精品解析：江西省重点中学盟校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试题

江西省重点中学盟校2026年10月高二联考 考试时间：120分钟 试卷分数：150分 命题学校：赣州三中 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 点到直线：的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知方程表示圆，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ） A. B. C. D. 6. 过圆：上的点作圆：的切线，切点为，则最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对任意一点都有（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 在轴的截距为 B. 过定点 C. 若，则 D. 若，及轴围成的三角形面积为，则或 10. 已知函数，下列关于结论正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 值域为 C. 对称轴为 D. 对称中心为 11. 已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则直线方程为 B. 若，则 C. 当四边形面积最小时， D. 当四边形面积最小时，直线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线和直线的交点坐标为，则__________． 13. 设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 14. 一个底面半径为，高为的圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内部有三个半径为的铁球．现往该容器放入个半径为（单位：）的小铝球，使得每个小铝球与容器内壁及其中两个铁球都相切，则__________，的最大可能值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． （1）求直线方程； （2）求垂心关于直线的对称点坐标． 16. 已知直线：，：． （1）若，求； （2）若圆心在坐标轴上，且，为的两条平行切线，求的标准方程． 17. 在中，已知，且． （1）求的面积； （2）过点作，使，且为锐角，求． 18. 在平面直角坐标系中，已知，，动点在曲线上运动，且满足． （1）求的方程； （2）已知直线：，与交于，两点． （ⅰ）若是等边三角形，求； （ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 19. 如图，在三棱锥中，D，E分别为PA，BC的中点，F为AB上一点，且． （1）证明：平面CDF； （2）设底面ABC是边长为7的等边三角形，点P到底面ABC的距离为，且点P在底面ABC上的射影恰好在线段CF上． （i）求二面角的正切值； （ii）若三棱锥的所有顶点都在同一球面上，求该球表面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省重点中学盟校2026年10月高二联考 考试时间：120分钟 试卷分数：150分 命题学校：赣州三中 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2. 点到直线：的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离为. 3. 已知直线：的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系、二倍角公式及同角三角函数关系求解即可. 【详解】由题意知，，，. 则. 4. 已知方程表示圆，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】方程整理可得， 由题意可得：，解得， 且，则，可得圆的半径， 所以的面积为. 5. 已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，及，从而利用向量余弦夹角公式计算得到，再利用同角三角函数平方关系求出. 【详解】因为，是单位向量， 所以， 又因为，， 所以， ， 所以， 因为， 所以． 故选：B． 6. 过圆：上的点作圆：的切线，切点为，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 则， 又 因为的最大值为，所以最大值为. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形内角和为，判断出和的范围，再根据大角对大边即可判断选项，再由余弦定理可判断选项. 【详解】由已知，若为钝角， 则，此时，三角形不存在， ∴，即， 由大角对大边可知，，A和B错误； 由余弦定理可得，即，C错误； 又，即，D正确. 8. 已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对任意一点都有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据向量的夹角公式得到，结合函数的定义进行判断即可. 【详解】曲线，两边平方得，且， 所以该曲线是右半圆，圆心在原点，半径， 点在右半圆上，满足， 已知， 向量， ， ，代入得， ， ， 所以， 因为函数在上单调递减，故与一一对应， 观察右半圆对称性：右半圆满足， 因此对任意，存在唯一的与之对应， 即一个对应唯一的点，对应唯一的，进而对应唯一的；故D正确； 当时，对应两个取值，对应两个，对应两个不同的， 故B错误； 且同一可能对应多个点， 例如当时，可以为，也可以为，故AC错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 在轴的截距为 B. 过定点 C. 若，则 D. 若，及轴围成的三角形面积为，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：令，即可得直线在轴的截距；对于B：整理可得，即可得过定点；对于C：根据直线平行可知斜率相等，列式求解并代入检验；对于D：求直线与轴的交点，以及两直线的交点，进而列式求解即可. 【详解】对于选项A：对于直线：，令，解得， 所以直线在轴的截距为，故A错误； 对于选项B：对于直线：，即为， 所以过定点，故B正确； 对于选项C：因为直线的斜率，直线的斜率， 若，则，即， 此时直线：，符合，所以，故C正确； 对于选项D：由题意可知：且， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， 联立方程，解得， 由题意可得，即， 当，即时，则，解得或； 当，即时，则，无解； 综上所述：或，故D正确. 10. 已知函数，下列关于结论正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 值域为 C. 对称轴为 D. 对称中心为 【答案】AB 【解析】 【详解】因为函数. 对于选项A：函数的最小正周期，故A正确； 对于选项B：因为的值域为， 所以函数的值域为，故B正确； 对于选项C：令，，解得，， 所以函数的对称轴为，，故C错误； 对于选项D：令，，解得，， 所以函数的对称中心为，，故D错误. 11. 已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则直线方程为 B. 若，则 C. 当四边形面积最小时， D. 当四边形面积最小时，直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆的切点弦（极线）方程表示直线，再结合切线长和点到直线距离，分别判断各选项． 【详解】对于A，圆的方程化为，故圆心为，半径为． 设，由在直线上，得． 由圆的切点弦方程，直线满足， 即． 当时，由得， 所以的方程为，选项A正确； 对于B，此时． 在直角三角形中，，且． 又平分等腰三角形的顶角， 所以，不等于，选项B错误； 对于C，由于，，且， 四边形的面积为． 又，所以四边形面积最小时，取最小值， 即为圆心到直线的垂足． ， 故，选项C正确； 对于D，圆心到直线的垂足为． 代入切点弦方程，得， 即，选项D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线和直线的交点坐标为，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】联立方程，解得，即两直线的交点坐标为， 则，所以. 13. 设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 【答案】 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若两圆存在三条公切线，则两圆外切，则， 即，且，解得. 14. 一个底面半径为，高为的圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内部有三个半径为的铁球．现往该容器放入个半径为（单位：）的小铝球，使得每个小铝球与容器内壁及其中两个铁球都相切，则__________，的最大可能值为__________． 【答案】 ①. ## ②. 18 【解析】 【分析】根据轴截面可得分析球心之间的距离，结合几何性质列式求得；分析可知小铝球共有两层，求出的范围，结合求解即可. 【详解】如图，设第个小铝球的球心为，， 根据轴截面可得：，，， 因为，即，解得； 由题意可知：小铝球共有两层，设同层最多个小铝球， 由几何关系知，故，故， 所以， 故，， 所以， 故，故， 又因为，所以， 依题意，，即， 所有的最大值为，所以的最大可能值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． （1）求直线方程； （2）求垂心关于直线的对称点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，，得直线的斜率． 代入点斜式，得，所以． 【小问2详解】 由于在轴上，顶点到的高为． 又，所以过点且垂直于的高斜率为，其方程为． 两高交于． 设关于直线的对称点为． 由，得 ． 直线的方程为． 由对称性质，的中点在上，因此 ． 联立，解得，，所以关于直线的对称点坐标为． 16. 已知直线：，：． （1）若，求； （2）若圆心在坐标轴上，且，为的两条平行切线，求的标准方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一般式直线方程垂直可得，代入列式求解即可； （2）根据直线平行可得.方法一：根据两平行线距离公式可知圆的半径为，圆心在直线：上，即可得圆心和方程；方法二：分类讨论圆心所在的位置，设圆心坐标，结合两平行线距离公式运算求解即可. 【小问1详解】 因为直线：，：， 若，则，得. 【小问2详解】 因为，则，解得， 此时直线：，：，满足，符合题意. 因为与间的距离为，则圆的半径为． 方法1：设圆心在直线：上，则，解得， 即圆心在直线：上，且直线与坐标轴的交点为，， 即圆心为或，所以圆的标准方程为或． 方法2：设，则，解得， 所以圆：； 设，则，解得， 所以圆：； 综上所述：圆的标准方程为或． 17. 在中，已知，且． （1）求的面积； （2）过点作，使，且为锐角，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合同角三角关系以及任意角三角函数值的符号解得，，即可得三角形的面积； （2）在中，利用正余弦定理可得，，在中，利用余弦定理运算求解即可. 【小问1详解】 因为，且， 即，可得， 且，则，可得，， 则，且， 可得， 联立方程，解得，， 所以的面积． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得：， 由正弦定理得：，则， 因为，则， 在中，由余弦定理得： ， 所以． 18. 在平面直角坐标系中，已知，，动点在曲线上运动，且满足． （1）求的方程； （2）已知直线：，与交于，两点． （ⅰ）若是等边三角形，求； （ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）或 （ⅱ）因为直线：，可知直线过定点， 设，． 联立方程，消去得：， 则，解得， 可得，， 则， 可得 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）设动点，根据数量积的坐标表示求点的轨迹方程； （2）（ⅰ）分析可知圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解；（ⅱ）联立方程可得韦达定理，利用消元法可得，代入韦达定理运算求解即可. 【小问1详解】 设动点，，， 则，． 所以，即的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）因为是等边三角形，则圆心到直线的距离， 即，化简得：，解得或． （ⅱ）略 19. 如图，在三棱锥中，D，E分别为PA，BC的中点，F为AB上一点，且． （1）证明：平面CDF； （2）设底面ABC是边长为7的等边三角形，点P到底面ABC的距离为，且点P在底面ABC上的射影恰好在线段CF上． （i）求二面角的正切值； （ii）若三棱锥的所有顶点都在同一球面上，求该球表面积的最小值． 【答案】（1） 证明：如图，设G为AE与CF的交点，连接DG．过点E作，交CF于点Ｍ． 因为E为BC的中点，且，所以，故． 又D为PA的中点，所以DG为的中位线，故． 因为平面 CDF，平面CDF， 所以平面CDF． （2）（i）； （ii） 【解析】 【分析】（1）设G为AE与CF的交点，连接DG；过点E作，交CF于点Ｍ；由线面平行的判定定理证明； （2）法一：（i）记D在底面ABC上的射影为K，为二面角的平面角，由其与二面角的平面角互余可求二面角的正切值；（ii）记O在底面ABC上的射影为 N，，求得的最小值，由可求解. 法二：（i）由二面角的向量求法求解；（ii）设，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：（i）如图，记H为P在底面ABC上的射影，连接AH，则点H在线段CF上，且平面底面ABC，平面底面ABC． 记D在底面ABC上的射影为K，则K在线段AH上． 因为D为PA的中点，故K为AH的中点． 过点K作，垂足为点S，连接DS． 因为底面ABC，底面ABC，所以． 又，KS，平面DKS，所以平面DKS． 又平面DKS，所以， 所以为二面角的平面角． 过点A作，交CF的延长线于点T，由几何关系可知． 因为底面ABC是边长为7的等边三角形， 所以，则． 又点P到底面ABC的距离为，所以，且． 因为平面底面ABC， 所以二面角的平面角与二面角的平面角互余， 所以二面角的正切值为． （ii）如图，设球心为O，球的半径为R，由几何关系可知O在底面ABC上的射影恰为AC的中点，记为点 N， 且记，则，其中． 过点N作，垂足为点Q，由几何关系可知． 设，则由几何关系有， 故， 即． 所以当时，h取得最小值，R也取得最小值，此时， 故， 所以该球表面积的最小值为 法二：（i）如图，以A为坐标原点，的方向为y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设点P的横坐标为， 由余弦定理可知，则， 所以，，，，， 故，． 设平面CDF的法向量为， 则即 令，得，，则． 而底面ABC的一个法向量为， 故，且． 因为平面底面ABC， 所以二面角的平面角与二面角的平面角互余， 所以二面角的正切值为． （ii）设球心为O，球的半径为R，由几何关系可知O在底面ABC上的射影恰为AC的中点， 设，则， 即， 则． 因为，所以当时，， 此时，则球O的表面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $