第28章 相似三角形（高效培优单元自测.强化卷）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学相似三角形单元强化卷，覆盖相似判定、比例线段、位似变换等核心知识，通过基础巩固与综合探究题，适配单元复习，提升数学眼光与推理思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/24|相似判定、比例性质|结合梯形、正方形情境，考查几何直观| |填空题|11/44|黄金分割、重心、位似|引入“相似线”概念，体现创新意识| |解答题|7/82|相似证明、动态探究、函数综合|含镜面测高（数学眼光）、抛物线与相似综合（模型意识），梯度分明|

第二十八章 相似三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列命题中，真命题是（   ） A．一个角相等，两边成比例的两个三角形相似 B．周长相等的两个矩形对角线相等 C．相似多边形都是位似多边形 D．一元二次方程的常数项为 2．如图，，，则下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是(    ) A． B． C． D． 4．如图，梯形中，，，交于，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图, 点 是线段 的中点, , 下列结论中, 说法错误的是（   ）    A． 与 相似 B． 与 相似 C． D． 6．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤．其中正确结论的是（   ） A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤ 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7．已知 , 那么 的值为______． 8．已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 9．如图，，若，，则________．    10．如图，中，点、、分别在边、、上，且，，若，的面积为，则四边形的面积为_____________． 11．如图，为了测量一栋楼的高度，曲杰同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如图曲杰的身高为1.65米，他估计自己眼睛距离地面的距离为1.6米，同时测得米，米，则楼高为_______米． ________时，． 12．如图，，，，当 13．中，点、在、上，，，若，则________． 14．点是的重心，过点作边的平行线与边交于点，与边交于点，则______． 15．P是一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的的“相似线”．中，， 当点P为的中点时，过点P的的“相似线”最多几条？_____． 16．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． 17．在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为______（结果保留根号） 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，第21-22每题12分，第23-24题每题14分，共82分。） 18．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 19．在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 20．在梯形中，，、在、上，且． (1)求证：． (2)若，，，求的值． 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， （1）以原点O为位似中心， 在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的，请写出点A的对应点的坐标； （2）画出将向左平移2个单位， 再向上平移1个单位后得到的，写出点B的对应点的坐标； （3）请在图中标出与的位似中心M， 并写出点M的坐标． 22．已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点O，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连结交于点F，如果，求证：． 23．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过线段上的一个点作轴的垂线，交线段于点，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)问点在什么位置时能成为等腰三角形？ (3)若连接，，则当___________时，与相似．（直接写出结果即可，不用写出解答过程） 24．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点(与点A、D不重合)，∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G、交CD于点M． （1）如图1，联结BD，求证：，并写出的值； （2）联结EG，如图2，若设，求y关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当M为边DC的三等分点时，求的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第二十八章相似三角形（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：100分钟试卷满分：150分) 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 0 0 U C 0 D 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 8.3 9.6 10.4 11.22 15 13.4 15.3条 16.D(4,1)」 17.3+5,N5+3 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，第21-22每题12分，第23-24题每题14分，共82 分。) 18.(本题共题10分) 【详解】(1)解：设a=3k,b=4k,c=5k a+b_3k+4k_7k=7 则：b 4k4k4 (2)解：，a+b+c=60, .3k+4k+5k=60. 答案第1页（共2页） k=5 ∴.a=15,b=20,c=25 19.(本题共题10分) 【答案】() 证明：：AD是斜边BC上的高， .∠BDA=90°， ,∠BAC=90°， .∠BDA=∠BAC. ,∠B=∠B, ∴.△ABD∽△CBA; (2)解：：△ABD∽△CBA, BD AB AB BC AB=3,BC=5, BD 3 .35 9 BD=5. 20.(本题共题10分) 【答案】(1) 证明：如图所示，连接AF并延长与BC的延长线交于点G, A D ADI/BC △ADFAGCF, DF AF FC FG AE DF EB FC AEAF EBFG 答案第2页（共2页） AE AF ABAG· :∠EAF=∠BAG, .△AEFP△ABG, ∠AEF=∠ABG, ∴.EF BC 第 DF 2 AE 2 FC 3 AB 5 :△AEF△ABG. EF AE 2 6_2 BG AB =5,即BG5, .BG=15, .△ADF∽AGCF AD DF 2 42 CG=FC=3,即CG3: ∴CG=6. ∴.BC=BG-CG=15-6=9 21.(本题共题12分) 【详解】(1)如图所示：△OA1B1即为所求，A1(4,2); (2)如图所示：△O2A2B2即为所求，B2(-1,-1)； (3)位似中心M如图所示，M(-4,2). M:5-- B2 B 答案第3页（共2页） 22.（本题共题12分) 【答案】() 证明：：DE⊥BC, ∴.∠BED=90° .BO.BD=BC.BE. BO BC ·BEBD' :∠DBE=∠CBO, ∴.△BEDABOC, ,∠BED=∠BOC=90° .AC⊥BD ,四边形ABCD是平行四边形， ∴，四边形ABCD是菱形： (2)证明：如图，过点A作AH⊥BC于点H, 四边形ABCD是菱形， D .AC平分∠BCD,ADI BC. ∴∠ACH=∠ACF :AH⊥BC,AE⊥CD .∠AHC=∠AFC=90°， ..AC=AC, ,△ACH≌△ACF(AAS) ∴.CF=CH, AD‖BC,AH⊥BC, ,AH⊥AD, ,DE⊥BE, ∴.∠AHE=∠DEH=∠HAD=90°， ∴.四边形AHED是矩形， 答案第4页（共2页） ∴AH=DE, :∠AHC=∠BOC=90°，∠BCO=∠ACH, .△BOC∽aAHC, OC BO :.CH AH' CO CH CF ·BO AH DE· 23.(本题共题14分) 9-3b+c=0 【详解】(1)解：把点A、B的坐标代入y=x2+bx+c中，得1+b+c=0, [b=2 解得c=-3, 六此抛物线的解折式为’=？+2x-3。 (2②)解对下'=+2-3取=0，得=3， 点C的坐标为0，-3) 设直线4C的解析式 y=ac+a(k≠0) 「-3k+a=0 则a=-3 k=-1 解得a=-3, 直线1C 的解析式为 =-x-3 设点D的坐标为m,0) ,其中-3≤m≤0 (m,-m-3) 由题意得点 ∴DE=m-3=|m+3 答案第5页（共2页） AD=-3-m=m+3 又 AD⊥DE, :.AE2 AD2+DE2=2(m+3) 同理，0B=m+(m+3,402=9 当4E=A0时，2(m+3)°=9 6±3V2 m=- 解得 2, 经检验，含去m-6+3V2 去2，只取m=一2. 当E=0E时，2(m+3=m2+(m+3} 3 解得m=一之，符合题意 当40=0E时，m+(m+3}=9 解得m=0或-3，经检验，舍去m=-3,只取m=0: 综上所述，当点D坐标为 2,00)皮00时，A是等服三角形 6-3W2。 (3)解：“点B0),点C的坐标为0，-3) ∴.OB=1,OC=3 若△BOC与△ADF相似， OB OC 可得ADBF, OB AD 1 OCBF3· 设DmW+2m-3) 答案第6页（共2页） AD=n-(-3)=n+3、DF=-(n+2n-3 n+3 1 -(n2+2n-33, n=-2或-3（舍去）， .n=-2时，AD=1. 24.(本题共题14分) 【详解】(I)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.∠DB=∠GCB=45°，∠ABD=∠CBD=45°，又∠BM=45°， ∴.∠GBC+∠DBM=45°，∠EBD+∠DBM=45°， ∴.∠GBC=∠EBD,又∠EDB=∠GCB=45°， '.△DEB-△CGB ..DE:CG=BD:BC=2: (2)如图2，作EH⊥AC于H, 图2 则AH-EH-片 △DEB-△CGB, CG_BC .DE BD 2, 答案第7页（共2页） ② .CG=2(6x), ,∴.HG=AC-AH-CG=3V2, '.EG2-EH+HG2, .·/2x2±+72(0<x<6) 1 (3)当CM=3CD=2时， ,四边形ABCD是正方形， ∴.CDAB, CM CG 1 ·ABAG3, c0-2 .DE=3,则AE=3, AH=EI多2 ,AD∥BC, AE AF1 BC CF 2' ..AF=2v2, GF-AC-AF-CG->V2 15 SA0=)×FGxEH=-4, 2 当CM=3CD=4时， CM CG 2 AB AG 3 c0号5， 24 6 DE=5,则AE=5, 答案第8页（共2页） 3V2 AH-EH-5, AE AF 1 BCCF-3 AF=√2， 13V2 ..GF=AC-AF-CG=5, 39 SA0=2×FG×EH=25: 1539 综上，S△EGF=4或25 答案第9页（共2页） 第二十八章 相似三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列命题中，真命题是（   ） A．一个角相等，两边成比例的两个三角形相似 B．周长相等的两个矩形对角线相等 C．相似多边形都是位似多边形 D．一元二次方程的常数项为 【答案】D 【分析】利用相似三角形的判定、矩形的性质、相似图形的定义、一元二次方程的定义分别判断后即可得解． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似三角形的判定、矩形的性质、相似图形的定义、一元二次方程的定义等知识，难度不大． 【详解】解：A. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B. 周长相等的两个矩形的对角线不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C. 相似多边形不一定是位似多边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D. 将一元二次方程化为标准形式为，它的常数项为，因此一元二次方程的常数项为，故原命题正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 2．如图，，，则下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【详解】 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 3．已知是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵是线段的黄金分割点，且， ∴， A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，解决本题的关键是掌握黄金分割定义把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点)． 4．如图，梯形中，，，交于，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式，关键在于求出，推出相似比逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，， 正确选项为C， 故答案为：C 5．如图, 点 是线段 的中点, , 下列结论中, 说法错误的是（   ）    A． 与 相似 B． 与 相似 C． D． 【答案】D 【分析】根据外角的性质可得，结合已知条件即可证明，从而判断A，进而可得，根据是中点，代换，进而根据两边成比例夹角相等可证，进而判断B，C，对于D选项，利用反证法证明即可． 【详解】解：， 又 故A选项正确 为的中点 又 故B、C选项正确 若 则 根据现有条件无法判断，故 故D选项不正确 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 6．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤．其中正确结论的是（   ） A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确． 【详解】在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°， ∵E、F分别为边AB，BC的中点， ∴AE=BF=BC， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（SAS）， ∴∠BAF=∠ADE， ∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°， ∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°， ∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF）=180°-90°=90°， ∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正确； ∵DE是△ABD的中线， ∴∠ADE≠∠EDB， ∴∠BAF≠∠EDB，故②错误； ∵∠BAD=90°，AM⊥DE， ∴△AED∽△MAD∽△MEA， ∴ ∴AM=2EM，MD=2AM， ∴MD=2AM=4EM，故④正确； 设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a， 在Rt△ABF中，AF= ∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°， ∴△AME∽△ABF， ∴ ， 即， 解得AM= ∴MF=AF-AM=， ∴AM=MF，故⑤正确； 如图，过点M作MN⊥AB于N， 则 即 解得MN=，AN=， ∴NB=AB-AN=2a-=， 根据勾股定理，BM= 过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K， 则OK=a-=，MK=-a=， 在Rt△MKO中，MO= 根据正方形的性质，BO=2a×， ∵BM2+MO2= ∴BM2+MO2=BO2， ∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个． 故选D 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键． 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7．已知 , 那么 的值为______． 【答案】 【分析】根据比例的性质求得，代入代数式求值即可 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 8．已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 【答案】3 【分析】根据比例中项的定义，若是，的比例中项，即．即可求解．本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 【详解】解：若是、的比例中项， 即． ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 9．如图，，若，，则________．    【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得，从而可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 10．如图，中，点、、分别在边、、上，且，，若，的面积为，则四边形的面积为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的面积比与相似比的关系解答有关三角形的面积问题．由，， 得到， ，从而得到，，根据，得到，，从而求出和的面积，最后根据求解即可． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ，， ， ，， ，， ． 故答案为： ． 11．如图，为了测量一栋楼的高度，曲杰同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如图曲杰的身高为1.65米，他估计自己眼睛距离地面的距离为1.6米，同时测得米，米，则楼高为_______米． 【答案】22 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．根据镜面反射的性质，，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：根据题意， ∵，（反射角等于入射角）， ∴， ∴，即， ∴． 所以这栋大楼高为22米． 故答案为：22． 12．如图，，，，当________时，． 【答案】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．中，点、在、上，，，若，则________． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质定理得到答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 14．点是的重心，过点作边的平行线与边交于点，与边交于点，则______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用相关知识是解题的关键．连接交于点，连结交于点，连结，由点是的重心，可得，，易证，可得，再由可得和，由相似三角形的性质及是的中点进而得到，从而得解． 【详解】解：如图，连接交于点，连结交于点，连结， 点是的重心， 点和点分别是和的中点， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ， 是的中点， ， ， ， 故答案为：． 15．P是一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的的“相似线”．中，， 当点P为的中点时，过点P的的“相似线”最多几条？_____． 【答案】3条 【分析】根据三角形相似的判定，结合定义解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：过点P作交于点E，则，符合题意； 过点P作交于点F，则，符合题意； 过点P作于点G，，，则，符合题意； 共有3条， 故答案为：3条． ． 16．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． 【详解】解： 以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段 ∴点与点是对应点，且位似比为 ∴点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的 ∵ ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴． 17．在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为______（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系． 利用黄金分割比为可得，即可求解． 【详解】解：、两点都是线段的黄金分割点，， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，第21-22每题12分，第23-24题每题14分，共82分。） 18．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设代入计算即可； （2）由（1）中的结论构建方程求出k即可． 【详解】（1）解：设 则： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出进而得出k的值是解题关键． 19．在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证明，结合即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20．在梯形中，，、在、上，且． (1)求证：． (2)若，，，求的值． 【答案】(1) 证明：如图所示，连接并延长与的延长线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，等比的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握相关知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接并延长与的延长线交于点，根据，得到，从而得到，结合已知，得到，再结合公共角相等且为夹角，从而证明，得到，根据同位角相等，两直线平行，从而得证结论； （2）由，得到，，由，可求解出的长，由，可求解出的长，最后根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ， ，即， ， ， ，即， ， ． 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， （1）以原点O为位似中心， 在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的，请写出点A的对应点的坐标； （2）画出将向左平移2个单位， 再向上平移1个单位后得到的，写出点B的对应点的坐标； （3）请在图中标出与的位似中心M， 并写出点M的坐标． 【详解】（1）如图所示：△OA1B1即为所求，A1（4，2）； （2）如图所示：△O2A2B2即为所求，B2（-1，-1）； （3）位似中心M如图所示，M（﹣4，2）． 22．已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点O，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连结交于点F，如果，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； (2)证明：如图，过点A作于点H， ∵四边形是菱形， ∴平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，推出可得结论； （2）证明，推出，证明四边形是矩形，推出，证明，推出可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，矩形及菱形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形及菱形的性质与判定是解题的关键． 23．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过线段上的一个点作轴的垂线，交线段于点，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)问点在什么位置时能成为等腰三角形？ (3)若连接，，则当___________时，与相似．（直接写出结果即可，不用写出解答过程） 【答案】(1) (2)当点坐标为或或时，是等腰三角形 (3) 【分析】（1）用待定系数法将点的坐标代入中即可求解； （2）设直线的解析式为，得直线的解析式为，设点的坐标为，其中，由题意得点，进而可得，，由，得；同理可得，；分三种情况：当时；当时；当时分别列方程求解即可求是等腰三角形时D的坐标； （3）若与相似，可得，设， 得 ，’ 解方程即可求得． 【详解】（1）解：把点的坐标代入中，得， 解得， 此抛物线的解析式为； （2）解：对于，取，得， 点的坐标为； 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为，其中， 由题意得点， ， 又， ， ； 同理，，； 当时，， 解得， 经检验，舍去，只取； 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得或，经检验，舍去，只取； 综上所述，当点坐标为或或时，是等腰三角形． （3）解：点，点的坐标为， ， 若与相似， 可得， ， 设， ， ， ， 或（舍去）， 时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，相似三角形的性质等，解题关键是在求等腰三角形的存在性质时注意分类讨论思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 24．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点(与点A、D不重合)，∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G、交CD于点M． （1）如图1，联结BD，求证：，并写出的值； （2）联结EG，如图2，若设，求y关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当M为边DC的三等分点时，求的面积． 【答案】；；或 【分析】（1）根据正方形的性质得到∠EDB＝∠GCB＝45°，∠ABD＝∠CBD＝45°，根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）作EH⊥AC于H，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理和相似三角形的性质得到y关于x的函数解析式； （3）分CM＝CD和CM＝CD两种情况，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EDB＝∠GCB＝45°，∠ABD＝∠CBD＝45°，又∠EBM＝45°， ∴∠GBC＋∠DBM＝45°，∠EBD＋∠DBM＝45°， ∴∠GBC＝∠EBD，又∠EDB＝∠GCB＝45°， ∴△DEB∽△CGB， ∴DE：CG＝BD：BC＝； （2）如图2，作EH⊥AC于H， 则AH＝EH＝x， ∵△DEB∽△CGB， ∴， ∴CG＝（6−x）， ∴HG＝AC−AH−CG＝3， ∵EG2＝EH2＋HG2， ∴； （3）当CM＝CD＝2时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB， ∴， ∴CG＝， ∴DE＝3，则AE＝3， ∴AH＝EH＝， ∵AD∥BC， ∴， ∴AF＝2， ∴GF＝AC−AF−CG＝， ∴S△EGF＝×FG×EH＝， 当CM＝CD＝4时， ， ∴CG＝， ∴DE＝，则AE＝， AH＝EH＝， ∵， ∴AF＝， ∴GF＝AC−AF−CG＝， ∴S△EGF＝×FG×EH＝． 综上,S△EGF=或 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质的应用、正方形的性质的应用，正确作出辅助线、灵活运用相关的定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $