专题一·期中综合复习·夯实基础讲义（二次函数相似三角形）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

专题一·期中综合复习·夯实基础讲义（二次函数相似三角形） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次函数的概念、图象性质与解析式求法，夯实基础计算能力 · 掌握相似图形、比例线段与平行线分线段成比例的基本知识 · 能判断三角形相似并运用相似性质求线段长、面积比 · 理解黄金分割、相似多边形、位似的基本概念与简单应用 · 综合运用二次函数与相似知识解决基础综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数基础 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴 x=-，顶点 (-, ) a>0 开口向上有最小值，a<0 开口向下有最大值 求解析式：三点用一般式、顶点用顶点式、两交点用交点式 图象平移：上加下减、左加右减，顶点随之移动 概念辨析例题：抛物线 y=x2-2x+1 的顶点坐标是（　　）A．(1,0)　B．(-1,0)　C．(0,1)　D．(0,-1) 答案：A 解析：配方得 y=(x-1)2，顶点为 (1,0)。选 A。 ☆ 2.相似图形与比例线段 相似多边形对应角相等、对应边成比例，相似比是核心 四条线段成比例 = 等价于 ad=bc 平行于三角形一边的直线截其他两边，对应线段成比例 黄金分割：较长线段与全长之比 ≈0.618 概念辨析例题：若 =，则 等于（　　） 答案： 解析：由合比性质 ==。 ☆ 3.相似三角形的判定与性质 判定：两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例 平行于一边的直线构造的三角形与原三角形相似 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 对应高、中线、角平分线之比等于相似比 概念辨析例题：△ABC∽△DEF，相似比为2:3，若 △ABC 的面积为4，则 △DEF 的面积为（　　） 答案：9 解析：面积比等于相似比的平方 ，设 △DEF 面积为 S，=，S=9。 ☆ 4.位似与相似多边形 位似图形对应点连线交于位似中心，位似比等于对应边比 以原点为位似中心，坐标乘以位似比（异侧取负） 相似多边形求角、求边：利用对应角相等、对应边成比例 矩形、正方形等图形相似条件转化为边长比相等 概念辨析例题：以原点为位似中心，将点 A(2,1) 放大2倍得到 A'，则 A' 坐标为（　　） 答案：(4,2) 或 (-4,-2) 解析：同侧位似 A'=(4,2)，异侧位似 A'=(-4,-2)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数顶点 (-, ) 配方更直观 比例线段 =↔ad=bc 单位统一 平行线比例 对应线段成比例 找准对应关系 相似判定 AA、SAS、SSS 选对定理 相似性质 面积比=k² 开平方取正 位似 坐标乘位似比 同侧正异侧负 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与判定 · 判断一个函数是否为二次函数，关键是看能否化为 y=ax2+bx+c（a≠0）的形式 · 二次项系数 a 必不为0，若含参数则先令二次项系数不为0再求取值范围 · 注意区分二次函数与一次函数、反比例函数，分式形式一般不是二次函数 · 由二次函数定义求参数时，还需保证函数是整式 1．（23-24九年级上·江西宜春·期中）下列函数中不是二次函数的有（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 4．（24-25九年级上·上海普陀·期中）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是______． 8．（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【考点2】二次函数的图象与性质 · 抛物线 y=ax2+bx+c 开口方向由 a 决定，对称轴 x=- · 顶点坐标为 (-, )，由顶点可求最值 · 增减性：开口向上时左侧递减右侧递增，开口向下相反 · 图象结论判断：结合对称轴、顶点、与坐标轴交点及特殊点代入验证 9．（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 11．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点 C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上 12．（2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 13．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为直线___________． 14．（23-24九年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 15．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 16．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式__________． 17．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____． 18．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 【考点3】二次函数解析式的确定 · 已知三点坐标，设一般式 y=ax2+bx+c，用待定系数法求解 · 已知顶点坐标或对称轴，设顶点式 y=a(x-h)2+k · 已知与 x 轴两个交点，设交点式 y=a(x-x1)(x-x2) · 选择解析式形式以条件信息最直接的形式入手 19．（2026·河南驻马店·三模）请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点； ②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 20．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 21．（23-24九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 23．（22-23九年级上·山东泰安·阶段检测）（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． （2）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的表达式． 【考点4】二次函数的实际应用 · 抛物线型实际问题先建坐标系，转化为二次函数解析式求解 · 最大高度、最大利润问题转化为求顶点坐标，注意自变量取值范围 · 已知函数值求自变量，解一元二次方程后按实际意义取舍 · 实际问题注意单位统一，结果需符合实际背景 24．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 25．（2024·北京·三模）已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 26．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 27．（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 28．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 29．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 30．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 【考点5】相似图形的判定 · 形状相同的图形是相似形，与大小、位置无关 · 相似多边形对应角相等、对应边成比例 · 判定三角形相似优先用两角对应相等（AA） · 平行于三角形一边的直线截其他两边，所构成的三角形与原三角形相似 31．（23-24九年级上·上海静安·期中）在中，点分别在的延长线上，已知，下列各式不能判定的是（    ） A． B． C． D． 32．（2025·上海·模拟预测）下列命题中正确的是（   ） A．两边对应成比例的两个直角三角形相似 B．两角相等的三角形相似 C．所有的正边形都相似 D．有两边成比例和一个角相等的三角形相似 33．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 34．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段检测）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（   ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D． 35．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）下列两个图形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．有一条边长是6厘米的两个等腰三角形 36．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 37．（23-24九年级上·云南文山·期末）如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 38．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段检测）已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 39．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知，，求的值． 【考点6】平行线分线段成比例与比例线段 · 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 · 平行于三角形一边的直线截其他两边，对应线段成比例 · 四条线段成比例等价于 a:b=c:d 即 ad=bc · 由比例式求线段长：找准对应关系，设未知数列方程 40．（22-23九年级上·广西百色·期末）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（   ） A． B． C． D． 42．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点是轴上的定点，点的坐标为．将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合，则旋转前点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 43．（2026·四川达州·模拟预测）若，则____________． 44．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，，如果，那么___________． 45．（2025·上海青浦·一模）如图，，如果，那么______． 46．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点分别在边延长线上， ，如果，，那么的长是__________．    47．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，四边形四边形，，，，则________.    48．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，与相交于点O，如果，，，，那么的长为______．    49．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      【考点7】黄金分割与相似多边形 · 黄金分割点分线段为两部分，较长部分与全长的比≈0.618 · 黄金分割计算：较长线段 = ×全长 · 相似多边形对应角相等、对应边成比例，注意对应顶点 · 矩形相似问题常转化为长宽比相等 50．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段检测）一个四边形各边长为，另一个和它相似的四边形最长边为，则四边形最短边长为___________． 51．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形四边形，若，，则的度数为________．    52．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 53．（24-25九年级上·上海静安·期中）甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． 54．（25-26九年级上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知点、，则正弦值是________． 【考点8】位似与相似综合 · 位似图形对应点连线交于位似中心，位似比即对应边的比 · 以原点为位似中心，坐标乘以位似比 · 证明题先找目标三角形，再选择判定定理 · 综合题注意中间结论的传递使用，书写完整严谨 55．（23-24九年级下·北京·阶段检测）如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为______．    56．（2023·广东深圳·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为______． 57．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 58．（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 59．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，，，，求x的值和的度数．        60．（23-24九年级上·上海长宁·期末）在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数求解析式先观察已知条件特征，选择最合适的形式 · 比例问题先写比例式再交叉相乘，避免比例式写错 · 判定相似优先找相等角：平行、垂直、公共角都是常见来源 · 面积比是相似比的平方，反求相似比要开平方 · 综合题先分离目标三角形，把二次函数与相似条件分别翻译为方程 【作业1】．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）当时，的函数值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【作业3】．（23-24九年级上·浙江金华·阶段检测）用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： 根据以上信息，当时，的值为（　　） A．3 B． C． D． 【作业4】．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，则__________． 【作业5】．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【作业6】．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为______． 【作业7】．（24-25九年级下·上海·阶段检测）黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是______． 【作业8】．（2026·上海浦东新·二模）将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 【作业9】．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段检测）若是关于x的二次函数，则m的值为____________． 【作业10】．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【作业11】．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）把变成一般式，它的常数项为_____． 【作业12】．（2026·浙江温州·二模）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 (1)这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． (2)若，，求的长． 【作业13】．（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 【作业14】．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求m的值； (2)若该函数是二次函数，求m的值． 【作业15】．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【作业16】．（23-24九年级下·吉林白城·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹．    (1)在图①中，画出边上的中线． (2)在图②中，画出边上的点，使得． (3)在图③中，画出边上的高． 【作业17】．（2025·广东河源·模拟预测）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 【作业18】．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【作业19】．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在四边形中，对角线与交于点E，，    (1)求证：； (2)如果，求的值． 【作业20】．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·夯实基础讲义（二次函数相似三角形） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次函数的概念、图象性质与解析式求法，夯实基础计算能力 · 掌握相似图形、比例线段与平行线分线段成比例的基本知识 · 能判断三角形相似并运用相似性质求线段长、面积比 · 理解黄金分割、相似多边形、位似的基本概念与简单应用 · 综合运用二次函数与相似知识解决基础综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数基础 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴 x=-，顶点 (-, ) a>0 开口向上有最小值，a<0 开口向下有最大值 求解析式：三点用一般式、顶点用顶点式、两交点用交点式 图象平移：上加下减、左加右减，顶点随之移动 概念辨析例题：抛物线 y=x2-2x+1 的顶点坐标是（　　）A．(1,0)　B．(-1,0)　C．(0,1)　D．(0,-1) 答案：A 解析：配方得 y=(x-1)2，顶点为 (1,0)。选 A。 ☆ 2.相似图形与比例线段 相似多边形对应角相等、对应边成比例，相似比是核心 四条线段成比例 = 等价于 ad=bc 平行于三角形一边的直线截其他两边，对应线段成比例 黄金分割：较长线段与全长之比 ≈0.618 概念辨析例题：若 =，则 等于（　　） 答案： 解析：由合比性质 ==。 ☆ 3.相似三角形的判定与性质 判定：两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例 平行于一边的直线构造的三角形与原三角形相似 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 对应高、中线、角平分线之比等于相似比 概念辨析例题：△ABC∽△DEF，相似比为2:3，若 △ABC 的面积为4，则 △DEF 的面积为（　　） 答案：9 解析：面积比等于相似比的平方 ，设 △DEF 面积为 S，=，S=9。 ☆ 4.位似与相似多边形 位似图形对应点连线交于位似中心，位似比等于对应边比 以原点为位似中心，坐标乘以位似比（异侧取负） 相似多边形求角、求边：利用对应角相等、对应边成比例 矩形、正方形等图形相似条件转化为边长比相等 概念辨析例题：以原点为位似中心，将点 A(2,1) 放大2倍得到 A'，则 A' 坐标为（　　） 答案：(4,2) 或 (-4,-2) 解析：同侧位似 A'=(4,2)，异侧位似 A'=(-4,-2)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数顶点 (-, ) 配方更直观 比例线段 =↔ad=bc 单位统一 平行线比例 对应线段成比例 找准对应关系 相似判定 AA、SAS、SSS 选对定理 相似性质 面积比=k² 开平方取正 位似 坐标乘位似比 同侧正异侧负 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与判定 · 判断一个函数是否为二次函数，关键是看能否化为 y=ax2+bx+c（a≠0）的形式 · 二次项系数 a 必不为0，若含参数则先令二次项系数不为0再求取值范围 · 注意区分二次函数与一次函数、反比例函数，分式形式一般不是二次函数 · 由二次函数定义求参数时，还需保证函数是整式 1．（23-24九年级上·江西宜春·期中）下列函数中不是二次函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数的定义：“形如，，的函数是二次函数，”根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，是二次函数，不符合题意； B．，是二次函数，不符合题意； C．，是二次函数，不符合题意； D．，是一次函数，符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解，熟记：“形如（，其中、为常数）的函数是二次函数”是解题的关键． 【详解】解：A、当时，原函数化为：，则不是二次函数，故不符合题意； B、，是一次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、，，分式形式，故不是二次函数，故不符合题意； 故选C． 3．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 4．（24-25九年级上·上海普陀·期中）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A. 不符合二次函数的定义，不是二次函数； B. 是一次函数，不是二次函数； C. 不符合二次函数的定义，不是二次函数；     D. 符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 5．（2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．根据二次函数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不是二次函数，故选项不符合题意； B. ，不是二次函数，故选项不符合题意； C. ，不是二次函数，故选项不符合题意； D. ，是二次函数，故选项符合题意； 故选：． 7．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据：“形如，这样的函数叫做二次函数”，得到，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 8．（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【答案】（2），（3）是二次函数 【知识点】二次函数的识别 【详解】解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 【考点2】二次函数的图象与性质 · 抛物线 y=ax2+bx+c 开口方向由 a 决定，对称轴 x=- · 顶点坐标为 (-, )，由顶点可求最值 · 增减性：开口向上时左侧递减右侧递增，开口向下相反 · 图象结论判断：结合对称轴、顶点、与坐标轴交点及特殊点代入验证 9．（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的平移，抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律是：左加右减、上加下减，按照“左加右减、上加下减，根据抛物线平移的方向和距离，可以得到平移后的二次函数的解析式． 【详解】解：二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 得到的二次函数的解析式是， 整理得：． 故选： D． 10．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、抛物线与x轴的交点问题、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 11．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点 C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上 【答案】B 【知识点】函数的概念、识别一次函数、二次函数的识别 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数，二次函数，反比例函数的定义，正确把握它们的区别与联系是解题的关键． 直接利用一次函数，二次函数，反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A、任何函数都不一定与x轴有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意． B、一次函数，二次函数都与y轴有交点，原说法正确，故此选项符合题意． C、反比例函数与y轴不会有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意． D、原点是坐标轴上的点，原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 12．（2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 13．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为直线___________． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】抛物线上纵坐标相等的两个点为对称点，对称轴经过两点横坐标的中点，计算中点横坐标即可得到对称轴． 【详解】解：∵抛物线经过的点和，且这两个点的纵坐标相等， ∴两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 14．（23-24九年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴开口向下，当x时，函数值随着自变量的增大而增大， 又∵直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大， ∴， 故答案为：． 15．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 16．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式__________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查二次函数的解析式，先写出符合条件的二次函数的顶点式，然后化为一般式解题． 【详解】解：抛物线的表达式为：， 故答案为：．（答案不唯一） 17．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题主要考查二次函数的图象与性质，抛物线有最高点需满足二次项系数小于零，即开口向下． 【详解】解：抛物线 有最高点， 二次项系数， 解得， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键． 令横坐标，代入函数解析式求出的值，即可得到与轴的交点坐标． 【详解】解：当时， ， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【考点3】二次函数解析式的确定 · 已知三点坐标，设一般式 y=ax2+bx+c，用待定系数法求解 · 已知顶点坐标或对称轴，设顶点式 y=a(x-h)2+k · 已知与 x 轴两个交点，设交点式 y=a(x-x1)(x-x2) · 选择解析式形式以条件信息最直接的形式入手 19．（2026·河南驻马店·三模）请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点； ②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】二次函数的一般式为，若图象经过原点，将，代入，得，解得，因此，函数表达式可简化为； 二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定：当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小，题目中“时随的增大而增大”，说明抛物线开口向上（即），且对称轴需在或其左侧，对称轴公式为，因此需满足． 【详解】解：设该二次函数表达式为， 由题意，可知该二次函数图象开口向上（即），对称轴（即）， 且，则满足题意．（答案不唯一，符合题意即可） 20．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求可得函数的增减性和对称轴，求出时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案； （3）由对称性可得点在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， ∴， ∴该二次函数的表达式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得该二次函数的表达式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时，，且， ∴当时，函数的最大值小于7， ∵顶点坐标为，即当时，函数的最小值为， ∴当时，； （3）解：由（2）可知，对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知，点在该函数的图象上， 由函数图象可知，当时，或． 21．（23-24九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， 顶点C的坐标为 (2)或或或 【知识点】已知两点坐标求两点距离、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由对称轴为直线，可得抛物线解析式为，据此代入A、B坐标求解即可； （2）设点M的坐标为，则，，，再分当时， 当时， 当时，三种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线解析式为 把点，点代入得 中得， 解得 ∴抛物线解析式为， ∴顶点C的坐标为； （2）解：设点M的坐标为， ∴，，， 当时，则，解得， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或（舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或或． 22．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值、二次函数的识别 【详解】解：将代入，得． 23．（22-23九年级上·山东泰安·阶段检测）（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． （2）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式； （1）设抛物线解析式为，再把点代入其中，求出a的值，即可得到二次函数表达式； （2）设函数解析式为，把三点坐标分别代入，解方程组即可得到函数表达式． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为， 把点代入中，得：， 得：， 即， 化为一般式为：； （2）设函数解析式为， 把、和代入中，得：， 解得：， 即． 【考点4】二次函数的实际应用 · 抛物线型实际问题先建坐标系，转化为二次函数解析式求解 · 最大高度、最大利润问题转化为求顶点坐标，注意自变量取值范围 · 已知函数值求自变量，解一元二次方程后按实际意义取舍 · 实际问题注意单位统一，结果需符合实际背景 24．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 25．（2024·北京·三模）已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 【答案】D 【知识点】识别一次函数、正比例函数的定义、二次函数的识别、根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函数概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t与高度的函数关系是，这是一次函数关系； 故选：D． 26．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 27．（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 【答案】2 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，投球问题(实际问题与二次函数)，的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．先根据题意得出函数过，，从而可求得待定系数，求得函数表达式，代入求得函数值即可． 【详解】解：∵小明铅球出手的高度为米，成绩为6米， ∴过，， ∴， ∴， ∴铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为， 当时，函数有最大值为， ∴铅球在运行中的高度最高大约为2米， 故答案为：2． 28．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 【答案】(1) (2)①高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；②不会． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法，将点，代入抛物线解析式求解即可； （2）①令，求出对应的自变量取值，即可求解；②令，求出对应的函数值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，， 将其分别代入得： ，解得， 水流所在抛物线的函数表达式为：； （2）解：①令，则， 解得，， 高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到； ②令，则， ， 不会被水流直接喷到． 29．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、喷水问题(实际问题与二次函数)、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 30．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）可代入进行求解k的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由可设， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【考点5】相似图形的判定 · 形状相同的图形是相似形，与大小、位置无关 · 相似多边形对应角相等、对应边成比例 · 判定三角形相似优先用两角对应相等（AA） · 平行于三角形一边的直线截其他两边，所构成的三角形与原三角形相似 31．（23-24九年级上·上海静安·期中）在中，点分别在的延长线上，已知，下列各式不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】利用平行线的判定即可求得答案． 【详解】解：A、根据有，结合则，故本选项不符合题意； B、根据和则有，故本选项不符合题意； C、由不能判定，故本选项符合题意； D、根据有，结合则，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握判定条件是关键． 32．（2025·上海·模拟预测）下列命题中正确的是（   ） A．两边对应成比例的两个直角三角形相似 B．两角相等的三角形相似 C．所有的正边形都相似 D．有两边成比例和一个角相等的三角形相似 【答案】C 【知识点】相似多边形、相似三角形的判定综合、判断命题真假 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握相似图形的判定方法是解题的关键． 根据相似图形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A．当一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边对应成比例时，这两个直角三角形不相似，故该命题错误，不符合题意； B．两角分别相等的两个三角形相似，该命题错误，不符合题意； C．所有的正边形的内角都相等，对应边成比例，故所有的正边形都相似，命题正确，符合题意； D．有两边成比例且夹角相等的三角形相似，命题错误，不符合题意； 故选：C． 33．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解平行线分线段成比例是解答关键． 根据平行线分线段成比例来逐一进行判定求解． 【详解】解：∵， ∴，故A不合题意； ∵， ∴，故B不合题意； ∵， ∴，故C不合题意； ∵， 不能判断与平行，故D符合题意． 故选：D． 34．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段检测）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（   ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D． 【答案】D 【知识点】正多边形的内角问题、相似多边形的性质 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵所有六边形都是正六边形， ∴， 连接， ∴ 依题意，用放大镜观察该分子结构：原图形与放大后的图形是相似图形， ∴的长度变大，六边形的周长变大，面积变大， 故选：D 35．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）下列两个图形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．有一条边长是6厘米的两个等腰三角形 【答案】B 【知识点】相似多边形 【分析】本题考查了相似多边形，如果两个多边形对应角相等，对应边成比例，这两个多边形是相似多边形，在判定两个多边形是否相似时，一定要对应角相等、对应边成比例同时成立，缺一不可． 【详解】解：A选项：两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例， 两个矩形不一定相似，故A选项不符合题意； B选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例， 两个等腰直角三角形一定相似，故B选项符合题意； C选项：两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等， 两个菱形不一定相似，故C选项不符合题意； D选项：有一条边长是6厘米的两个等腰三角形，这两个三角形的对应角不一定相等， 这两个三角形不一定相似，故D选项不符合题意． 故选：B． 36．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【知识点】相似多边形、相似图形 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可． 【详解】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意． B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意； D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； 故选C． 37．（23-24九年级上·云南文山·期末）如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 38．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段检测）已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件得出，，，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，且， ∴，，， ∵， 则， ∴的值为8． 39．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知，，求的值． 【答案】44 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，再代入可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【考点6】平行线分线段成比例与比例线段 · 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 · 平行于三角形一边的直线截其他两边，对应线段成比例 · 四条线段成比例等价于 a:b=c:d 即 ad=bc · 由比例式求线段长：找准对应关系，设未知数列方程 40．（22-23九年级上·广西百色·期末）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握三条平行线截两条直线、所得的对应线段成比例成为解题的关键． 根据平行线分线段成比例，由得到，然后根据比例性质求即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：． 故选：C． 41．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【详解】解：∵线段x为线段a、b、c的第四比例线段， ∴， A、根据作图可知，故本选项错误； B、根据作图可知，故本选项错误； C、根据作图可知，故本选项错误； D、根据作图可知，故本选项正确． 故选：D． 42．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点是轴上的定点，点的坐标为．将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合，则旋转前点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，过点作轴于，由旋转性质可证和是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，最后根据解直角三角形可得到点的坐标，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】过点作轴于，    ∵点的坐标为， ∴， 将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合， ∴，，，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标是， 故选：． 43．（2026·四川达州·模拟预测）若，则____________． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】根据已知比例关系得到a与b的关系式.代入所求代数式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 44．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，，如果，那么___________． 【答案】8 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据，得出，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：8 ． 45．（2025·上海青浦·一模）如图，，如果，那么______． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：， 故答案为：． 46．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点分别在边延长线上， ，如果，，那么的长是__________．    【答案】4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据可得，根据，求出即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：4． 47．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，四边形四边形，，，，则________.    【答案】 【知识点】多边形内角和问题、相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 48．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，与相交于点O，如果，，，，那么的长为______．    【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，先利用，证明，再利用，可得，结合线段的和差，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴； 故答案为：． 49．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】此题考查了相似多边形的性质，设，，则，，根据相似多边形的性质得到，然后代入求解即可．解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等． 【详解】设，，则，， 由相似图形的性质得：，即， 解得或（不符题意，舍去）， 则． 【考点7】黄金分割与相似多边形 · 黄金分割点分线段为两部分，较长部分与全长的比≈0.618 · 黄金分割计算：较长线段 = ×全长 · 相似多边形对应角相等、对应边成比例，注意对应顶点 · 矩形相似问题常转化为长宽比相等 50．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段检测）一个四边形各边长为，另一个和它相似的四边形最长边为，则四边形最短边长为___________． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据对应边成比例可得相似比为，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形是相似图形， ∴相似比为， ∴四边形最短边长为， 故答案为： ． 51．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形四边形，若，，则的度数为________．    【答案】100 【知识点】相似多边形的性质、两直线平行同旁内角互补 【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可． 【详解】∵四边形四边形， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关舞是了解相似多边形的对应角相等，难度不大． 52．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 【答案】 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】利用相似三角形的性质进行求解． 【详解】解：由图形可知，， ∵， ∴, ∴与的面积比为． 53．（24-25九年级上·上海静安·期中）甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的相似比等于对应边的比是解题的关键．根据相似图形的性质，用两个图的比例尺相比即可求得相似比． 【详解】解：甲图与乙图的相似比． 故答案为：． 54．（25-26九年级上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知点、，则正弦值是________． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、坐标与图形综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是正确构造直角三角形． 过点作轴于点C，利用勾股定理求解斜边，再由正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点C， ∵点、， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点8】位似与相似综合 · 位似图形对应点连线交于位似中心，位似比即对应边的比 · 以原点为位似中心，坐标乘以位似比 · 证明题先找目标三角形，再选择判定定理 · 综合题注意中间结论的传递使用，书写完整严谨 55．（23-24九年级下·北京·阶段检测）如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为______．    【答案】 【知识点】位似图形的识别、相似多边形的性质 【分析】本题考查位似变换，相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接．利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形正方形，， 又∵正方形的面积为4， ∴正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的外接圆的半径为， 故答案为：． 56．（2023·广东深圳·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】分关于原点的位似图形与在原点同侧和异侧两种情况求解即可． 【详解】解：当关于原点的位似图形与在原点同侧时，点A的对应点的坐标为，即； 当关于原点的位似图形与在原点异侧时，点A的对应点的坐标为，即； 综上所述，点A的对应点的坐标为或． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 57．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【答案】18 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似多边形的性质 【分析】根据位似图形的性质得出四边形与四边形相似，且相似比等于，再利用相似多边形面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解： 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形 四边形，且相似比为 . 四边形的面积为， 四边形的面积为． 58．（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】（1）将的三个顶点绕点顺时针旋转后连线即可得到，在网格图中写出点的坐标； （2）连接，反向延长倍得到，连接三个点即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示： 即为所求． 59．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，，，，求x的值和的度数．        【答案】，． 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质．根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵四边形四边形， ∴，， ∴， ∴． 60．（23-24九年级上·上海长宁·期末）在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 【答案】(1) (2)， 如图，即为所求．    【知识点】向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量， 根据题意得和，进一步得到，则，代入向量即可． 化解得，将对应线段代入得到，过点E作，则，，连接即可． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 则， ∵点是的中点， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． （2）， ∵， ∴， 过点E作，则， ∴， 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数求解析式先观察已知条件特征，选择最合适的形式 · 比例问题先写比例式再交叉相乘，避免比例式写错 · 判定相似优先找相等角：平行、垂直、公共角都是常见来源 · 面积比是相似比的平方，反求相似比要开平方 · 综合题先分离目标三角形，把二次函数与相似条件分别翻译为方程 【作业1】．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， 设，， ． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 【作业2】．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）当时，的函数值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求自变量的值或函数值、二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键．把代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】解：当时，的函数值为， 故选：B． 【作业3】．（23-24九年级上·浙江金华·阶段检测）用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： 根据以上信息，当时，的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了图表表示函数，根据图表得到和是对称点，继而得到抛物线的对称轴为，根据，判断与是对称点即可． 【详解】根据图表，得到和是对称点， 故抛物线的对称轴为， 根据， 故和是对称点， 故， 故选A． 【作业4】．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，则__________． 【答案】 【知识点】比例的性质、分式的求值 【分析】根据已知比例关系，将，，分别用，，表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，且，，作为分母不为， ∴，，， 将其代入所求分式得： ． 【作业5】．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 【作业6】．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为______． 【答案】或 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线， ∵直线与二次函数图象的交点坐标为，，且，即， ∴或， 故答案为：或． 【作业7】．（24-25九年级下·上海·阶段检测）黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是______． 【答案】 【知识点】黄金分割、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 根据黄金分割的概念，可得，由此列方程即可求解． 【详解】解：如图：设米， 由题意知 米，米， 由黄金分割可得：， ， 故答案为：． 【作业8】．（2026·上海浦东新·二模）将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，向上平移直接在函数表达式整体加上平移的单位，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线向上平移个单位， ∴得到新抛物线的表达式是． 【作业9】．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段检测）若是关于x的二次函数，则m的值为____________． 【答案】2 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的一般式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的一般式，解答的关键是熟知二次函数的一般式． 【作业10】．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 【作业11】．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）. 根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案. 【详解】解： ， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 【作业12】．（2026·浙江温州·二模）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 (1)这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似即可判断； （2）根据菱形的性质和已知可得，，结合（1）中，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵在菱形中，， ∴， （2）解：∵， ∴，， 又∵在菱形中，， ∴， ， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 【作业13】．（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 【答案】(1) 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理． （1）证明，可得，即可求证； （2）连接交于点O，根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点O， ∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【作业14】．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求m的值； (2)若该函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据二次函数的定义求参数、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义： （1）一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可； （2）一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】（1）解：是一次函数， 且， 解得； （2）解：是二次函数， ， 解得， 当时，，不符合题意， ． 【作业15】．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 【作业16】．（23-24九年级下·吉林白城·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹．    (1)在图①中，画出边上的中线． (2)在图②中，画出边上的点，使得． (3)在图③中，画出边上的高． 【答案】(1) 解：如图所示，线段即为所求；    (2) 解：如图所示，取格点G、H，连接交于E，点E即为所求； 易证明，则；    (3) 解：如图所示，取格点I，连接交于F，线段即为所求．    【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、画三角形的高 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，画三角形的高和中线等等： （1）取于格线的交点D，连接，线段即为所求； （2）如图所示，取格点G、H，连接交于E，点E即为所求； （3）如图所示，取格点D，连接交于F，线段即为所求． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 【作业17】．（2025·广东河源·模拟预测）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 【答案】(1)当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元 (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量的值，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据求出的值，进而根据销量乘以每件服装的利润，即可求解； （2）设销售利润为，根据题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 元， 答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元； （2）设销售利润为，根据题意得出 ∵, ∴当时，利润最大，最大为： 答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元． 【作业18】．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明： (2) 证明： ， ， 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识： （1）由，证明， 得，所以，则； （2）由相似三角形的性质得，推导出，由， ，得，则 ， ，而，所以，则，所以，则 【详解】（1）略 （2）略 【作业19】．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在四边形中，对角线与交于点E，，    (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1) 证明：， 又， ； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，（1）根据两组角对应相等的两三角形相似；（2）利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ． 【作业20】．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【详解】解：略 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $