第二十七章 反比例函数 知识清单 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十七章　反比例函数　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共三节：27.1反比例函数的概念；27.2反比例函数的图象和性质；27.3实际问题与反比例函数。本章从现实中的反比例关系抽象出反比例函数，研究其图象（双曲线）与性质，并用于解决实际问题。 【考点地位】反比例函数的图象与性质、k 的几何意义、用待定系数法求解析式、与一次函数综合是中考函数部分的常考内容，常与一次函数、几何面积结合命题。 【学习目标】①理解反比例函数的概念，会求其解析式；②能画出反比例函数图象，掌握双曲线的位置、增减性；③理解比例系数 k 的几何意义；④能用反比例函数解决实际问题。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第二十七章　反比例函数 27.1　反比例函数的概念 形如 y=（k为常数，k≠0）的函数；自变量 x≠0 三种形式：y=、y=kx⁻¹、xy=k 27.2　反比例函数的图象和性质 图象是双曲线，由两支组成，关于原点对称 k>0：两支在第一、三象限，每个象限内 y 随 x 增大而减小 k<0：两支在第二、四象限，每个象限内 y 随 x 增大而增大 k 的几何意义：图象上一点到两坐标轴垂线所围矩形面积=|k| 27.3　实际问题与反比例函数 行程、工程、压强杠杆等“积为定值”问题；先求 k 再用性质 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念、性质集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 公式·定理·性质内容 说明与易错提示 反比例函数 k≠0；x≠0，自变量取不为0的一切实数 图象 双曲线，由两支曲线组成，关于原点成中心对称 图象无限接近两坐标轴，但永不相交 k>0 的性质 两支位于第一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 “在每个象限内”不能丢 k<0 的性质 两支位于第二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 跨象限比较大小要分象限讨论 k 的几何意义 过图象上任一点作两坐标轴的垂线，所围矩形面积等于 注意是矩形面积=|k|，三角形面积=|k|/2 三、考点知识梳理 （一）27.1　反比例函数的概念 【知识定位】反比例函数的概念与待定系数法是本章基础考点。 【反比例函数的概念】一般地，形如（k 为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数。其中 x 是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数。它也可写成 y=kx⁻¹ 或 xy=k 的形式。 【待定系数法】只需已知图象上一个点的坐标，代入 y= 即可求出 k，从而确定解析式。 （二）27.2　反比例函数的图象和性质 【图象】反比例函数 y= 的图象由两支曲线组成，是双曲线。 【k>0】当 k>0 时，函数图象的两支分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小。 k>0 时反比例函数的图象（双曲线两支在第一、三象限） 【k<0】当 k<0 时，函数图象的两支分别位于第二、第四象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大。 比例系数 k 为负时，反比例函数图象（双曲线）位于第二、四象限 【k 的几何意义】过双曲线 y= 上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，这两条垂线与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|；该点与原点连线、两垂线围成的直角三角形面积等于 |k|。 （三）27.3　实际问题与反比例函数 【实际模型】当两个变量的乘积为定值时（如路程=速度×时间、总量=速度×时间、阻力×阻力臂=动力×动力臂），它们成反比例关系，可建立反比例函数模型求解。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】图象位置：k正一三、k负二四；增减性：k正在各象限递减，k负在各象限递增。几何意义：点到两轴作垂线，矩形面积就是|k|，三角形面积取一半。 【对比记忆】正比例函数与反比例函数对比如下表。 对比项 正比例函数 y=kx 反比例函数 y= 图象 过原点的直线 双曲线（两支） k>0 一、三象限，y随x增大而增大 一、三象限，每象限内y随x增大而减小 k<0 二、四象限，y随x增大而减小 二、四象限，每象限内y随x增大而增大 五、解题方法总结 题型1　确定反比例函数解析式 【解题方法】①设 y=；②把已知点坐标代入，求出 k；③写出解析式。若题目说“y 与 x 成反比例”即按 y= 设；若说“y 与 x² 成反比例”则设 y=。 【数学思想】方程思想、待定系数法。 题型2　反比例函数的图象与性质应用 【解题方法】①由 k 的符号判断图象所在象限和增减性；②比较两点函数值大小时，先看两点是否在同一象限（同一支上），不同象限的点要分开讨论，不能直接用增减性跨象限比较。 【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想。 题型3　k 的几何意义与面积问题 【解题方法】①过双曲线上的点向坐标轴作垂线；②矩形面积=|k|，直角三角形面积=|k|；③由面积反求 |k|，再结合象限定 k 的符号。 【数学思想】数形结合思想。 题型4　反比例函数与一次函数综合 【解题方法】①联立两个函数解析式求交点（解方程组）；②结合图象比较函数值大小：看在同一 x 处两图象的上下位置；③求所围三角形（或多边形）面积时，以交点坐标作底、高计算。 【数学思想】数形结合思想、方程思想。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 忽略 k≠0、x≠0 的限制 反比例函数中 k≠0，自变量 x≠0，图象与两坐标轴不相交 说“y 随 x 增大而减小”时丢掉“在每个象限内” 增减性必须限定在同一支（同一象限）上，跨象限不成立 跨象限比较两点函数值大小 先看两点所在象限，分别判断，不能直接套增减性 把 k 的几何意义记错 矩形面积=|k|，直角三角形面积=|k|，不要漏 由面积求 k 时忘记符号 面积得 |k|，再由图象所在象限确定 k 的正负 “y 与 x² 成反比例”误设为 y= 应设 y=，按题目给的对应关系设 七、高频考点速记 ①反比例函数y=（k≠0），图象是双曲线。 ②k>0 时两支在一、三象限，每象限内 y 随 x 增大而减小。 ③k<0 时两支在二、四象限，每象限内 y 随 x 增大而增大。 ④图象上任一点到两坐标轴垂线所围矩形面积=|k|，直角三角形面积=|k|。 ⑤比较函数值大小要在同一象限内进行。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 2．反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 4．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示． 已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） A．24 B．25 C．26 D．28 （二）填空题（每空2分，共5题） 1．在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 2．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 3．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 4．如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 5．如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． （三）解答题（每题8分，共2题） 1. 已知反比例函数 y= 的图象经过点 A(2，4)。 （1）求这个反比例函数的解析式；（2）判断点 B(-2，-4) 是否在该函数图象上，并说明理由。 2. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A(1，4)、B(4，n) 两点。 （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出：当 x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】A 解题步骤： ①A、当x=1时，y==1，∴点(1,1)在函数y=的图象上； ②B、当x=1时，y=1≠2，故(1,2)不在图象上； ③C、当x=2时，y=≠1，故(2,1)不在图象上； ④D、当x=2时，y=≠2，故(2,2)不在图象上。故选A。 【知识点睛】点在反比例函数图象上：点(x,y)满足xy=k（k为常数）。把各选项横纵坐标相乘，与k比较判断。 2．【答案】D 解题步骤： ①∵反比例函数图象过M(a,−3)、N(2,b)两点，∴k=a·(−3)=2b； ②由a<−2，得 k=−3a>6，即 k>0； ③又 b=，∴ b>3，故选D。 【知识点睛】双曲线上点的坐标满足xy=k：先用一点坐标表示k，再由已知横坐标范围推出k的范围，最后求另一点纵坐标的范围。 3．【答案】C 解题步骤： ①∵y=中k=3>0，∴图象在一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小； ②A(−2,y₁)在第三象限，y₁==−1.5； ③若m>0，B在第一象限，y₂>0>y₁，符合；若m<0，B在第三象限，需m<−2才能使y₂>y₁。综上m<−2或m>0，选C。 【知识点睛】反比例函数增减性：先由k的符号定象限，再强调“在每个象限内”y随x增大而增大(k<0)或减小(k>0)；比较同一支上两点函数值，可直接代入计算或利用增减性，不同象限的点须分开判断正负。 4．【答案】D 解题步骤： ①分k>0与k<0两种情况讨论。当k>0时，直线y=kx−k斜率为正、y轴截距−k<0，过一、三、四象限；双曲线y=在一、三象限； ②当k<0时，直线斜率为负、y轴截距−k>0，过一、二、四象限；双曲线y=在二、四象限； ③对照各选项图象，只有D同时符合一次函数与反比例函数在同一k下的位置关系，故选D。 【知识点睛】函数图象综合判断：按k>0与k<0分别判断一次函数（斜率、截距）与反比例函数（所在象限）的图象形态，找出二者在同一坐标系中相容的选项。 5．【答案】A 解题步骤： ①∵I是R的反比例函数，设 I=由表中数据 R=4时I=30、R=6时I=20，得 k=IR=4×30=6×20=120； ②∴I=； ③表中 R=5 时 I=a=120÷5=24，故选A。 【知识点睛】实际问题与反比例：由表格中一组对应数据求k=IR，确定解析式后，再用解析式求未知的I或R。 【填空题】 1．【答案】1（答案不唯一，k>0即可） 解题步骤： ①∵反比例函数的图象两支分别位于第一、第三象限， ②∴， ③因此任意取一个大于的常数即可，例如符合条件． 【知识点睛】双曲线象限求参数：图象在一、三象限⇔k>0，二、四象限⇔k<0。由k>0列条件求参数值。 2．【答案】y1>y2 解题步骤： ①∵y=中k=4>0， ②∴在第一象限内y随x增大而减小； ③又2<3，∴y₁>y₂。 【知识点睛】反比例函数k的几何意义：过图象上一点作两坐标轴垂线，与坐标轴围成矩形面积等于|k|．结合图象位置判断k的正负，再求面积或坐标． 3．【答案】k=-4 解题步骤： ①设A(a,h)、B(b,h)，由AB∥x轴知两点纵坐标相同；A在y=上、B在y=上，故 ah=2，bh=k； ②点C在x轴上，△ABC以AB为底、高为h，面积=½·AB·h=½(a−b)h=½(ah−bh)； ③代入得 ½(2−k)=3，解得 2−k=6，k=−4。 【知识点睛】k的几何意义：双曲线上点与坐标轴围成矩形面积=|k|。两双曲线间平行线截得三角形面积为两|k|之差的一半，据此列方程求k。 4．【答案】4 解题步骤： ①点P在y=上，PA⊥x轴交C2于A，PB⊥y轴交C2于B，A、B在y=上； ②由k的几何意义，过P作两坐标轴垂线围成的矩形面积=|−6|=6；A、B所在y=与坐标轴围成的矩形面积=|−2|=2； ③四边形OAPB的面积=|−6|−|−2|=6−2=4。 【知识点睛】k的几何意义：同一象限内两双曲线之间夹出的矩形面积为|k1|−|k2|，直接作差即可。 5．【答案】 解题步骤： ①设A在第一象限，由y=kx与y=联立得x_A=，y_A=2；B在第三象限，由y=kx与y=联立得x_B=−，y_B=−； ②过A作x轴垂线、过B作y轴垂线交于C，则C=(x_A,y_B)； ③AC=|y_A−y_B|=3，BC=|x_A−x_B|=； ④S△ABC=½·AC·BC=½·3·=。 【知识点睛】正比例与反比例交点面积：先求两图象交点坐标，再由垂线段构成的矩形/三角形面积（与|k|有关）计算。 【解答题】 1. 解：（1）把 A(2，4) 代入 y=，得 4=，k=8，所以 y=。 （2）把 x=-2 代入，得 y==-4，与点 B 的纵坐标相同，故 点 B 在该函数图象上。 2. 解：（1）把 A(1，4) 代入 y=，得 m=4，故 y=。点 B(4，n) 在 y= 上，n==1，即 B(4，1)。 把 A(1，4)、B(4，1) 代入 y=kx+b，解得 k=-1，b=5，故 y=-x+5。 （2）由图象可知，两交点横坐标为1和4。一次函数图象在反比例函数上方时，x<0 或 1<x<4。 学科网（北京）股份有限公司 $