专题01 二次函数图像与系数a、b、c的关系（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图像与系数a、b、c关系，通过分层题型构建从基础符号判断到综合图像共存的递进训练，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础符号判断|多题覆盖|结合图像判断a、b、c符号及一次函数图像走向|以a（开口）、b（对称轴）、c（y轴交点）为起点，构建系数与图像特征的对应关系| |代数式符号判断|多题覆盖|判断a±b+c、4a±2b+c等代数式符号|基于特殊点（x=±1、±2）函数值推导，深化符号意识| |∆相关判断|多题覆盖|结合∆判断图像与x轴交点及函数象限分布|通过∆=b²-4ac建立方程根与图像的逻辑联系| |图像共存判断|多题覆盖|二次函数与一次函数/反比例函数图像匹配|综合系数符号跨函数验证，培养综合推理能力|

专题01 二次函数图像与系数a、b、c的关系 参考答案 题号 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D C C D C D C 题号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 答案 D D B A C B C A C C 题号 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 D B B C A C C C 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 二次函数图像与系数a、b、c的关系 题型归纳 题型一基础题型a、b、c符号的判断 题型二代数式符号的判断 题型三与△有关的符号判断 题型四函数图像共存的符号判断 题型专练 题型一：基础题型a、b、c符号的判断 1.在平面直角坐标系中，二次函数y=x的图象如图所示，小明在该平面直角坐标系中又画了二次函数 片=bx2,=cx2,为=d2的图象，则a,b,c,d的大小关系是 (用“<”连接) =bx2 =ax CX2 y3=dx2 2.己知抛物线y=(m-1)x2+3x-1开口向下，那么m的取值范围是 3.在平面直角坐标系中，二次函数y=2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是() X=-1 A.b>0 B.c>0 C.+b+c>0 D.点A的坐标为(-2,0) 4.己知二次函数y=ar+br的图像如图所示，则一次函数y=x+b的图像一定不经过() 119 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的顶点在第一象限，且过点(0,1)和(-l,0),下列结论：① c=1;②ab<0;③a-b+c=0;④当x>-1时，y>0.其中正确结论的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+br+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是（) x=1 1 A.a<0 B.c<0 C.4a+2b+c>0 D.3b<2c 7.二次函数y=ar'+br+c的图象如图所示，下列结论：①ac<0;②3a+c=0;③当x>-l时，y随x的 增大而减小，其中正确的有() A.0个 B.3个 C.2个 D.1个 8.二次函数y=ax2+br+c(a≠0，c<0)的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 219 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 … 0 0 … 在下列结论中：①a>0:②2a+b=0:③当x<1时，y的值随着x值的增大而增大；④x=-2,=4是 关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根.正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 9.在平面直角坐标系中，二次函数=ar+bx的图象如图所示，则y=-ar+br的图象可能是() 10.如图是二次函数y=r+br+C的图象的一部分，图象过点A(3,0),二次函数的对称轴为x=1,给出 下列结论：①b>0:②abc<0;③2a+b=0;④a+b+c=0;⑤当-1<x<3时，y<0,其中正确的结论 有() O A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11,若二次函数y=xr+bx+C的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数y=x'+br+a的图象可能为 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二：代数式符号的判断 12.在平面直角坐标系中，二次函数y=2+bx+c(4≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的() A.ac0 B.a-b+c<0 C.4a+2b+c<0 D.b=2a 13.已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图，有下列结论：①abc>0;②8a+c>0;③9a+3b+c<0, 其中正确的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 14.己知二次函数y=r'+br+c(a≠0)的图像如图所示，那么下列各式中，成立的是() 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a<0 B.b<0 C.a+b+c<0 D.a-b+c<0 15.二次函数y=a+br+c的图象如图所示，给出下列结论：①c>0:②2a<0,®a+b+e<0:④当 b -3<x<2时，y>0 其中所有正确结论的序号是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 16.如图，己知抛物线y=+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,且过点(-l0),顶点在第一象限，其部 分图像如图所示.给出以下结论：①ab<0:②4a+2b+c>0；③3a+c>0.其中正确的选项是() X= A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 17.己知抛物线y=ar2+br+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是(） A.abc<0 B.2a+b<0 c.2b-c<0 D.a+b+c>0 18.已知某二次函数y=ax+br+c(a≠0)的部分图象如图所示，下列结论中正确的有() VA 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 @abc<0:②。-b+c0；③a-3:@2tc>0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 19.已知二次函数y=ar'+bx+c(a≠0)的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，则下列 结论正确的是() A.abc<0 B.2a+b>0 C.2a-c>0 D.a-b+c>0 题型三：与△有关的符号判断 20.“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y=x+2x+m+5只经过两个象限，那么m的 取值范围是() A.m≥-4 B.m<-4 C.m<-5 D.m≥-5 21.二次函数y=ar+br+c(a≠0)的图像如图，给出下列四个结论：①4ac-b2<0;②4a+c<2b; ③3b+2c<0;④m(am+b)+b<a,⑤点（4，y),(L,)都在抛物线上，则有y<片.其中正确的结论其中 正确结论的个数是() A.①③④ B.②④⑤ C.①③⑤ D.②③④ 22.己知二次函数y=ar+br+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac>0②abc>0③b=-2a ④a+b+C>0,下列选项正确的是() 0 A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①② 1 23.如图是二次函数y=a2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x=2,且经过点(2,0)，下列结论：① 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 abc<0,②b2-4ac>0,③a-b+c=0,④当x>2时，y<0,正确的有()个 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 24.如图，二次函数y=a2+bx+c的图象经过点A(,0)、B(5,0),下列说法正确的是() PA A.c>0 B.4a-2b+c<0 C.b2-4ac<0 D.图象的对称轴是直线x=2 题型四：函数图像共存的符号判断 5.抛物线y=axr+br+a与直线y=br+a在同一坐标系内的图象可能是() 26.在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=x2-a的图象可能是() 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 来 27.抛物线y=ax+br和直线y=x+b在同一坐标系的图象可能是() 28.在同一坐标系内，二次函数y=r'+5x+b的图象与一次函数y=ar+b可能是() 29.已知二次函数y=am2+c（ac≠0)与反比例函数y=:（k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象如图 所示，则一次函数y=c-a的大致图象是() 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 来心 30.二次函数y=ar2+br+c(a,b,c是常数且a<0)的图象如图所示，则直线y=bcx+2a+b-l与反比例函 数y= b-a-c x一的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为() 可2书 919 专题01 二次函数图像与系数a、b、c的关系 题型一 基础题型a、b、c符号的判断 题型二 代数式符号的判断 题型三 与 ∆ 有关的符号判断 题型四 函数图像共存的符号判断 题型一：基础题型a、b、c符号的判断 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，小明在该平面直角坐标系中又画了二次函数，，的图象，则，，，的大小关系是__________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质．在中，的值越大，函数图像越靠近y轴，开口越小，时，开口向上，时，开口向下，据此判断即可得答案． 【详解】解：∵ ，，的图象开口向上，的图象开口向下， ∴，，，， ∵，，的图像开口依次增大， ∴， ∴． 故答案为：． 2．已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，抛物线的开口方向由二次项系数决定：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．b＞0 B．c>0 C．a+b+c＞0 D．点A的坐标为（﹣2，0） 【答案】D 【分析】抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧（左同右异），可得到a，b的取值范围，可对A作出判断；抛物线经过原点，可得到c=0，可对B作出判断；抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过点（0，0），可确定a+b+c的取值范围，可对C作出判断；利用二次函数的对称性，可得到点A的坐标，可对D作出判断． 【详解】解：A、∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧， ∴a＜0，  ， ∴b＜0，故A不符合题意； B、∵抛物线经过原点， ∴c=0 ，故B不符合题意； C、抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过点（0，0）， ∴当x=1时y＜0即a+b+c＜0，故C不符合题意； D、∵抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过点（0，0）， ∴点A和点O关于对称轴对称， ∴点A（-2，0），故D符合题意； 故答案为：D． 【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数与不等式（组）的综合应用． 4．已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据二次函数图象开口向下，可以判断，再根据对称轴判断出b的符号，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：根据二次函数的图象可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 5．如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将代入解析式，可得，即可判断①，根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，可得，即可判断②；将点代入解析式可得，即可判断③，观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，即可判断④． 【详解】解：二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和， ∴，，故①③正确； ∵根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得， ∴，故②正确； 观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，则或或，故④不正确， 故选：C． 6．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是 （   ） A．a<0 B．ac<0 C．4a+2b+c>0 D．3b<2c 【答案】D 【分析】抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A、由抛物线的开口方向向下知a＜0，故本选项结论正确． B、由抛物线的开口方向向下知a＜0，抛物线与y轴交于正半轴知c＞0，则ac＜0，故本选项结论正确． C、由抛物线图的轴对称性质知，抛物线与x轴的另一个交点坐标是点（2，0）的右侧，所以当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故本选项结论正确． D、由抛物线的轴对称性质知，当x=3时，y＜0，即y=9a+3b+c＜0，且对称轴是直线，即，代入得9（）+3b+c＜0，得3b＞2c，故本选项结论错误； 故选：D． 【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 7．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线， ， ． ∵抛物线经过点， ， ，即，结论②正确； ③∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，结论③错误． 综上，正确的有①②，共2个， 故选C． 8．二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据表格中值相等的点求出二次函数对称轴，结合已知点推导，，的关系，再逐一判断每个结论． 【详解】解：由表格可知，和时值均为， 因此二次函数对称轴为， 由对称轴公式得，即． 时，代入二次函数得，即， 将代入得，即． ①，，①正确． ②由可知成立，②正确． ③，抛物线开口向上，对称轴为，时，随增大而减小，③错误． ④已知是一个根，设另一个根为，由对称轴得，解得，因此方程两根为，④正确． 综上，正确结论共3个． 9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，该二次函数的开口向下，对称轴在轴的右侧，从而可得，对称轴为直线，进一步得出，，推出二次函数的开口向上，对称轴在轴的左侧，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由二次函数的图象可得，该二次函数的开口向下，对称轴在轴的右侧， ∴，对称轴为直线， ∴，， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线， 即二次函数的开口向上，对称轴在轴的左侧， 故的图象可能是 ， 故选：D． 10．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①b>0；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解： ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴，故①正确； ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 11．若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由的图象可得，，，，从而可判断的大致图象． 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， ∴的图象与轴交于负半轴； ∵的对称轴在轴左边， ∴， ∴， ∵的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴的图象开口向下，对称轴在轴左边， ∵的图象与轴没有交点， ∴， ∴的图象与轴没有交点， 综上所述，可得D选项符合题意． 故选：D． 题型二：代数式符号的判断 12．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的（　　） A．ac＞0 B．a-b+c＜0 C．4a+2b+c＜0 D．b＝2a 【答案】C 【分析】抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可． 【详解】解：A、由抛物线的开口方向向下知，抛物线与y轴交于负半轴知，则，故本选项错误； B、由抛物线可知当x=-1时，y>0，所以a-b+c>0，故本选项错误； C、由抛物线图的轴对称性质知，抛物线与x轴的另一个交点坐标是点（3，0），所以当时，，即，本选项结论正确； D、由图象可得：对称轴是直线，即，故本选项结论错误； 故选：C． 【点睛】题目主要考查了抛物线图象的基本性质及与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的基本性质是解题关键． 13．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交轴于负半轴分别得出a，b，c的大小，进而解答①；再根据①可将抛物线的解析式化为，然后根据时，解答②；接下来根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，再结合当时，，所以当时，也有，即可解答③． 【详解】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 14．已知二次函数的图像如图所示，那么下列各式中，成立的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系及根据二次函数的图象判断式子符号，根据对称轴和函数图像判断、、的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断的符号，由的符号结合对称轴判断的符号，由图可知，当时，，即可判断的符号，当时，，即可判断的符号． 【详解】解：A、∵抛物线开口向上， ∴， ∴A错误，该选项不符合题意； B、∵，对称轴位于轴左侧， ∴， ∴B错误，该选项不符合题意； C、∵由图可知，当时，， ∴， ∴C错误，该选项不符合题意； D、∵由图可知，当时，， ∴， ∴D正确，该选项符合题意． 故选：D． 15．二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 16．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图像如图所示．给出以下结论：①；②；③．其中正确的选项是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质， 根据该抛物线开口向下，其对称轴是直线，可知，，易得，故结论①正确；由该抛物线经过点，且对称轴是直线，可知当时，可有，故结论②正确；当时，可有，故结论③错误． 【详解】解：根据题意，可知该抛物线开口向下， ∴， ∵其对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵该抛物线经过点，且对称轴是直线， ∴该抛物线经过点， ∴当时，可有，故结论②正确； ∵该抛物线经过点， ∴当时，可有，故结论③错误． 综上所述，结论正确的有①②． 故选：A． 17．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 18．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 19．已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干分析出、、的符号，再判断各选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴，故A错误； 对于B与D，由已知条件无法判断代数式的符号； ∵，， ∴，故C正确． 题型三：与∆有关的符号判断 20．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 拋物线只经过两个象限， ， ， 故选：A． 21．二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题．根据二次函数的图像与系数的关键，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，可有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为， ∴， 又∵当时，可有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴， 而本结论中没有说明，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越大，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤． 故选：C． 22．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 23．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴．故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵对称轴为，且经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故③正确； ④观察图象得：当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④，共4个． 24．如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 题型四：函数图像共存的符号判断 5．抛物线与直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数与一次函数的知识，关键是熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质； 根据二次函数图象开口方向确定a的正负，再根据对称轴的位置确定b的正负，根据一次函数经过的象限，确定a的正负、b的正负，逐一判断即可得到答案. 【详解】解：对于A，由二次函数的图象可知，， ∴， 由直线经过一、三、四象限知，，， a、b都矛盾， ∴A不可能； 对于B，由二次函数的图象可知，， ∴， 由直线应经过一、二、三象限知， ，， ∴B可能： 对于C，由二次函数的图象可知，， ∴， ∵二次函数的图象交y轴于负半轴， ∴，a矛盾， ∴故C不可能； 对于D，由二次函数的图象可知，， ∴， 与轴交于， 由直线应经过一、二、四象限知，，， 与轴交于， 但两个图象与y轴交点不同， ∴故D不可能． 故选：B． 26．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】对的符号分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】当时，一次函数经过一、二、三象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的负半轴，B不符合，C符合要求； 当时，一次函数经过一、二、四象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的正半轴，A、D选项均不符合； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象的知识，解题的关键是能够对系数的符号进行分类讨论，难度较小． 27．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 28．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 29．已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数开口及顶点判断，的正负，根据反比例函数图象所在象限判断的正负，结合一次函数图象性质即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴， ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限， ∴， 一次函数过一、二、四象限． 30．二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据抛物线的对称轴为直线得到，求出，，然后判断一次函数图象；由二次函数当时，，得到，然后判断反比例函数图象． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ， ∴直线的图象经过第一、三、四象限； 由二次函数图象可知，当时，，即， ， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 综上，只有C选项符合题意． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $