专题01 线段成比例的证明方法（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以“平行-相似-代换”三级递进构建线段成比例证明方法体系，通过分类题型系统培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通过平行证明|8题|利用平行线分线段成比例定理及推论|从基础平行模型建立比例关系认知| |通过相似直接证明|10题|构造相似三角形证对应边成比例|深化相似判定与性质的应用逻辑| |等量代换证明|8题|用等线段替换比例式中对应项|培养等量转化的推理思维| |等比代换证明|6题|借助中间比搭建比例桥梁|提升多步转化的逻辑串联能力| |等积代换证明|3题|利用面积关系或等积式转化比例|拓展几何量关系的多元表达|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01线段成比例的证明方法 参考答案 题型一：通过平行证线段成比例 1.A 2.B 3.【详解】(1)解：：AF=3,AD=5, DF=AD-AF=5-3=2, ,FE∥CD」 AF AE DFEC' 34 即2EC, .CE (2)证明：：DE∥BC, AD AE DBEC' FE∥CD, AF AE FDEC' AF AD ·FDDB 4. 【答案】(1)证明：'NM⊥BC,NP⊥MN,P9⊥BC, ·四边形POMN为矩形， :PNI BC, :四边形P'MN'是正方形， .P'N'IBC,MN⊥BC, .PN∥P'N', P'N'BN' PNBN· 1/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :MN⊥BC,MN'⊥BC, :.MN IIMN', MN'BN' MN BN' PN MN PN MN' 在正方形P'OMN'中，P'W=MN', ∴.PN=MN, :四边形POMN为正方形： (2)解：作AD⊥BC于点D,AD交PN于点E, E 2DMC:SMBc=1.5m2∠BAC=90° 1 AB-AC=15, AC=1.5m, ..AB =2m, BC=√22+1.52=2.5(m), BC.AD=1.5, 2 40-25号回， 2.5 设PN=m'则PQ=DE=m, PN∥BC, ∴△APNABC, 5-x AE_PN,即6=2.5， AD BC 5 30 解得x= 37 2/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30 即Pw的长为37m 5.解：如图，过点D作ON ICF,交AB于点N, A E D :AD是BC边上的中线， :.DC=DB, DN ICF, NB_DB=1, FN DC FN=NB- .DN ICF, AE AF AE AF, 即ED 1 FB ED FN 2 AE 2AF ED FB· 6.【答案】(1) 证明：DE川AC, AE CD ∴.EBDB· :DF∥AB, CD CF ∴.DBFA AE CF .EB FA (2)解：EF能平行BC AE AF 若EF∥BC,则EBFC· .DEl AC AE CD ∴.EBBD 3/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF∥AB, AF BD ∴FCDC· CD BD BDCD,即BD2=CD2, 所以BD=CD 7.【详解】(1)解：过点D作DE∥PM交AB于E, ⊙ :PM∥AC .DE∥AC AE CD BE BD' :点D为BC中点， AE CD 1 ABBC2 ∴点E是AB中点， AP:PD=2:I,且DE∥PM, AM AP MEPD =2 AMAP2 AEAD3· :点E是AB中点， AM 2 1 AB 6 3 (2)证明：过点D作DF∥PM交AB于F,过点D作DGPN交AC于G, DFII PM.DGI PN 4/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM AP AN AP AF AD AG AD 又PM∥AC,PN I AB DF∥AC,DGI AB, AF CD AG BD ABBC,ACBC· AMAM AF AP CD AN AN AG AP BD AB AF AB AD BC' AC AG AC AD BC AM AN APCD BD AP AB AC AD(BC'BCAD· 8. 【答案】(1) 证明：CE‖AB, ∴∠DAB=∠E,∠B=∠ECD, .△BADACED. AB BD CECD' :AD是△ABC的角平分线， .∠DAB=∠CAD, :∠E=∠DAB, .∠E=∠CAD ..CE=CA, AB BD ‘ACCD (2) 解：成立；理由如下： 过点C作CE‖AD,交AB于点E, F A E C DCE∥AD ∴.∠AEC=∠DAF,∠ACE=∠CAD」 5/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD是∠CAF的角平分线， .∠DAF=∠CAD ∴.∠AEC=∠ACE, :AC=AE :CE∥AD, AB BD AE CD' AB BD AC CD: (3)解：①：将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处， .∠CAD=∠BAD,CD=DE, AB BD 由(1)知， AC CD :AC=1,AB=2 2 BD CD' ∴.BD=2CD ∠BAC=90° ..BC=AC2+AB2=+22=5, :.BD+CD=5, .3CD=V5, CD-5 .DE= 3· ②：AD为∠BAC的角平分线， AB BD ACCD,∠BAD=∠DAC ·AB=6,AC=4,BD=3, 63 CD' .CD=2, :AD的垂直平分线EF交BC延长线于F, 6/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AF DF, ∴.∠FAD=∠FDA, :∠FAD=∠FAC+∠DAC,∠FDA=∠B+∠BAD, ∴∠B=∠FAC, 又：∠AFB=∠CFA. ∴△FBAD△FAC, ABAF AC CF' 6 AF 4AF-2' .AF=6 题型二：通过相似直接证明线段成比例 1.【答案】证明：：AD川BC, ∴∠ADB=∠DBC, :∠A=90°，BD⊥CD ∠A=∠BDC=90°， △ABD∽△DCB, BD AD BC BD' ..BD2=AD.BC. 2.证明：，AB=AC, ∴∠B=∠C .'∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE=∠ADC, .∠BAD=∠CDE, ∴.△ABDADCE, AB BD ∴CDCE' AB CD BDCE“ 3.【答案】(1) 证明：：∠ABD=∠ACE,∠A=∠A ∴.△ABD∽△ACE 7/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AB AE AC .AD·AC=ABAE AE 2 (2) AC3,理由如下： 由(1)得△ABD∽△ACE AD AB AE AC ADAE 即ABAC 又，∠A=∠A ∴.△AED∽△ACB AEED2 AC-CB3 故答案为：3 4.【答案】(1) AB AD 证明：“ACC ,∠BAD=∠ECA, ∴△BAD△ACE, .∠B=∠EAC. ·∠ACB=∠DCA, .△ABCADAC, AC BC CD AC' ..AC2 BC.CD. (2)解：，△BADOAACE, ∴.∠BDA=∠AEC, 、.∠CDE=∠CED, .'.CD=CE, E是△ABC的重心， RC=2BD=2CD 4E=4D 3 ∴AC2=BC.CD=2CD2, 8/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :ABAD△ACE, AD BD CEAE' 2AD2 BD-CE. ADP=3CD 2 AC24 AD3 5.【答案】(1) 证明：，BE2=EF·EC, BE CE EF BE .ZBEF=ZCEB, ∴.△BEF△CEB ∴.∠EBF=∠ECB ,AD∥BC, ∴.∠ADB=∠DCB ·.△ABD-△FCB: (2) 证明：△BEF~△CEB, BF BE ·BCCE ,△ABD~△FCB. AB BD AD FCBC BF BF AD ·BCBD BE AD ·CEBD ∴BE·BD=ADCE 6.【答案】 证明：∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE, 9/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠ABC=∠ADE, .△ABCAADE, AB BC ·ADDE· 【分析】证明△ABC∽△ADE,即可得出结论. 【详解】略 7.【答案】(1) 证明：，四边形ABCD为平行四边形， .AD∥BC, :E为边AD上一点，AC与BE相交于点F, .∠FAE=∠ACB, ∠ACB=∠ABE, ∴∠FAE=∠ABE, ,∠FEA=∠AEB, ∴△FEA∽△AEB. AE EF BE AE' ∴AE2=EF.BE (2)解：AE2=EF.BE且AE=2、EF=1, .BE=AE? EF 4, .BF=BE-EF=4-1=3 8. 【答案】(1) 证明：CD是斜边上的高， ∴.∠CDA=∠BDC=90°， :∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90° ∴.∠ACD=∠B .△ACD∽△CBD, AD CD ·CDBD' .CD2=BD.AD. 10125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：在直角△ACD中，AC=8,AD=6, ∴CD2=AC2-AD2=28, 由(1)知，CD2=BDAD, 28=6BD .BD=14 · 9 证明：：Rt△ABC中，∠ACB=9O°，CD是斜边AB上的中线， :.CD-14B-AD. 2 .LCAD=∠ACD ,AE⊥CD于点H, .∠AHC=90°， .RtAACH中，∠CAH+∠ACD=90°， 又，Rt△ABC中，∠B+∠CMD=90°， .∠CAH=∠B ,∠ACB=∠ACB .△ACE∽△BCA, AC CE BC AC' 、AC2=CEBC. 10. 【答案】(1) 证明：∠ABC=90°，DE⊥AC ∴.∠ADE=∠ABC=90° ∠A=∠A ∴.△ADED△ABC AD AE AB AC AD AB AE AC ∴.△ABD∽△ACE (2) 11/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：△ABD∽△ACE ∴.∠ABD=∠ACE ∴.∠BFC-∠ACE=∠BFC-∠ABD ∴.∠BDC=∠BFC-∠ACE,∠BEC=∠BFC-∠ABD ∴.∠BDC=∠BEC BC=BE,∠CBE=90° ∴.∠BCF=∠BEC,CE2=BC2+BE2=2BC2 .ZBCF=∠BDC,BC2=,CE .∠FBC=∠CBD .△FBC∽△CBD BCBF BD BC ∴.BC2=BFBD 5=r-D 题型三：通过等线段代换证明比例线段 1. 证明：，四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=∠BCD=90°，BC=AD, ,AE⊥BD ∴.∠BDC+∠AED=90°， 又，∠BDC+∠CBD=90° ∴.∠AED=∠CBD. .△ADE△DCB. AD DE ·CDBC' ∴.AD·BC=DE.CD,即AD=DEDC」 2. 【答案】(1) 证明：：BD是正方形ABCD的对角线， ∴.∠CDB=∠ADB=45,DC=DA, 在ACDG和△ADG中， 12/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DC=DA ∠CDG=∠ADG, DG=DG .△CDG≌△ADG(SAS), ..CG=AG: (2) 证明：四边形ABCD是正方形， ∴∠CBE=∠FDC=90°，CB=CD=AB,CB∥DF, ∴.∠BCE=∠DFC, .∴BCEADFC, CB FD BE DC' AB FD 即BEAB' ∴AB2=BE·DF 3. 【答案】(1) 证明：由旋转性质知，AM=AN,∠MAN=90°， ∠BAC=90° .∠BAC=∠MAN=90° ∴.∠BAM=∠CAN, AB=AC, .△ABM≌aACW(SAS). ∴∠B=∠ACN: (2) 证明：由旋转性质知，AM=AW,∠MAW=90°， ∴.∠AWM=45° 在RtABAC中，∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠B=45°， .∠B=∠ANM 由(1)知，∠BAM=∠CAN, ∴.△ABM∽aANP, 13125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB AM ·ANAP' .AM AN, .AM2=AP.AB, ,∠MAN=90°， ∴由勾股定理得，AM2+AW2=MN2, :.MN2 =2AM2, .MN2=2AP.AB. (3)解：在Rt△ABC中AB=AC=3」 ∴∠ACB=∠B=45°，BC=2AB=3V2, ..BM =2CM. .CM=V2,BM=2√2， 由(I)知，△ABM≌△ACN, ∴.CN=BM=2N2,∠ACN=45°， .∠MCN=∠ACB+∠ACN=90°， ∴.MN=VCM2+CW2=V10, 由(2)知，MN2=2AP·AB, 3AP=MW2-105 2AB2×33, .PC=AC-AP=4 3· 4. 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是平行四边形， .ABII CD,AB=CD. ∴.∠A+∠ADC=180° 又，∠BFC+∠DFC=180°，∠A=∠BFC, ∴.∠ADC=∠DFC 又，∠DCF=∠ECD .ADCF∽AECD 14125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DC_CF EC CD ∴.CD2=CECF. .AB2 CE.CF. (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 、.AD BC, EF DF ·ECDB .EC=DB .EF =DF, ∴.∠FED=∠FDE」 ,ADCF∽aECD ∴∠CDF=∠CED. ∴.∠FDE=∠CDF ABII CD ∠ABD=∠CDB, .∠ABD=∠FDE, ∴AB=AD ,四边形ABCD是平行四边形， .四边形ABCD是菱形 5.【答案】证明：，CE=CD, ∴.∠CED=LCDE, ∴.∠AEC=LBDA, 又，∠DAC=∠B, .△AEC∽△BDA: CEAE ·ADBD' 又，CE=CD,BD=CD, ∴.CD2=AD·AE 6.【详解】证明：：CP为∠ACB的角平分线， ∠PCA=∠PCB. 15/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CP的垂直平分线DE交AB的延长线于点E, ..CE=PE, ∴∠ECP=∠EPC. ∠ECP=∠ECB+∠PCB,∠EPC=∠A+∠PCA, ∠ECB=∠A, :∠AEC=∠CEB ∴.△AEC∽ACEB. AE CE CE BE CE=AE·BE ..CE=PE .PE2=AE·BE 7.【答案】(1) 证明：四边形ABCD是正方形 ·.∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC, BF⊥DE, .∠GFD=90°， .∠BCD=∠GFD ∠BGC=∠FGD, .△BGC∽aDGF, ..BG:DG=BC:DF, DG·BC=DFBG, AB=BC. DG·AB=DF·BG: (2)如图， H G D ,aBGC∽△DGF 16/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BG:DG=CG:FG. ..BG:CG=DG:FG. 又，∠BGD=∠CGF, ∴△BGD∽aCGF, ∴.∠BDG=∠CFG, ,四边形ABCD是正方形，BD是对角线， :∠BDG=,∠ADC=45°， ∴.∠CFG=45° 8.【详解】(1)：AB=AC，,AD是边BC上的中线， ∴.AD⊥BC,BD=CD, ∴.∠ACD+∠CAD=90° BE⊥AC, ∴∠EBD∠ACB=90, .∠CAD=∠CBD, '∠BDH=∠CDH=90, ∴.△BDH-△ADC BD DH :.AD CD' ∴.BD2=DH·DA; (2)如图所示，连接CH. D AD⊥BC,BD=CD, .AD垂直平分BC, ∴.BH=CH, ∴.∠HBD=∠HCD '.'AB=AC. ∴.∠ABC=∠ACB, 17/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABH∠ACH. .AB CF, ∴.∠BFC=∠FBA. ∴.∠BFC∠ECH. 在△CFH与△ECH中， ∠BFC=∠ECH,∠CHE=∠CHF, ∴.△CFH-△ECH, ∴.CH:HE=HF:CH 又BH=CH, ..BH2=HE-HF. 题型四：通过等比代换证明线段成比例 1. 证明：如图，过点E作EM /IAB交BC于点M, E M .EM //AB, .△CEM~△CAB,△FEM-△FDB, EM CE EM EF AB=AC DB DF ..AB.CE EM.AC AB EM 即A=E, ..BD=CE EMEM :.CE DB· AB EF ·ACDF’ .AB·DF=AC·EF 2. 【答案】(1) 18125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：四边形BFED是菱形， .EF I AB,DE∥BC, .△AGE∽△AFC, GE AG FC AF 又EFI∥AB DG AG GE GF DG AG DE AF GE DG FC DE (2)GE= 3 【分析】(1)结合菱形性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质即可得证： (2)设菱形BFED的边长为x,则BD=DE=BF=x,AD=3-x,证明△ADE∽aABC,由相似性质求出 AE 1 GE AE x的值，可得AC3,再由△AGB∽△4FC推得FC-AC即可求解. 【详解】(1)略. (2)解：设菱形BFED的边长为x,则BD=DE=BF=x,AD=3-x, ,DE∥BC, .△ADE∽△ABC DE AD AE BC AB AC 3-x 6=3，解得x=2: ∴BD=DE=BF=2, AE 1 :.FC=BC-BF=4 AC=3, 由(1)得△AGE∽△AFC, GE AE 1 FC AC 3' 1 4 ∴.GE=。FC= 3 3 19/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】本题考查的知识点是菱形性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，解题关键 是熟练掌握相似三角形的判定与性质。 3. 【答案】(1) 证明：~四边形ABCD是菱形， ∴.CD=CB,∠ACD=∠ACB, 又CM=CM, ∴.△DCM≌△BCM, ∴.∠CDM=LCBM; (2) 证明：四边形ABCD是菱形， .CD∥AB,DM=BM, ∴.∠CDM=∠BHM, .∴∠BHM=∠CBM, 又：∠BMG=∠HMB, ∴.△BMG AHMB, ∴.BM2=MG.MH, ∴.DM2=MG-MH; (3)该菱形ABCD改变为正方形时， D M G B 由(2)知：DM2=MG·MH, MG=1,GH=2, ∴.DM2=3, .DM=3. 四边形ABCD是正方形， ∴.CD∥AB,∠DAH=90°， ∴.△CDM∽AAHM. 20125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AH MH 3 .DCDM5· 在RaDH中，由勾股定理可得正方ABCD的边长0-3+5 2· 【点睛】本题考查了三角形全等、相似的内容，熟练掌握三角形全等及相似的证明方法是解决此题的关键. 4. 【答案】 证明：，GFBC, DF DG ·FC=BG' ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,ABlCD, DM DG AB BG' DF DM FC CD. 5. 【答案】(1) 证明：平行四边形ABCD中，∠A=∠C,AD=BC, ∠EDB=∠C, ∴.∠A=∠EDB, 又∠E-∠E, △ADE-△DBE: AD AE DB DE' 又，AD=BC, BC AE :DB DE' (2)解：平行四边形ABCD中，DC=AB, 由(1)得△ADE-△DBE, 能 21/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE= DE2(2W10)2 AE =5(cm), AB=AE-BE=8-5=3 (cm) ∴.DC=AB=3(cm). 答：DC的长为3cm. 6. 【答案】(1) 证明：：ABCD是矩形 .ADIl BC,AD=BC, .∠DAG=∠GEB,∠ADG=∠GBE, .:△ADGn△EBG, DG AG BGGE· 又：ACED是平行四边形， ∴.ACIIDE, :.∠FAG=∠GED,∠AFG=∠GDE, △AGF∽aEGD, AG FG GE DG DG FG BG DG' ∴DG2=FG.BG: (2),ACED为平行四边形 :.DH-DC-AR AD-CD AE-24H 5 在直角三角形ADH中， AH=√AD2+DH2 :4E=24H=2x号-13， 又△ADGAEBG, AGAD_1 GE BE 2' 22125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG-2GE, AG=三AE=3x133 3 3 GH=AH-4G=13_13_13 236 题型五：通过等积代换证明线段成比例 1. 【答案】 证明：∠ACB=90°，CF⊥BE, ∴.∠ACB=∠CFB=90°. 又∠CBF=∠CBE, .△CBF∽AEBC」 CB BE :.BFCB,即CB'=BF,BE ,CD⊥AB 同理可得：△BCD∽△BAC, BC BD BA-BC ∴CB2=BD·BA. ∴.BF.BE=BD.BA, FB BD .BA BE. 又∠ABE=∠FBD, .△FBD∽△ABE BD FD ∴.BEAE· 2. 【答案】(1) 如图，：∠ACB=90°，CF⊥AD 六.∠ACD=∠AFC=90°，而∠CAD=∠FAC, .△ACDOAAFC, 23/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC AD AFAC, :.AC2=AF.AD: (2) 如图，设AD与CE的交点为O, CE⊥AB,CF⊥AD, ∴.∠AEC=∠AFC=90°， 又：∠COF=∠AOE :aCOF△AOE」 CO OF CO AO ÷40OE,则OFOE 又，∠AOC=∠EOF, ∴.△AOC∽△E0F :,∠AFE=∠ACE:而LACE+∠CAE=∠CAE+∠B, 、.∠ACE=∠B,∠AFE=∠B: :∠FAE=∠BAD .△AEF∽△ADB, .'.AE:AD=BD EF, ∴AEDB=ADEF 3.【详解】证明：(1).BD⊥AC,DG⊥BC, ∴.∠BDC=∠DGC=90, ∠DBC+LDCG=∠LGDC+LDCG, ∴.∠GDC=∠DBC, ∴.△BDGn△DCG, ∴.BGDG=DG:CG, 即DG2=BG.CG. (2)同(1)中的方法，同理可证：△BGH一△FGC, 24125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BG:GF-GH:CG, ,∴.BGCG=GF.GH. D G 【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键 25/25 专题01 线段成比例的证明方法 题型一 通过平行证明线段成比例 题型二 通过相似直接证明线段成比例 题型三 等量代换证明线段成比例 题型四 等比代换证明线段成比例 题型五 等积代换证明线段成比例 题型一：通过平行证线段成比例 1．如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，直线与边分别交于点D，E，直线与边分别交于点M，N，，下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知，． (1)若，，．求的长； (2)求证：． 4．如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 5．已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 6．已知：如图，在的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点． (1)求证：； (2)是否与平行？若能，此时与有什么关系？ 7．如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 8．问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明． (1)【初步探究】请参照小慧提供的思路：利用图2证明：； (2)【类比研究】类比上面的思路继续研究： 如图3，已知是一个外角的平分线，是否还成立？