专题02 二次函数的最值求法（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数最值四大题型，从图像顶点到几何综合，构建递进式训练体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像顶点求最值|11题|直接运用顶点坐标公式，结合图像性质判断最值|从二次函数基本形式出发，强化顶点与最值的对应关系| |区间内最值|7题|含参数区间讨论，结合对称轴位置分析增减性|在基础最值上增加限制条件，培养分类讨论的推理意识| |实际问题最值|9题|利润、面积等应用场景，建立函数模型求解|体现数学建模过程，发展用数学语言表达现实问题的能力| |函数几何综合|6题|与三角形、四边形结合，动态问题中构建函数关系|综合运用几何性质与函数知识，提升空间观念与创新意识|

专题02 二次函数的最值求法 题型一 利用图像顶点坐标求函数的最值 题型二 求区间内的函数最值 题型三 求实际问题中的函数最值 题型四 求函数、几何综合问题中的函数最值 题型一：利用图像顶点坐标求函数的最值 1．二次函数的最小值为（    ） A．2 B．0 C． D．−9 2．二次函数的最小值是0，那么的值等于（    ） A．2 B．4 C． D．8 3．二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 4．已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y取最大值2 D．抛物线与y轴交点是 5．对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点 6．如图，已知抛物线的部分图像如图所示，则下列结论：①，，；②关于x的一元二次方程的根是和3；③y的最大值；④．其中正确的有（   ） A． B． C． D． 7．如图是抛物线的图象，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．当时，函数的最大值为4 8．二次函数的最大值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 9．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与x轴、y轴分别交于、，二次函数（m，n是常数）的图像的顶点P在线段上，则n的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值6 D．最小值6 11．对二次函数及其图像的描述正确的是（   ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．最小值为 D．当时，y随x的增大而增大 题型二：函数区间内的最值 12．已知关于的二次函数解析式，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能，那么一周可获得最大利润是（    ） A．20 B．1508 C．1550 D．1558 14．已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（    ） A． B．1 C．−1 D． 15．已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（　　） A．5或1 B．5或 C．或1 D．或 16．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 18．已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 题型三：实际问题中的最值 19．喷泉水流从垂直于水池底面的水管喷出，米．水流在各个方向上沿抛物线路径落入水池内．水流的落点到的水平距离为米．水流喷出的高度（米）与水平距离（米）满足关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 20．中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 21．若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 22．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 23．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ） A．1米 B．3米 C．5米 D．6米 24．学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形花圃面积为平方米． (1)求与的函数关系式，写出函数的定义域； (2)围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时的值与面积的最大值． 25．某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 26．每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血压血糖测试仪计划在该月销售．根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若每降价1元，每天可多售出4台．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不得低于120元．设每台降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 27．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3) 若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 题型四：函数、几何综合问题中的函数最值 28．如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C移动，点Q在边上，从点C向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 29．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______．    30．如图1，在中，，E，F分别是边上的动点，且，D是的中点，连接，设，的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则m的值为（   ） A． B． C． D．3 31．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最大值及最大时点的坐标； 32．已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； 33．如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 34．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是线段上方的抛物线上一动点，过点P作 ，交于Q，请问线段是否存在最大值?若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转 后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在 范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的最值求法 题型一 利用图像顶点坐标求函数的最值 题型二 区间内的函数最值 题型三 求实际问题中的函数最值 题型四 函数、几何综合问题中的函数最值 题型一：利用图像顶点坐标求函数的最值 1．二次函数的最小值为（    ） A．2 B．0 C． D．−9 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握配方法将二次函数转化为顶点式是解题的关键． 将二次函数的一般式通过配方转化为顶点式，利用二次函数开口向上时顶点纵坐标为最小值的性质求解． 【详解】解： ∵二次项系数，抛物线开口向上， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， 故选D． 2．二次函数的最小值是0，那么的值等于（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数的最值．根据二次函数的顶点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的最小值是0， ∴，解得：． 故选：B． 3．二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，本题考查了将二次函数写成顶点式，即可得出答案． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值是， 故选：A． 4．已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y取最大值2 D．抛物线与y轴交点是 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、最值以及与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数（）的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的解析式，依次分析抛物线的开口方向、对称轴、最值以及与y轴的交点，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：已知抛物线解析式为，其中，，． 选项A： ∵， ∴抛物线开口向下，故A项正确，不符合题意． 选项B： ∵对称轴公式为， ∴，故B项错误，符合题意． 选项C： ∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处， 将代入解析式得， ∴当时，取最大值2，故C项正确，不符合题意． 选项D： ∵当时，， ∴抛物线与y轴交点是，故D项正确，不符合题意． 故选：B． 5．对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；把二次函数化为顶点式，根据顶点式即可对各选项进行判断． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误 当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 6．如图，已知抛物线的部分图像如图所示，则下列结论：①，，；②关于x的一元二次方程的根是和3；③y的最大值；④．其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线开口方向、对称轴以及图像与轴交点位置可以判定①；根据抛物线的对称性可以得知与轴的另一个交点坐标，于是可以判定②；利用的函数值与对称轴可以判定③④，于是可以得出答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵抛物线与轴交点在轴上方， 则， 故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴一个交点为， ∴抛物线与x轴另一个交点为， 则关于x的一元二次方程的根是和3， 故②正确； 当时，， ， ， ， ∴， ， 故④错误； 当时，函数有最大值， 故③正确； 故正确． 7．如图是抛物线的图象，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．当时，函数的最大值为4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式．利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用二次函数的最值及开口方向，即可判定选项D． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； 设二次函数的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，故选项B错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； ∵二次函数的顶点坐标为，开口向下， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值是4， 即当时，函数的最大值为4，故选项D正确， 故选：D． 8．二次函数的最大值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据题意可知二次函数开口向下，最大值在顶点处取得． 【详解】解：∵ ∴顶点横坐标 代入得 ∴最大值为 1． 故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与x轴、y轴分别交于、，二次函数（m，n是常数）的图像的顶点P在线段上，则n的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数和一次函数，熟知二次函数的性质是解题的关键． 得到顶点的坐标，再表示出直线的解析式，将点的坐标代入，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：， 顶点为， 设直线的解析式为， 把、代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 二次函数的顶点P在线段上， ，且， ， 在时，取最小值为， 故选：B． 10．在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值6 D．最小值6 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得到且，进而求得m值和函数关系式，再求得最小值即可． 【详解】解：由题意，二次函数的图象开口向上，有最小值， ∵图象经过点，其对称轴在轴右侧， ∴， ∴且， ∴或（舍去）， ∴， ∴该二次函数有最小值0， 故选：B． 11．对二次函数及其图像的描述正确的是（   ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．最小值为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，先将一般式配成顶点式，再结合二次函数的开口方向、顶点坐标、最值及增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：对于二次函数， ∵， ∴其函数图像开口向上，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴顶点坐标为，故B选项错误，不符合题意； ∵该函数图像开口向上， ∴函数有最小值，故C选项错误，不符合题意； ∵对称轴为直线，开口向上， ∴当时，随的增大而增大， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 题型二：函数区间内的最值 12．已知关于的二次函数解析式，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．先将二次函数解析式配方，确定抛物线的开口方向与顶点坐标，再结合给定的x的取值范围，分析顶点及取值范围的端点对应的函数值，进而确定y的取值范围． 【详解】解：二次函数解析式为 ∵二次项系数 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为． ∵ ∴当时，取得最小值． 当时，；当时，． 又∵取不到， ∴；顶点在的取值范围内， ∴． ∴． 故选：D． 13．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能，那么一周可获得最大利润是（    ） A．20 B．1508 C．1550 D．1558 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用．此题实际上是求二次函数在内的最大值的问题，因为该二次函数的开口方向向下，所以当时，取最大值． 【详解】解：对称轴为，且， 当时，． 故选：D． 14．已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（    ） A． B．1 C．−1 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴，根据增减性确定的符号，再根据最值求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴抛物线的开口向上， ∴，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，有最大值为， 解得：或（舍去）； 故选B． 15．已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（　　） A．5或1 B．5或 C．或1 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，得到二次函数的顶点坐标，以及当或时，，结合二次函数的图象，得到结果． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵当时， 即， ∴， ∴或， 即当或时，， ∴二次函数的图象如下： ∵当时，二次函数的最小值为， ∴或， 即实数a的值为或． 16．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 故选：D． 17．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】C 【分析】本题二次函数开口向上，根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论，利用二次函数的最值性质求解m，舍去不符合前提条件的解即可． 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，分三种情况讨论： 若对称轴在区间左侧，即，得， ∵在范围内，y随x增大而增大， ∴最小值在处，代入得，此情况不成立； 若对称轴在区间内，即，得， ∵开口向上，顶点为最小值点，将代入函数得： ， 令，得，整理得，解得， ∵， ∴，符合条件； 若对称轴在区间右侧，即，得， ∵在范围内，y随x增大而减小， ∴最小值在处，代入得，解得， ∵，不符合的前提，故舍去． 综上，只有符合条件，因此选C． 18．已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数的最值问题．理解二次函数的最值是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵，开口向下，在的取值范围内，且， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 当时，函数有最小值，最小值为， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 题型三：实际问题中的最值 19．喷泉水流从垂直于水池底面的水管喷出，米．水流在各个方向上沿抛物线路径落入水池内．水流的落点到的水平距离为米．水流喷出的高度（米）与水平距离（米）满足关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数的性质，首先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再利用二次函数的顶点坐标公式求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可知，点的坐标是，点的坐标是， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 水流喷出的最大高度是， 水流喷出的最大高度是米． 故选：B． 20．中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， ∵ 该二次函数的二次项系数 ， ∴ 函数图象开口向下，有最大值， 配方得， ∴ 当时，取得最大值. 21．若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数的最值；将二次函数化为，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， （万元）； 故选：B． 22．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】此题主要考查了求二次函数的最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．把二次函数化成顶点式，求最值即可． 【详解】解：∵，且汽车刹车后行驶的最远距离为， ∴ ∴ 故选：C． 23．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ） A．1米 B．3米 C．5米 D．6米 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确利用配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键． 直接利用配方法将一般式转化为顶点式，进而求得二次函数最大值即可得解． 【详解】解：因为， 所以小球到达最高点时距离地面的高度是6米， 故选D 24．学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形花圃面积为平方米． (1)求与的函数关系式，写出函数的定义域； (2)围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时的值与面积的最大值． 【答案】(1) (2)围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时x的值为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题时要熟知等量关系是关键． （1）依据题意，，从而，再由，且，可得的范围； （2）由（1）的结论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：依据题意，， ∴． ∵，且， ∴； （2）解：由（1）得，， 又∵，且， ∴当时，S取最大值为800． 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时x的值为20． 25．某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)9元 (3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的两点坐标和列出方程组求解； （2）根据“总利润单件利润销售量”建立一元二次方程，解方程后根据“让顾客得到更大的实惠”这一条件筛选合适的解； （3）建立总利润关于降价x的二次函数关系式，利用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标，从而得出最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 26．每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血压血糖测试仪计划在该月销售．根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若每降价1元，每天可多售出4台．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不得低于120元．设每台降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)函数表达式为，x的取值范围是 (2)当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元 【分析】（1）根据每天的销售利润每台的利润销售量列式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得：， ∵每台的利润不低于120元， ∴， 解得； ∴x的取值范围是； （2）解：在中， ∵，∴函数开口向下， ∵对称轴为，且， ∴时，y随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元． 27．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2) (3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 题型四：函数、几何综合问题中的函数最值 28．如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C移动，点Q在边上，从点C向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的几何应用、勾股定理，设运动时间为，理解题意，列出与时间的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则，， 根据题意， ， ∵，， ∴当时，有最小值，最小值为， 故选：C． 29．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______．    【答案】1 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 30．如图1，在中，，E，F分别是边上的动点，且，D是的中点，连接，设，的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则m的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，设，则，根据三角形的面积公式可推出，利用二次函数的性质结合图2可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， 由图2可知，当时，有最大值，最大值为m， ∴，即， ∴， 故选：B． 31．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最大值及最大时点的坐标； 【答案】(1) (2)的最大值为2，此时点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，求得直线的解析式为，则可得，利用二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：将，代入抛物线的解析式，得 ，解得． 抛物线的解析式为； （2）解：设点， 当时，． ． 设直线的解析式为， ， ∴，则， ∴直线的解析式为， 轴，． ， ， ∴当时，的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为； 32．已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； 【答案】(1)， (2)该二次函数的解析式为；，；②，的值为 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ∵， ， ∴， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴，； 33．如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）设抛物线解析式为，利用待定系数法求解； （2）首先求出，，得到直线的解析式为，设，则，表示出，然后利用二次函数的性质得到当时，取得最大值为，然后求解即可； （3）首先表示出，然后根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值为， ∴此时点P的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∵直线把的面积分成两部分， ∴当时， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为； 当， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 34．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是线段上方的抛物线上一动点，过点P作 ，交于Q，请问线段是否存在最大值?若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转 后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在 范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围． 【答案】(1)为； (2)存在，有最大值，此时； (3)或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，得出，求出直线的解析式为，过点作轴，交于点．设，则，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出最大值即可； （3）分两种情况：当时，点在点上方，当时，点在点下方，分别画出图形，求出点G的坐标；然后根据正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，得出边与抛物线相交或顶点在抛物线上时符合题意；从而可知当与抛物线相交时有，再根据点或点在抛物线上，求出n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：线段存在最大值；理由如下： ∵抛物线与轴交于点， 当时，得， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图1，过点作轴，交于点，则， 设，则， ， ， ，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，有最大值，此时， 即此时； （3）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点D、E在抛物线的对称轴上； ∵，当时，， ∴当时，点在点上方， ， 由旋转得：， ，； 当时，点在点下方， 同理可得：， ， ∴不论为何值，点的坐标为，点坐标为； ∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上时，符合题意， ①当时，点在点上方， 如图3，边在点右侧，与抛物线相交时， 则，解得； 如图4，点在抛物线上时， ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， 解得（大于的值舍去）； ②当时，点在点下方，如图5，此时点在抛物线上时符合要求， ， 解得（小于的值舍去）； 综上所述，的取值范围为或或． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的最值求法 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B B C D C B B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D D D B D D C B B A 题号 21 22 23 28 30 答案 B C D C B 24．【答案】(1) (2)围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时x的值为20 【详解】（1）解：依据题意，， ∴． ∵，且， ∴； （2）解：由（1）得，， 又∵，且， ∴当时，S取最大值为800． 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时x的值为20． 25．【答案】(1) (2)9元 (3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 26．【答案】(1)函数表达式为，x的取值范围是 (2)当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元 【详解】（1）解：根据题意，可得：， ∵每台的利润不低于120元， ∴， 解得； ∴x的取值范围是； （2）解：在中， ∵，∴函数开口向下， ∵对称轴为，且， ∴时，y随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元． 27．【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2) (3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 29．【答案】1 【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 31．【答案】(1) (2)的最大值为2，此时点的坐标为 (3)或 (4) 【详解】（1）解：将，代入抛物线的解析式，得 ，解得． 抛物线的解析式为； （2）解：设点， 当时，． ． 设直线的解析式为， ， ∴，则， ∴直线的解析式为， 轴，． ， ， ∴当时，的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为； 32．【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为；，；②，的值为 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ∵， ， ∴， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴，； 33．【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值为， ∴此时点P的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∵直线把的面积分成两部分， ∴当时， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为； 当， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 34．【答案】(1)为； (2)存在，有最大值，此时； (3)或或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：线段存在最大值；理由如下： ∵抛物线与轴交于点， 当时，得， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图1，过点作轴，交于点，则， 设，则， ， ， ，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，有最大值，此时， 即此时； （3）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点D、E在抛物线的对称轴上； ∵，当时，， ∴当时，点在点上方， ， 由旋转得：， ，； 当时，点在点下方， 同理可得：， ， ∴不论为何值，点的坐标为，点坐标为； ∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上时，符合题意， ①当时，点在点上方， 如图3，边在点右侧，与抛物线相交时， 则，解得； 如图4，点在抛物线上时， ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， 解得（大于的值舍去）； ②当时，点在点下方，如图5，此时点在抛物线上时符合要求， ， 解得（小于的值舍去）； 综上所述，的取值范围为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $