确的结论有 .(填序号) 4.考向探究题如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm,BC=25cm.动点P从点C出发， 沿CA方向运动至点A,速度是2cm/s;同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动至点C,速度 是1cm/s.设运动时间为ts(0t≤15)， (1) s后△PCQ是等腰三角形 (2)几秒后P,Q两，点相距25cm? (3)设△CPQ的面积为S1cm,△ABC的面积为S2cm,在运动过程中是否存在某一时刻，使 得S1:S2=2：5?若存在，请求出点P运动的时间；若不存在，请说明理由 (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.境数学文化《四元玉鉴》是我国元代数学家朱世杰创作的一部数学著作.该书成就辉煌，被数 学史研究者评价为中世纪最杰出的数学著作.嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人 36 第二章一元二次方程 代买一批椽，这批椽的价钱为216文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的 运费恰好等于一株椽的价钱.下列说法中，不正确的是 () A.设这批椽的数量为x株，则3x(x一1)=216B.这批椽的总运费为24文 C.一株椽的价钱为24文 D.这批椽一共有9株 6.如图，一艘轮船以40k/h的速度由西向东航行，在途中点C处接到台风警报，台风中心点B正 以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响 区.当轮船接到台风警报时，测得BC=500km,AB=300km(假定轮船不改变航向). (1)经过11h后轮船与台风中心相距多远？此时轮船是否受到台风的影响？ (2)如果这艘轮船受到台风的影响，求轮船受到台风影响的时间. 北 东 (第6题) 道门三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 7.舒向探究题用矩形硬纸片制作无盖纸盒.如图①，有一张长30cm、宽16cm的矩形硬纸片，剪 去角上同样大小的四个正方形之后，折成如图②所示的无盖纸盒（硬纸片厚度忽略不计）. ① ② ③ (第7题) (1)若剪去的正方形的边长为2cm,则纸盒底面矩形的长为 cm,宽为 cm. (2)若纸盒的底面积为240cm,请计算剪去的正方形的边长， (3)如图③，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形，经过思考他发现， 再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒（剪去部分为涂色部分）.若折成 的有盖长方体纸盒的表面积为412cm,请计算剪去的正方形的边长， ●“答案与解析”见P23 378.1,关于x的方程x2+2x十m一1=0有两个不相等 的实数根，∴.△=b2-4ac>0,即22-4×1×(m-1)>0, 解得m<2..m可取的最大整数是1. 9.A,关于x的一元二次方程2x2十kx一4=0的一个 根是x1=-2,.x1x2=-2x2=-2,x1十x2=一2十x2 -专解得=1k=2 10.一7关于x的一元二次方程x2一2x一a=0的两 个根分别记为x1x2,.x十x2=2,x1x2=一a.x1 -1,∴.x2=3..x1x2=-3=-a.∴.a=3.∴.a-x2 x号=3-(-1)2-32=3-1-9=-7. 11.C,a,b是一元二次方程x2十x一8=0的两个实数 根，∴.a十b=-1,ab=一8，a2十a一8=0..a2十a=8. .a2+2a+b-ab=(a2+a)+(a+b)-ab=8+(-1) (-8)=15. 2号 :一元二次方程x2+2x一8=0的两个根为 x12x1十x2=-2,x1x2=-8..2+21x2+ 4=2x1++=2x1x,++,-2红=2X (-8)+-2)2-2X(-8)=-37 -8 2 13.一1：x1,x2是一元二次方程x2十2x十2m=0的 两个实数根，x1十x2=一2，x1x2=2m.x子十x号=8， 即(x1十x2)2-2x1x2=8,.（-2)2-2×2m=8.∴m= -1. 14.13<m≤15由一元二次方程根与系数的关系，得 x1x2=m-11,x1+x2=4.3x1x2-x1-x2>2, ..3(m-11)-4>2,解得m>13.又.·△=（一4）2 4(m-11)≥0，，.m15..∴.13m15. 15.(1)m2-2m=3k+1,n2-2n=3k+1(m≠n), .m,n为关于x的方程x2一2x=3k十1的两个不相等的 实数根.由根与系数的关系得，m十n=2,∴，m十n的值为 定值.(2)由(1)得nm=-(3k+1),∴.m=-(3k+1)> 0,解得<-子又：(-2)+4(3+1)>0,1k> 16.(1)根据根的判别式可得△=4一4×1×（一m2十 3)=4十4m2>0,,.此方程有两个不相等的实数根. 2 (2)设方程的两根分别为t,3t,则t十3t=4,∴.t=1.∴.方 程的两个根为x1=1,x2=3. 17.(1),一元二次方程x2-2(m十1)x十m2+5=0有 两个实数根，.△≥0，即[-2(m+1)]2-4(m2+5)≥0，解 得m≥2.∴.m的取值范围是m≥2.(2)，x1,x2是关 于x的一元二次方程x2-2(m+1).x十m2十5=0的两个 实数根，.x1十x2=2m十2，x1x2=m2+5.（x1一 1)(x2-1)=28,.x1x2-(x1+x2)+1=28..m2+5 (2m十2)+1=28，解得m=6或m=一4.由(1)知m≥2， ∴.m的值为6.(3)当7为底边长时，等腰三角形的腰长 分别为x1和x2x1=x2..一元二次方程x2-2(m十 1)x十m2十5=0有两个相等的实数根，.△=0，即 [-2(m+1)]-4(m2+5)=0,解得m=2,此时一元二次 方程为x2-6x+9=0..x1十x2=6<7,此时△ABC不 存在.当7为腰长时，x1,x2中有一个为7，∴一元二次方 程x2-2(m十1)x十m2+5=0有一个根为x=7.∴.72 2(m十1)×7+m2+5=0,解得m=4或m=10.若m=4, 则一元二次方程为x2-10x+21=0,解得x=3或x=7, .△ABC的周长为3+7+7=17.若m=10,则一元二次 方程为x2一22x+105=0,解得x=7或x=15,由于7+ 7<15,故此时△ABC不存在.综上所述，△ABC的周长 为17. 18.(1)△=[-(2k+3)]2-4(k2-2k-1)=20k+13>0, 解得>一品 (2):△=[-(2k+3)]2-4(k2-2k- 1)=20k十13=33，∴.k=1.∴.方程为x2-5x-2=0.根 据根与系数的关系可得x1十x2=5,x1x2=一2.(x1十 1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+5+1=4. (3)由条件可知a十b=5,ab=一2，设两条对角线AC,BD交 于点0，则A0=00= 2 ,B0=D0= ,.AB= 2 AO2+OB2= 4 P二2X(-2)29.·.AB=4 4 /厚-图.菱形ABCD 四=2√2 的周长为4AB=4X2 4一元二次方程的应用 第1课时几何问题与古代数学问题 1.A设矩形田地的长为x步(x>30),则宽为(60一x) 步.根据题意，得x(60一x)=864,整理得x2一60x+864= 0,解得x=36或x=24(舍去)，.∴.x一(60一x)=12. 2.25一2由题意知，正方形的边长为4.在矩形中添上 字母，如图所示.设AB=x,则EF=4一x,BF=4一(4 x)=x,BC=CF十BF=4十x.根据题意，得x(4十x)=16, 整理得x2+4x-16=0,解得x1=25-2,x2=-2√5-2 (不符合题意，舍去)，∴AB的长为25-2. ①② E② ③ （4】 ④ ① C (第2题) 3.①②由题意得，AP=2tmm,BQ=4tmm,∴.BP= AB-AP=(12-2t)mm.当t=2时，BP=8mm,BQ= 8mm,:∠B=90°，∴.PQ=√BP2+BQ=8√2mm.故 ①说法正确，S6m=2BQ·PB=号·412-2)= (一4t2+24t)mm2,当△PBQ的面积为35mm时， -42+241=35,整理得42-24+35=0，解得1=2或1 5 「7：0<1<2=6，.△PBQ的面积可以为35mm,故 ②说法正确.当t=1时，S△P0=一4X1十24×1= 20(mm2);当1=5时，S△Pa=-4×52+24×5= 20(mm),∴.当t=1时和当t=5时，△PBQ的面积相等. 又：四边形APQC的面积=S△Ae一S△PQ,∴.当t=1时 和当t=5时，四边形APQC的面积相等，故③说法错误， 4(①5(2)由题意，得CP=2em.CQ=(25-4)cm 由题意，得(2t)2十(25一t)2=252,解得t1=10,t2=0(不合 题意，舍去)..10s后P,Q两点相距25cm.(3)存在. 由题意，易得5，=号×20×(25-)=-+251,5：= 2×30×25=375.:S1:S2=2:5,5(-42+251)= 375×2,解得t1=10,t2=15.,∴.点P运动的时间为10s或 15s. 5.B设这批椽的数量为x株，则(x一1)株椽的运费是 3(x一1)文，一株椽的价钱为3(x一1)文.根据题意得 3(x-1)·x=216,整理得x2-x-72=0,解得x1=-8 (不符合题意，舍去)，x2=9.,.3(x一1)=3×(9一1)=24， 3x=3×9=27..设这批椽的数量为x株，所列方程为 3x(x一1)=216，这批椽的总运费为27文，一株椽的价钱 为24文，这批椽一共有9株. 6.(1).'BC=500km,AB=300km,.∴.AC=/BC2-AB2= 400km:'√(11×40-400)2+(300-11×20)2=40V5(km), 40√5<200，∴.经过11h后轮船与台风中心相距 40√5km,此时轮船受到台风的影响.(2)设这艘轮船航 行的时间为th.由题意，得(400-40t)2+(300-20t)2= 2002,解得t1=7,t2=15.∴.轮船受到台风影响的时间为 15-7=8(h). 7.(1)26:12.(2)设剪去的正方形的边长为xcm.根据 题意，得(30-2x)(16-2x)=240,解得x1=20(不合题 意，舍去)，x2=3..剪去的正方形的边长为3cm. (3)设剪去的正方形的边长为ycm.根据题意，得30 16-2y2-2,3受=412.解得1=-17（不合题意，含去. y2=2..剪去的正方形的边长为2cm. 第2课时销售利润问题与平均变化率问题 1.B设该景区这两年接待游客人次数的年平均增长率为 x.根据题意，得25(1+x)2=36,解得x1=0.2=20%, x2=一2.2（不符合题意，舍去），∴.该景区这两年接待游客 人次数的年平均增长率为20%. 2.55设每件售价应定为x元.根据题意列一元二次方程 得，(x-50)[10+2(70-x)]=(70-50)×10,解得x1= 55,x2=70.:商家想尽快销售完该款小商品，·x=55. .若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款小商品，每 件售价应定为55元. 3.(1)设月平均增长率为x.由题意，得500(1十x)2= 720,解得x=0.2=20%或x=-2.2(舍去).∴.月平均增 长率为20%.(2)设售价应降低a元.由题意，得(100一 a-60)(20+2a)=1200,.∴.a2-30a+200=0.,∴.a=10 或a=20.,商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴.a=20.∴.售价应降低20元. 4.B设2月到4月该厂家自行车产量的月增长率为x. 依题意得200(1十x)2=288,解得x1=0.2=20%,x2= 一2.2（不合题意，舍去），.3月自行车产量为200×(1十 20%)=240(辆). 5.D设涨价t元.根据题意列方程得(10十t-8)[200一 10×(t÷0.5)]=700,整理得t2一8t+15=0,解得t=3, t2=5,∴.10+3=13（元）或10十5=15（元），即售价为 13元或15元时，每天的利润可达到700元. 6.9设每件商品降价x元，则每件利润为(200一x一