请说明理由； (3)【应用拓展】直接利用上面的结论解决问题： ①如图4，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长； ②如图5，中，，，为的角平分线，的垂直平分线交延长线于F，当时，求的长． 题型二：通过相似直接证明线段成比例 1．已知，如图，四边形中，，，．求证：． 2．如图，在中，，点分别是边上的点，且．求证：． 3．如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 4．如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 5．如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 6．如图，在和中，，．、、三点共线，求证：． 7．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．如图：中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．如图，已知：中，，是斜边上的中线，过点作于点，交于点．求证：． 10．如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 题型三：通过等线段代换证明比例线段 1．如图所示，在矩形中，为边上一点，且，求证：． 2．如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 3．如图，在中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 4．如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 5. 如图，在中，是的中线，是上一点，且， .求证： ． 6. 如图，为的角平分线，垂直平分，垂足为，交的延长线于点，连接．求证： 7. 如图，四边形为正方形，且是边延长线上一点，过点作于点，交于点，交于点. (１)求证：； (3)连接，求的度数. 8. 已知：如图，在△中，，是边上的中线，于点，与交于点. （1）求证：； （2）过点作交的延长线于点.求证： 题型四：通过等比代换证明线段成比例 1. 如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 2．如图，在中，点，，分别在，，边上，四边形是菱形，与交于点，已知，． (1)求证：； (2)求的长． 3．如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点． (1)求证：； (2)求证：； (3)已知，．求当该菱形改变为正方形，其余条件不变时正方形的边长． 4．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F． 求证：． 5．如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB=∠C． (1)求证：； (2)若DE=cm，AE=8cm，求DC的长． 6．如图，在矩形中对角线相交于点F，延长到点E，使得四边形是一个平行四边形，平行四边形对角线交分别为点G和点H． (1)证明：； (2)若，则线段的长度． 题型五：通过等积代换证明线段成比例 1. 如图，在中，，于D，E为AC上一点，    于F，连接．求证：．      2．如图，已知在中，，点D在边上，，，E，F分别是垂足． (1)求证：； (2)连接，求证：． 3. 如图，BD，CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F，H，求证： (1)DG2＝BG·CG； (2)BG·CG＝GF·GH. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 线段成比例的证明方法 题型一 通过平行证明线段成比例 题型二 通过相似直接证明线段成比例 题型三 等量代换证明线段成比例 题型四 等比代换证明线段成比例 题型五 等积代换证明线段成比例 题型一：通过平行证线段成比例 1．如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行可判定，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．如图，已知，直线与边分别交于点D，E，直线与边分别交于点M，N，，下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形相似的判定与性质，平行线分线段成比例定理逐一判断即可，注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，注意对应线段的位置关系，避免交叉比例错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A选项不正确，不符合题意； ∵， ∴， ， ，即， ∵， ， ，B选项正确，符合题意； ∵， ∴， ， ∵， ∴仅当时，成立，故C选项不一定正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵不一定成立， ∴不一定成立，故D选项不一定正确，不符合题意． 3．如图，已知，． (1)若，，．求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可； （2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）略 4．如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 【答案】(1)证明：，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ． ∵，， ， ， ， ∵在正方形中，， ， ∴四边形为正方形； (2) 【分析】（1）先证得四边形为矩形．根据正方形的性质得到，，得到，，由此证得PN=MN，即可得到结论； （2）作于点D，交于点E，根据的面积求出，，，设，则，，由证得，即可求出. 【详解】（1）略 （2）解：作于点D，交于点E， ，， ， ∵， ， ， ， ，                 设，则，， ， ， ，即，                                         解得， 即的长为． 5．已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 【答案】 解：如图，过点作，交于点． 是边上的中线， ， ， ， ． ， ，即， ． 【分析】过点作，交于点，先根据中线的定义得到， 再根据平行线分线段成比例得到，然后再次根据平行线分线段成比例求证即可． 【详解】略 6．已知：如图，在的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点． (1)求证：； (2)是否与平行？若能，此时与有什么关系？ 【答案】(1) 证明：， ． ， ． ； (2)能平行， 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是根据问题选择合适的比例式． （1）由和分别写出对应的比例式，即可求解问题； （2）假设，则，再根据和求得比例式，三个比例式综合考虑即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：能平行． 若，则． ， ． ， ． ，即， 所以． 7．如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于，过点作交于， ，， ，， 又，， ，， ，， ，， ． 【分析】（1）过点作交于，结合平行线分线段成比例解得，，进而求解； （2）过点作交于，过点作交于，由平行线分线段成比例解得，，，，进而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于， ， ， ， 点为中点， ， 点是中点， ，且， ， ， 点是中点， ． （2）略 8．问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明． (1)【初步探究】请参照小慧提供的思路：利用图2证明：； (2)【类比研究】类比上面的思路继续研究： 如图3，已知是一个外角的平分线，是否还成立？请说明理由； (3)【应用拓展】直接利用上面的结论解决问题： ①如图4，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长； ②如图5，中，，，为的角平分线，的垂直平分线交延长线于F，当时，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ． (2) 解：成立；理由如下： 过点C作，交于点E， ， ，， ∵是的角平分线， ， ， ； ， ， ； (3)①；②6 【分析】（1）根据平行线的性质易证，根据相似三角形的性质及角平分线的概念可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证； （2）过点C作，交于点E，证明由平行线的性质得到，，再由得出，因此．根据平行线分线段成比例得到，即可证得（1）的结论成立； （3）①由折叠的性质得出，，由（1）知，，由勾股定理求出的值即可得出答案； ②根据可得，从而求得，再根据垂直平分线、三角形外角以及等量代换可知，然后可得出，最后根据相似三角形的性质及线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处， ，， 由（1）知，， ， ， ． ， ， ， ， ， ． ②∵为的角平分线， ∴，， ∵ ，，， ， ， ∵的垂直平分线交延长线于F， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ． 题型二：通过相似直接证明线段成比例 1．已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 2．如图，在中，，点分别是边上的点，且．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，证明即可求证，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 3．如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∴ ∴ (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似； （1）由和公共角相等可得出，进而得出即； （2）由得出和公共角相等可得出，进而得出. 【详解】（1）略 （2），理由如下： 由（1）得 ∴ 即 又∵ ∴ ∴. 故答案为：. 4．如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； (2) 证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 6．如图，在和中，，．、、三点共线，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【分析】证明，即可得出结论． 【详解】略 7．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵E为边上一点，与相交于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)3 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，因为，所以，而，则，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）由且、，求得，则． 【详解】（1）略 （2）解：∵且、， ∴， ∴． 8．如图：中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：是斜边上的高， ， ∵，． ∴． ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，即可求证； （2）根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在直角中，，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 9．如图，已知：中，，是斜边上的中线，过点作于点，交于点．求证：． 【答案】 证明：∵中，，是斜边上的中线， ∴， ∴． ∵于点， ∴， ∴中，， 又∵中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，进而可得，再利余角的性质得，可证，得，即可证明结论，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决问题的关键． 【详解】略 10．如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明： (2) 证明： ， ， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识： （1）由，证明， 得，所以，则； （2）由相似三角形的性质得，推导出，由， ，得，则 ， ，而，所以，则，所以，则 【详解】（1）略 （2）略 题型三：通过等线段代换证明比例线段 1．如图所示，在矩形中，为边上一点，且，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，先由矩形的性质得到，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式证明即可． 【详解】略 2．如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：是正方形的对角线， ，， 在和中， ， ， ； (2) 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 即， 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的和差关系． （1）根据正方形的性质得到，，从而利用全等三角形的判定定理推出，进而利用全等三角形的性质进行证明即可； （2）根据正方形的性质得到，推出，可利用相似三角形的判定定理即可得到；再根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 3．如图，在中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：由旋转性质知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：由旋转性质知，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴； (3)． 【分析】（）先判断出，进而得出，进而判断出，即可得出结论； （）由，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论； （）先求出，，进而得出，，进而求出，最后根据（）的结论，即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在中， ∴， ， ∵， ∴，， 由（）知，， ∴，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴ ∴ ∴ (2)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，推出，相似三角形的性质，推出，进而得到，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 5. 如图，在中，是的中线，是上一点，且， .求证： ． 【答案】证明：∵CE=CD  ， ∴∠CED=∠CDE ， ∴∠AEC=∠BDA， 又 ∵∠DAC=∠B  ， ∴∽； ∴， 又∵CE=CD，BD=CD， ∴ ． 6. 如图，为的角平分线，垂直平分，垂足为，交的延长线于点，连接．求证： 【详解】证明：为的角平分线， ， 的垂直平分线交的延长线于点， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ ∵CE=PE ∴ 7. 如图，四边形为正方形，且是边延长线上一点，过点作于点，交于点，交于点. (１)求证：； (3)连接，求的度数. 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)如图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴． 8. 已知：如图，在△中，，是边上的中线，于点，与交于点. （1）求证：； （2）过点作交的延长线于点.求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由三线合一可证BD=CD，然后通过证明△BDH∽△ADC，即可证明结论成立； （2）连接CH，由等腰三角形的性质可证∠ABH=∠ACH.根据平行线的性质定理得到∠BFC=∠FBA，从而∠BFC=∠ECH；然后可证△CFH∽△ECH，并根据相似三角形的性质定理与等量代换得到结论. 【详解】（1）∵，是边上的中线， ∴AD⊥BC，BD=CD, ∴∠ACD+∠CAD=90°. ∵, ∴∠EBD+∠ACB=90°, ∴∠CAD=∠CBD, ∵∠BDH=∠CDH=90°, ∴△BDH∽△ADC, ∴, ∴; （2）如图所示，连接CH. ∵AD⊥BC，BD=CD, ∴AD垂直平分BC， ∴BH=CH, ∴∠HBD=∠HCD, ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB, ∴∠ABH=∠ACH. ∵AB∥CF， ∴∠BFC=∠FBA. ∴∠BFC=∠ECH. 在△CFH与△ECH中， ∵∠BFC=∠ECH，∠CHE=∠CHF， ∴△CFH∽△ECH， ∴CH:HE=HF:CH. 又∵BH=CH， ∴BH2=HE·HF. 题型四：通过等比代换证明线段成比例 1. 如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】 证明：如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 2．如图，在中，点，，分别在，，边上，四边形是菱形，与交于点，已知，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， ， ， ； (2)． 【分析】（1）结合菱形性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质即可得证； （2）设菱形的边长为，则，，证明，由相似性质求出的值，可得，再由推得即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：设菱形的边长为，则，， ， ， ， ，解得， ， ，， 由（1）得， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是菱形性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 3．如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点． (1)求证：； (2)求证：； (3)已知，．求当该菱形改变为正方形，其余条件不变时正方形的边长． 【答案】(1) 证明：四边形是菱形， ，， 又， ， ； (2) 证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， ， ， ； (3) 【分析】（1）只需证明即可得到． （2）想证明，通过观察为比例中项，只需证明，即可到得答案． （3）根据学过的知识，出现比例中项的只有在三角形相似这个章节，所以只要证明即可到得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）该菱形改变为正方形时， 由（2）知：， ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在中，由勾股定理可得正方的边长． 【点睛】本题考查了三角形全等、相似的内容，熟练掌握三角形全等及相似的证明方法是解决此题的关键． 4．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F． 求证：． 【答案】 证明：∵GF∥BC， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴， ∴． 【分析】由GF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AB∥CD，继而可证得，则可证得结论． 【详解】略 点评：此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 5．如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB=∠C． (1)求证：； (2)若DE=cm，AE=8cm，求DC的长． 【答案】(1) 证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD=BC， ∵∠EDB＝∠C， ∴∠A＝∠EDB， 又∠E＝∠E， ∴△ADE∽△DBE； ∴， 又∵AD=BC， ∴． (2)3cm 【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，即可求得∠A＝∠EDB，又由公共角∠E＝∠E，可得△ADE∽△DBE；根据对应边成比例，再由平行四边形对边相等，等量代换即可证明结论． （2）根据相似三角形的对应边成比例，易得=，求出BE，即可求得DC的值； 【详解】（1）略 （2）解：平行四边形ABCD中，DC＝AB， 由（1）得△ADE∽△DBE， ∴=， ==5（cm）， AB＝AE﹣BE＝8﹣5＝3（cm）， ∴DC＝AB＝3（cm）． 答：DC的长为3cm． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，解题的关键是数形结合思想的应用，掌握相似三角形的判定与性质． 6．如图，在矩形中对角线相交于点F，延长到点E，使得四边形是一个平行四边形，平行四边形对角线交分别为点G和点H． (1)证明：； (2)若，则线段的长度． 【答案】(1) 证明: ∵是矩形 ∴， ∴，， ， ， 又∵是平行四边形， ∴， ∴，， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）由已知可证得 根据相似三角形的对应边成比例即可得到； （2）由已知可得到的长, 又因为 ，从而求得的长，则根据就得到了线段的长度. 【详解】（1）略 （2）∵为平行四边形, ，，， 在直角三角形中， ， ∴， 又 ， ， ， . 【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定，平行四边形的性质及矩形的性质,掌握相似三角形的判定是解题的关键. 题型五：通过等积代换证明线段成比例 1. 如图，在中，，于D，E为AC上一点，    于F，连接．求证：．      【答案】 证明：，， ． 又， ． ，即． ∵， 同理可得：， ∴， ∴． ，   ． 又， ．   ． 2．如图，已知在中，，点D在边上，，，E，F分别是垂足． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1) 如图，∵，， ∴，而， ∴， ∴， ∴； (2) 如图，设与的交点为， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 又∵， ∴， ∴；而， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题． （1）证明，得到，即可解决问题； （2）如图，设与的交点为，先证明，得，则，进而可证明，得到，这是解决该问题的关键性结论；证明，结合，得到，列出比例式即可解决问题． 解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答． 【详解】（1）略 （2）略 3. 如图，BD，CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F，H，求证： (1)DG2＝BG·CG； (2)BG·CG＝GF·GH. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据题意结合图形，证明列出比例式，化为等积式即可解决问题． （2）方法同（1）中的解法，证明△BGH∽△FGC，列出比例式，化为等积式即可解决问题． 详解： 【详解】证明：(1)∵BD⊥AC，DG⊥BC， ∴ ∠DBC+∠DCG=∠GDC+∠DCG， ∴∠GDC=∠DBC， ∴ ∴BG:DG=DG:CG， 即 (2)同(1)中的方法,同理可证：△BGH∽△FGC， ∴BG:GF=GH:CG， ∴BG⋅CG=GF⋅GH. 【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $