精品解析：江西师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

高二年级数学试卷 审题人：高二备课组 命题人：高二备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知两直线的方程分别为：，：，它们在坐标系中的位置如图所示，则（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】首先将直线：，：化成斜截式，然后根据所给图像中直线的斜率以及纵截距即可求解. 【详解】由题中所给直线方程易得， 直线的方程：；直线的方程：， 又由图像可知直线和的斜率都大于0，即，，且， 故，且， 又∵的纵截距，的纵截距， ∴，． 故选:C. 2. 如图，在四面体中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算及基本定理计算即可得． 【详解】由题可知，，， ， 所以， 故选：D． 3. 若，直线：，直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系，结合充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】当时，，则； 若，则，解得或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 经过两直线：与：的交点，且垂直于直线的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求两直线的交点坐标，再由垂直关系得出所求直线的斜率，即可得解. 【详解】由，解得， 所以直线与的交点为， 又与直线垂直的直线斜率， 所以直线方程为，即. 5. 已知二面角的大小为，点B、C在棱l上，，，，，则AD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积运算及二面角的概念求解. 【详解】如图所示， 由题意知， 又二面角的大小为，故， ， 又， ， , 即AD的长为， 故选：D 6. 已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体、圆柱、球的表面积相等设出相应的量，然后用相同的量表示出它们的体积，比较即可. 【详解】设正方体的棱长为，等边圆柱底面圆的半径为，球体的半径为， 所以正方体的表面积为， 等边圆柱的表面积为， 球的表面积为， 因为，即， 由，， 所以正方体的体积为， 等边圆柱的体积为， 球的体积为， 因为， 所以， 故选：C. 7. 已知点，，是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可. 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 8. 已知三棱锥中，，，且．若三棱锥的外接球表面积为，则钝二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出外接球半径，作出辅助线，找到外接球球心的位置，得到垂直关系，得到为二面角的平面角，并求出各边长，得到，，相加可得答案. 【详解】设三棱锥的外接球半径为，由题意得，解得， 设的外心分别为，设三棱锥的外接球球心为， 连接，延长交于点，连接，则， 因为，所以为的中点，所以⊥， 又因为，所以为的中点，且⊥，则， 所以为二面角的平面角， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又，， 所以， 在中，， 在中，，所以， 又， 在中，， 其中，所以，故， 所以， 故钝二面角的大小为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 已知，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故D错误. 10. 下列结论错误的是（ ） A. 过两点的所有直线，其方程均可写为 B. 直线的斜率为，则直线的倾斜角的取值范围是 C. 直线与直线之间的距离为 D. 已知点，，点在直线上，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：若，则无法写成，故A错误； 对于B：设倾斜角为，则，所以，故B正确； 对于C：直线与直线之间的距离为，故C正确； 对于D：设点关于直线的对称点为， 所以，得，即， 则的最小值为，故D错误. 11. 正方体的棱长为，，（），（，，且），下列结论正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 点到直线的距离的最小值为 C. 的最小值为 D. 若，，则四面体的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，根据线面平行的向量证法证明即可；对于B，根据点到直线的距离公式的向量求法求解即可；对于C，找出点关于平面的对称点，结合对称法求解即可；对于D，判断点的位置，根据三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】对于A，以点为原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， . ，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. ， 又，所以， 因为，所以. 又平面，所以平面，A正确. 对于B，，. 因为，，所以，则， 所以，， . 所以点到直线的距离为 . 令，，对称轴为， 所以，即，所以. 故点到直线的距离的最小值为，B正确. 对于C，点关于平面的对称点为. 所以当点为直线与平面的交点时，距离最短， 所以， 故的最小值为，C错误. 对于D，若，，则，即，此时点为中点. 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若共面，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据 共面，可知存在实数 ， 使得 ，再结合向量的坐标表示建立方程组，最后求解即可. 【详解】由题意知， 共面，则存在实数 使得， 则代入坐标得： 所以， 由 可得 ， 将 代入第一个方程得，即，因此 ， 将 代入第三个方程得，即， 故答案为： 13. 如图，已知正方形的一条对角线所在的直线斜率为2，则该正方形两条邻边所在的直线的斜率之和为__________ 【答案】## 【解析】 【详解】如图，设直线的倾斜角为，则， 则正方形的边所在直线斜率为正、负时的倾斜角分别为， 则该正方形两条邻边所在的直线的斜率之和为 14. 在棱长为2的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得轨迹为以为顶点，正方体面对角线为母线的圆锥侧面的，据此可得答案. 【详解】因为，则的轨迹为如图以为顶点，为高，正方体面对角线为母线的圆锥侧面的， 又因为正方体面对角线长度为，圆锥底面圆半径为，则轨迹形成的图形面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 的顶点的坐标分别为． （1）求线段的中垂线所在直线方程； （2）求过点，且和距离相等的直线方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）计算线段的斜率由垂直可得线段的中垂线斜率，计算线段的中点坐标，由点斜式写出直线方程；（2）利用分类讨论的思想，分析直线斜率不存在的情况，不符合题意；直线斜率存在时，设直线方程，利用点到直线的距离公式列式计算求解. 【小问1详解】 由题意，，且的中点坐标为 ，所以线段的中垂线斜率为， 且过点，所以线段的中垂线方程为， 即 【小问2详解】 设过点且和距离相等的直线为， 当直线斜率不存在时，方程为， 此时直线到点距离不相等，不符合题意； 当直线斜率存在时，设方程为， 即，所以， 化简得，解得或， 所以直线方程为或 16. 已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于，两点，为原点． （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）当取得最小值时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设截距式，由过定点得，截距相等令求直线； （2）用“的代换”将化为，由基本不等式求最小值及取等条件. 【小问1详解】 设直线与轴正半轴交于，与轴正半轴交于，其中， 由截距式，直线的方程为： 因为直线过点，所以 若直线在两坐标轴上的截距相等，则， 即 故，直线方程为， 【小问2详解】 由（1）知，则 展开得： 由基本不等式可得： 所以当且仅当，即时取等号， 即 于是 因此直线的截距式方程为： 化简得： 整理得： 故当取得最小值时，直线的方程为. 17. 如图，三棱柱的棱长均为2，且. （1）求证：侧面为正方形； （2）求到侧面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点G，连接，易证，根据线面垂直判定、性质证，再由得，结合已知即可证结论； （2）取底面的中心O，连接，易得底面，应用等体积法求A到侧面的距离，根据侧面即可得结果. 【小问1详解】 连接，取的中点G，连接. 由， 所以都是等边三角形，故， 故，，面， 所以平面，平面， 所以，又，故， 又侧面是平行四边形且边长相等，故侧面为正方形. 【小问2详解】 由（1）知：三棱锥为正四面体，取底面的中心O，连接， 则底面. 在中，. 三棱柱体积为， 故四棱锥的体积为： 设点A到侧面的距离为h，则. 所以，所以点A到侧面的距离为. 因为侧面，故到侧面的距离为. 18. 如图，将一对三角板拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）求三棱锥外接球的体积； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为二面角为直二面角，所以平面平面. 又平面平面，，所以平面. 因为平面，所以. 因为，平面，，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二面角的定义、面面垂直的性质、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）结合直角三角形的性质找出三棱锥外接球的球心，求出球的半径，代入球的体积公式求解即可. （3）根据二面角的定义找出二面角对应的平面角，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，. 在等腰中，. 在中，，则. 点为中点，所以. 由（1）知，平面，因为平面，所以. 在中，点为中点，所以. 故，故点即为三棱锥外接球的球心，且球的半径为. 故三棱锥外接球的体积为. 【小问3详解】 取中点，连接，过点作，交于点，连接. 在等腰中，点为中点，所以，. 又平面平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以，. 因为平面，，所以平面. 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角. 在中，，所以. 在中，，所以. 故二面角的余弦值为. 19. 如图，已知是边长为4的等边三角形，，分别是，的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥． （1）设平面平面，证明：平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，设点在线段上运动（不含端点），记直线与平面所成的角为，四棱锥的高为，求的取值范围． 【答案】（1）∵，分别是，的中点， ∴又平面，平面，∴平面， 又∵平面平面，平面，∴， 又∵平面，平面，∴平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线得，由线面平行判定及性质证. （2）建立空间直角坐标系，由确定坐标，求出两平面法向量，利用夹角公式计算. （3）由体积范围确定的参数，计算线面角的正切，消去变量得到只与位置有关的表达式，再求值域即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：坐标法 取BC中点N，连，则M为DE的中点， 在平面APN内，过M作， 在等边△ABC中，由，得， 又，所以， 所以，，所以DE⊥平面APN， 又Mz平面APN，所以， 所以Mz，AN，DE两两垂直，以M为坐标原点， 直线MN，ME，Mz分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， ，，，，， 则，， 又，则，，解得， 则，所以， 则，，， 设平面PDB的一个法向量为， 则，令，得， 设平面PDE的法向量为，则， 令，得，， 所以平面PDB与平面PDE夹角的余弦值为． 法二：几何+向量法 由已知得在翻折过程中，，．当时， 易知，又，由勾股定理得． 如图，取PD中点G，连接EG，因为△PDE是等边三角形，所以， 所以向量与向量的夹角即为平面PDB与平面PDE夹角（或补角）， 且，，设向量与向量的夹角为γ，， 同时 所以，即平面PDB与平面PDE夹角的余弦值为． 【小问3详解】 因为点P在平面内的射影在四边形内部， 所以，由，得到， 因为，所以， 则，又， 所以，则， 所以， 则，，，， 因为点Q在线段BC上运动（不含端点），设， ，，设平面PDE的法向量为 则，即， 令，，即， 所以，， 得到. 因为，所以， 可得， 而， 故的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学试卷 审题人：高二备课组 命题人：高二备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知两直线的方程分别为：，：，它们在坐标系中的位置如图所示，则（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 如图，在四面体中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，直线：，直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 经过两直线：与：的交点，且垂直于直线的直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二面角的大小为，点B、C在棱l上，，，，，则AD的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥中，，，且．若三棱锥的外接球表面积为，则钝二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 已知，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 下列结论错误的是（ ） A. 过两点的所有直线，其方程均可写为 B. 直线的斜率为，则直线的倾斜角的取值范围是 C. 直线与直线之间的距离为 D. 已知点，，点在直线上，则的最小值为 11. 正方体的棱长为，，（），（，，且），下列结论正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 点到直线的距离的最小值为 C. 的最小值为 D. 若，，则四面体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若共面，则__________. 13. 如图，已知正方形的一条对角线所在的直线斜率为2，则该正方形两条邻边所在的直线的斜率之和为__________ 14. 在棱长为2的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 的顶点的坐标分别为． （1）求线段的中垂线所在直线方程； （2）求过点，且和距离相等的直线方程． 16. 已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于，两点，为原点． （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）当取得最小值时，求直线的方程． 17. 如图，三棱柱的棱长均为2，且. （1）求证：侧面为正方形； （2）求到侧面的距离. 18. 如图，将一对三角板拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）求三棱锥外接球的体积； （3）求二面角的余弦值． 19. 如图，已知是边长为4的等边三角形，，分别是，的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥． （1）设平面平面，证明：平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，设点在线段上运动（不含端点），记直线与平面所成的角为，四棱锥的高为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $