精品解析：山东省德州市2026-2027学年高一上学期校际教研诊断（一）数学试题

2026级校际教研诊断（一）数学试题 说明：试题分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟. 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，方程至少有1解，则为（ ） A. ，方程无解 B. ，方程至多有1解 C. ，方程至多1解 D. ，方程无解 3. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 4. .“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三种都参加的有3人，则该班学生人数为（ ） A. 27 B. 23 C. 26 D. 29 6. 下列关于方程的解的说法中正确的是（ ）． A. 该方程一定有唯一解 B. 该方程没有解 C. 时，方程有无数解 D. 时，方程有唯一解 7. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 8. 设集合是集合的子集，对于，定义.给出下列三个结论： ①存在的两个不同子集，使得任意都满足且； ②任取的两个不同子集，对任意都有； ③设，对任意，都有. 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若实数a，b满足，，的取值范围是 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的值为±1 B. 若不等式的解集为，则k的取值范围为 C. 真包含于 D. 的一个充分不必要条件是 11. 已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）. A. B. 若不等式的解集为，则 C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，如果，那么实数的取值为_______. 13. 关于的不等式组的最小整数解为0，则的取值范围是___________. 14. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于x的方程的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）若满足，求实数的取值范围. 16. 已知命题，命题. （1）若命题p为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式： 18. 已知关于的方程组，其中. （1）当时，求该方程组的解集； （2）若该方程组总有两组不同的解，求的取值范围； （3）记该方程组的两组不同的解分别为和，已知，求的值. 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级校际教研诊断（一）数学试题 说明：试题分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟. 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合和，由集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，所以，，所以， 所以. 故选：D. 2. 已知命题，方程至少有1解，则为（ ） A. ，方程无解 B. ，方程至多有1解 C. ，方程至多1解 D. ，方程无解 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定得解. 【详解】由存在量词命题的否定知，为：，方程无解， 故选：A 3. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，分析该元素与集合、、的关系，可得结果. 【详解】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，则，，， 所以，阴影部分区域所表示的集合为. 故选：C. 4. .“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由得或；由得或，得或， 故“”是“”的充要条件 5. 某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三种都参加的有3人，则该班学生人数为（ ） A. 27 B. 23 C. 26 D. 29 【答案】C 【解析】 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢奥数，2人只喜欢编程，2人只喜欢书法， 同时喜欢奥数和编程但不喜欢书法的有9人， 同时喜欢编程和书法但不喜欢奥数的有2人， 同时喜欢奥数和书法但不喜欢编程的有3人， 三种都喜欢的有3人， 则该班学生人数为. 故选：C. 6. 下列关于方程的解的说法中正确的是（ ）． A. 该方程一定有唯一解 B. 该方程没有解 C. 时，方程有无数解 D. 时，方程有唯一解 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论的值，再分别判断线性方程组解的情况即可. 【详解】由题意得，， 即， 当时，不成立，方程组无解； 当时，，方程组有唯一解. 故选：D. 7. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 【答案】A 【解析】 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 8. 设集合是集合的子集，对于，定义.给出下列三个结论： ①存在的两个不同子集，使得任意都满足且； ②任取的两个不同子集，对任意都有； ③设，对任意，都有. 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】通过列举法，结合新定义，即可判断选项. 【详解】①不妨设分别为正奇数与正偶数，， 则且，故①正确； ②，则，此时，故②错误； ③若，此时，则与中至少有一个为0， 故；若，此时且， 故，故③正确，故正确结论有2个. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若实数a，b满足，，的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查不等式性质、作差法比较大小、代数式取值范围求解，需逐一验证各选项命题真假. 【详解】 选项A：要证，等价于证，两边均为正数，平方得左边，右边， 因，不等式成立，A为真命题； 选项B：作差得，由，得，即，B结论错误，为假命题； 选项C：由得，与同向相加，得，符合不等式性质，C为真命题； 选项D：设，解得，所以， 因为，，所以，，所以， 得的取值范围是，不是，D为假命题. 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的值为±1 B. 若不等式的解集为，则k的取值范围为 C. 真包含于 D. 的一个充分不必要条件是 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题综合考查集合的性质、不等式恒成立问题、集合间的包含关系以及充分必要条件的判断，需对每个选项逐一推导验证. 【详解】选项A：集合A有且仅有2个子集，说明A中仅有1个元素，分两种情况：①时，方程为，解得，，满足条件；②时，判别式，解得.因此的取值为，A错误； 选项B：不等式解集为，分情况讨论：①时，不等式化为，恒成立，符合要求； ②时，需满足，解得，所以k的取值范围为B正确； 选项C：设集合，分子是奇数； 集合，分子是全体整数， 里面元素分子只能是奇数，分子可取所有整数；所以真包含于，C正确； 选项D：条件：，所以充分性成立； 反过来：推不出（例：，，但）， 所以是的充分不必要条件，D正确. 11. 已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）. A. B. 若不等式的解集为，则 C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 所以，，所以A正确； 对于B：变形为，其解集为， 所以，得，故成立，所以B正确； 对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知： ，所以C错误； 对于D：若不等式的解集为， 即的解集为，由韦达定理知： ， 则，解得， 所以D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，如果，那么实数的取值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据列出等式，再根据元素的互异性验证的取值即可. 【详解】因为，则或，解得或， 当时，集合中有两个相同的元素2，不符合互异性，舍去； 当时，集合，满足集合元素的性质，符合要求. 因此，实数的取值为-1. 13. 关于的不等式组的最小整数解为0，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式组并使得最小整数解为0得到关于的不等式可得结果. 【详解】解不等式组可得，即 显然不等式组有解，若最小整数解为0，需要满足， 解得； 即的取值范围是. 故答案为： 14. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于x的方程的解集为______. 【答案】 【解析】 【详解】由得，即， 则或，得或， 故关于x的方程的解集为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）若满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求A，M，利用补集与并集的概念计算即可； （2）分类讨论B是否为空集，结合集合的基本关系计算即可. 【小问1详解】 由，解得，即， 由， 解得，即，则， 则； 【小问2详解】 由可知， 若，即时，符合题意； 若，则要满足题意需，解之得； 综上所述实数的取值范围为. 16. 已知命题，命题. （1）若命题p为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意 为真命题，进而转化成最值问题可求出结果； （2）先由（1）得命题p为真命题时a的取值范围，接着求出命题q为真时a的取值范围，再利用命题p和  均为真命题即可得结果. 【小问1详解】 当  时， ， 由题 为真命题， 所以，故 ，  实数的取值范围是 . 【小问2详解】 由（1）知，命题为真命题时，， 命题为真命题时，，解得  ， 为真命题时， ， 命题和均为真命题时 ，解得  ， 即实数的取值范围为 . 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式： 【答案】（1） （2） 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据a的不同取值范围分类讨论即可. 【小问1详解】 不等式的解集为，即恒成立； 当时，的解集不为，不合题意； 当时，恒成立，则， 解得，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 18. 已知关于的方程组，其中. （1）当时，求该方程组的解集； （2）若该方程组总有两组不同的解，求的取值范围； （3）记该方程组的两组不同的解分别为和，已知，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解方程组，即可求解； （2）消去得一元二次方程，利用判别式即可求解； （3）利用韦达定理得到即可求出，由即可得解. 【小问1详解】 当时，，解得或， 故方程组的解集为 【小问2详解】 ，消去得，， ， 故的取值范围为； 【小问3详解】 ， 原式， 解得，或（舍去） 综上所述，. 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】（1），集合A是的恰当子集； （2），或，. （3）10 【解析】 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【小问1详解】 若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； 【小问2详解】 是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. 【小问3详解】 若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $