精品解析：山东省德州市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

高一年级10月份阶段性测试 数学试题 考试时间：120分钟 2024.10 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题A卡相应的位置上. 1. 下列元素的全体能构成集合的是（    ） A. 某学校个子高的学生 B. 巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C. 2024年参加“两会”的代表 D. 的近似值 2. 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A. B. C. D. 3. 已知命题：，则命题的否定为（    ） A. B. C. D. ， 4. 下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（    ） A. B. C. D. 5. 某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，，，则（    ） A. B. C. D. 6. 若，，则与的关系是（    ） A. B. C. D. 与的值有关 7. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 8. 已知且，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 若集合，则满足条件的集合N的个数为8 B. 若命题和都是有理数，命题是有理数，则是的必要不充分条件 C. 若不等式的解集为，则 D. 若集合，且，则 11. 已知为正实数，，则（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值3 D. 的最小值为16 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 已知，，若集合，，且，则的值为______． 13. 若“，”是假命题，则的取值范围是__________． 14. 定义集合的“长度”是，其中．已知集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是_____；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是__________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为全集，集合，，. （1）求集合，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知集合，. （1）若“命题”是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 某蛋糕店今年年初用18万元购进一台新设备.已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为蛋糕店创造收入16万元.设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额=总收入成本总维护费用）. （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后蛋糕店想在年平均盈利达到最大值时，以11万元的价格卖出设备，请问最终获利为多少？ 18. 已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若，解关于x的不等式. 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集．用表示有限集合的元素个数． （1）若，，求并判断集合是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级10月份阶段性测试 数学试题 考试时间：120分钟 2024.10 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题A卡相应的位置上. 1. 下列元素的全体能构成集合的是（    ） A. 某学校个子高的学生 B. 巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C. 2024年参加“两会”的代表 D. 的近似值 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的概念可得答案. 【详解】A选项，个子高是不明确的说法，故某学校个子高的学生不能构成集合，A错误； B选项，受欢迎是不明确的说法，故巴黎奥运会上受欢迎的运动员不能构成集合，B错误； C选项，2024年参加“两会”的代表是明确的，则2024年参加“两会”的代表能构成集合，C正确； D选项，精确度未确定的情况下，的近似值是不明确的说法，故其不能构成集合，D错误. 故选：C 2. 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析图中阴影部分表示的集合是，再由集合的运算，分别算出对应集合即可得出答案. 【详解】集合 ， ∴图中阴影部分表示的集合为： 故选：B 3. 已知命题：，则命题的否定为（    ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，写出结论即可. 【详解】命题：，是一个全称量词命题， 说明对任意的正数，使成立， 则它的否定是：存在正数，使成立， 所以，命题的否定为为：，. 故选：D. 4. 下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找的真子集即可. 【详解】因为可以作为的一个充分不必要条件对应的集合为的真子集． 集合都不是的真子集， 只有集合是的真子集， 故选：C． 5. 某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的定义，结合集合，，的元素个数可得解. 【详解】A选项：由已知，则，A选项错误； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项错误； 故选：B. 6. 若，，则与的关系是（    ） A. B. C. D. 与的值有关 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法比较数的大小即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 7. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知不等式的解集求出和的关系，再将其代入到要求解的不等式中，利用分式不等式的求解方法来求解. 【详解】对于不等式，其解集为. 当时，的解为，这与已知解集矛盾，所以. 由，得，因为，所以.又因为解集为，所以，即. 将代入不等式，得到，即. 因为，所以不等式等价于. 方程的根为和. 根据二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集为. 故选：D. 8. 已知且，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，再借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，故，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断，，，作差可判断. 【详解】对于，因为，，所以，故正确； 对于，因为，所以，故正确； 对于，因为， 又，所以，即，故不正确； 对于，因为，所以， 又，所以，故正确. 故选：. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 若集合，则满足条件的集合N的个数为8 B. 若命题和都是有理数，命题是有理数，则是的必要不充分条件 C. 若不等式的解集为，则 D. 若集合，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】因为，，所以由集合子集的个数即可判断A；和都是有理数，则是有理数，但反之不成立，即可判断B；不等式的解集为，所以且是方程的两个根，由韦达定理即可判断C；集合，且，分类讨论即可判断D. 【详解】因为，， 故集合的子集有个，故A正确； 因为和都是有理数，则是有理数，但反之举例，可知均为有理数不成立， 故是的充分不必要条件，故B错误； 不等式的解集为， 所以且是方程的两个根，所以， 所以，所以，故C正确； 集合，且， 所以当时，符合题意， 当时，， 故 或，故D错误. 故选：AC 11. 已知为正实数，，则（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值3 D. 的最小值为16 【答案】ACD 【解析】 【分析】由基本不等式可得A正确；举反例可得B错误；反向代入结合基本不等式可得C正确；展开之后由完全平方式可得D正确； 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，， 当且仅当 或等号成立，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 已知，，若集合，，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，结合集合相等关系列方程可求，，由此可得结论. 【详解】因为，， 所以， 又，， 所以，且，即且， 所以， 所以，又， 所以， 故. 故答案为：. 13. 若“，”是假命题，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将命题转化为求解一元二次不等式，再结合分类讨论的数学思想即可作答． 【详解】因为“，”是假命题，则是真命题①； ①当时，显然不成立，故舍去； ②当时，则,命题①成立； ③当时，命题①成立； 综上，的取值范围是， 故答案：. 14. 定义集合的“长度”是，其中．已知集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是_____；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是__________． 【答案】 ①. ##0.2 ②. 【解析】 【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；代入得到，再根据区间长度大于，得到关于n的不等式组，解出即可. 【详解】因为，都是集合的子集， 所以，解得，， 要使集合的“长度”最小，则只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立， 当，时，，“长度”为； 当，时，，“长度”为， 所以集合的“长度”最小值是. 若，则， 要使集合的“长度”大于，则或， 即或，又， 则n的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为全集，集合，，. （1）求集合，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据集合的交集、并集可求解； （2）根据交集的定义可得，根据集合的补集运算可得，再根据子集定义可求得. 【小问1详解】 由题可知：，， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为或，， 根据子集定义可得，所以的取值范围为. 16. 已知集合，. （1）若“命题”是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将集合化简，由条件可得，列出不等式，代入计算，即可得到结果； （2）由条件可得⫋，然后分集合是空集以及不是空集讨论，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题可知， 因为“命题”是真命题，所以， 又因为，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，， 因为是的充分不必要条件，所以⫋， ①当时，，成立， ②当时，，解得，经验证等号成立，所以， 综上，的取值范围为. 17. 某蛋糕店今年年初用18万元购进一台新设备.已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为蛋糕店创造收入16万元.设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额=总收入成本总维护费用）. （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后蛋糕店想在年平均盈利达到最大值时，以11万元的价格卖出设备，请问最终获利为多少？ 【答案】（1）第二年 （2）20万元 【解析】 【分析】（1）由已知可得，若盈利即，即可求解； （2）设年平均利润为，由基本不等式可得当时年平均盈利达到最大值，即可求解. 【小问1详解】 由题可知， 若开始盈利即， 所以，解得， 因为，所以第二年开始盈利； 【小问2详解】 设年平均利润为， 则， 当且仅当，即时等号成立， 时，最终获利万元. 18. 已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若，解关于x的不等式. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）转化问题为在上恒成立，分和两种情况讨论求解即可； （2）根据一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，显然不恒成立， 当时，， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由， 当时，，即， 当时，，方程的根为， ①若，则，不等式解集为， ②若，则，不等式解集为， ③若，则，不等式解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集．用表示有限集合的元素个数． （1）若，，求并判断集合是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】（1），是 （2），理由为： 是的恰当子集，则 因为,,所以由，共可得以下四种情形： 即 ， ，，经检验没有这样的满足； ，此时，不满足. 综上可得：. （3）10 【解析】 【分析】(1)理解新定义的集合意义，根据新定义集合的运算就可以作出判断； (2)对于5元集中任意两元素之差组成新的集合，由于已知3元素，通过分析讨论差值为7的元素由哪两个数作差得到，共有四种情形，再进行分类讨论即可； (3)根据第二问的结论，正好5个元素集，满足新定义集合，说明可以取到10，从而再分析取11时，再类似第二问来进行分析讨论即可. 【小问1详解】 ，则满足， 集合A是的恰当子集； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设存在A是的恰当子集，并且， 当时，由（2）可知，，， 满足，是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足， 由，则有且；由，则有或， 讨论当时，设，经检验没有这样的满足； 讨论当时，设，经检验也没有这样的满足； 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 【点睛】关键点点睛： 关键点一在于利用这个的定义，集合必须存在最小元素1和最大元素，否则差值取不到； 关键点二是当由5元集中，已知有三个元素，然后利用5元集的有序排列，从大到小分析，确定从大到小的差，得到，从而对7可能是由哪两个数之差得到，进行分类讨论，这样通过讨论可以确定或的值，然后再对最后一个元素进行进行有限检验即可得到满足条件的解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $