第28章·相似三角形·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章·相似三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用相似三角形的判定与性质解决多结论判断、多条件求值等复杂问题 · 掌握相似与平行四边形、梯形、正方形、菱形等图形结合的综合证明与计算 · 掌握动点、探究类相似问题的解题策略，会用分类讨论与数形结合 · 理解相似多边形、位似等概念的拓展应用，能处理新定义型问题 · 提升综合压轴题的规范书写与严谨推理能力 📚 知识梳理 ☆ 1.相似三角形的判定与性质综合 判定优先找等角：公共角、对顶角、平行、垂直、中点产生的等角关系 相似比传递：多个三角形相似时注意中间相似比的桥接 面积比 = k2，可用于求面积、求相似比、求线段长 中线、重心等特殊点常产生比例关系（重心分中线为2:1） 概念辨析例题：如图，△ABC 中，中线 AD、BE 相交于点 O，则 S△AOB:S△ABC 等于（　　） 答案：1:3 解析：O 是重心，AO:OD=2:1，即 AO:AD=2:3。△AOB 与 △ABD 同高（以 AB 为底），面积比等于底之比 AO:AD=2:3；而 S△ABD=S△ABC，故 S△AOB=×S△ABC=S△ABC，即1:3。 ☆ 2.相似与四边形综合 平行四边形、梯形中的平行线常产生相似三角形（如对角线交点、延长线交点） 中点、三等分点等条件常通过作平行线构造相似 矩形、菱形相似问题转化为对应边成比例 梯形问题常用辅助线：作平行线构造相似三角形或等面积转化 概念辨析例题：在平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，AE 与 BD 交于点 O，则 BO:OD 等于（　　） 答案：1:2 解析：AD∥BC 得 △AOD∽△EOB，==，即 1:2。 ☆ 3.黄金分割与比例综合 黄金分割：较长线段与全长之比 = ≈0.618 黄金角、黄金矩形等拓展概念：按定义转化为比例关系 比例中项、比例尺、相似比等概念在综合题中灵活转换 多比例条件并列时设公共参数（如设每份为 k）统一表示 概念辨析例题：设点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC>BC），若 AB=2，则 BC 的长为（　　） 答案：3- 解析：AC=×2=，BC=AB-AC=2-(=3-。 ☆ 4.位似与新定义 位似图形对应点连线交于位似中心，位似比等于对应边比 以原点为位似中心：位似后坐标 = 原坐标×位似比（异侧取负） 相似四边形等新定义：按定义检验对应角相等、对应边成比例 探究性问题按问题串推进，先理解定义再应用 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (2,3)，以原点 O 为位似中心，将 △OAB 放大为原来的2倍，则点 A 的对应点 A' 的坐标是（　　） 答案：(4,6) 或 (-4,-6) 解析：同侧位似：A'=(2×2, 3×2)=(4,6)；异侧位似：A'=(-4,-6)。故为 (4,6) 或 (-4,-6)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 重心比例 重心分中线为2:1 用于面积比转化 平行线相似 DE∥BC→△ADE∽△ABC 对应边成比例 四边形中相似 对角线、延长线交点构造相似 借助平行性质 黄金分割 ≈0.618 区分较长较短线段 位似坐标 (x,y)→(kx,ky) 或 (-kx,-ky) 同侧正异侧负 新定义 按定义转化为已知模型 先理解后应用 ⚠️ 核心考点 【考点1】相似图形与相似多边形 · 形状相同的图形是相似形，相似形只要求形状相同，与大小、位置无关 · 相似多边形对应角相等、对应边成比例，对应边的比叫做相似比 · 判断多边形相似：逐一检验对应角相等与对应边成比例两个条件 · 放大镜、放缩等变换保持形状不变，属于相似变换 1．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】D 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键； 根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】∵四边形和四边形是相似的图形，， ∴四边形和四边形是相似比为， ∴四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于， ∴四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，则①和②都正确， 故选：D． 2．（2023·海南海口·模拟预测）有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为______． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 设，，则，由所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，可得矩形和矩形相似，则，即，可求，进而可求的值． 【详解】解：∵矩形， 设，，则， ∴四边形是矩形， ∵所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似， ∴矩形和矩形相似， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海·期中）矩形中，E、F分别为中点，如果矩形与矩形相似，那么它们的相似比为______． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解作答即可． 【详解】解：∵E、F分别为中点， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴相似比， 解得， 或（舍去）， ∴相似比为， 故答案为：． 4．（2025·上海·模拟预测）定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形． (1)已知：如图1，四边形是矩形，E、F分别在、上，且．如果，求证：； (2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ， ，， 又∵， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：∵四边形是梯形，， 又∵， ∴， ∴，，，， ∵梯形中，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴梯形和都是等腰梯形， ∴，， 如图，作交于G，作交于H， 则四边形和 都是平行四边形， ∴，，，， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据等比性质可得，即， ∴， ∴， ∴． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、相似多边形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证四边形和四边形的四个角都是直角，从而可得四边形和四边形都是矩形，再证这两个矩形的四组对应边成比例即可得证． （2）由四边形是梯形，，，可得，从而可得梯形和的四个角对应相等．梯形是等腰梯形可推出梯形和都是等腰梯形，则，．作交于G，作交于H，则可得则四边形和 都是平行四边形，进而得，从而可得，结合和等比性质可得，则可得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似多边形的定义，相似三角形的判定和性质，比例的性质，平行四边形的判定和性质等．熟练掌握以上知识，正确理解相似多边形的定义是解题的关键． 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 【答案】（1）； （2）； （3）同意，如图所示：    （4）共有四种情况： ①如下图，；    ②如下图，；    ③如下图，；    ④如下图，；    【知识点】换元法解一元二次方程、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、相似多边形 【分析】（1）先求得小长方形的长和宽，再根据小矩形与原矩形长宽比相等列方程求解即可； （2）由小矩形的长以及长宽比求得小矩形的宽，再根据两个小矩形的宽之和为a列方程求解即可； （3）通过连接矩形的四条边的中点可将矩形分为4个一样的小矩形，再求小矩形的长宽比便可验证； （4）分四种情况：①沿原矩形的长3等分为三个矩形，②先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，③先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，④先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1；根据相似矩形的长宽比，利用原矩形的长和宽建立方程求解即可； 【详解】解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1， ∴小长方形的宽为，长为1， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得：或（边长不能为负舍去）， ∴； （2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4个小矩形， 四个小矩形的长和宽都为和，长宽比为与原矩形长宽比相同； （4）共有四种情况： ①如下图沿原矩形的长3等分， 小矩形和原矩形的长宽比都为a， 小矩形的长为1，则宽为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的长为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的宽为， ∴∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为， ∴右边两矩形的宽和长为， ∴右上矩形的长为，右下矩形的宽为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了相似矩形，一元二次方程，分情况要按照先一分为二，再将其中一个一分为二的思路来讨论． 【考点2】相似三角形的判定 · 两角分别相等的两个三角形相似（AA） · 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） · 三边成比例的两个三角形相似（SSS） · 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 6．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】由已知条件得出对应边成比例，结合公共角证明三角形相似，利用相似三角形的性质逐一判断选项． 【详解】解：，， ， ， ， ，故A正确； ，故B正确； ， ，故D正确； 由可知，仅当时，，题目未给出与的数量关系，故C错误． 7．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用平行四边形性质，可以得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到；利用，，，得到，用两边对应成比例，且夹角相等证明；用得到，两直线平行，内错角相等得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ； ，，， ， ，， ， 又， ； ， 即， ， ， 又， ． 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）中，点、分别在、上，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应线段是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理作答即可． 【详解】解：如图， 假设， ∴，，，选项C缺少角的条件 故选项C错误， 故选：C． 9．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形中线等分三角形为面积．、是的中线，即D、E是和的中点，即是的中位线，则，，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断． 【详解】解：∵、是的中线，即D、E是和的中点， ∴是的中位线， ∴，，即，①正确； ∵ ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴，③正确； ∵， ∴， ∴， 又∵是的中线， ∴， ∴，④错误， 故①③正确； 故选：B． 10．（23-24九年级下·广东深圳·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．一个角相等，两边成比例的两个三角形相似 B．周长相等的两个矩形对角线相等 C．相似多边形都是位似多边形 D．一元二次方程的常数项为 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义、矩形性质理解、相似多边形的性质、相似三角形的判定综合 【分析】利用相似三角形的判定、矩形的性质、相似图形的定义、一元二次方程的定义分别判断后即可得解． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似三角形的判定、矩形的性质、相似图形的定义、一元二次方程的定义等知识，难度不大． 【详解】解：A. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B. 周长相等的两个矩形的对角线不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C. 相似多边形不一定是位似多边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D. 将一元二次方程化为标准形式为，它的常数项为，因此一元二次方程的常数项为，故原命题正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 11．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）在下列命题中，真命题是（     ）． A．两边之比是的两个直角三角形相似 B．两边之比是的两个等腰三角形相似 C．有一个内角是的两个等腰三角形相似 D．四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 【答案】B 【知识点】判断命题真假、相似多边形的性质 【分析】本题考查命题与定理、多边形相似的判定、熟练掌握两个相似多边形的对应角相等、对应边成比例是解题关键．根据相似多边形的性质、举反例解答即可得答案． 【详解】解：A．三边比分别为与的两个直角三角形不相似，故该选项是假命题，不符合题意， B．两边之比是的两个等腰三角形相似，故该选项是真命题，符合题意， C．三个内角分别为、、和、、的两个三角形不相似，故该选项是假命题，不符合题意， D．∵四边形不具有稳定性， ∴四边形的各内角可以改变，故不一定相似，该选项是假命题，不符合题意， 故选：B． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如果D，E分别在的两边，上，由下列哪一组条件可以推出（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】同位角相等两直线平行、比例线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】若能推出，即可证明 ，得到同位角相等，进而推出 ． 【详解】解：A 由可得，结合，得，不能推出 ，A错误； B 仅知道和，无法保证三角形相似，不能推出 ，B错误； C ，，又，， ， ， ， ，C正确； D ，，又，，不能推出 ，D错误； 13．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用三边对应成比例判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； D、，但相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，不能判定，故此选项符合题意． 14．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，F在的延长线上，，那么________________． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作的平行线，交于点，证明，得到；证明，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作的平行线，交于点， ∵与平行， ∴， ∴； ∵，在中，对角线交于点， ∴； ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点3】比例线段与平行线分线段成比例 · 四条线段成比例等价于 a:b=c:d 即 ad=bc · 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 · 平行于三角形一边的直线截其他两边，对应线段成比例 · 由比例式求线段长：找准对应关系，设未知数列方程求解 15．（25-26九年级上·上海松江·期中）以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 【答案】C 【知识点】矩形性质理解、相似图形、相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似图形的判定与性质、矩形的性质等知识点，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键 根据矩形的性质以及题干结论得出矩形与矩形对应边成比例，从而得到两个矩形相似；假设的值，根据相似三角形的性质，列出，，的数量关系，从而得到，与的数量关系，然后根据比例中项的定义求解即可． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ∵， 四边形为矩形， ， ， ， 矩形矩形， 命题甲为真命题； 设， ，， ，， ，， ，， ， ，， ，， ， 是和的比例中项， 命题乙也是真命题． 故选：C． 16．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的求值、比例的性质 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 17．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在网格小正方形的顶点上．、是线段、与小正方形边的交点．那么的长为__________． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．连接，在格点上取、、、，使得，，得到，，推出，证明，得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，在格点取、、、，使得，， 由图可知，，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段三等分”的方法． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线AO．（如图2）； ②在射线上依次截取线段，使，连接； ③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 【问题解决】 (1)如图3，在中，点D、F在上，E、G在上，．若，，，则______，=______，=______． (2)数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线对折一次，得到图5，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图5中画出的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (4)如图7，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点P是线段的一点，且，请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)3，， (2) (3)如图3.1，点N即为所求； (4) 【知识点】作垂线(尺规作图)、由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、利用相似求坐标 【分析】（1）通过平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质得出所求线段的长度比即可解决； （2）连接，分别过点K、L作的平行线，交于点，； （3）先作线段垂直平分线得到中点M，再连接交于N点，即为所求；根据为的中位线，得出，再利用相似比即可得证； （4）过点A作轴，过点B作于点C，过点作于点D，得出，根据相似三角形性质求出，设，从而求解点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 得； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴，， ∴； （3）证明：如图3.2，连接， ∵O，M分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图， 过点A作轴，过点B作于点C，过点作于点D， ∴， ∴， ∴， 设， ∵和， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，平行线截线段成比例，相似三角形判定与性质，坐标与图形，三角形中线的定义，三角形中位线的性质等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 【考点4】黄金分割 · 点 C 把线段 AB 分成 AC、BC 两段，若 =≈0.618，则点 C 是黄金分割点 · 黄金比约为 0.618，较长线段 = ×全长 · 黄金分割点有两个（靠近两端各一个），计算时注意取较短或较长线段 · 舞台站位、构图等实际问题常转化为黄金分割计算 19．（25-26九年级上·上海·期中）已知点P为线段AB的黄金分割点，被分得较长的线段，那么较短的线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割的性质，准确分析计算是解题的关键． 根据黄金分割点的性质，较长的线段与较短线段的比等于整个线段与较长的线段的比，设，列出方程求解． 【详解】是的黄金分割点，且是较长的部分， ， 设，则， ， 交叉相乘得：，即， 整理得：， 解方程： ， ， ， ． 故选． 20．（2023·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质． 【详解】解：如图， ∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：A． 21．（25-26九年级上·上海·期中）已知点是线段的黄金分割点，，则_____. 【答案】/ 【知识点】二次根式的混合运算、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割点的定义，设，表示出和，利用列出方程，解方程即可． 【详解】解：设， 由于点是线段的黄金分割点，且，即， 则， ， 由，得 ， ， ， ， ， ， ， 故． 故答案为：． 22．（24-25九年级上·上海·期中）点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 23．（25-26九年级上·上海·期中）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且点是的黄金分割点（）,联结．如果，那么的长是______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割点、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 由黄金分割点的定义可得，再结合黄金分割角的定义可得，则可得，再证明可得，然后将代入即可解答． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， 在中，，是黄金角， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 24．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 【答案】 / 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割的定义得到与的关系，先求出的长度，再计算的长. 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 把代入得：， 解得， . 25．（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么长为______． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割点的定义，且，得出，代入 即可求 ． 本题考查了黄金分割，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由于点是线段的黄金分割点，且， 因此， 故， 故答案为：． 【考点5】位似 · 两个相似图形对应点连线交于一点，且对应点到该点距离成比例，这两个图形是位似图形 · 位似比即对应边的比，也等于对应点到位似中心的距离比 · 以原点为位似中心作位似图形，坐标为原来坐标乘以位似比（同侧为正、异侧为负） · 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形 26．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，已知与关于原点O位似，且位似比是，则与的面积比为______． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】根据题意得到与相似，且相似比为，利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵与关于原点O位似，且位似比是， ∴与相似，且相似比为， ∴与的面积比为． 【考点6】相似综合探究 · 探究题按定义理解新概念，转化为判定与性质 · 中点、重心、梯形等图形中寻找平行线与相似三角形 · 动点问题设坐标，把几何量表示为函数关系 · 证明与计算结合，注意分类讨论 27．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知点是平行四边形的边上一点，连接和相交于点F，如果，那么为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．先画出图形，根据平行四边形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 即， 故选：C． 28．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】先作出合适的辅助线，再证明和的关系，即可建立y与x的函数关系，从而确定函数图像． 【详解】解：由题意可得：，， ，，，点C的纵坐标是y， 作轴，作于点D，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x轴的距离， ∴， 结合选项可得，A符合题意． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，明确题意、建立相应的函数关系式是解答本题的关键． 29．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，，如果，，那么___________． 【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由可得，，又因为两组对顶角相等，得和，再根据相似三角形对应线段成比例即可求解． 【详解】 解： ∵， ∴，， 又∵， ∴； ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，， 又∵， ∴； ∴， ∴， ∴， 即． 30．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，已知，，如果，，那么的长是______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【详解】解：如下图所示，延长，交于一点， ， ，， ，． ， 设，， ，，代入得， 解得， ，，代入得， 解得． 31．（2026·上海·模拟预测）如图，在正方形中，E是边的中点，，垂足为点F．如果，那么的面积为__________． 【答案】40 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据正方形的性质和中点的定义求出的长，利用勾股定理求出的长，证明求出的长，利用平行线间的距离求出的面积，最后根据同高三角形面积比等于底边比求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，，E是边的中点， ∴，，，， 在中，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点E到的距离等于的长， ∴， 设点A到的距离为h， ∴，， ∴， ∴． 32．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，直线l：交x轴于点A，交轴于点，点在轴正半轴上，且．点在线段上，且，过点作的垂线，交的延长线于点，连结． (1)求点的坐标； (2)求证：； (3)若点是直线上的动点，连结，当时，直接写出点坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 证明：， ， ， ， ， ， ， 过点作于，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (3) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据直线的解析式求出点的坐标，再利用，求出的长，进而求出点的坐标； （2）过点作于，利用，得到，求得点的坐标，最后利用垂直的定义求得结论； （3）过点作于，证明，再利用相似三角形求出的长，推出点是的中点，求出点的坐标，进而求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，令，得，令，得， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得， ， ， ， 点的坐标为． （2）略． （3）解：过点作于点， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， 点是的中点， 由（2）得 ， ∴， ∴ 点坐标为，即． 33．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，t的值为8或或或12． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰三角形的性质和判定、坐标与图形综合 【分析】（1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得b即可； （2）①根据的面积公式列等式可得t的值； ②存在，分三种情况：当时，如图1，当时，如图2，当时，如图3，分别求t的值即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得： ， 将点代入直线得： ∴， 解得：； （2）解：由（1）知：， 当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过C作于E，如图1所示： ， ， 的面积为10， ∴， 解得：； ②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下： 过C作于E，如图1所示： ， ，， ∴， ∴； a．当时，， ， ； b．当时，如图2所示： 则， ，， 或； c．当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， ∴P与E重合， ，， ； 综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 34．（2025·河南·模拟预测）综合与实践 【问题情境】定义：四边形一边的中点与它所在边的对边的两个端点的连线所形成的折线，叫作四边形的折中线． 如图1，在四边形中，是边的中点，连接，，则由线段，组成的折线叫作四边形的折中线，折线的长叫作折中线的长． 【特例感知】 （1）如图2，若四边形是矩形，当时，折中线的长与边的长的数量关系是______．（用含的代数式表示） 【深入探究】 （2）如图3，折线是的折中线． ①若，折中线的长为，则与的数量关系是_______．（填“>”“=”或“<”） ②当时，写出图3中的一条角平分线及其平分的角，并说明理由． （3）如图4，在中，，，当折中线的其中一条线段与的一条对角线相等时，直接写出折中线的长． 【答案】（1）； （2）①>； ②平分， 理由：延长交的延长线于点G. ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴平分（等腰三角形三线合一）； （3）折中线的长为或． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，求得，利用勾股定理求解即可； （2）①延长交的延长线于点，得到，推出，，得到，在中，利用三角形三边关系即可求解； ②同①求得垂直平分线段，再利用等腰三角形三线合一即可得证； （3）分情况讨论：①当时，过点作于点G，过点B作，交的延长线于点K，②当时，过点A作交的延长线于点F，过点A作于点M，过点E作于点N，分别利用平行四边形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①如图，延长交的延长线于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，（三角形三边关系：两边之和大于第三边），即， 故答案为：>； ②略 （3）或. 观察图形可知，，而，故， ∴折中线中的线段或只能与中较短的对角线相等， 分情况讨论：①当时， 如图，过点作于点G，过点B作，交的延长线于点K， 设，则，， ∴四边形是矩形， 则， 解得， 在中，由勾股定理，得； 在中，由勾股定理，得， 故折中线的长为； ②当时，如图，过点A作交的延长线于点F，过点A作于点M，过点E作于点N， 设，则，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，∴， ∴（等腰三角形三线合一）， 即， 解得， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 故折中线的长为， 综上所述，折中线的长为或． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 35．（2024·贵州遵义·三模）如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，． (1)【问题发现】 如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______； (2)【问题探究】 如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长． 【答案】(1)，； (2) ，，理由如下： 如图，延长交于，交于， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 四边形为平行四边形， ，； (3)3或15． 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质说明线段或角相等、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）延长交于点，证明，，，，进而即可作答； （2）延长交于，交于，推出是等腰直角三角形，，，，，，则，推出四边形为平行四边形，即可作答； （3）分两种情况讨论，分别作答即可． 【详解】（1）解：延长交于点， 为等腰直角三角形，四边形为正方形， ，，， ， ，， ， ， ， ， 即， 故答案为：，； （2）略 （3）解：分两种情况，情况一：如图， ，， ， 由（1）得， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 情况二：如图， 同理得，， ， 综上所述：的长为3或15． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是分类讨论画出相应的图形解决问题． 36．（2024·上海青浦·二模）已知：如图，在四边形中，，点E是对角线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长分别交线段的延长线于点，如果，求证：． 【答案】(1)证明: ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴四边形是平行四边形， ∵, ∴, ∴， ∵, ∴, ∴, ∴, ∴四边形是菱形； (2)证明：根据题意作图如下， ∵四边形是菱形, ∴， ∵, ∴, ∵, ∴, ， ， ∵, ∴, ， ∴, ∴, 且, ∴, ∵, ∴, ∴, ， ． 【知识点】证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由得, 则，所以，则四边形是平行四边形， 由且得, 所以则, 即可证明四边形D是菱形； （2）由菱形的性质得, 而, 所以, 可证明, 得 则再证明, 得 所以, 再证明, 得则 即可证明 【详解】（1）略 （2）略 37．（24-25九年级上·上海·期中）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，连接．求证：． (2)已知． ①如图2所示，连接，如果垂直平分线的交点P恰好落在的平分线上，求的长． ②如图3所示，如果点M在边上，连接、、，与交于点N，如果，且，，求边的长． 【答案】(1)证明：如图：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴； (2)①；② 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图：延长交于点G，由得到，由已知数据得到、，故，易证，因此； （2）①如图：过点P作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得； ②如图：延长交于点K，过点E作，垂足为点Q，由，求得，可证明，角度推导得，则，求出，继而得到，由，则，设，则，由，设，，由，得到，设，可证明，求出，则，在中，运用勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得，，故． 【详解】（1）略 （2）解：①如图：过点P作于点F，连接， ∵点P为垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得； ②如图：延长交于点K，过点E作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，解得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴． 💯 课后巩固 复习建议 · 压轴题优先识别基本相似模型（A型、X型、斜A型），快速定位目标三角形 · 面积比与相似比互转时注意开平方与平方的先后 · 动点、探究问题先设参数表示线段，再列比例或方程求解 · 位似、新定义问题先翻译定义，注意坐标的符号（同侧异侧） · 综合证明题书写要步步有据，中间结论及时标注便于传递使用 【作业1】．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）下列命题正确的是（   ） A．两个菱形相似 B．各有一个角的两个等腰三角形相似 C．一角相等的两个直角三角形相似 D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似 【答案】B 【知识点】判断命题真假、相似图形、相似多边形的性质 【分析】本题考查了命题与定理的知识，用相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项，解题的关键是了解相似三角形的判定方法． 【详解】解：A、两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意； B、有一个角的三角形中，角必须为顶角，两个底角分别是，可判定三角形相似，故选项符合题意； C、如果相等的这个角是直角，则这两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意； D、腰对应成比例但是顶角不相等的两个等腰三角形不一定相似，故选项不符合题意； 故选：B． 【作业2】．（23-24九年级上·上海虹口·阶段检测）下列说法中，正确的个数是（    ） ①相似三角形的周长比等于相似比； ②如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边； ③有一边及这边上的高对应成比例的两个三角形相似； ④两条直线被三条直线所截，若截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行； ⑤邻边相等的两个矩形一定相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】成比例线段、相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据相似多边形，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例判定即可． 【详解】解：相似三角形的周长比等于相似比，故①正确； 如图：    直线截的延长线于D、E， 由题意得：，即， 但与不平行，故②错误； 若是直角三角形，有一边及这边上的高对应成比例，则两个三角形相似；一般的三角形不一定，故③错误； 两条直线被三条直线所截，若截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行，故④正确； 邻边相等的矩形是正方形，一定相似，故⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似多边形，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟悉相似图形的判定和性质． 【作业3】．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在矩形中，E是射线上一点，，是对角线的中点．连接并延长，交线段或线段于点． (1)当点在上： ①求证：； ②若，求的值． (2)若，，求的长． 【答案】(1)①证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ② (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①由矩形的性质可得，，由等边对等角并结合平行线的性质得出，，即可得证；②求出，由直角三角形的性质并结合勾股定理可得，，从而即可得出结果； （2）由题意可得点只能在线段上，此时延长线交线段于点，设，，则，由，计算得出，证明，得出，代入对应线段的长计算即可得出结果． 【详解】（1）略； ②∵， ∴， 由①可得， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵E是射线上一点，， ∴点只能在线段上，此时延长线交线段于点， 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①可得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由可得， 将代入可得， 整理可得， 解得或（负值不符合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴． 【作业4】．（25-26九年级上·上海普陀·期末）【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 【解决问题】 (1)根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； (2)根据小普同学与的对话，设，，用含a、b的代数式表示k； (3)在图中，画出符合要求的菱形，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 【答案】(1) (2) (3)如图 【知识点】添一个条件成为平行四边形、证明四边形是菱形、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，平行四边形的判定； （1）根据是平行四边形，添加条件即可； （2）由题意得，，计算即可解答； （3）延长，利用圆规在延长线上截取，连接；作，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知是平行四边形，则需添加； （2）解：∵，，， ∴， ∴，； ∵，，， ∴，； ∴ ∴， （3）解：如图所示即为所求： 延长，利用圆规在延长线上截取，连接； 作，交边于点E即可． 【作业5】．（23-24九年级上·上海·阶段检测）如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据平行线性质，得，结合，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到证明即可． （2）根据，结合得，只需证明即，故证明即可． 本题考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【作业6】．（24-25八年级下·上海虹口·阶段检测）如图1，在梯形中，，且，，动点Q由点B沿向点C移动，1秒钟后动点P由点A沿向点D移动 (1)若动点P的速度比动点Q的速度大1厘米/秒，且动点Q到达C时，动点P 恰好也到达D．试求动点P、Q的速度． (2)若动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒，在运动过程中（P与A、D不重合时），与交于K，与交于N ①当动点Q到达中点时，过K作交于M，求的长；（如图2） ②在这运动过程中，是否会与平行？若会，请求出此时为P点出发后几秒？若不会，请说明理由．（如图3） 【答案】(1)动点Q速度为2厘米/秒，动点P速度为3厘米/秒 (2) ； 不会平行于，理由如下： 设点P点出发后t秒时，则，， ∵， ∴，， 若，则， ∴ 解得：此方程无解， ∴不会平行于． 【知识点】线段中点的有关计算、由平行判断成比例的线段、分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查分式方程的应用和平行线的判定和性质，解题的关键是熟悉平行线对应线段成比例，利用动态的思想列出代数式． （1）设动点Q的速度为x厘米/秒，则动点P的速度为厘米/秒，根据题意列出分式方程求解即可； （2）①根据题意得，，利用平行线的性质得到，即有和，即可求得； ②设点P点出发后t秒时，则，，利用平行线的性质得和，结合，即有，经过计算等式不成立，即不存在． 【详解】（1）解：设动点Q的速度为x厘米/秒， 根据题意得： ， 解得：，（不合题意舍去） 经检验是原方程根， ∴动点Q速度为2厘米/秒，动点P速度为3厘米/秒． （2）解：①∵点Q到达中点， ∴， ∵动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒， ∴， ∵，， ∴， 则，， ∴； ②略 【作业7】．（2026·上海·三模）【问题背景】如图1，在平行四边形纸片中，过点作直线于点E，沿直线l将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点B重合，点在线段上，延长交线段于点F，如图3所示； ②连接，过点C作直线交射线于点N，如图4所示； 【问题解决】 (1)如图3，填空：______； (2)如图4，求证：； (3)以线段的中垂线为对称轴，将点C翻折到点G，若，求的值． 【答案】(1) (2)证明：由题可知，，即， ，， 平行四边形纸片， ， ，则， ，即是等腰直角三角形， ， ，， ， ，即是等腰直角三角形， ，， ，， 在和中， ， ． (3) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据平行四边形的性质和垂直的定义，等量代换即可求解； （2）根据平行四边形的性质和垂直的定义，易证和是等腰直角三角形，可得，，再利用“”即可证明； （3）根据题意作图，先确定为的中点，不妨取，证明，得到，再利用勾股定理可得，进而得到的值即可． 【详解】（1）解：由题可知，， ， ， ， 平行四边形纸片， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，的垂直平分线交于， 中点为， 由，不妨取， 由（1）知，即，， ，又垂直平分， 则分别为的中点， ，又中点为， ，，则， 又， ，又， ，又， ， ， 又 ，即 ， ， ，由（2）知， ， ， 即的值为． 【作业8】．（2026·安徽合肥·二模）如图1，在菱形中，，点E在对角线上，点F、G分别在边上，且，连接，延长交于点P． (1)如图2，当A、E重合时，求证：是等边三角形； (2)如图1，若，，，求的长； (3)连接，当,时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】 （1）根据菱形的性质以及已知条件可得、均为等边三角形，再结合证明可得，进而证明结论； （2）如图：在上截取，连接，易得是等边三角形，再证明可得，即；由可得，进而求得，最后利用线段的和差求解即可； （3）如图：在上截取，连接，结合（2）可得，再利用相似三角形的性质可得；设，则，，，进而得到，，，最后代入化简即可解答． 【详解】（1）证明：在菱形中，， ，， ，均为等边三角形， ，，，即， ， ， ， ， ， 是等边三角形，即是等边三角形． （2）解：如图：在上截取，连接， 由（1）知是等边三角形，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 菱形 ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． （3）解：如图：在上截取，连接， 则是等边三角形，， 由（2）知是等边三角形， ∴， 根据（2）得， ， ∴， ∴， 当时，则， ∴， 设，则， 根据（2）得， ∴， ∴，，， ． 【作业9】．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，已知在中，中线，交于点，交于点． (1)如果，求和的长． (2)求证：． 【答案】(1)， (2) 证明：， ， 由（1）得， ， 点为重心， ， ， ． 【知识点】重心的有关性质、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）结合重心的性质、平行线分线段成比例定理推得，将，代入可得，又，即可求得； （2）证明，由相似三角形的性质可得，再由重心性质得到，即可证明． 【详解】（1）解：中线，交于点， 点为重心， ， ， ， ，， ， ． （2）略 【点睛】本题考查的知识点是重心的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握重心的性质． 【作业10】．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在梯形中，，点在边上且，点在边上且，联结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接并延长与延长线交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)3 【知识点】同位角相等两直线平行、由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接并延长与延长线交于点，由得，进而可证，由相似三角形的性质得，可证； （2）由得，通过对应线段成比例可求出的长，再根据即可求解； 本题主要考查了平行线分线段成比例，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，连接并延长与延长线交于点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【作业11】．（2025·上海·二模）我们知道“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点、、、分别在四边形的边、、、上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图）： ①在边上任取符合条件的一点，作，交边于点； ②作，交边于点；③作，交边于点；④连接． (1)求证：小明画出的四边形是平行四边形； (2)如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点均在格点上，点在边上，，请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形，使点、、分别在边、、上，且此平行四边形的边与或平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2)如图，四边形即为所作： 【知识点】证明四边形是平行四边形、正方形性质理解、相似三角形的判定与性质综合、无刻度直尺作图 【分析】（1）根据平行线的传递性及平行线分线段成比例定理得，，，，继而得到，，证明得，推出，则，即可得证； （2）取格点、、、、，交于点，交于点，连接交于点，连接、、即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，取格点、、、、，交于点，交于点，连接交于点，连接、、、、， ∵在的网格中，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点均在格点上，，， ∴，，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 则四边形即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了平行四边形的判定，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线的判定和性质等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 【作业12】．（2024·上海静安·三模）已知：如图，四边形的对角线相交于点，，； (1)求证：． (2)过点作交延长线于点，延长、交于点，分别取的中点，连结，求证：平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； (2) 证明：如图，连结，记的交点为， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即平分． 【知识点】线段垂直平分线的判定、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由，可得，进而可证，则，； （2）如图，连结，记的交点为，由为的中点，可得，，则，由为中点，可得，则，垂直平分，，证明，则，即平分． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，垂直平分线的判定与性质，全等三角形判定与性质是解题的关键． 【作业13】．（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，，于点．延长至点，使，连接交于点，且． (1)求证：是菱形； (2)若，求的长度． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ， ， ，， 又， 为等边三角形， ， 四边形是菱形； (2) 【知识点】利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）由菱形的性质可得，再在、中解直角三角形即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵由（1）知，四边形是菱形， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28章·相似三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用相似三角形的判定与性质解决多结论判断、多条件求值等复杂问题 · 掌握相似与平行四边形、梯形、正方形、菱形等图形结合的综合证明与计算 · 掌握动点、探究类相似问题的解题策略，会用分类讨论与数形结合 · 理解相似多边形、位似等概念的拓展应用，能处理新定义型问题 · 提升综合压轴题的规范书写与严谨推理能力 📚 知识梳理 ☆ 1.相似三角形的判定与性质综合 判定优先找等角：公共角、对顶角、平行、垂直、中点产生的等角关系 相似比传递：多个三角形相似时注意中间相似比的桥接 面积比 = k2，可用于求面积、求相似比、求线段长 中线、重心等特殊点常产生比例关系（重心分中线为2:1） 概念辨析例题：如图，△ABC 中，中线 AD、BE 相交于点 O，则 S△AOB:S△ABC 等于（　　） 答案：1:3 解析：O 是重心，AO:OD=2:1，即 AO:AD=2:3。△AOB 与 △ABD 同高（以 AB 为底），面积比等于底之比 AO:AD=2:3；而 S△ABD=S△ABC，故 S△AOB=×S△ABC=S△ABC，即1:3。 ☆ 2.相似与四边形综合 平行四边形、梯形中的平行线常产生相似三角形（如对角线交点、延长线交点） 中点、三等分点等条件常通过作平行线构造相似 矩形、菱形相似问题转化为对应边成比例 梯形问题常用辅助线：作平行线构造相似三角形或等面积转化 概念辨析例题：在平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，AE 与 BD 交于点 O，则 BO:OD 等于（　　） 答案：1:2 解析：AD∥BC 得 △AOD∽△EOB，==，即 1:2。 ☆ 3.黄金分割与比例综合 黄金分割：较长线段与全长之比 = ≈0.618 黄金角、黄金矩形等拓展概念：按定义转化为比例关系 比例中项、比例尺、相似比等概念在综合题中灵活转换 多比例条件并列时设公共参数（如设每份为 k）统一表示 概念辨析例题：设点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC>BC），若 AB=2，则 BC 的长为（　　） 答案：3- 解析：AC=×2=，BC=AB-AC=2-(=3-。 ☆ 4.位似与新定义 位似图形对应点连线交于位似中心，位似比等于对应边比 以原点为位似中心：位似后坐标 = 原坐标×位似比（异侧取负） 相似四边形等新定义：按定义检验对应角相等、对应边成比例 探究性问题按问题串推进，先理解定义再应用 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (2,3)，以原点 O 为位似中心，将 △OAB 放大为原来的2倍，则点 A 的对应点 A' 的坐标是（　　） 答案：(4,6) 或 (-4,-6) 解析：同侧位似：A'=(2×2, 3×2)=(4,6)；异侧位似：A'=(-4,-6)。故为 (4,6) 或 (-4,-6)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 重心比例 重心分中线为2:1 用于面积比转化 平行线相似 DE∥BC→△ADE∽△ABC 对应边成比例 四边形中相似 对角线、延长线交点构造相似 借助平行性质 黄金分割 ≈0.618 区分较长较短线段 位似坐标 (x,y)→(kx,ky) 或 (-kx,-ky) 同侧正异侧负 新定义 按定义转化为已知模型 先理解后应用 ⚠️ 核心考点 【考点1】相似图形与相似多边形 · 形状相同的图形是相似形，相似形只要求形状相同，与大小、位置无关 · 相似多边形对应角相等、对应边成比例，对应边的比叫做相似比 · 判断多边形相似：逐一检验对应角相等与对应边成比例两个条件 · 放大镜、放缩等变换保持形状不变，属于相似变换 1．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 2．（2023·海南海口·模拟预测）有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为______． 3．（24-25九年级上·上海·期中）矩形中，E、F分别为中点，如果矩形与矩形相似，那么它们的相似比为______． 4．（2025·上海·模拟预测）定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形． (1)已知：如图1，四边形是矩形，E、F分别在、上，且．如果，求证：； (2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证． 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 【考点2】相似三角形的判定 · 两角分别相等的两个三角形相似（AA） · 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） · 三边成比例的两个三角形相似（SSS） · 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 6．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）中，点、分别在、上，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24九年级下·广东深圳·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．一个角相等，两边成比例的两个三角形相似 B．周长相等的两个矩形对角线相等 C．相似多边形都是位似多边形 D．一元二次方程的常数项为 11．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）在下列命题中，真命题是（     ）． A．两边之比是的两个直角三角形相似 B．两边之比是的两个等腰三角形相似 C．有一个内角是的两个等腰三角形相似 D．四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 12．（24-25九年级上·上海·期中）如果D，E分别在的两边，上，由下列哪一组条件可以推出（     ） A．， B．， C．， D．， 13．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 14．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，F在的延长线上，，那么________________． 【考点3】比例线段与平行线分线段成比例 · 四条线段成比例等价于 a:b=c:d 即 ad=bc · 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 · 平行于三角形一边的直线截其他两边，对应线段成比例 · 由比例式求线段长：找准对应关系，设未知数列方程求解 15．（25-26九年级上·上海松江·期中）以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 16．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在网格小正方形的顶点上．、是线段、与小正方形边的交点．那么的长为__________． 18．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段三等分”的方法． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线AO．（如图2）； ②在射线上依次截取线段，使，连接； ③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 【问题解决】 (1)如图3，在中，点D、F在上，E、G在上，．若，，，则______，=______，=______． (2)数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线对折一次，得到图5，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图5中画出的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (4)如图7，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点P是线段的一点，且，请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）． 【考点4】黄金分割 · 点 C 把线段 AB 分成 AC、BC 两段，若 =≈0.618，则点 C 是黄金分割点 · 黄金比约为 0.618，较长线段 = ×全长 · 黄金分割点有两个（靠近两端各一个），计算时注意取较短或较长线段 · 舞台站位、构图等实际问题常转化为黄金分割计算 19．（25-26九年级上·上海·期中）已知点P为线段AB的黄金分割点，被分得较长的线段，那么较短的线段的长度为（    ） A． B． C． D． 20．（2023·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26九年级上·上海·期中）已知点是线段的黄金分割点，，则_____. 22．（24-25九年级上·上海·期中）点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 23．（25-26九年级上·上海·期中）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且点是的黄金分割点（）,联结．如果，那么的长是______． 24．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 25．（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么长为______． 【考点5】位似 · 两个相似图形对应点连线交于一点，且对应点到该点距离成比例，这两个图形是位似图形 · 位似比即对应边的比，也等于对应点到位似中心的距离比 · 以原点为位似中心作位似图形，坐标为原来坐标乘以位似比（同侧为正、异侧为负） · 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形 26．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，已知与关于原点O位似，且位似比是，则与的面积比为______． 【考点6】相似综合探究 · 探究题按定义理解新概念，转化为判定与性质 · 中点、重心、梯形等图形中寻找平行线与相似三角形 · 动点问题设坐标，把几何量表示为函数关系 · 证明与计算结合，注意分类讨论 27．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知点是平行四边形的边上一点，连接和相交于点F，如果，那么为(   ) A． B． C． D． 28．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（     ） A． B． C． D． 29．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，，如果，，那么___________． 30．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，已知，，如果，，那么的长是______． 31．（2026·上海·模拟预测）如图，在正方形中，E是边的中点，，垂足为点F．如果，那么的面积为__________． 32．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，直线l：交x轴于点A，交轴于点，点在轴正半轴上，且．点在线段上，且，过点作的垂线，交的延长线于点，连结． (1)求点的坐标； (2)求证：； (3)若点是直线上的动点，连结，当时，直接写出点坐标． 33．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 34．（2025·河南·模拟预测）综合与实践 【问题情境】定义：四边形一边的中点与它所在边的对边的两个端点的连线所形成的折线，叫作四边形的折中线． 如图1，在四边形中，是边的中点，连接，，则由线段，组成的折线叫作四边形的折中线，折线的长叫作折中线的长． 【特例感知】 （1）如图2，若四边形是矩形，当时，折中线的长与边的长的数量关系是______．（用含的代数式表示） 【深入探究】 （2）如图3，折线是的折中线． ①若，折中线的长为，则与的数量关系是_______．（填“>”“=”或“<”） ②当时，写出图3中的一条角平分线及其平分的角，并说明理由． （3）如图4，在中，，，当折中线的其中一条线段与的一条对角线相等时，直接写出折中线的长． 35．（2024·贵州遵义·三模）如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，． (1)【问题发现】 如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______； (2)【问题探究】 如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长． 36．（2024·上海青浦·二模）已知：如图，在四边形中，，点E是对角线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长分别交线段的延长线于点，如果，求证：． 37．（24-25九年级上·上海·期中）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，连接．求证：． (2)已知． ①如图2所示，连接，如果垂直平分线的交点P恰好落在的平分线上，求的长． ②如图3所示，如果点M在边上，连接、、，与交于点N，如果，且，，求边的长． 💯 课后巩固 复习建议 · 压轴题优先识别基本相似模型（A型、X型、斜A型），快速定位目标三角形 · 面积比与相似比互转时注意开平方与平方的先后 · 动点、探究问题先设参数表示线段，再列比例或方程求解 · 位似、新定义问题先翻译定义，注意坐标的符号（同侧异侧） · 综合证明题书写要步步有据，中间结论及时标注便于传递使用 【作业1】．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）下列命题正确的是（   ） A．两个菱形相似 B．各有一个角的两个等腰三角形相似 C．一角相等的两个直角三角形相似 D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似 【作业2】．（23-24九年级上·上海虹口·阶段检测）下列说法中，正确的个数是（    ） ①相似三角形的周长比等于相似比； ②如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边； ③有一边及这边上的高对应成比例的两个三角形相似； ④两条直线被三条直线所截，若截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行； ⑤邻边相等的两个矩形一定相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业3】．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在矩形中，E是射线上一点，，是对角线的中点．连接并延长，交线段或线段于点． (1)当点在上： ①求证：； ②若，求的值． (2)若，，求的长． 【作业4】．（25-26九年级上·上海普陀·期末）【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 【解决问题】 (1)根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； (2)根据小普同学与的对话，设，，用含a、b的代数式表示k； (3)在图中，画出符合要求的菱形，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 【作业5】．（23-24九年级上·上海·阶段检测）如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【作业6】．（24-25八年级下·上海虹口·阶段检测）如图1，在梯形中，，且，，动点Q由点B沿向点C移动，1秒钟后动点P由点A沿向点D移动 (1)若动点P的速度比动点Q的速度大1厘米/秒，且动点Q到达C时，动点P 恰好也到达D．试求动点P、Q的速度． (2)若动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒，在运动过程中（P与A、D不重合时），与交于K，与交于N ①当动点Q到达中点时，过K作交于M，求的长；（如图2） ②在这运动过程中，是否会与平行？若会，请求出此时为P点出发后几秒？若不会，请说明理由．（如图3） 【作业7】．（2026·上海·三模）【问题背景】如图1，在平行四边形纸片中，过点作直线于点E，沿直线l将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点B重合，点在线段上，延长交线段于点F，如图3所示； ②连接，过点C作直线交射线于点N，如图4所示； 【问题解决】 (1)如图3，填空：______； (2)如图4，求证：； (3)以线段的中垂线为对称轴，将点C翻折到点G，若，求的值． 【作业8】．（2026·安徽合肥·二模）如图1，在菱形中，，点E在对角线上，点F、G分别在边上，且，连接，延长交于点P． (1)如图2，当A、E重合时，求证：是等边三角形； (2)如图1，若，，，求的长； (3)连接，当,时，求的值． 【作业9】．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，已知在中，中线，交于点，交于点． (1)如果，求和的长． (2)求证：． 【作业10】．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在梯形中，，点在边上且，点在边上且，联结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【作业11】．（2025·上海·二模）我们知道“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点、、、分别在四边形的边、、、上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图）： ①在边上任取符合条件的一点，作，交边于点； ②作，交边于点；③作，交边于点；④连接． (1)求证：小明画出的四边形是平行四边形； (2)如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点均在格点上，点在边上，，请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形，使点、、分别在边、、上，且此平行四边形的边与或平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） 【作业12】．（2024·上海静安·三模）已知：如图，四边形的对角线相交于点，，； (1)求证：． (2)过点作交延长线于点，延长、交于点，分别取的中点，连结，求证：平分． 【作业13】．（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，，于点．延长至点，使，连接交于点，且． (1)求证：是菱形； (2)若，求的长度． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $