培优专题02 数轴上的动点、规律及其应用问题（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以数轴为载体，构建从基础概念到动态综合的层级训练体系，提炼距离多解、绝对值最值等核心方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础夯实|4题型|数轴定义辨析、距离计算规则|从数轴概念到静态距离，构建数形结合基础| |动态入门|5题型|单点运动规律、图形翻转周期|由单点到图形动态，渗透分类讨论思想| |综合拔高|10题型|绝对值最值“奇中偶段”、多动点方程建模|结合代数与几何，形成动态问题解决框架|

培优专题02 数轴上的动点、规律及其应用问题 （题型突破·举一反三） 题型01 辨别数轴说法的正误（选择填空基础・夯实根基） 题型02 数轴识图与数的比较大小（选择填空必考・夯实根基） 题型03 数轴上两点之间的距离（期中基础高频・核心工具） 题型04 数轴上点的移动（入门动态题型・过渡训练） 题型05 数轴上单点左右运动规律探究（动点入门・月考预热） 题型06 数轴上三角形的运动规律探究（图形动态・期中难点） 题型07 数轴上正方形的运动规律探究（图形动态・期中难点） 题型08 数轴上圆形的运动规律探究（图形动态拓展・拔高训练） 题型09 数轴上的翻折问题（折叠对称・期中难点） 题型10 数轴上的整点覆盖问题（计数类动态・期中难点） 题型11 数轴与绝对值的几何意义最值问题（期中重难点） 题型12 与数轴有关的新定义问题（拓展创新・区分题型） 题型13 单动点运动问题（月考压轴必考・核心难点） 题型14 双动点运动问题（期中压轴必考・核心难点） 题型15 多动点运动问题（期末压轴拔高・难点） 题型16 数轴动态与代数式综合（期中压轴必考・核心难点） 题型17 数轴上的定值不变问题（动态探究压轴・高频考向） 题型18 数轴的应用问题（实际情景题型・综合运用） 题型19 数轴旋转综合问题（期末拓展难题） ▌题型01 辨别数轴说法的正误 【典例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列说法正确的是（    ） A．数轴由原点、单位长度和正方向组成 B．数轴上的一个点只能表示一个数 C．数轴上的点只能表示整数 D．数轴只含有正数部分和负数部分 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的定义. 根据数轴的定义和性质逐一分析选项. 【详解】A：数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，但数轴本身是一条直线，这三个要素是其属性而非“组成”部分，因此表述不准确，错误. B：数轴上的点与实数一一对应，每个点只能表示一个数，正确. C：数轴上的点可以表示所有实数（如分数、小数等），错误. D：数轴包含正数、负数和原点（0），错误. 故选：B. 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查数轴的定义，有理数与数轴，根据数轴的定义，以及用数轴表示有理数逐一进行判断即可． 【详解】解：规定了原点、单位长度，正方向的直线是数轴；故①说法错误； 数轴上两个不同的点不能表示同一个有理数；故②说法错误； 有理数在数轴上能表示出来；故③说法错误； 任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点；故④说法正确； 故选A． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列说法中，①数轴上的点只能表示整数；②数轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴也可以箭头竖直向上画；⑤数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑥数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的有_____个． 【答案】2 【分析】根据数轴上的点与实数一一对应，数轴是一条规定了原点、方向和单位长度的直线，以及数轴的意义逐一分析可得答案．本题考查了数轴，注意数轴上的点与实数一一对应． 【详解】解：数轴上的点与实数一一对应，故①⑥是错误的； 数轴是一条直线的说法正确；故②是错误的； 数轴上的一个点只能表示一个数；故③是正确的； 数轴也可以箭头竖直向上画；故④是正确的； ⑤数轴上既不表示正数，又不表示负数的点是0，故⑤是错误； 故正确的说法有2个． 故答案为：2． 【变式3】（23-24七年级上·天津北辰·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．数轴上表示的点与表示的点相距2 B．数轴上表示的点与表示的点相距 C．数轴上表示的点与表示4的点相距 D．数轴上表示的点与表示的点相距10 【答案】A 【分析】数轴上表示的点与表示的点的距离为：． 【详解】解：A、数轴上表示+6的点与表示+4的点相距：，故A正确； 两点之间的距离一定为非负数，故B、C错误； D、数轴上表示的点与表示的点相距：，故D错误； 故选：A 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离．熟记相关结论即可． ▌题型02 数轴识图与数的比较大小 【典例2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上数的特点解题即可． 【详解】解：由题意可知，与互为相反数，在数轴上关于原点对称；和互为相反数，在数轴上关于原点对称； 则和的位置如图， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴确定、的取值范围：，，且，再结合绝对值的性质逐一分析每个选项的正确性． 【详解】解：由数轴可知，，，且． ∵， ∴，故A选项正确． ，故B选项错误． ∵， ∴，故C选项错误． ∵， ∴，即，故D选项错误． 综上，正确结论为A选项． 【变式2】（25-26七年级上·河南郑州·期末）有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列结论：①与互为相反数；②；③；④；⑤，其中正确的是（   ） A．①②④⑤ B．②③④ C．①③④ D．②③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的位置与有理数性质的关系，关键是根据数轴判断数的正负、绝对值大小，再逐一分析结论． 【详解】解：由数轴可知，，，且． ∵与到原点的距离不相等， ∴与不互为相反数，故①错误； ∵到原点的距离大于到原点的距离， ∴，故②正确； ∵，正数的绝对值更大， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； ∵，， ∴，故⑤错误； 综上，正确的是②③④， 故选：B． 【变式3】（25-26七年级上·福建福州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，掌握相反数的定义，化简绝对值，由数轴可知，，，由b与c互为相反数，得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵b与c互为相反数， ∴，故选项A正确； 由数轴图可知，，，，故选项C正确； ∴，， 故选项B错误；选项D正确； 故选：B． 【变式4】（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，2，y，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，相反数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，可以确定在数轴上的位置，根据在数轴上越往右的数越大判断即可． 【详解】解：∵互为相反数的两个数到原点的距离相等， ∴可以确定在数轴上的位置如图， 根据在数轴上越往右的数越大， 只有A选项正确． 故选：A． ▌题型03 数轴上两点之间的距离 由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑所有可能出现的结果． 【典例3】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知数轴上有A、B两点，如图，A为数轴上表示2的点，若点B到点A的距离是3，则B点表示的数为__________． 【答案】 5 或 【分析】分点B在点A的左边和右边两种情况，列出算式，即可求解． 【详解】解：点B在点A的左边时，点B表示的数为：， 点B在点A的右边时，点B表示的数为： 【变式1】（25-26七年级上·四川眉山·期中）在数轴上点A表示，点B，C表示的数互为相反数，且C与A之间的距离为2，则点B表示的数为____________． 【答案】4或0 【分析】先根据点表示的数与点和点的距离求出点表示的数，再根据相反数的定义求出点表示的数． 【详解】解：设点表示的数是，点B表示的数是， 点表示的数是，点与点之间的距离为， ， 解得或， 点和点表示的数互为相反数， 当时，．当时，． 点B表示的数是4或0． 【变式2】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有，，三点，其中，，设点，，所对应的数的和是，若以为原点，根据点，所对应的数，计算的值为______；若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为______． 【答案】 【分析】根据数轴上两点间的距离公式，分别求出点，，所对应的数即可解决问题． 【详解】解：①为原点，，， 点所对应的数为， ， 点所对应的数为， ； ②原点在图中数轴上点的右边，且， 点所对应的数为， ，， 点所对应的数为，点所对应的数为， ； 故答案为：；． 【变式3】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）如图，点在数轴上所对应的数分别是和，且满足，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，数轴上两点间的距离，根据题意可得，再根据点A和点B在数轴上的位置可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点在数轴上所对应的数分别是和，且满足， ∴，即 ∵点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． ▌题型04 数轴上点的移动 【典例4】（24-25七年级上·四川德阳·阶段检测）数轴上表示数的点沿数轴移动5个单位后到达原点，则x的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数加减法计算，分两种情况：当数轴上表示数的点沿数轴正方向移动5个单位后到达原点时，当数轴上表示数的点沿数轴负方向移动5个单位后到达原点时，据此结合数轴上两点距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：当数轴上表示数的点沿数轴正方向移动5个单位后到达原点时，则，解得； 当数轴上表示数的点沿数轴负方向移动5个单位后到达原点时，则，解得； 综上所述，x的值为， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级上·山西朔州·期中）在数轴上点A表示，如果把原点向负方向移动1个单位，那么在新数轴上点A表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，原点左侧的数小于零，原点右侧的数大于零．根据数轴上的点与原点的位置，可得答案． 【详解】解：∵点A表示， ∴A点位于原点的左侧，到原点距离为4个单位， ∵原点向负方向移动1个单位， ∴A点位于原点的左侧，距原点的距离为3， ∴A点表示的数为． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·吉林四平·期中）数轴上的点A先向左移动1个单位长度，再向右移动7个单位长度到点B，点B表示的数为3，则移动前点A表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的平移，掌握相关知识点是解题的关键． 根据数轴上点的移动规则，向左移动减，向右移动加，通过逆运算求解点A移动前的表示的数． 【详解】解：设移动前点A表示的数为x．点A向左移动1个单位长度后，表示的数为；再向右移动7个单位长度后，表示的数为． 由题意，点B表示的数为3， ∴， 解得． 即移动前点A表示的数为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·四川遂宁·阶段检测）一个点从数轴原点开始，先向右移动个单位长度，再向右移动个单位长度，如图所示，由图可以看出，到达的终点是表示的点． 一个点从数轴上的原点开始按下列方式移动： ①向左移动个单位，再向左移动个单位长度； ②向左移动个单位，再向右移动个单位长度； ③向右移动个单位，再向左移动个单位长度； 将上述①、②和③中移动到达终点表示的数，用“<”连接起来__________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和有理数大小比较，理解向左移动作减法，向右移动作加法是解题的关键． （1）根据向左移动作减法，列式计算即可得解； （2）根据向左移动作减法，向右移动作加法列式计算即可得解； （3）根据向左移动作减法，向右移动作加法列式计算即可得解．结合有理数的大小比较即可． 【详解】解：①向左移动2个单位，再向左移动4个单位长度； 则终点表示数为：； ②如图，向左移动2个单位，再向右移动5个单位长度； 则终点表示数为：； ③如图，向右移动4个单位，再向左移动5个单位长度： 则终点表示数为：； 则， 故答案为：． ▌题型05 数轴上单点左右运动规律探究 【典例5】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）数轴上，点A的初始位置表示的数为，现将点A做如下移动：第1次点A向左移动1个单位长度至，第2次点A由位置向右移动2个单位长度至，第3次点A由位置向左移动3个单位长度至，第4次点A由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，第_________次移动之后点所表示的数绝对值为2026． 【答案】 4035或4068 【分析】本题考查了数轴上的点的移动规律、绝对值的概念以及数列求和，解题的关键是通过归纳得出点表示的数的通项公式，再根据绝对值为2026列方程求解． 先归纳出点表示的数的规律：当为奇数时，表示的数为；当为偶数时，表示的数为；再分别令两种情况下的数的绝对值为2026，解方程并检验，得到符合条件的值． 【详解】解：由题意，点的初始位置表示的数为， 第次移动后，表示的数为：． 第次移动后，表示的数为：． 第次移动后，表示的数为：． 第次移动后，表示的数为：． 归纳规律当为奇数时，表示的数为：． 当为偶数时，表示的数为：． ① 当为奇数时：， 则， 若，则，舍去； 若，则，符合条件． ② 当为偶数时：， 则， 若，则，符合条件； 若，则，舍去． 故答案为：或． 【变式1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）数轴上的一个动点从原点出发，按照以下规则移动： 第1次：向右移动1个单位； 第2次：向左移动4个单位； 第3次：向右移动7个单位； 第4次：向左移动10个单位； ．．． 记移动次后，动点的位置记为．对任意正整数，点与的距离为___________．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了数字类规律，数轴上两点之间的距离等知识点，解题的关键是正确理解题意，找到规律． 先写出前几次的位置，然后求出前几次的，找出规律即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， ∴当时，； 当时， 当时， 当时， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2025次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2025次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． ▌题型06 数轴上三角形的运动规律探究 【典例6】（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的重合（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、图形类规律探索，由题意可得，由等边三角形上重合的点以3个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A.，再根据各个选项逐项判断即可得解． 【详解】解：由等边三角形上重合的点以3个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A. A、，，故与三角形上的A重合，不符合题意； B、，，故2019与三角形上的B重合，符合题意； C、，，故2020与三角形上的C重合，不符合题意； D、，，故与三角形上的A重合，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知等边三角形在数轴上的位置如图所示，顶点A、C分别对应的数为0、．将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动（滚动一圈指线段再次落在数轴上），向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，每次滚动情况依次记录如下：，，，，．    ①第_____次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点C表示的数是______． 【答案】 三 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，解题的关键是理解题意． ①分别求出每次滚动后点A离原点的距离，然后再进行判断即可； ②根据滚动情况求出三角形结束滚动时，点C表示的数即可． 【详解】解：①第一次滚动后，点A表示的数为：， 第二次滚动后，点A表示的数为：， 第三次滚动后，点A表示的数为：， 第四次滚动后，点A表示的数为：， 第五次滚动后，点A表示的数为：， ∴第三次滚动后，点A离原点最远； 故答案为：三； ②第一次滚动后，点C表示的数为：， 第二次滚动后，点A表示的数为：， 第三次滚动后，点A表示的数为：， 第四次滚动后，点A表示的数为：， 第五次滚动后，点A表示的数为：． 故答案为：． ▌题型07 数轴上正方形的运动规律探究 【典例7】（25-26七年级上·江西萍乡·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2025次后，数轴上数2026所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，图形类的规律探索，找到变化规律是解答的关键． 根据题意找到规律：对应的数是，对应的数是，对应的数是，对应的数是，每次翻转为一循环，进而可求解． 【详解】解：在翻转过程中，对应的数是，对应的数是，对应的数是，对应的数是， 依此类推，可知每次翻转为一循环， ， 所对应的点是B， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为，则翻转2024次后，数轴上的数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，理解题意找到点的变化规律是解题关键． 先分析翻转一周的过程中，每个点对应的数，再分析翻转第二周后，每个点对应的数．两者一对比，总结出规律，然后推广到题干要求的数字． 【详解】解：正方形在数轴上翻转一周的过程中，点B所对应的数为，点C所对应的数为，点D所对应的数为，点A所对应的数为．再翻转一次，点B所对应的数为，故每四次一循环． ∵， ∴与所对应的点相同，即数所对应的点是点A， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是________． 【答案】2 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先分别求出在数轴上，与正方形上表示数字0，2，4，6的点重合的点所表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：∵，，， ∴在数轴上，与正方形上表示数字6的点重合的点所表示的数依次是，，，，， 在数轴上，与正方形上表示数字0的点重合的点所表示的数依次是，，，，， 在数轴上，与正方形上表示数字2的点重合的点所表示的数依次是，，，，， 在数轴上，与正方形上表示数字4的点重合的点所表示的数依次是3，，，，， ∵， ∴数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是2， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·山西太原·期中）如图1，边长为1个单位长度的正方形纸片的点与原点重合，顶点与数轴上表示1的点重合．第一次将正方形纸片从图1的位置开始沿数轴向右滚动1周、顶点，分别与表示4，5的点重合．点记为，如图2； 第二次将正方形纸片从图2的位置开始沿数轴向左滚动2周，顶点，分别与表示，的点重合，点记为，如图3； 第三次将正方形纸片从图3的位置开始沿数轴向右滚动3周，顶点落在数轴上的处； 第四次将正方形纸片从点在处的位置开始沿数轴向左滚动4周，顶点落在数轴上的处：．．．依此规律，不断重复操作，解答下列问题． (1)点，之间的距离为______个单位长度，数轴上点表示的数为______．点表示的数为______．点，之间的距离为______个单位长度； (2)请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A设第（为正整数）次滚动结束时，顶点落在数轴上的点处， 当为奇数时，点表示的数为_______； 当为偶数时，点表示的数为_______． B．改变图1中正方形纸片的位置．使顶点与数轴上表示的点重合，按上述规律滚动正方形纸片，设第（为正整数）次滚动结束时，顶点落在数轴上的点处．请直接写出点表示的数． 【答案】(1)8；8；；24 (2)A：，；B：当为奇数时，点表示的数是；当为偶数时，点表示的数是． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的减法的应用，数字类的规律探究，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）先分别求解，，，，，对应的数，再求解两点之间的距离即可； （2）A：根据（1）中的启示，再总结规律即可；B：先求解对应，对应，对应，对应，对应，，再总结规律即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为4，数轴上点表示的数为， ∴点，之间的距离为， ∵正方形纸片边长为1， ∴正方形纸片周长为4， ∵正方形纸片从图3的位置开始沿数轴向右滚动3周，顶点A落在数轴上的处， ∴数轴上点表示的数为8， ∵正方形纸片从点A在处的位置开始沿数轴向左滚动4周，顶点A落在数轴上的处， ∴数轴上点表示的数为， 根据规律可得数轴上点表示的数为12，数轴上点表示的数为， ∴点，之间的距离为； （2）A：由（1）总结可得， 当n为奇数时，点位于正半轴，表示的数为， 当n为偶数时，点位于负半轴，表示的数为， B．由题意可得：对应，对应，对应，对应，对应，， 总结可得：当为奇数时，点表示的数是； 当为偶数时，点表示的数是． ▌题型08 数轴上圆形的运动规律探究 【典例8】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探索，数轴上两点间的距离，理解题意，找出规律是解题关键．根据数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，． ∵表示的点与表示2的点的距离为， 又∵， ∴圆上落在数轴上的点是P． 故选C． 【变式1】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，直径为1个单位长度的圆，从点（点在数轴上表示的数是1）．设数轴向左滚动一周后到达点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴上的点的关系，求出圆的周长是解题的关键．求出圆的周长，根据数轴与实数的一一对应关系解答即可． 【详解】解：∵直径为1的圆的周长为，A点在数轴上表示的数是1， A点沿数轴向左滚动一周后到达点B， ∴点B表示的数为． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 【变式3】（25-26六年级上·山东东营·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的重要工具，能将数与形结合．若数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离． 【综合运用】 如图①，在数轴上，点A、B表示的数分别为a、b，且满足． （1）则______，______，A、B两点之间的距离为______． （2）点P和点Q分别从点A、点B同时出发，都沿数轴负方向运动．点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）．t秒后，点P对应的数是______，点Q对应的数是______（用含t的代数式表示）． 【延伸拓展】 （3）如图②，半径为2的圆从点A沿正方向在数轴上滚动． ①滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是______，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是______； ②滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是多少？ 【答案】（1），12，16；（2）；；（3）①，；②． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，非负数的性质，数轴上的动点问题， （1）根据非负数的性质求出a、b的值，进而根据两点间的距离公式计算即可； （2）表示出、的值，进而根据点A、B表示的数作答即可； （3）①求出圆的周长，进而求出滚动后圆与数轴的接触点移动的距离，根据点A表示的数作答即可； ②求出滚动n周后圆与数轴的接触点移动的距离，根据点A表示的数作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴A、B两点之间的距离为． 故答案为：，12，16； （2）解：∵点P和点Q分别从点A、点B同时出发，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）， ∴、， ∵点A、B表示的数分别为、12，点P和点Q都沿数轴负方向运动， ∴点P对应的数是，点Q对应的数是． 故答案为：；； （3）解：①∵圆的半径为2， ∴圆的周长为， ∴滚动一周后圆与数轴的接触点移动了个单位，滚动两周后圆与数轴的接触点移动了个单位， ∵点A表示的数为， ∴滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是． 故答案为：，； ②滚动n周后圆与数轴的接触点移动了个单位， ∵点A表示的数为， ∴滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是． ▌题型09 数轴上的翻折问题 【典例9】（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 【答案】B 【分析】设点C表示的数为，根据题意折叠的意义，结合点A、B表示的数分别是，4，分类解答即可． 本题考查了数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离计算，有理数的加减混合运算，折叠的计算，解方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：设点C表示的数为，点A折叠后的对应点表示的数， 由点、表示的数分别是， 根据折叠的性质，得， 解得， 当在点B的左侧时，根据题意，得， 故； 当在点B的右侧时，根据题意，得， 故； 故点C表示的数为或； 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴的翻折，掌握中点公式是解题的关键．数轴翻折后，表示的点与表示1的点重合，则数轴沿中点翻折，根据重合的数中点是即可解答． 【详解】解：由题意得数轴沿和1的中点翻折， 设与表示数字的点重合的是表示数字b的点， 则， 解得， 故答案为． 【变式2】（25-26七年级上·天津和平·阶段检测）在一条可以折叠的数轴上，，表示的数分别是，，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴，一元一次方程的应用，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含x的式子表示出线段的长度．设点表示的数是利用，列出方程解答即可． 【详解】解：设点表示的数是， 则， ， 即， 解得：， 点表示的数是． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 【答案】(1)，1 (2)①p的值为1.5；②p的值为0.75或2或3.5 【分析】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）最大的负整数是，的相反数是1，据此解答即可； （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可； ②分三种情况进行分析计算． 【详解】（1）解：a是最大的负整数，b是a的相反数， ∴，； （2）解：①点表示，点表示4，经点对折后点与点重合， 点表示的数为：． ②当对折后点A到B，C距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：； 当对折后点C到A，B距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：； 当对折后点B到A，C距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：． 综上，p的值为或2或． ▌题型10 数轴上的整点覆盖问题 长度为n(n为整教)的线段，最多能够覆盖数轴上的(n+1)个整数点，最少能够覆盖数轴上的n个整数点. 【典例10】（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：当起点在整点时，盖住的整点个数为； 当起点不在整点时，设线段的区间为，其中a不是整数，则盖住的整点个数为． 线段盖住的整点个数为4或5． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到与之间的整数，然后相加即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在与之间， ∴盖住的整数是， ∴所盖住的整数的和为： ． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·江苏常州·阶段检测）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为_____厘米． 【答案】3或2 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，据此分析即可求解． 【详解】解：长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，． ∴长度为m的火柴棒能盖住的3个整点时，火柴棒的长度厘米或，即厘米， 故答案为：3或2． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个． 【答案】 201 200 【分析】本题考查数轴上的整点覆盖问题，此题要找出变化的规律，分两种情况：①当线段长为1厘米时，如果它的两个端点正好与一个单位长度的两个整数点重合，就能覆盖住这两个点，以此类推，n厘米长的线段可盖住个点；②长为1厘米的线段两端与一个单位长度的两个整数点不重合时，就只能覆盖住一个整数点，类似第一种情况，则n厘米长的线段可盖住n个点． 【详解】解：2米厘米； （1）当长度为2米的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，线段覆盖住的整点个数为个； （2）若2米的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可覆盖住的整数点个数为200个； 故答案为：201，200 ▌题型11 数轴与绝对值的几何意义最值问题 求出每个绝对值等于0时x的对应值，把所有的对应值从小到大排列，如果题目中有奇数个零点，则取“中间点”的对应值时，整个式子取最小值，如果题目中有偶数个零点，则取“中间段”里的任意值，整个式子都能取到最小值. 简单来说就是: 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 【典例11】（25-26七年级上·江苏南京·期末）的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了解绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义求解，表示数轴上点x到1的距离，表示数轴上点x到的距离，两个距离之和的最小值为两点间的距离，据此列方程求解a的值． 【详解】∵表示数轴上点x到1的距离， 表示数轴上点x到的距离， ∴的最小值为数轴上1与两点间的距离，即， 又∵该式最小值为3， ∴， ∴或， 解得或． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）已知的最小值是，的最大值是，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，化简绝对值，利用绝对值的几何意义，分别求出两个绝对值表达式的最值，再计算的值． 【详解】解：表示数轴上点x到3的距离，表示数轴上点x到的距离． ∴当时，取得最小值， ∴， 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴， ∴． 故选：B 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）的最小值为______ 【答案】15 【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键理解绝对值的几何意义．数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，据此求解即可． 【详解】解：可以看成数轴上一个表示的点到1个、个、3个、4个、5个的距离之和，共个点， ∵数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15个点正中间的是第8个点， ∴当时，有最小值， 最小值， 故答案为：． 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； (2)a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；图见解析；2；2． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干表示出的几何意义，仿照题干结合数轴作答即可． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和， 当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （2）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2． ▌题型12 与数轴有关的新定义问题 【典例12】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定：．例如，．当有理数a，b在数轴上的位置如图所示时，化简得______． 【答案】 【分析】易得，化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与有理数的减法运算，需先根据给定定义分别求出和的值，再利用有理数减法法则计算最终结果． 【详解】解：∵， ； ∵， ∴； ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）定义：已知点为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：．应用：如图有一条数轴，为数轴上三点，分别对应，，．的值是______；若点是数轴上一点，且，则点表示的数______． 【答案】 或 【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，数轴上两点之间的距离，求出，，则有，即，设点表示的数为，则有，，由，得，然后求出的值即可，根据理解题中定义和分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵为数轴上三点，分别对应，，， ∴，， ∴， ∴， 设点表示的数为，则有，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或， 故答案为：，或． 【变式3】（21-22七年级上·福建泉州·期中）阅读理解，完成下则各题 定义：已知为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是的倍点，根据这个定义解决下面问题：    (1)在图中，点______的倍点（填写“是”或“不是”）；的倍点是点______（填写或或或）； (2)如图，为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，则点表示的数是______； (3)若为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的倍点？（用含的代数式表示）． 【答案】(1)是， (2)或 (3)或或 【分析】（）根据倍点的定义解答即可求解； （）设点表示的数是，分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据倍点的定义列出方程解答即可求解； （）由题意得，再分三种情况：点是的倍点且点在线段上；点是的倍点；点是的倍点且点在线段的延长线上，根据倍点的定义列出方程解答即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，，， ∴， ∴点是的倍点； ∵， ∴的倍点是点， 故答案为：是，； （2）解：设点表示的数是， 当点在线段上时，则， 解得； 当点在线段的延长线上时，则， 解得； ∴点表示的数是或， 故答案为：或； （3）解：由题意得，， 当点是的倍点且点在线段上时，则， 解得； 当点是的倍点时，则， 解得； 当点是的倍点且点在线段的延长线上时，则， 解得； 综上，当的值为或或时，点恰好是和两点的倍点． ▌题型13 单动点运动问题 【典例13】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）点，是数轴上的两个点，点表示的数为，点表示的数为40，现有一动点从点出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒，当时，则________． 【答案】45或 【分析】本题考查数轴上点的运动，一元一次方程的应用．当运动t秒时，点P表示的数为，根据数轴上两点间距离表示出，，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：当运动t秒时，点P表示的数为， ∵点表示的数为，点表示的数为40， ∴， ， ∵， ∴， ∴或． 故答案为：45或． 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知点，在数轴上对应的数分别为，，且，若动点在数轴上对应的数为，当＋＝时，的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上的点，绝对值与偶次幂的非负性，解一元一次方程的应用；根据题意得出，，，分类讨论，即可求解． 【详解】解：， ，； 解得，； 动点在数轴上对应的数为，当＋＝时， ． 即点在和点之间的不同位置情况： 若点在点左侧，即，则，化简得，从而得到． 若点在点右侧，即，则，化简得，从而得到． 若点在和点之间，即，则，显然不满足． 综上，当时，的值为或． 故答案为：或． 【变式2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图所示，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数，点表示的数是1，一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数为______．    【答案】0 【分析】本题主要考查了相反数、用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．首先确定点表示的数是，再根据“向右移动，加；向左移动，减”的原则，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数， ∵点表示的数是1， ∴点表示的数是， 一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度， 此时该点表示的数为， 再向左移动4个单位长度到达点， 则点表示的数为． 故答案为：0． 【变式3】（23-24七年级上·浙江舟山·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为． （1）当________时，； （2）若点表示的数是，当的值最小时，则的取值范围是________． 【答案】 2或 【分析】本题考查的是绝对值的化简，一元一次方程的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先求解B对应的数，再由，再建立方程求解即可； （2）分三种情况化简绝对值，再求解代数式的值，得到的最小值为，此时，再建立方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵点表示的数为8，是数轴上一点，且， ∴，即对应的数为， 而运动中对应的数为：， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：2或； （2）当时， ∴ ， 当时，此时代数式有最小值； 当时， ∴ ， 当时， ∴ ， 当时，此时最小值为； 综上：的最小值为，此时， 当时，解得， 当时，解得， ∴． 故答案为：． ▌题型14 双动点运动问题 【典例14】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点，，在数轴上表示的数分别是，，．动点，同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿A→B匀速运动．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为()．当点，到点的距离相等时，的值是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题．设运动时间为，则表示的数为，表示的数为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则表示的数为，表示的数为， ∴，， ∵点，到点的距离相等， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：或 【变式1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知A，B是数轴上的两个点，点A，B所表示的数分别为，11，动点P以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动，同时，动点M以每秒2个单位长度的速度从点B向左运动，用圆规在射线上截取（点D在点A右侧），当点D恰好落在中点时，点P运动时间为________秒． 【答案】或4 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及两点之间的距离，解一元一次方程，正确表示运动后的点表示的数是解题的关键． 由题意得，则设运动的时间为秒，则秒后点P表示的数为，点表示的数为，由得，分类讨论，解方程即可． 【详解】解：由题意得， ∵点D恰好落在中点， ∴， 设运动的时间为秒，则秒后点P表示的数为，点表示的数为， ∴由得：， 解得：或， 故答案为：或4． 【变式2】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）如图，在射线上，动点P，Q同时以和的速度从点A，B向射线方向运动，点M为的中点，点N为的中点，t秒时________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴上点的特点，数轴上两点间距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式．以点A为原点，建立数轴，则点P表示的数为，设点B表示的数为，点Q表示的数为，根据点M为的中点，点M表示的数为，根据点N为的中点，得出点表示的数为，根据两点间距离公式得出，即可得出答案． 【详解】解：以点A为原点，建立数轴，则点P表示的数为，设点B表示的数为，点Q表示的数为，如图所示： 则， ∵点M为的中点， ∴点M表示的数为， ∵点N为的中点， ∴点表示的数为， ∵，， ∴， ∴点N在点M的右侧， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·江西新余·期末）数轴上两点A，B对应的数分别是a，b，已知a，b满足．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1) ， ，并在数轴上标出A，B两点； (2)【解决问题】问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？ 【答案】(1)；8；图见解析 (2)秒或3秒 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上表示有理数，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）根据非负数的性质可得，，即可求解； （2）设运动时间为t秒，则，，，再根据题意分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，8； 在数轴上标出A、B两点，如图所示： （2）解：设运动时间为t秒，根据P，Q的运动， 则，，， 分两种情况： 当点P在点Q的左侧时， 解得， 当点P在点Q的右侧时， 解得， ∴点P运动秒或3秒时与点Q相距3个单位长度． ▌题型15 多动点运动问题 【典例15】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，，动点从点出发以每秒个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点从点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，动点从原点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动．存在常数，当在某段时间内为定值时，的值是__________． 【答案】，， 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，关键是根据点的运动速度和方向，表示的长度，进而求得的值． 【详解】解：当时，， ∴， ∵上式为定值， ∴， 即：； 当时，，， ∴ ∵上式为定值， ∴； 当时，， ∴， ∵上式为定值， ∴； 故答案为： ． 【变式1】．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图，已知数轴上有三点A，B，C，，，点A对应的数是40．动点P，Q同时从点C，A出发向右运动，同时动点R从点A出发向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度的2倍少4个单位长度/秒，经过5秒后，点P，R之间的距离与点Q，R之间的距离相等，则动点Q的速度为______个单位长度/秒． 【答案】4或36 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析．根据，，得出，利用点A对应的数是40，即可得出点C对应的数；假设点R速度为v个单位长度/秒，根据点P、R之间的距离与点Q、R之间的距离相等，得出等式方程求出即可． 【详解】解：， 因为点对应的数是40， 所以点对应的数是， 假设点的速度为个单位长度/秒，则秒后点表示的数为， 点表示的数为：，点表示的数为：，，， 当时，由，得：． 有两种情况：， 解得：， 或， 解得：． ∴或20． 则或36． 故答案为：4或36． 【变式2】（25-26七年级上·广东佛山·期末）数轴上的动点运动蕴含了丰富的数量关系与几何意义．七年级数学研究小组在学习了数轴、代数式与方程后，开展了如下探究活动． 【探究背景】已知：在数轴上，点分别对应的数为、、，若动点从点出发向点匀速运动，速度为每秒个单位，运动时间为秒． 【初步探究】 （1）在运动的过程中，点所表示的数为________，________； （2）在点从出发的同时，动点从点出发向点匀速运动，速度为每秒个单位，则点运动________秒后能追上点； 【深入探究】 （3）在点从出发的同时，动点从点出发向点匀速运动，速度为每秒个单位，动点从点出发向点匀速运动，速度为每秒个单位．若点和点分别到达点后立即以原速返回，到达点停止；点到达点后立即以原速返回，到达点停止． 点运动________秒后能与点相遇； 当为多少时，点之间的距离为个单位？ 【答案】（）； （） （）或；或或 【分析】本题考查了数轴上数的表示，数轴上两点间的距离，列一元一次方程解决问题，熟练应用一元一次方程，结合数轴，进行分类讨论解决数轴问题是解题的关键． （）由动点从点出发向点匀速运动，速度为每秒个单位，运动时间为秒，则点所表示的数为，，从而求解； （）由点所表示的数为，点所表示的数为，点追上点，列出方程，然后解方程即可； （）当，当，当三种情况，分别列出方程，然后解方程即可； 当未到达，当未到达时，当时，点从返回，点未到达，当到达后，当到达后，相遇前，当到达后，当到达后，相遇后，四种情况，分别列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：（）∵动点从点出发向点匀速运动，速度为每秒个单位，运动时间为秒， ∴点所表示的数为， ∵点对应的数为， ∴， 故答案为：，； （）∵动点从点出发向点匀速运动，速度为每秒个单位， ∴点所表示的数为， ∵点所表示的数为，点追上点， ∴，解得：， 故答案为：； （）当运动到时，运动时间，当从 返回到C时，运动时间， ∴动点从点出发向点匀速运动，到达点后立即以原速返回，到达点停止，共用时间， 当运动到时，运动时间，达点后立即以原速返回，到达点停止,运动时间， ∴动点从点出发向点匀速运动，到达点后立即以原速返回，到达点停止，共用时间． 当，点未达到和未到达时相遇，由题意得，点所表示的数为，点所表示的数为， ∴，解得：， 当，点从返回和未到达时，由题意得，点所表示的数为，点所表示的数为， ∴，解得：（不符题意）， 当，当从返回和从返回途中相遇，由题意得点所表示的数为，点所表示的数为， ∴，解得：， 故答案为：或； 当未到达，当未到达时，点所表示的数为，点所表示的数为， ∵点之间的距离为个单位， ∴，解得：； 当时，点从返回，点未到达，点所表示的数为，点所表示的数为， ∵点之间的距离为个单位， ∴，即，解得或，均不在此时间范围内，故舍去； 当到达后，当到达后，相遇前，点所表示的数为，点所表示的数为， ∵点之间的距离为个单位， ∴，解得：； 当到达后，当到达后，相遇后，点所表示的数为，点所表示的数为， ∵点之间的距离为个单位， ∴，解得：； ∴当为或或时，点之间的距离为个单位． 【变式3】（25-26七年级上·河南许昌·期末）已知数轴上点A、B、C对应的数分别为，且满足= 0． (1)直接写出的值； (2)动点M从A出发以1个单位/秒向右运动，动点N从B出发以2个单位/秒向右运动，动点P从C出发以3个单位/秒向右运动，三者同时出发，当点N到点M、P的距离相等时，求运动时间t； (3)若点Q从A出发以2个单位/秒向右运动，点R为线段的中点，当点R到原点的距离为4时，求点Q的运动时间． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，非负数的性质，熟知数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）运动t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为，点P表示的数为，根据两点间的距离公式表示出，进而根据题意建立方程求解即可； （3）设点Q的运动时间为x秒，则点Q表示的数为，进而可得点R表示的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴， ∴； （2）解：由题意得，运动t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为，点P表示的数为， ∴，， ∵点N到点M、P的距离相等， ∴， ∴或， 解方程得， 解方程可知此方程无解； 综上所述，； （3）解：设点Q的运动时间为秒， 由题意得，运动x秒时，点Q表示的数为， ∵点R为线段的中点， ∴点R表示的数为， ∵点R到原点的距离为4， ∴， ∴或， 解得或， ∵， ∴点Q的运动时间为秒． ▌题型16 数轴动态与代数式综合 【典例16】（25-26七年级上·江苏·寒假作业）已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数，，10，动点P从A出发，沿方向，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示点P到点A、C的距离， ； ． (2)当点P运动到点B时，点Q从C点出发，沿方向，以每秒3个单位的速度向A点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动． ①当 ，点P、Q相遇，此时点Q运动了 秒． ②请用含t的代数式表示出在P、Q同时运动的过程中的长． 【答案】(1)t， (2)①21，5；②当时，；当时， 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用及分类讨论． （1）根据题意即可得出结果； （2）①根据路程和为20，列出方程即可求解； ②根据两点间的距离，对t分类讨论，t不同范围，可得不同． 【详解】（1）解：由题意知，，，则， 故答案为：t，． （2）解：①由题意得，， 解得：， ， 故当时，点P，Q相遇，此时点Q运动了5秒， 故答案为：21，5； ②当时，； 当时，． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图①，若有理数和在数轴上表示的点分别是点和点，且有理数对应的点在线段上(包含线段的端点),则称点为“关联点”． (1)下列几组有理数中，对应的点是“关联点”的有___________．(填写所有符合条件的序号) ①；②；③；④ (2)有理数和对应的点分别为点和．已知点为“关联点”，点在数轴上的位置如图②所示． ①若点到点和点的距离相等，利用刻度尺在数轴上画出点和点的位置，并标出点和点表示的数(用含的代数式表示)． ②直接写出有理数的取值范围（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①③ (2) ①如图，点P是的中点， ②或 【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，数轴上两点间的中点，解答本题的关键是读懂题目的意思，根据题目给定的条件，找出合适的等量关系，再求解． （1）根据“关联点”的定义即可得出答案； （2）①根据“关联点”的定义作图即可；②根据“关联点”的定义列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵ ∴①是点对应的“关联点”； ②； ∵， ∴②不是点对应的“关联点”； ③； ∵，， ∴③是点对应的“关联点”； ④ ∵， ∴④不是点对应的“关联点”； 故答案为：①③； （2）解：①略 ②当点在点的右侧时，则， 解得：； 当点在点的左侧时，， 解得：， 综上，有理数的取值范围为或． 【变式2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）已知是数轴上三点，点表示的数为， (1)点表示的数是 ，点表示的数是 . (2)动点分别从同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点的运动时间为（）秒． ①用含的代数式表示：点表示的数为 ，点表示是数为 ； ②当时，点之间的距离为 ； ③当点在线段上运动时，用含的代数式表示点之间的距离. 【答案】(1)， (2)①，；②；③ 【分析】本题考查了数轴上动点的问题，整式的加减；掌握数轴上两点距离公式是解题关键． （1）根据数轴上两点距离右边的数左边的数，计算求值即可； （2）①根据数轴上动点的表示：起点所表示的数加上或减去动点运动的距离，向正方向用加，负方向用减；列代数式即可； ②将代入，两点所表示的数中，再计算两点距离即可； ③根据题意可得点从出发到时用的时间为秒，点从出发到时用的时间为秒，故当点在线段上运动时，，即点在右，点在左，再计算两点距离即可． 【详解】（1）解：∵点在点左边，点表示，， ∴点表示的数，； 又∵点在点右边，， ∴点表示的数为：； 故答案为：，． （2）解：①点向右运动，点向左运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； ②∵点表示的数为，点表示的数为， ∴当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴点之间的距离为， 故答案为：． ③∵，动点分别从同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 ∴点从出发到时用的时间为秒，点从出发到时用的时间为秒 ∴当点在线段上运动时，， ∴点在右，点在左， 又∵点表示的数为，点表示的数为， ∴两点距离为． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)1,10 (4)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，求绝对值和平方的非负性，点平移的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握数形结合以及分类讨论的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性及有理数的定义进行求解即可； （2）利用中点公式进行点的平移的性质进行求解即可； （3）利用绝对值的几何意义和两点之间线段最短进行求解即可； （4）根据点平移的性质，分类进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为最小正整数， ∴， 故答案为：； （2）解：根据点与点重合得出中点为， ∴点的重合点为， 故答案为：； （3）解：根据绝对值的几何意义得， 表示到的距离之和， 根据两点之间线段最短，结合各点在数轴上的位置可得， 当时，的值最小， 此时，， 故答案为：1,10； （4）解：乙球到达挡板所需时间为， ①当时，； ②当时，． ▌题型17 数轴上的定值不变问题 【典例17】（21-22七年级上·江苏无锡·期末）同一数轴上有点分别表示数，且满足等式，点表示的数是多项式的二次项系数，点在数轴上同时开始运动，点向左运动，速度为每秒3个单位长度，点均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，设运动时间为秒．若存在使得的值不随时间的变化而改变，则该定值为______． 【答案】 【分析】根据平方和绝对值的非负性求出和的值，再根据多项式的系数确定点表示的数，进而表示运动后点表示的数，计算和的距离，代入表达式并整理，令的系数为0求出，最后得到定值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵多项式的二次项系数为2， ∴点B表示2， ∵点在数轴上同时开始运动，点向左运动，速度为每秒3个单位长度，点均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，设运动时间为秒， ∴运动秒后，点表示，点表示，点表示， ∴，， ∴， ∵使得的值不随时间的变化而改变， ∴， ∴， ∴此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性，多项式的次数与系数，数轴上的动点问题，整式的加减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，已知点O为数轴原点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且．M、N两点分别从O、B出发以、的速度同时沿数轴负方向迅速运动（M在线段上，N在线段上），P是线段的中点，若M、N运动到任一时刻时，总有为定值，则、满足的数量关系是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、数轴上两点间的距离、整式的加减无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据非负数的和为0，各项都为0即可确定a、b的值，进而确定点A、B表示的数，然后确定点M、N表示的数，再根据P是线段的中点确定点P表示数，然后表示出，最后根据为定值确定、的关系． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴点A、B表示的数分别为、5， 设运动时间为t，则表示，点N表示，点P表示， ∴， ∵为定值， ∴，即． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知点A、B、C、D在数轴上，点A和点C表示的数分别为、1，点B在点A的右侧，点D在点C的右侧，且，． (1)直接写出点B和点D表示的数分别为： 、 ； (2)若线段沿着数轴向右以2个单位长度/秒的速度运动，同时线段沿着数轴向左以1个单位长度/秒的速度运动，设运动的时间为t（秒），． ①若点B和点D重合，则t的值为 ，若点A和点C重合，则t的值为 ； ②若线段和线段重叠部分为个单位长度，求运动时间t的值； ③当时，下面两个式子：（Ⅰ）；（Ⅱ）中有一个式子的值是定值，你认为是定值的式子是 （填写序号），并直接写出这个定值． 【答案】(1)、2 (2)①；；②或；③是定值的式子是（Ⅰ），这个定值为3 【分析】本题考查数轴上的动点及一次方程应用问题，解题的关键是用含t的代数式表示运动后点表示的数． （1）根据数轴上两点的距离求解即可； （2）分别求出点A、B、C、D运动t秒后表示的数，①然后根据题意分两种情况，列出关于t的方程，再求解即可；②分两种情况：当点B在点C、D之间时；当点A在点C、D之间时，讨论即可；③当时， 线段在线段上，，然后分别求出、，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点A和点C表示的数分别为、1， ∴， ∵，， ∴， ∴点B和点D表示的数分别为、2； 故答案为：、2 （2）解：根据题意得：运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为， ①当点B和点D重合时，， 解得：； 当点A和点C重合时，， 解得：； 故答案为：； ②当点B在点C、D之间时，， 解得：； 当点A在点C、D之间时，， 解得：； 综上所述，运动时间t的值为或； ③当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，此时线段在线段上， 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，此时线段在线段上， ∴当时， 线段在线段上， 此时，， ∴，是定值； ∴，大小与t的值有关，不是定值； 综上所述，是定值的式子是（Ⅰ），这个定值为3． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想． ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，其中表示点A和点B之间的距离．若A，B位置不确定时，则，若点A在B的右侧，即，则； ②点A向右运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：． 【问题情境】如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)运动t秒后，点A表示的数为 （用含t的式子表示）； (2)若t秒钟过后，点B到点A的距离与点B到点C的距离相等，求t值； (3)当点C在点B右侧时，的值是否为定值？若是定值，直接写出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是定值． 【分析】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，数轴上的动点问题，是解题的关键： （1）根据数轴上的动点，左移减，右移加，列出代数式即可； （2）分点B在点A和点C之间和点C与点A重合两种情况，列出方程进行求解即可； （3）表示出，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，运动t秒后，点A表示的数为：； 故答案为：； （2）解：由题意可知，t秒时，A点所在的数为：，B点所在的数为：，C点所在的数为：． ①当点B在点A和点C之间时，则 ． 解得； ②当点C与点A重合时，则 ． 解得； 综上，当或点B到点A的距离与点B到点C的距离相等； （3）解：是定值； ∵点C在点B右侧，点B在点A右侧， ∴，， ∴． ▌题型18 数轴的应用问题 【典例18】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究． 【应用】距离问题 点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．例如，数轴上3与1两点之间的距离表示为． (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为______；数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______． (2)①若，则______； ②若x表示一个有理数，则的最小值为______，满足条件的所有整数x的和为______． (3)【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1)； (2)①3或；②5； (3)汇合地点M的位置在点F时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为 【分析】本题考查数轴上两点的距离、绝对值的几何意义，解绝对值方程，整式的加减计算，熟练掌握化简绝对值的方法是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式进行解答即可； （2）①根据绝对值的意义解方程即可； ②根据数轴上两点距离定义进行解答即可； （3）以点G为原点，表示1个单位长度建立数轴，则点E、F、H、G四点分别表示的数为、、0、200，设M表示的数为，距离之和为，进而得到所有学生从小区门口到汇合地的路程之和表示为，分类讨论解答即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离表示为；数轴上表示x和的两点之间的距离表示为， 故答案为：；； （2）解：①由于， 则或， 解得或， 故答案为：3或； ②由于表示数轴上对应的点到1和所对应的点的距离之和， 则当时，这个距离最小，最小值为； 满足的整数有：、、、、、， 则它们的和为， 故答案为：5；； （3）解：如图，以点G为原点，表示1个单位长度建立数轴，则点E、F、G、H四点分别表示的数为、、0、200， 设M表示的数为，距离之和为， 则 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 综上所述，当时， ， 汇合地点M的位置在点F时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为． 【变式1】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）问题背景：在中学数学中，体现数形结合思想的内容较多，数轴是体现数形结合思想的一个有力工具，利用数轴常可使一些复杂问题变得容易解决． 【问题解决】阅读以下材料，并解决问题． 如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上，它的两端，分别落在点，处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点移动到点处时，点对应的数为20；再向左移动，当点移动到点处时运动停止，点对应的数为5．（注：本题中，数轴上1个单位长度代表．） （1）求出木棒的长度的值； （2）求出图中点和点表示的数各是多少； （3）若木棒以每秒的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟． 【拓展应用】借助上述方法解决下面的问题： 一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁的老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？ （4）请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）小明现在岁，爷爷现在岁 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，理解题意是解此题的关键． （1）根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）根据数轴上两点间的距离公式计算即可得出结果； （3）根据时间路程速度计算即可得出结果； （4）仿照例子画出图形，计算即可得出结果． 【详解】解：（1）由题意可得：， 解得：， 即木棒的长度的值为； （2）由题意可得：点表示的数为， 点表示的数为； （3）∵木棒以每秒的速度运动， ∴从运动开始到结束共需要秒钟； （4）点表示小明现在的年龄，点表示爷爷现在的年龄，如图所示： ， 由题意可得：， ∴（岁），（岁）， 故小明现在岁，爷爷现在岁． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题： (1)若，则________； (2)的最小值为________； 的最小值为________； (3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费． 【答案】(1)5或1 (2)11；5 (3)物资存放处设在A、B之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20元 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）利用绝对值的意义解答即可； （2）利用数轴上点的特征与绝对值的意义解答即可； （3）以天府广场O为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C三个补给站对应的数字为，5，9，设物资存放处对应的数字为，配送成本费为元，利用绝对值的意义和分类讨论的思想方法解答即可． 【详解】（1）解：， 或， 或1． 故答案为：5或1． （2）解：表示数轴上到与到8的距离之和， 当在与8之间时，取最小值，最小值为； 表示数轴上到、到2与到的距离之和， 当时，，此时和最小． 故答案为：11；5． （3）解：以天府广场O为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C三个补给站对应的数字为，5，9，如图， 设物资存放处对应的数字为，配送成本费为元， ， 当时，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，（元），取得最小值， 物资存放处设在A、B之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20元． 【变式3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）【定义】 点，，是一条直线上从左到右的三个点，若直线上点满足，则称点是点，，的“和谐点”．    【理解】 （1）如图①，在数轴上，点，，，表示的数分别为，0，5，1，点是不是点，，的“和谐点”？请通过计算作出判断． （2）点，，是一条直线上从左到右的三个点，且，，若点是点，，的“和谐点”，求的长． 【拓展】 （3）如图②，在数轴上，点，，表示的数分别为，，（是整数），点在点的左侧，且点是点，，的“和谐点”，点，，，表示的数之和是否能被4整除？请通过计算作出判断． 【答案】（1）点是点，，的“和谐点”，理由： 由题意，得，，， 所以． 所以点是点，，的“和谐点”． （2）的长为3或； （3）点，，，表示的数之和能被4整除，理由： 设，则，，且满足，即，解得． 所以点表示的数为． 因为，且是整数， 所以点，，，表示的数之和能被4整除． 【分析】（1）根据题目算出是否成立即可； （2）用字母表示数轴上的点，结合数轴两点之间的距离，分类讨论即可求解； （3）用字母表示数轴上的点，根据建立方程即可求解，进而可以判断是否能被4整除． 本题考查了数轴上两点之间的距离以及用字母表示数轴上的数，合理运用等量关系是解题关键． 【详解】解：（1）略 （2）如图，以点为原点，以向右的方向为正方向建立数轴，则点表示的数为0，点表示的数为2，点表示的数为5． 设点表示的数为． ①当点在点左侧时，令，即，解得，此时； ②当点在，两点之间时，令，即，解得（不符合题意，舍去）； ③当点在，两点之间时，令，即，解得，此时； ④当点在点右侧时，不成立． 综上所述，的长为3或． （3）略 ▌题型19 数轴旋转综合问题 【典例19】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）规律发现： （1）在学完《数轴》这节课后，完成以下三空： ①点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______； ②点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______； ③发现：点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______． 直接运用： （2）将数轴按图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为，则的值为______，若将从图中位置向右滚动，则数字对应的点将与的顶点______重合． 类比迁移： （3）如图（2），，，，若射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？ 【答案】（1）；；；（2），；（3）或或 【分析】本题考查一元一次方程，数轴与几何的综合，解题的关键是掌握数轴的性质，角平分线的性质，一元一次方程的应用，进行解答，即可． （1）根据数轴的性质，即可； （2）根据等边三角形的性质，则，解出，求出，，对应的点；然后根据等边三角形以为周期交替出现，即，则，即可； （3）根据题意，求出，，的角度，设运动时间为秒，分类讨论，求出的取值范围；再根据其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线，分类讨论：当时，在中间，若是的平分线；当时，在中间，若是的平分线；当时，在中间，若是的平分线；当时，在中间，若是的平分线，求出，即可． 【详解】（1）∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点表示的数为：， 故答案为：． ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点表示的数为：， 故答案为：． ∵点表示的数为，点表示的数为：， 设， ∴， ∴， ∴点表示的数为：， 故答案为：． （2）∵是等边三角形， ∴， ∵设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为， ∴，， ∴， 解得：， ∴点表示的数为，点表示的数为，表示的数为， ∴的边长为， ∵将从图中位置向右滚动，且以为周期交替出现， ∴到之间有：个数， ∴， ∴数字对应的点将与的顶点重合． 故答案为：；． （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设运动时间为秒， ∴，，， 当与重合时， ∴， 解得：； 当与重合时， ∴， 解得：； 当与重合时， ∴， 解得：； ∵当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动， ∴， 当与重合时，， ∴， 解得：； 当与重合时，， ∴， 解得：； 当与重合时，， ∴， 解得：； 当时，在中间，若是的平分线， ∴， ∴， ∴， 解得：，符合题意； 当时，在中间，若是的平分线， ∴， ∴， 解得：，符合题意； 当时，在中间，若是的平分线， ∴， ∴， 解得：，符合题意； 当时，在中间，若是的平分线， ∴， 解得：，不符合题意． 综上所述：当或或，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 【变式1】（24-25七年级上·河北·阶段检测）如图1和图2，数轴与交于公共原点O，点M，N在数轴上且表示的数分别为2和，点P在数轴上，且．初始状态下． (1)如图1，若线段中点为A，求点A在数轴上表示的数； (2)如图1，若点P在数轴上表示的数是4，将数轴绕点O旋转过程中，当数轴经过点N时，直接写出点N在数轴上表示的数为多少？ (3)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，将绕点O逆时针旋转得到（其中）．在整个旋转过程中，当被数轴或平分时，直接写出所有符合条件的值． 【答案】(1) (2)或 (3)20或100或140 【分析】本题考查数轴，角平分线的定义，旋转的性质，掌握用数轴上的点表示数和角平分线的定义是解题的关键． （1）根据中点的计算方法解题即可； （2）根据题意可得数轴的单位长度是数轴的2倍，即可得到点N在数轴上表示的数； （3）分三种情况分别画图，然后根据角平分线的定义列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵线段中点为A， ∴点A在数轴 上表示的数为； （2）解：∵， 点M在数轴上表示的数为，点P在数轴上表示的数是4， ∴数轴的单位长度是数轴的2倍， ∴点N在数轴上表示的数为或； （3）解：如图，则被数轴平分时， 这时，， 则，解得：； 如图，被数轴平分时， ，解得：； 如图，当被数轴平分时， 这时，解得：； 综上所述，当被数轴或平分时，值为20或100或140． 【变式2】（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成探究任务． 【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图1），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足． 【素材2】通达小组分别以“灵动数轴”中的点A和点B为中心旋转一定角度，形成了如图2所示的“数轴阶梯”，其中点A和点B之间的部分（包括点A和点B）叫做“阶梯坡面”． 【任务1】在“灵动数轴”中，_______，________，______； 【任务2】折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数； 【任务3】点D落在“阶梯坡面”上，．现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以2个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5个单位长度/秒的速度“下坡”至终点A；点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足，若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值． 【答案】任务1：；7；；任务2：4；任务3：的值为秒或秒． 【分析】任务1：利用非负数的性质解答即可； 任务2：利用对称性求得折痕处对应的数为0.5，则利用点对应的数距离0.5的长度为3.5解答即可； 任务3：利用题意得到的取值范围为，利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：当时，此时点，都在做上坡运动，①当点在点下方时，利用含的代数式表示出线段，，依据已知条件列出关于的方程解答即可；②当点在点上方时，利用①的方法列方程解答即可；当时，此时点在做上坡运动，点做下坡运动，①当点在点下方时，利用含的代数式表示出线段，，依据已知条件列出关于的方程解答即可；②当点在点上方时，利用①的方法列方程解答即可． 【详解】解：任务1：， ， ，，， ，，． 故答案为：；7；； 任务2：点与点重合， 折痕处对应的数为， 与点重合的点所表示的数为． 任务3：，点表示的数为7， 点表示的数为0， 点从点出发，以1个单位长度秒的速度“上坡”至终点，当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动， ． 点在“阶梯坡面”上运动，，点从点出发，以3个单位长度秒的速度向点运动， ． 当时，此时点，都在做上坡运动， ①当点在点下方时， 由题意得：， ，， ， ， ， ． ②当点在点上方时， 由题意得：， ，， ， ， ， （大于6，不合题意舍去）． 当时，此时点在做上坡运动，点做下坡运动， 由题意得：，， ． ①当点在点下方时， ， ， ， ． ②当点在点上方时， ， ， ， （小于6，不合题意舍去）． 综上，当点在“阶梯坡面”上运动时，满足，的值为秒或秒． 【点睛】本题主要考查了数轴，非负数的应用，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，利用已知条件正确列出方程是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）数轴是一种工具，结合数轴与绝对值知识可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算有紧密联系，借助数轴可以实现它们之间解法的迁移． （1）若点表示的数是，点表示的数是，，求的值． （2）如图1，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点A，B表示的数互为相反数．动点P，Q分别同时从点A，C出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动，点以每秒2个单位长度的速度向终点移动，点表示的数为．当点P，Q之间的距离为2时，求此时的值． 【迁移】受此启发，小明制作出一种“异形数轴”用来解决角度问题．如图2：标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位角度．若射线表示，射线表示，则： 【应用】（3）如图3所示，已知，，，射线，同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒 ．当为何值时，？ 【答案】（1）7或；（2）或0；（3）或5 【分析】本题主要考查数轴和一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据数轴上的距离公式列出方程即可求解； （2）依题意得，的值为，的值为6，c的值为10，根据数轴上的距离公式列出方程，再解方程即可； （3）由题意得，，再分两种情况讨论：①、重合前；②、重合后，根据题意分别列出方程，再解方程求解即可． 【详解】（1）∵点表示的数是，点表示的数是，， ， 或， 或， 答：的值为7或； （2）∵点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点A，B表示的数互为相反数， ，， ， ， ， 点表示的数为，点表示的数为， ， 解得或， 当时，； 当时，； 的值为或0， 答：当点P，Q之间的距离为2时，此时的值为或0； （3）由题意得，， ①、重合前， ， ， ， ； ②、重合后， ， ， ， ； ∴当为或5时，， 答：当为或5时，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题02 数轴上的动点、规律及其应用问题 （题型突破·举一反三） 题型01 辨别数轴说法的正误（选择填空基础・夯实根基） 题型02 数轴识图与数的比较大小（选择填空必考・夯实根基） 题型03 数轴上两点之间的距离（期中基础高频・核心工具） 题型04 数轴上点的移动（入门动态题型・过渡训练） 题型05 数轴上单点左右运动规律探究（动点入门・月考预热） 题型06 数轴上三角形的运动规律探究（图形动态・期中难点） 题型07 数轴上正方形的运动规律探究（图形动态・期中难点） 题型08 数轴上圆形的运动规律探究（图形动态拓展・拔高训练） 题型09 数轴上的翻折问题（折叠对称・期中难点） 题型10 数轴上的整点覆盖问题（计数类动态・期中难点） 题型11 数轴与绝对值的几何意义最值问题（期中重难点） 题型12 与数轴有关的新定义问题（拓展创新・区分题型） 题型13 单动点运动问题（月考压轴必考・核心难点） 题型14 双动点运动问题（期中压轴必考・核心难点） 题型15 多动点运动问题（期末压轴拔高・难点） 题型16 数轴动态与代数式综合（期中压轴必考・核心难点） 题型17 数轴上的定值不变问题（动态探究压轴・高频考向） 题型18 数轴的应用问题（实际情景题型・综合运用） 题型19 数轴旋转综合问题（期末拓展难题） ▌题型01 辨别数轴说法的正误 【典例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列说法正确的是（    ） A．数轴由原点、单位长度和正方向组成 B．数轴上的一个点只能表示一个数 C．数轴上的点只能表示整数 D．数轴只含有正数部分和负数部分 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列说法中，①数轴上的点只能表示整数；②数轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴也可以箭头竖直向上画；⑤数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑥数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的有_____个． 【变式3】（23-24七年级上·天津北辰·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．数轴上表示的点与表示的点相距2 B．数轴上表示的点与表示的点相距 C．数轴上表示的点与表示4的点相距 D．数轴上表示的点与表示的点相距10 ▌题型02 数轴识图与数的比较大小 【典例2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河南郑州·期末）有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列结论：①与互为相反数；②；③；④；⑤，其中正确的是（   ） A．①②④⑤ B．②③④ C．①③④ D．②③⑤ 【变式3】（25-26七年级上·福建福州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，2，y，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． ▌题型03 数轴上两点之间的距离 由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑所有可能出现的结果． 【典例3】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知数轴上有A、B两点，如图，A为数轴上表示2的点，若点B到点A的距离是3，则B点表示的数为__________． 【变式1】（25-26七年级上·四川眉山·期中）在数轴上点A表示，点B，C表示的数互为相反数，且C与A之间的距离为2，则点B表示的数为____________． 【变式2】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有，，三点，其中，，设点，，所对应的数的和是，若以为原点，根据点，所对应的数，计算的值为______；若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为______． 【变式3】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）如图，点在数轴上所对应的数分别是和，且满足，则的值为___________． ▌题型04 数轴上点的移动 【典例4】（24-25七年级上·四川德阳·阶段检测）数轴上表示数的点沿数轴移动5个单位后到达原点，则x的值为_______． 【变式1】（23-24七年级上·山西朔州·期中）在数轴上点A表示，如果把原点向负方向移动1个单位，那么在新数轴上点A表示的数是______． 【变式2】（25-26七年级上·吉林四平·期中）数轴上的点A先向左移动1个单位长度，再向右移动7个单位长度到点B，点B表示的数为3，则移动前点A表示的数为______． 【变式3】（24-25七年级上·四川遂宁·阶段检测）一个点从数轴原点开始，先向右移动个单位长度，再向右移动个单位长度，如图所示，由图可以看出，到达的终点是表示的点． 一个点从数轴上的原点开始按下列方式移动： ①向左移动个单位，再向左移动个单位长度； ②向左移动个单位，再向右移动个单位长度； ③向右移动个单位，再向左移动个单位长度； 将上述①、②和③中移动到达终点表示的数，用“<”连接起来__________． ▌题型05 数轴上单点左右运动规律探究 【典例5】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）数轴上，点A的初始位置表示的数为，现将点A做如下移动：第1次点A向左移动1个单位长度至，第2次点A由位置向右移动2个单位长度至，第3次点A由位置向左移动3个单位长度至，第4次点A由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，第_________次移动之后点所表示的数绝对值为2026． 【变式1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）数轴上的一个动点从原点出发，按照以下规则移动： 第1次：向右移动1个单位； 第2次：向左移动4个单位； 第3次：向右移动7个单位； 第4次：向左移动10个单位； ．．． 记移动次后，动点的位置记为．对任意正整数，点与的距离为___________．（用含的式子表示） 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是____． ▌题型06 数轴上三角形的运动规律探究 【典例6】（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的重合（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【变式2】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知等边三角形在数轴上的位置如图所示，顶点A、C分别对应的数为0、．将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动（滚动一圈指线段再次落在数轴上），向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，每次滚动情况依次记录如下：，，，，．    ①第_____次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点C表示的数是______． ▌题型07 数轴上正方形的运动规律探究 【典例7】（25-26七年级上·江西萍乡·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2025次后，数轴上数2026所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式1】（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为，则翻转2024次后，数轴上的数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2】（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是________． 【变式3】（23-24七年级上·山西太原·期中）如图1，边长为1个单位长度的正方形纸片的点与原点重合，顶点与数轴上表示1的点重合．第一次将正方形纸片从图1的位置开始沿数轴向右滚动1周、顶点，分别与表示4，5的点重合．点记为，如图2； 第二次将正方形纸片从图2的位置开始沿数轴向左滚动2周，顶点，分别与表示，的点重合，点记为，如图3； 第三次将正方形纸片从图3的位置开始沿数轴向右滚动3周，顶点落在数轴上的处； 第四次将正方形纸片从点在处的位置开始沿数轴向左滚动4周，顶点落在数轴上的处：．．．依此规律，不断重复操作，解答下列问题． (1)点，之间的距离为______个单位长度，数轴上点表示的数为______．点表示的数为______．点，之间的距离为______个单位长度； (2)请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A设第（为正整数）次滚动结束时，顶点落在数轴上的点处， 当为奇数时，点表示的数为_______； 当为偶数时，点表示的数为_______． B．改变图1中正方形纸片的位置．使顶点与数轴上表示的点重合，按上述规律滚动正方形纸片，设第（为正整数）次滚动结束时，顶点落在数轴上的点处．请直接写出点表示的数． ▌题型08 数轴上圆形的运动规律探究 【典例8】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，直径为1个单位长度的圆，从点（点在数轴上表示的数是1）．设数轴向左滚动一周后到达点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【变式3】（25-26六年级上·山东东营·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的重要工具，能将数与形结合．若数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离． 【综合运用】 如图①，在数轴上，点A、B表示的数分别为a、b，且满足． （1）则______，______，A、B两点之间的距离为______． （2）点P和点Q分别从点A、点B同时出发，都沿数轴负方向运动．点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）．t秒后，点P对应的数是______，点Q对应的数是______（用含t的代数式表示）． 【延伸拓展】 （3）如图②，半径为2的圆从点A沿正方向在数轴上滚动． ①滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是______，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是______； ②滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是多少？ ▌题型09 数轴上的翻折问题 【典例9】（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【变式2】（25-26七年级上·天津和平·阶段检测）在一条可以折叠的数轴上，，表示的数分别是，，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是______． 【变式3】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． ▌题型10 数轴上的整点覆盖问题 长度为n(n为整教)的线段，最多能够覆盖数轴上的(n+1)个整数点，最少能够覆盖数轴上的n个整数点. 【典例10】（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【变式1】（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏常州·阶段检测）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为_____厘米． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个． ▌题型11 数轴与绝对值的几何意义最值问题 求出每个绝对值等于0时x的对应值，把所有的对应值从小到大排列，如果题目中有奇数个零点，则取“中间点”的对应值时，整个式子取最小值，如果题目中有偶数个零点，则取“中间段”里的任意值，整个式子都能取到最小值. 简单来说就是: 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 【典例11】（25-26七年级上·江苏南京·期末）的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）已知的最小值是，的最大值是，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）的最小值为______ 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． ▌题型12 与数轴有关的新定义问题 【典例12】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定：．例如，．当有理数a，b在数轴上的位置如图所示时，化简得______． 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）定义：已知点为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：．应用：如图有一条数轴，为数轴上三点，分别对应，，．的值是______；若点是数轴上一点，且，则点表示的数______． 【变式3】（21-22七年级上·福建泉州·期中）阅读理解，完成下则各题 定义：已知为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是的倍点，根据这个定义解决下面问题：    (1)在图中，点______的倍点（填写“是”或“不是”）；的倍点是点______（填写或或或）； (2)如图，为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，则点表示的数是______； (3)若为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的倍点？（用含的代数式表示）． ▌题型13 单动点运动问题 【典例13】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）点，是数轴上的两个点，点表示的数为，点表示的数为40，现有一动点从点出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒，当时，则________． 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知点，在数轴上对应的数分别为，，且，若动点在数轴上对应的数为，当＋＝时，的值为______． 【变式2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图所示，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数，点表示的数是1，一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数为______．    【变式3】（23-24七年级上·浙江舟山·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为． （1）当________时，； （2）若点表示的数是，当的值最小时，则的取值范围是________． ▌题型14 双动点运动问题 【典例14】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点，，在数轴上表示的数分别是，，．动点，同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿A→B匀速运动．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为()．当点，到点的距离相等时，的值是______． 【变式1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知A，B是数轴上的两个点，点A，B所表示的数分别为，11，动点P以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动，同时，动点M以每秒2个单位长度的速度从点B向左运动，用圆规在射线上截取（点D在点A右侧），当点D恰好落在中点时，点P运动时间为________秒． 【变式2】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）如图，在射线上，动点P，Q同时以和的速度从点A，B向射线方向运动，点M为的中点，点N为的中点，t秒时________． 【变式3】（25-26七年级上·江西新余·期末）数轴上两点A，B对应的数分别是a，b，已知a，b满足．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1) ， ，并在数轴上标出A，B两点； (2)【解决问题】问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？ ▌题型15 多动点运动问题 【典例15】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，，动点从点出发以每秒个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速返回，动点从点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，动点从原点出发以每秒个单位的速度沿负方向运动，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动．存在常数，当在某段时间内为定值时，的值是__________． 【变式1】．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图，已知数轴上有三点A，B，C，，，点A对应的数是40．动点P，Q同时从点C，A出发向右运动，同时动点R从点A出发向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度的2倍少4个单位长度/秒，经过5秒后，点P，R之间的距离与点Q，R之间的距离相等，则动点Q的速度为______个单位长度/秒． 【变式2】（25-26七年级上·广东佛山·期末）数轴上的动点运动蕴含了丰富的数量关系与几何意义．七年级数学研究小组在学习了数轴、代数式与方程后，开展了如下探究活动． 【探究背景】已知：在数轴上，点分别对应的数为、、，若动点从点出发向点匀速运动，速度为每秒个单位，运动时间为秒． 【初步探究】 （1）在运动的过程中，点所表示的数为________，________； （2）在点从出发的同时，动点从点出发向点匀速运动，速度为每秒个单位，则点运动________秒后能追上点； 【深入探究】 （3）在点从出发的同时，动点从点出发向点匀速运动，速度为每秒个单位，动点从点出发向点匀速运动，速度为每秒个单位．若点和点分别到达点后立即以原速返回，到达点停止；点到达点后立即以原速返回，到达点停止． 点运动________秒后能与点相遇； 当为多少时，点之间的距离为个单位？ 【变式3】（25-26七年级上·河南许昌·期末）已知数轴上点A、B、C对应的数分别为，且满足= 0． (1)直接写出的值； (2)动点M从A出发以1个单位/秒向右运动，动点N从B出发以2个单位/秒向右运动，动点P从C出发以3个单位/秒向右运动，三者同时出发，当点N到点M、P的距离相等时，求运动时间t； (3)若点Q从A出发以2个单位/秒向右运动，点R为线段的中点，当点R到原点的距离为4时，求点Q的运动时间． ▌题型16 数轴动态与代数式综合 【典例16】（25-26七年级上·江苏·寒假作业）已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数，，10，动点P从A出发，沿方向，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示点P到点A、C的距离， ； ． (2)当点P运动到点B时，点Q从C点出发，沿方向，以每秒3个单位的速度向A点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动． ①当 ，点P、Q相遇，此时点Q运动了 秒． ②请用含t的代数式表示出在P、Q同时运动的过程中的长． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图①，若有理数和在数轴上表示的点分别是点和点，且有理数对应的点在线段上(包含线段的端点),则称点为“关联点”． (1)下列几组有理数中，对应的点是“关联点”的有___________．(填写所有符合条件的序号) ①；②；③；④ (2)有理数和对应的点分别为点和．已知点为“关联点”，点在数轴上的位置如图②所示． ①若点到点和点的距离相等，利用刻度尺在数轴上画出点和点的位置，并标出点和点表示的数(用含的代数式表示)． ②直接写出有理数的取值范围（用含的代数式表示）． 【变式2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）已知是数轴上三点，点表示的数为， (1)点表示的数是 ，点表示的数是 . (2)动点分别从同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点的运动时间为（）秒． ①用含的代数式表示：点表示的数为 ，点表示是数为 ； ②当时，点之间的距离为 ； ③当点在线段上运动时，用含的代数式表示点之间的距离. 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． ▌题型17 数轴上的定值不变问题 【典例17】（21-22七年级上·江苏无锡·期末）同一数轴上有点分别表示数，且满足等式，点表示的数是多项式的二次项系数，点在数轴上同时开始运动，点向左运动，速度为每秒3个单位长度，点均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，设运动时间为秒．若存在使得的值不随时间的变化而改变，则该定值为______． 【变式1】（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，已知点O为数轴原点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且．M、N两点分别从O、B出发以、的速度同时沿数轴负方向迅速运动（M在线段上，N在线段上），P是线段的中点，若M、N运动到任一时刻时，总有为定值，则、满足的数量关系是________． 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知点A、B、C、D在数轴上，点A和点C表示的数分别为、1，点B在点A的右侧，点D在点C的右侧，且，． (1)直接写出点B和点D表示的数分别为： 、 ； (2)若线段沿着数轴向右以2个单位长度/秒的速度运动，同时线段沿着数轴向左以1个单位长度/秒的速度运动，设运动的时间为t（秒），． ①若点B和点D重合，则t的值为 ，若点A和点C重合，则t的值为 ； ②若线段和线段重叠部分为个单位长度，求运动时间t的值； ③当时，下面两个式子：（Ⅰ）；（Ⅱ）中有一个式子的值是定值，你认为是定值的式子是 （填写序号），并直接写出这个定值． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想． ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，其中表示点A和点B之间的距离．若A，B位置不确定时，则，若点A在B的右侧，即，则； ②点A向右运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：． 【问题情境】如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)运动t秒后，点A表示的数为 （用含t的式子表示）； (2)若t秒钟过后，点B到点A的距离与点B到点C的距离相等，求t值； (3)当点C在点B右侧时，的值是否为定值？若是定值，直接写出这个定值；若不是定值，请说明理由． ▌题型18 数轴的应用问题 【典例18】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究． 【应用】距离问题 点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．例如，数轴上3与1两点之间的距离表示为． (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为______；数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______． (2)①若，则______； ②若x表示一个有理数，则的最小值为______，满足条件的所有整数x的和为______． (3)【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【变式1】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）问题背景：在中学数学中，体现数形结合思想的内容较多，数轴是体现数形结合思想的一个有力工具，利用数轴常可使一些复杂问题变得容易解决． 【问题解决】阅读以下材料，并解决问题． 如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上，它的两端，分别落在点，处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点移动到点处时，点对应的数为20；再向左移动，当点移动到点处时运动停止，点对应的数为5．（注：本题中，数轴上1个单位长度代表．） （1）求出木棒的长度的值； （2）求出图中点和点表示的数各是多少； （3）若木棒以每秒的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟． 【拓展应用】借助上述方法解决下面的问题： 一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁的老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？ （4）请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题： (1)若，则________； (2)的最小值为________； 的最小值为________； (3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费． 【变式3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）【定义】 点，，是一条直线上从左到右的三个点，若直线上点满足，则称点是点，，的“和谐点”．    【理解】 （1）如图①，在数轴上，点，，，表示的数分别为，0，5，1，点是不是点，，的“和谐点”？请通过计算作出判断． （2）点，，是一条直线上从左到右的三个点，且，，若点是点，，的“和谐点”，求的长． 【拓展】 （3）如图②，在数轴上，点，，表示的数分别为，，（是整数），点在点的左侧，且点是点，，的“和谐点”，点，，，表示的数之和是否能被4整除？请通过计算作出判断． ▌题型19 数轴旋转综合问题 【典例19】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）规律发现： （1）在学完《数轴》这节课后，完成以下三空： ①点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______； ②点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______； ③发现：点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______． 直接运用： （2）将数轴按图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为，则的值为______，若将从图中位置向右滚动，则数字对应的点将与的顶点______重合． 类比迁移： （3）如图（2），，，，若射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？ 【变式1】（24-25七年级上·河北·阶段检测）如图1和图2，数轴与交于公共原点O，点M，N在数轴上且表示的数分别为2和，点P在数轴上，且．初始状态下． (1)如图1，若线段中点为A，求点A在数轴上表示的数； (2)如图1，若点P在数轴上表示的数是4，将数轴绕点O旋转过程中，当数轴经过点N时，直接写出点N在数轴上表示的数为多少？ (3)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，将绕点O逆时针旋转得到（其中）．在整个旋转过程中，当被数轴或平分时，直接写出所有符合条件的值． 【变式2】（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成探究任务． 【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图1），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足． 【素材2】通达小组分别以“灵动数轴”中的点A和点B为中心旋转一定角度，形成了如图2所示的“数轴阶梯”，其中点A和点B之间的部分（包括点A和点B）叫做“阶梯坡面”． 【任务1】在“灵动数轴”中，_______，________，______； 【任务2】折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数； 【任务3】点D落在“阶梯坡面”上，．现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以2个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5个单位长度/秒的速度“下坡”至终点A；点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足，若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值． 【变式3】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）数轴是一种工具，结合数轴与绝对值知识可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算有紧密联系，借助数轴可以实现它们之间解法的迁移． （1）若点表示的数是，点表示的数是，，求的值． （2）如图1，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点A，B表示的数互为相反数．动点P，Q分别同时从点A，C出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动，点以每秒2个单位长度的速度向终点移动，点表示的数为．当点P，Q之间的距离为2时，求此时的值． 【迁移】受此启发，小明制作出一种“异形数轴”用来解决角度问题．如图2：标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位角度．若射线表示，射线表示，则： 【应用】（3）如图3所示，已知，，，射线，同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒 ．当为何值时，？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 培优专题02数轴上的动点、规律及其应用问题 (题型突破举一反三) 题型01辨别数轴说法的正误 典例精析 【典例1】 【答案】B 三 举一反三 【变式1】 【答案】A 【变式2】 【答案】2 【变式3】 【答案】A 题型02数轴识图与数的比较大小 典例精析 【典例2】 【答案】C 举一反三 【变式1】 【答案】A 【变式2】 【答案】B 【变式3】 【答案】B 【变式4】 1/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】A 题型03数轴上两点之间的距离 典例精析 【典例3】 【答案】5或-1 举一反 【变式1】 【答案】4或0 【变式2】 【答案】 5 -6076 【变式3】 【答案】8 题型04数轴上点的移动 三典例精析 【典例4】 【答案】 2 三举一反三 【变式1】 【答案】-3 【变式2】 【答案】-3 【变式3】 【答案】-6<-1<3 题型05数轴上单点左右运动规律探究 典例精析 2/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例5】 【答案】 4035或4068 举一反三 【变式1】 【变式2】 【答案】114或117 【变式3】 【答案】9 22023 题型06数轴上三角形的运动规律探究 三典例精析 【典例6】 【答案】A 举一反三 【变式】 【答案】B 【变式2】 【答案】 三 -10 题型07数轴上正方形的运动规律探究 三典例精析 【典例7】 【答案】B 举一反三 【变式1】 【答案】A 【变式2】 3/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】2 【变式3】 【答案】(18：8：-8：24 (2A:2n+2,-2n;B:当n为奇数时，点A,表示的数是2n;当n为偶数时，点A表示的数是-2n-2. 题型08数轴上圆形的运动规律探究 三 典例精析 【典例8】 【答案】C 举一反三 【变式1】 【答案】D 【变式2】 【答案】-1 【变式3】 【答案】(1)-4,12,16；(2)-4-t;12-3t;(3)①-4+4π，-4+8π：②-4+4mm. 题型09数轴上的翻折问题 E 典例精析 【典例9】 【答案】B 举一反三 【变式1】 【答案】-2-a 【变式2】 12 【答案】 5 【变式3】 【答案】(1)-1,1 4/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)①p的值为1.5：②p的值为0.75或2或3.5 题型10数轴上的整点覆盖问题 典例精析 【典例10】 【答案】D 举一反目 【变式1】 【答案】C 【变式2】 【答案】3或2 【变式3】 【答案】 201 200 题型11数轴与绝对值的几何意义最值问题 三典例精析 【典例11】 【答案】B 举一反目 【变式1】 【答案】B 【变式2】 【答案】15 【变式3】 【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和：3： (2)a这个数在数轴上对应的点到1,2,3这三个点的距离之和；图见解析：2；2. 题型12与数轴有送的新定义问题 典例精析 5/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例12】 【答案】-2b 举一反三 【变式1】 2 【答案】 【变式2】 【答案】 8或2 【变式3】 【答案】(1)是，B (2)3或9 1 11 (3)20或40或24 题型13单动点运动问题 典例精析 【典例13】 5 【答案】45或 举一反目 【变式1】 【答案】-9或7 【变式2】 A B 【答案】0 【变式3】 【答案】 2或3.6 1≤t≤2 题型14双动点运动问题 6/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例14】 4.4 【答案】3或5 举一反三 【变式1】 【答案】3或4 【变式2】 【答案】40.25 【变式3】 【详解】(1)解：：(a+4)+b-8=0, .a+4=0,b-8=0. .a=-4,b=8, 故答案为：-4,8： 在数轴上标出A、B两点，如图所示： A 方4之0之46方名g0→ (2)解：设运动时间为t秒，根据P,Q的运动， 则AP=3t,BQ=2t,AB=8-(-4)=12 分两种情况： 当点P在点0的左侧时，21+3=12-3 解得1=5， 9 当点P在点Q的右侧时，21+31=12+3 解得t=3, ∴.点P运动5秒或3秒时与点相距3个单位长度. 题型15多动点运动问题 7/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例15】 【答案】-9,9,3 举一反三 【变式1】 【答案】4或36 【变式2】 【答案】 (1)16-4t:36-4(0≤t≤9) 6 2)3 1349 (3)①3或3：②或23或25 【变式3】 【答案】(1)a=6,b=2,c=1 (2)t=2.5 (3)t=0.5 题型16数轴动态与代数式综合 典例精析 【典例16】 【答案】(1t,36-t 2)①21,5：②当16≤t≤21时，P0=84-4t;当21<1≤28时，P0=4t-84 三 举一反三 【变式1】 【答案】(1)①③ (2) ①如图，点P是MW的中点， 8/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M P N 0 m 2m 3m N P M 03m号mm ②n≥2 或0≤n≤2m 【变式2】 【答案】(1)-4,6 (2)①-4+2t,6-t;②7：③10-3t 【变式3】 【答案】(1)-21,8 (2)-9 (3)1,10 (4)当0≤t≤3.5时，d=10-t;当t>3.5时，d=3t-4 题型17数轴上的定值不变问题 典例精析 【典例17】 【答案】-84 举一反三 【变式1】 【答案】y=2% 【变式2】 【答案】(1)-2、2 4 711 (2)①3：3；②6或6：③是定值的式子是(I),这个定值为3 【变式3】 【答案】(1)-3-2t (2)t=1或6 9/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 40 (3)是定值， 题型18数轴的应用问题 E 典例精析 【典例18】 【答案】(1-3-6，x+3引 (2①3或-5：②5：-9 (3)汇合地点M的位置在点F时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1200m 主举一反目 【变式1】 【答案】(1)5：(2)10,15：(3)7.5：(4)小明现在12岁，爷爷现在64岁 【变式2】 【答案】(15或1 (2)11:5 (3)物资存放处设在A、B之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20元 【变式3】 【答案】(1)点P是点A,B,C的“和谐点”，理由： 由题意，得PA=3,PB=1,PC=4, 所以PA+PB=PC 所以点P是点A,B,C的“和谐点” 7 (2)P4的长为3或3： (3)点A,B,C,P表示的数之和能被4整除，理由： 设PA=m,则PB=m+4,PC=m+8,且满足PA+PB=PC,即m+m+4=m+8,解得m=4. 所以点P表示的数为a-4, 因为a-4+a+a+4+a+8=4a+8=4(a+2),且a是整数， 所以点A,B,C,P表示的数之和能被4整除. 题型19数轴旋转综合问题 10/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例19】 【答案】(1)①4：②6： ③4+b 15 92；(2)-3C:(3)t=2或1= 12 7或t 5 三 举一反三 【变式1】 【答案】(1)2 (2)6或-6 (3)20或100或140 【变式2】 39,339 【答案】任务1：-3：7：-6：任务2：4：任务3：的值为11秒或52秒. 【变式3】 【答案】（①）7或1：(2)-3或0：(3)5或5 11/11