专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（二次函数相似三角形）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（二次函数相似三角形） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用二次函数与相似三角形知识解决压轴综合问题 · 掌握抛物线背景下的相似、面积、存在性问题解题策略 · 掌握新定义、位似、探究类压轴题的解题方法 · 提升分类讨论、数形结合、化归转化的综合能力 · 培养规范严谨的综合解答书写能力 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数压轴模型 求解析式后利用对称轴、顶点、交点推进各问 动点设坐标，把几何量表示为横坐标的函数 存在性问题（特殊三角形、正方形）分类讨论列方程 最值问题配方求顶点，注意自变量取值范围 概念辨析例题：抛物线 y=ax2+bx+c 过 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，其顶点 D 的坐标是（　　） 答案：(1,4) 解析：设交点式 y=a(x+1)(x-3)，代 C(0,3) 得 3=-3a，a=-1。y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3，顶点 x=1，y=4，即 (1,4)。 ☆ 2.相似与抛物线综合 抛物线上动点与定点构成三角形相似：按对应顶点分类讨论 相似条件转化为坐标比例方程，结合抛物线解析式求解 直角、等腰等特殊关系用坐标差与勾股定理表示 面积比与相似比互转，注意开平方取正 概念辨析例题：抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于 A、B（A 左 B 右），P 为抛物线上一点，若 S△ABP=8，则点 P 的纵坐标为（　　） 答案：4 或 -4 解析：A(-1,0)、B(3,0)，AB=4。S=×4×|yP|=8，|yP|=4，yP=±4。 ☆ 3.位似与新定义压轴 位似变换坐标规律：同侧 (kx,ky)，异侧 (-kx,-ky) 新定义（相似四边形等）按定义逐步转化 探究题按问题串推进，把新概念落实到具体计算 参数讨论注意范围，避免增解漏解 概念辨析例题：以原点 O 为位似中心，将点 A(3,-2) 作位似变换，位似比为 2，异侧位似后 A' 坐标为（　　） 答案：(-6,4) 解析：异侧位似：A'=(-2×3, -2×(-2))=(-6,4)。 ☆ 4.综合压轴策略 读题标图：把条件标注在图上，先求能求的量 分问作答：每问结论及时标注，为后问提供条件 分类讨论：等腰按顶点、直角按顶点、相似按对应关系分类 检验反思：解的合理性（范围、增根）逐一验证 概念辨析例题：综合题解答的一般步骤是：先求解析式→再求特殊点→最后讨论存在性，请写出求解存在性问题的一般流程。 答案：设点坐标→列几何条件方程→解方程→代入检验→作答 解析：存在性问题设出未知数，把几何条件（相似、等腰、面积等）转化为方程，求解后检验解是否满足定义域与题意，最后作答。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 已知两交点时使用 面积公式 S=×底×高 高用坐标差表示 相似分类 按对应顶点分类 不重不漏 存在性 设坐标→列方程→检验 注意取值范围 位似坐标 (kx,ky) 或 (-kx,-ky) 同侧正异侧负 压轴策略 标图→分问→讨论→检验 步步为营 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的图象与性质 · 抛物线 y=ax2+bx+c 开口方向由 a 决定，对称轴 x=- · 顶点坐标为 (-, )，由顶点可求最值 · 增减性：开口向上时左侧递减右侧递增，开口向下相反 · 图象结论判断：结合对称轴、顶点、与坐标轴交点及特殊点代入验证 1．（24-25九年级上·陕西延安·阶段检测）已知抛物线（m、n是常数，）的对称轴为直线，将抛物线L向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ） A．向上平移1个单位长度 B．向上平移2个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象与平移，利用对称轴求得，可得抛物线解析式为，得到抛物线的顶点坐标为，根据平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点可得平移后的抛物线顶点在轴上，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点， 平移后的抛物线顶点在轴上， 抛物线应向上平移2个单位长度， 故选：B． 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 【答案】C 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键． 【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误； B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误； C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确； D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误． 故选：C． 3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题．根据二次函数的图像与系数的关键，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，可有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为， ∴， 又∵当时，可有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴， 而本结论中没有说明，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越大，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤． 故选：C． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】先求出抛物线关于轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规律得到原抛物线向下平移2个单位后的解析式，对比对应系数即可求出和的值． 【详解】解：∵抛物线关于轴对称时，只需将原解析式中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为： ， ∵抛物线向下平移2个单位， ∴平移后解析式为， 又∵平移后抛物线与上述关于轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， ∴，， 解得，， 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线、直线，若对于任意的x的值，恒成立，则m的值为________． 【答案】0 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），掌握二次函数的性质是解题关键．由题意可得出，设，改为顶点式为，即可得出，则说明恒成立，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 整理，得：． 设， ∴． ∵恒成立， ∴恒成立， 解得：． 故答案为：0． 6．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 【答案】②③④ 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】由抛物线开口方向确定的符号，由对称轴可得的关系确定的符号，由与轴的交点确定的符号，可判断①；利用时的函数值，可判断②；利用时的函数值，可判断③；结合关系及时的不等式，可判断④ ． 【详解】解：①由图像可知，抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴， ∵ 抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴，故①错误； ②由图象可知，当时，， ∴，故②正确； ③由图象可知，当时，，故③正确； ④由①可知，则， 由②可知，， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④． 【考点2】二次函数综合压轴 · 求解析式后利用对称轴、顶点、交点推进各问 · 动点设坐标，把几何量表示为横坐标的函数 · 存在性问题（特殊三角形、正方形）分类讨论列方程 · 最值问题配方求顶点，注意自变量取值范围 7．（24-25九年级上·全国·阶段检测）如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3) (4)存在，或 【知识点】角度问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）求出，，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设与y 轴交于点E，求出点A的坐标是，得到，证明，则，得到，求出直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式即可求出答案； （3）作轴于点K，交于点F，设点P的坐标为 ，则点F的坐标为，则，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案； （4）求出．得到，．则，证明．则当N的坐标为时，．连接，过点C作，交x轴与点N．证明．得到．则，即，解．即可得到． 【详解】（1）把代入，得， ∴． 把代入得：， ∴， 将、代入得：， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）设与y 轴交于点E，如图， 当时，， 解得， ∴点A的坐标是， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，把，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 联立得到，解得，， ∴点D的坐标是； （3）作轴于点K，交于点F，如图， 设点P的坐标为 ，则点F的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）， ∴． 又∵、， ∴，． ∴， ∴． ∵， ∴．， ∴． 又∵， ∴． ∴当N的坐标为时，． 如图所示：连接，过点C作，交x轴与点N． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即，解得：． ∴， ∴． 综上所述，当N的坐标为或时，以A，C，N为顶点的三角形与相似． 【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识，数形结合是解题的关键． 8．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． (4)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)面积比保持不变，这个面积比为或 (3)或 (4)或或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出的值，最后分两种情况求出点的坐标即可； （4）根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，设与轴交于点， 根据题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴被轴分成的两部分图形的面积比保持不变，这个面积比为或． （3）解：如图，经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为，纵坐标为， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，， 则， 即， 解得， ①当时，即为如图所示， 此时， 点在第四象限，故； ②如图所示， 当时，此时点在第一象限，点在第三象限， 此时， 故； 综上，或． （4）解：当时，，解得或， ∵点在此抛物线上，其横坐标为，且点不在坐标轴上， ∴，． ①如图所示，当经过顶点时，过点作轴，交轴于点， 由得，， ∴， 即， 解得（舍去），或， ∴当点向左运动时，满足题意， ∴； ②如图所示，当点在抛物线上时，过点作，交轴于点， 同理，，相似比仍为， 此时，，代入抛物线解析式得，， 解得（舍去）或， 此时，当点向下一直移动，直至到轴（不含交点），即时，都符合题意； ③如图所示，当点在抛物线上时，点在第二象限，点在第四象限， 思路同②，此时，代入抛物线解析式得，， 解得（舍去），或， 此时，当点向右一直移动，直至到轴（不含交点），即时，都符合题意； 综上，的取值范围为或或． 9．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，抛物线与x轴交于、，，在x轴负半轴，与y轴交于点，顶点为D． (1)用关于a的式子表示b； (2)联结、，交y轴于点E，若，求B坐标； (3)平移抛物线使新抛物线的顶点在直线上，B的对应点在y轴上，C的对应点为，交直线于H，若为直角三角形，求平移后新抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将将，，代入，即可求解； （2）过顶点作轴，交轴于，可知点与点关于对称，则，进而可得，再证，则为其相似比，即可求得，进而可求得答案； （3）利用待定系数法求得直线的解析式为，结合题意可知抛物线是沿射线方向平移，联结，，由平移可知，可知当为直角三角形时，，，进而证明，求得，即点的坐标为，由点在上，可知原抛物线向右平移9个单位长度，利用待定系数法求得原抛物线的解析式为，得，则点平移后的对应点的横坐标为5，此时纵坐标为，即，即可求得新抛物线的解析式． 【详解】（1）解：将，，代入， 可得，即， ∴； （2）过顶点作轴，交轴于， ∴点与点关于对称，则， ∴， 又∵， ∴，即：， ∵轴， ∴，则为其相似比， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴， 即点的坐标为； （3）设直线的解析式为， 代入，，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵平移后的对应点在轴上， ∴抛物线是沿射线方向平移， 联结，，由平移可知， ∴， 又∵， ∴当为直角三角形时，， 即， ∴，即， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即点的坐标为， ∵点在上， ∴原抛物线向右平移9个单位长度， 将，，代入， 得：，解得， ∴原抛物线的解析式为， ∴， 则点平移后的对应点的横坐标为5， 此时纵坐标为，即， ∴平移后新抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，抛物线的平移等知识点，本题综合比较强，需要学生放开思维，灵活运用学过的知识点． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)把抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线，记抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P． ①当点P与点A重合时，求m的值； ②记点B平移后的对应点为，如果，求此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点D的坐标为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①利用抛物线的平移思想，待定系数法，点重合的意义，解答即可； ②利用分类思想，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，整理解方程解答即可． 【详解】（1）解：将，分别代入解析式，得： 解得：，． ∴抛物线的解析式为：． （2）①解：由题意，得， 抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线， 故抛物线的解析式可设为：． ∴，． 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵点P与点重合， ∴， ∴． ②解：记抛物线对称轴与x轴交于点H，那么，且轴． ∵， ∴． 当点P在点B左侧时， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 同理可证，当点P在点B右侧时，仍有成立， 有：； 解得：， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，三角形相似的判定和性质，解方程，分类思想，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 11．（23-24九年级上·陕西西安·阶段检测）已知抛物线：：经过点在，，与y轴的交点为C．关于原点对称的抛物线为 (1)求抛物线的函数表达式； (2)点A在的对应点为M，若点P是抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，若相似，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、利用相似三角形的性质求解、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）利用待定系数法可求出的解析式为，再根据关于原点对称的点的坐标特征“横坐标和纵坐标都互为相反数”可得出的解析式为，即； （2）设，则，由题意可知，即可求出，．根据解析式可求出，即得出，．根据相似三角形的性质可得出，即，解得，或，，进而即可得出点P坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得：，解得：， ∴抛物线：的解析式为． ∵与关于原点对称， ∴的解析式为，即； （2）解：如图， 设，则， ∵点A在的对应点为M，， ∴， ∴，． 对于：，令，则， ∴， ∴，． ∵， ∴，即， ∴或 解得：，或， 当时，，即此时； 当时，，即此时，即此时与点M重合，舍去； 当时，，即此时． 综上可知点P的坐标为或． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析数，关于原点对称的点的坐标特征，相似三角形的性质，解含绝对值的一元二次方程等知识．正确求出与的解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 12．（2022·上海松江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，，抛物线经过A、B两点，顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，求四边形的面积； (3)将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)四边形的面积为7 (3)满足条件得P点坐标为或 【知识点】角度问题(二次函数综合)、根据旋转的性质求解、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据，求得点A的坐标，代入即可求得抛物线解析式； （2）由旋转可得出，再求出抛物线顶点，利用勾股定理及其逆定理可得，根据，即可求得答案； （3）根据平移规律可得平移后的抛物线解析式为，分两种情况：①若点P在x轴上方时，②若点P在x轴下方时，分别求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入抛物线，得， 解得：，′ ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵将绕点A顺时针旋转后，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 又∵，且， ∴ 即四边形的面积为7． （3）解：当时，， 可知抛物线经过点， ∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位过点， ∴平移后得抛物线解析式为：； ①若点P在x轴上方时，作轴，交抛物线于P点， ∴， ∴点P与点C关于抛物线的对称轴直线对称， ∴； ②若点P在x轴下方时，如图2，作的中垂线，与x轴交与E点，联结并延长，交抛物线于P点， 根据线段的垂直平分线的性质可得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 作轴，垂足为H，则， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 解得：（舍去），， 当时， ∴P， 综上所述，满足条件得P点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移变换，旋转变换的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数等，第（3）小题分两种情况讨论是解题关键． 13．（2023·上海普陀·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积为定值 【知识点】角度问题(二次函数综合)、一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：对于，令，则 解得： ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，    ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）解：设，， ∵点为中点，， ∴, ∵，，三点共线， ∴可设直线的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， ∴可设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的， ∴只有的面积是定值，且的面积为．    【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，平行四边形在平面直角坐标系中，，若、的长是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)求的值； (2)若E为x轴上的点，且．请求出点E的坐标，并判断与是否相似？ (3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)E的坐标为或，与相似； (3)存在， ，，，． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、坐标与图形综合 【分析】(1)解方程求得、的长，再根据三角函数的定义求得三角函数值即可； (2)根据三角形的面积公式可求得的长，因为没有指明点E在x轴的左侧还是右侧所以点E的坐标有两种可能；根据两边对应成比例有夹角相等的三角形相似可判定． (3) 根据菱形的性质，分与是邻边并且点F在射线上与射线上两种情况，以及与分别是对角线的情况分别进行求解计算． 【详解】（1）解：解方程：， 解得，， ， ，， 由勾股定理得：， 在中，； （2）解：， ， ， 点E的坐标为或； 与相似， 理由如下： ，， ， ， ； （3）解：由题意，， 平分， ① 、是邻边，点F在射线上时， M应在直线上，且垂直平分， ，点C到直线的距离为， ， 点； ②、是邻边，点F在射线上时， ，所以点F与B重合， 即； ③是对角线时， 中，， ， ，， ，， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ， 设F的坐标为， 由四边形是菱形， 可得， ， 整理得，， 解得 ， ， ， ④是对角线时， 过C作垂线，垂足为N， 根据等积法，即， ， 勾股定理得出，， 作点A关于N的对称点即为F， ， 过F作y轴垂线，垂足为G， 中，， ，， ，， ， ， 综上所述，满足条件的点有四个：，，，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【考点3】相似三角形的判定与性质 · 判定相似优先找等角：公共角、对顶角、平行线产生的角 · 两边成比例且夹角相等时注意是夹角 · 面积比 = k2，周长比 = k，对应高比 = k · 平行四边形、梯形中平行线构造相似三角形 15．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用两角对应相等判定相似、利用三边对应成比例判定相似 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； D、，但相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，不能判定，故此选项符合题意． 16．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、比例的性质 【分析】根据平行线分线段成比例可得，再根据比例的性质进行变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故C正确，A、D错误； 对于B，由已知条件，无法判断与的关系，故B错误． 17．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、两直线平行内错角相等、利用平行四边形的性质证明 【分析】利用平行四边形性质，可以得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到；利用，，，得到，用两边对应成比例，且夹角相等证明；用得到，两直线平行，内错角相等得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ； ，，， ， ，， ， 又， ； ， 即， ， ， 又， ． 18．（25-26九年级上·上海·阶段检测）中，点、分别在、上，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应线段是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理作答即可． 【详解】解：如图， 假设， ∴，，，选项C缺少角的条件 故选项C错误， 故选：C． 19．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为______． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题主要考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质得，再根据平面向量三角形运算法则求出即可推出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】根据可得，再由相似三角形的性质得到即可求解的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点4】相似多边形与黄金分割 · 相似多边形对应角相等、对应边成比例，注意对应顶点 · 黄金分割：较长线段与全长之比 ≈0.618 · 黄金分割计算：较长线段 = ×全长 · 矩形相似问题常转化为长宽比相等 21．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知点是平行四边形的边上一点，连接和相交于点F，如果，那么为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．先画出图形，根据平行四边形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 即， 故选：C． 22．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】D 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键； 根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】∵四边形和四边形是相似的图形，， ∴四边形和四边形是相似比为， ∴四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于， ∴四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，则①和②都正确， 故选：D． 23．（2025·上海·模拟预测）小明对正方形展开了研究，他得出的结论中，正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段、根据正方形的性质求面积、解直角三角形的相关计算 【分析】根据正方形的性及全等三角形的性质和判定可判断A，根据三角函数的定义及线段垂直平分线的性质，结合图形可判断B，根据三角函数的定义及勾股定理，面积可判断C，根据正方形的性质及平行线分线段成比例定理可判断D，从而可得答案． 【详解】解：作于， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，，即， ， ， ， ， ， 故A正确； ， 在线段的垂直平分线上， ， 在线段的垂直平分线上，即点在经过、中点的直线上， 如图所示， ，当时，是等边三角形，此时，那么，B 选项不正确； 连接，作于， ，，正方形中，，， ，， ，， 设， 则，， ，， 在中，， 在中，， ， ， 即， ， ， ， 那么．C选项正确； ， ， ， ， ，D选项正确， 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了与正方形有关的综合问题，涉及正方形的性质、全等三角形的性质及判定、勾股定理、解直角三角形、线段垂直平分线的性质及平行线分线段成比例定理，综合性强，正确添加辅助线是解题的关键． 24．（2023·上海虹口·一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似多边形、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 则已知四边形的四条边分别为1，，2，． 选项中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，4，，两个四边形的四条边对应成比例． 将已知四边形表示为四边形，将选项中的四边形表示为． 如图，连接、，则，． 在与中， ， ， ，，． 在与中， ， ， ，，， ，，，， 又 ， 四边形四边形． 故选：D． 25．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 26．（24-25九年级上·上海·期中）矩形中，E、F分别为中点，如果矩形与矩形相似，那么它们的相似比为______． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解作答即可． 【详解】解：∵E、F分别为中点， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴相似比， 解得， 或（舍去）， ∴相似比为， 故答案为：． 【考点5】二次函数的实际应用 · 抛物线型实际问题先建坐标系，转化为二次函数解析式求解 · 最大高度、最大利润问题转化为求顶点坐标 · 已知函数值求自变量，解方程后按实际意义取舍 · 综合与实践题按问题串逐步推进，每问结果用于后问 27．（2025·河南·模拟预测）综合与实践 【问题情境】定义：四边形一边的中点与它所在边的对边的两个端点的连线所形成的折线，叫作四边形的折中线． 如图1，在四边形中，是边的中点，连接，，则由线段，组成的折线叫作四边形的折中线，折线的长叫作折中线的长． 【特例感知】 （1）如图2，若四边形是矩形，当时，折中线的长与边的长的数量关系是______．（用含的代数式表示） 【深入探究】 （2）如图3，折线是的折中线． ①若，折中线的长为，则与的数量关系是_______．（填“>”“=”或“<”） ②当时，写出图3中的一条角平分线及其平分的角，并说明理由． （3）如图4，在中，，，当折中线的其中一条线段与的一条对角线相等时，直接写出折中线的长． 【答案】（1）； （2）①>； ②平分， 理由：延长交的延长线于点G. ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴平分（等腰三角形三线合一）； （3）折中线的长为或． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）证明，求得，利用勾股定理求解即可； （2）①延长交的延长线于点，得到，推出，，得到，在中，利用三角形三边关系即可求解； ②同①求得垂直平分线段，再利用等腰三角形三线合一即可得证； （3）分情况讨论：①当时，过点作于点G，过点B作，交的延长线于点K，②当时，过点A作交的延长线于点F，过点A作于点M，过点E作于点N，分别利用平行四边形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①如图，延长交的延长线于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，（三角形三边关系：两边之和大于第三边），即， 故答案为：>； ②略 （3）或. 观察图形可知，，而，故， ∴折中线中的线段或只能与中较短的对角线相等， 分情况讨论：①当时， 如图，过点作于点G，过点B作，交的延长线于点K， 设，则，， ∴四边形是矩形， 则， 解得， 在中，由勾股定理，得； 在中，由勾股定理，得， 故折中线的长为； ②当时，如图，过点A作交的延长线于点F，过点A作于点M，过点E作于点N， 设，则，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，∴， ∴（等腰三角形三线合一）， 即， 解得， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 故折中线的长为， 综上所述，折中线的长为或． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 【考点6】新定义与位似 · 新定义题先理解定义，转化为熟悉的几何模型 · 位似图形对应点连线交于位似中心，位似比即对应边的比 · 以原点为位似中心，坐标乘以位似比（同侧正、异侧负） · 位似变换与坐标计算结合，注意点所在象限 28．（2023·上海·模拟预测）已知点、在抛物线上，点，点在轴上，且位于点的上方，如果四边形是正方形，那么点的坐标为______________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，正确表示出点的坐标是解题的关键． 连接，利用正方形的性质得出与互相垂直平分，，设，即可得出，代入得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， 与互相垂直平分，， 轴， 设， 点， ， ∴， 点、在抛物线上， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为， 故答案为：． 29．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为___________． 【答案】或 【知识点】二次函数图象的平移、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案． 【详解】解：对于，当时，，当时，， 即：直线经过，， 则， 由此可知抛物线沿直线方向平移个单位， 相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 综上：或． 30．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 【考点7】相似综合探究 · 探究题按定义理解新概念（相似四边形等），转化为判定与性质 · 中点、重心、梯形等图形中寻找平行线与相似三角形 · 动点问题设坐标，把几何量表示为函数关系 · 证明与计算结合，注意分类讨论 31．（2025·上海·二模）我们知道“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点、、、分别在四边形的边、、、上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图）： ①在边上任取符合条件的一点，作，交边于点； ②作，交边于点；③作，交边于点；④连接． (1)求证：小明画出的四边形是平行四边形； (2)如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点均在格点上，点在边上，，请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形，使点、、分别在边、、上，且此平行四边形的边与或平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2)如图，四边形即为所作： 【知识点】正方形性质理解、相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是平行四边形、无刻度直尺作图 【分析】（1）根据平行线的传递性及平行线分线段成比例定理得，，，，继而得到，，证明得，推出，则，即可得证； （2）取格点、、、、，交于点，交于点，连接交于点，连接、、即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，取格点、、、、，交于点，交于点，连接交于点，连接、、、、， ∵在的网格中，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点均在格点上，，， ∴，，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 则四边形即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了平行四边形的判定，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线的判定和性质等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 32．（24-25九年级上·上海·期中）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，连接．求证：． (2)已知． ①如图2所示，连接，如果垂直平分线的交点P恰好落在的平分线上，求的长． ②如图3所示，如果点M在边上，连接、、，与交于点N，如果，且，，求边的长． 【答案】(1)证明：如图：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴； (2)①；② 【知识点】线段垂直平分线的性质、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SSS综合（SSS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）如图：延长交于点G，由得到，由已知数据得到、，故，易证，因此； （2）①如图：过点P作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得； ②如图：延长交于点K，过点E作，垂足为点Q，由，求得，可证明，角度推导得，则，求出，继而得到，由，则，设，则，由，设，，由，得到，设，可证明，求出，则，在中，运用勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得，，故． 【详解】（1）略 （2）解：①如图：过点P作于点F，连接， ∵点P为垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得； ②如图：延长交于点K，过点E作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，解得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴． 33．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． (1)求证：； (2)连接，若，且F为中点，求的值； (3)若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 【答案】(1) 证明： 四边形是矩形，， ，， ，， ， ； (2) (3)或或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明 【分析】（1）矩形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交于点G，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）略 （2）， ， ， ， ， 设交于点G， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或或．理由如下： 四边形是矩形， ，，， ①当时，， P是的中点， ， ， ， 即， 设，则， ，， ， ， ； ②当时，， ， 设，， 则，， ， ， 解得， ， 由①知， ， ， ， 或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 34．（2024·上海青浦·二模）已知：如图，在四边形中，，点E是对角线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长分别交线段的延长线于点，如果，求证：． 【答案】(1)证明: ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴四边形是平行四边形， ∵, ∴, ∴， ∵, ∴, ∴, ∴, ∴四边形是菱形； (2)证明：根据题意作图如下， ∵四边形是菱形, ∴， ∵, ∴, ∵, ∴, ， ， ∵, ∴, ， ∴, ∴, 且, ∴, ∵, ∴, ∴, ， ． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是菱形 【分析】（1）由得, 则，所以，则四边形是平行四边形， 由且得, 所以则, 即可证明四边形D是菱形； （2）由菱形的性质得, 而, 所以, 可证明, 得 则再证明, 得 所以, 再证明, 得则 即可证明 【详解】（1）略 （2）略 💯 课后巩固 复习建议 · 压轴题先读题标图，把每个条件转化为坐标或比例关系 · 相似与抛物线结合时先求解析式，再按对应顶点分类讨论 · 存在性问题解出后必须检验，警惕增解与漏解 · 新定义、位似问题先翻译定义，抓住本质模型 · 分问作答、步步为营，前问结论及时为后问服务 【作业1】．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影 【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即树的高度为． 【作业2】．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）在下列命题中，真命题是（     ）． A．两边之比是的两个直角三角形相似 B．两边之比是的两个等腰三角形相似 C．有一个内角是的两个等腰三角形相似 D．四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 【答案】B 【知识点】判断命题真假、相似多边形的性质 【分析】本题考查命题与定理、多边形相似的判定、熟练掌握两个相似多边形的对应角相等、对应边成比例是解题关键．根据相似多边形的性质、举反例解答即可得答案． 【详解】解：A．三边比分别为与的两个直角三角形不相似，故该选项是假命题，不符合题意， B．两边之比是的两个等腰三角形相似，故该选项是真命题，符合题意， C．三个内角分别为、、和、、的两个三角形不相似，故该选项是假命题，不符合题意， D．∵四边形不具有稳定性， ∴四边形的各内角可以改变，故不一定相似，该选项是假命题，不符合题意， 故选：B． 【作业3】．（2022·江苏无锡·模拟预测）若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【答案】四 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】先根据二次函数的开口方向确定a的取值范围，再利用一次函数的图象与性质判断直线经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 【作业4】．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据正方形的性质求线段长、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 【作业5】．（2024·上海普陀·二模）已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)联结，分别延长、交于点，如果，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2) 证明：如图所示， ∵， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定； （1）根据，可得得出，结合已知条件可得，即可得证； （2）根据已知可证明得出，，进而证明，得出，即可得出，进而根据平行四边形的性质可得，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【作业6】．（2024·上海静安·三模）已知：如图，四边形的对角线相交于点，，； (1)求证：． (2)过点作交延长线于点，延长、交于点，分别取的中点，连结，求证：平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； (2) 证明：如图，连结，记的交点为， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即平分． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段垂直平分线的判定、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）由，可得，进而可证，则，； （2）如图，连结，记的交点为，由为的中点，可得，，则，由为中点，可得，则，垂直平分，，证明，则，即平分． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，垂直平分线的判定与性质，全等三角形判定与性质是解题的关键． 【作业7】．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)（i）2，；（ii） 【知识点】求一次函数解析式、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）根据题意可知，抛物线的开口向下，平移的距离为，从而知道顶点的横坐标，将其代入直线，求得点，然后利用待定系数法可求得抛物线的表达式，然后再根据平移，求得抛物线的解析式； （3）设，那么，，求得直线为：，从而知道点坐标以及坐标，然后根据抛物线的性质，可知，那么，从而推出，结合，那么当和相似时，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，代入和， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：（i）过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q， 抛物线W开口向下， 设，那么， 向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A， ， ， ， ， 如图所示： 不妨设抛物线W为，代入原点，得到 ， ， 抛物线W为， 由题意可知，抛物线W向右平移了个距离， 那么抛物线的解析式为：，即； 综上，抛物线W向右平移了2个单位，抛物线的解析式为； （ii）设，那么，， 设直线为：，代入，， 那么有， ，， 直线为：， 当时，， 延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段． ，， ， 过点作轴于点，如图所示： 点是抛物线的顶点，那么是对称轴， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， 当和相似时，， ， 或（舍） ，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【作业8】．（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）先由对称轴求出的值，再把点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式； （2）①新抛物线的解析式可设为，当的图象的对称轴右边图象过点时，有，解得：；当的图象的对称轴左边图象过点时，有，解得：，从而可知； ②如图1所示，作，设，新抛物线可设为，故，证明，再利用三线合一性质说明，当时，即时，满足题意，至此完成二倍角的转换，最后根据，解出的值即可得解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，， 把代入，可得， 抛物线表达式为． （2）解：抛物线表达式为， 故，． ①当点在轴上时，新抛物线的解析式可设为， 当的图象的对称轴右边图象过点时，有， 解得：，（舍去）； 当的图象的对称轴左边图象过点时，有， 解得：，（舍去）． 故的取值范围为； ②如图1所示，作， 设，且点为新抛物线顶点，新抛物线的对称轴为直线， 则新抛物线可设为，又点横坐标为2， 则，故， ， ， ，从而知为中垂线， ，由三线合一性质可得：， 当时，即时，满足题意． 故， ， 即，故， 故． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法，二次函数的图象性质，函数图象的平移，二次函数与线段的公共点问题，二倍角构造问题，熟练掌握以上内容是解题关键． 【作业9】．（2024·上海徐汇·三模）如图，抛物线顶点为坐标原点、且经过点，直线经过点和点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线在原抛物线的内部相交于点，且，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线表达式为，直线的表达式为 (2)新抛物线的表达式或 【知识点】求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）设直线与轴交于点，求出，设点的坐标为，则点的坐标为，分当点在线段上时，当点在延长线上时两种情况讨论即可； 本题考查二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线顶点为坐标原点O， ∴，， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴抛物线表达式为， 设直线的表达式为， ∵直线经过点和点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）设直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点C的坐标为， ∴新拋物线的表达式， 当点在延长线上时，延长交轴于点，在的延长线上截取，连接， 如图， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（正值不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为． ∴新抛物线的表达式． 【作业10】．（2022·上海·模拟预测）已知抛物线过点、 、，顶点为C，将绕点O旋转，使点A、B、C分别落在点、、处，（其中在第一象限），边交y轴于点D，边交x轴于点E． (1)求抛物线的表达式和顶点C的坐标； (2)若四边形为梯形，求点的坐标； (3)当时，求旋转角的度数． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式和顶点C的坐标； （2）根据题意，利用解直角三角形和旋转的性质，分情况讨论：轴，轴，利用解含30度的直角三角形和勾股定理即可求出结果； （3）根据已知条件，利用相似三角形的判定与性质证得，再利用全等三角形的性质得出旋转角的度数为． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为，顶点C的坐标为． （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∵绕点O旋转到， ∴， ∴，，， ∵四边形为梯形，此时分情况讨论： ①当轴，如图，过点作轴交点H， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②当轴，如图，过点作轴交点H， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 综上所述，四边形为梯形时，点的坐标为或． （3）解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即旋转角的度数为． 【作业11】．（2023·上海·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求一次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）将、、代入得，，计算求解，进而可得抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，则，，设，则，，由，可求，即，待定系数法求直线的解析式为；联立，计算求解即可；如图1，由轴，可知，关于对称轴对称，由，可得与重合，由，可知对称轴为直线，则，可求，进而可求； （3）如图2，由题意知，、两直线的距离为2，设，，则，，，，，，可求，根据，求解即可，由，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：将、、代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，    ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 联立， 解得， 或， ∴； 如图1， ∵轴， ∴，关于对称轴对称， 又∵， ∴与重合， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：如图2，    由题意知，、两直线的距离为2， 设，，则，， ∴，，，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（二次函数相似三角形） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用二次函数与相似三角形知识解决压轴综合问题 · 掌握抛物线背景下的相似、面积、存在性问题解题策略 · 掌握新定义、位似、探究类压轴题的解题方法 · 提升分类讨论、数形结合、化归转化的综合能力 · 培养规范严谨的综合解答书写能力 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数压轴模型 求解析式后利用对称轴、顶点、交点推进各问 动点设坐标，把几何量表示为横坐标的函数 存在性问题（特殊三角形、正方形）分类讨论列方程 最值问题配方求顶点，注意自变量取值范围 概念辨析例题：抛物线 y=ax2+bx+c 过 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，其顶点 D 的坐标是（　　） 答案：(1,4) 解析：设交点式 y=a(x+1)(x-3)，代 C(0,3) 得 3=-3a，a=-1。y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3，顶点 x=1，y=4，即 (1,4)。 ☆ 2.相似与抛物线综合 抛物线上动点与定点构成三角形相似：按对应顶点分类讨论 相似条件转化为坐标比例方程，结合抛物线解析式求解 直角、等腰等特殊关系用坐标差与勾股定理表示 面积比与相似比互转，注意开平方取正 概念辨析例题：抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于 A、B（A 左 B 右），P 为抛物线上一点，若 S△ABP=8，则点 P 的纵坐标为（　　） 答案：4 或 -4 解析：A(-1,0)、B(3,0)，AB=4。S=×4×|yP|=8，|yP|=4，yP=±4。 ☆ 3.位似与新定义压轴 位似变换坐标规律：同侧 (kx,ky)，异侧 (-kx,-ky) 新定义（相似四边形等）按定义逐步转化 探究题按问题串推进，把新概念落实到具体计算 参数讨论注意范围，避免增解漏解 概念辨析例题：以原点 O 为位似中心，将点 A(3,-2) 作位似变换，位似比为 2，异侧位似后 A' 坐标为（　　） 答案：(-6,4) 解析：异侧位似：A'=(-2×3, -2×(-2))=(-6,4)。 ☆ 4.综合压轴策略 读题标图：把条件标注在图上，先求能求的量 分问作答：每问结论及时标注，为后问提供条件 分类讨论：等腰按顶点、直角按顶点、相似按对应关系分类 检验反思：解的合理性（范围、增根）逐一验证 概念辨析例题：综合题解答的一般步骤是：先求解析式→再求特殊点→最后讨论存在性，请写出求解存在性问题的一般流程。 答案：设点坐标→列几何条件方程→解方程→代入检验→作答 解析：存在性问题设出未知数，把几何条件（相似、等腰、面积等）转化为方程，求解后检验解是否满足定义域与题意，最后作答。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 已知两交点时使用 面积公式 S=×底×高 高用坐标差表示 相似分类 按对应顶点分类 不重不漏 存在性 设坐标→列方程→检验 注意取值范围 位似坐标 (kx,ky) 或 (-kx,-ky) 同侧正异侧负 压轴策略 标图→分问→讨论→检验 步步为营 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的图象与性质 · 抛物线 y=ax2+bx+c 开口方向由 a 决定，对称轴 x=- · 顶点坐标为 (-, )，由顶点可求最值 · 增减性：开口向上时左侧递减右侧递增，开口向下相反 · 图象结论判断：结合对称轴、顶点、与坐标轴交点及特殊点代入验证 1．（24-25九年级上·陕西延安·阶段检测）已知抛物线（m、n是常数，）的对称轴为直线，将抛物线L向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ） A．向上平移1个单位长度 B．向上平移2个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向上平移4个单位长度 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 4．（2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线、直线，若对于任意的x的值，恒成立，则m的值为________． 6．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 【考点2】二次函数综合压轴 · 求解析式后利用对称轴、顶点、交点推进各问 · 动点设坐标，把几何量表示为横坐标的函数 · 存在性问题（特殊三角形、正方形）分类讨论列方程 · 最值问题配方求顶点，注意自变量取值范围 7．（24-25九年级上·全国·阶段检测）如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． (4)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 9．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，抛物线与x轴交于、，，在x轴负半轴，与y轴交于点，顶点为D． (1)用关于a的式子表示b； (2)联结、，交y轴于点E，若，求B坐标； (3)平移抛物线使新抛物线的顶点在直线上，B的对应点在y轴上，C的对应点为，交直线于H，若为直角三角形，求平移后新抛物线的解析式． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)把抛物线向下平移m个单位（）得到抛物线，记抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P． ①当点P与点A重合时，求m的值； ②记点B平移后的对应点为，如果，求此时点D的坐标． 11．（23-24九年级上·陕西西安·阶段检测）已知抛物线：：经过点在，，与y轴的交点为C．关于原点对称的抛物线为 (1)求抛物线的函数表达式； (2)点A在的对应点为M，若点P是抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，若相似，求点P的坐标． 12．（2022·上海松江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，，抛物线经过A、B两点，顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，求四边形的面积； (3)将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足，求点P的坐标． 13．（2023·上海普陀·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 14．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，平行四边形在平面直角坐标系中，，若、的长是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)求的值； (2)若E为x轴上的点，且．请求出点E的坐标，并判断与是否相似？ (3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由． 【考点3】相似三角形的判定与性质 · 判定相似优先找等角：公共角、对顶角、平行线产生的角 · 两边成比例且夹角相等时注意是夹角 · 面积比 = k2，周长比 = k，对应高比 = k · 平行四边形、梯形中平行线构造相似三角形 15．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 16．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 17．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 18．（25-26九年级上·上海·阶段检测）中，点、分别在、上，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为______． 20．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 【考点4】相似多边形与黄金分割 · 相似多边形对应角相等、对应边成比例，注意对应顶点 · 黄金分割：较长线段与全长之比 ≈0.618 · 黄金分割计算：较长线段 = ×全长 · 矩形相似问题常转化为长宽比相等 21．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知点是平行四边形的边上一点，连接和相交于点F，如果，那么为(   ) A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 23．（2025·上海·模拟预测）小明对正方形展开了研究，他得出的结论中，正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 24．（2023·上海虹口·一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 26．（24-25九年级上·上海·期中）矩形中，E、F分别为中点，如果矩形与矩形相似，那么它们的相似比为______． 【考点5】二次函数的实际应用 · 抛物线型实际问题先建坐标系，转化为二次函数解析式求解 · 最大高度、最大利润问题转化为求顶点坐标 · 已知函数值求自变量，解方程后按实际意义取舍 · 综合与实践题按问题串逐步推进，每问结果用于后问 27．（2025·河南·模拟预测）综合与实践 【问题情境】定义：四边形一边的中点与它所在边的对边的两个端点的连线所形成的折线，叫作四边形的折中线． 如图1，在四边形中，是边的中点，连接，，则由线段，组成的折线叫作四边形的折中线，折线的长叫作折中线的长． 【特例感知】 （1）如图2，若四边形是矩形，当时，折中线的长与边的长的数量关系是______．（用含的代数式表示） 【深入探究】 （2）如图3，折线是的折中线． ①若，折中线的长为，则与的数量关系是_______．（填“>”“=”或“<”） ②当时，写出图3中的一条角平分线及其平分的角，并说明理由． （3）如图4，在中，，，当折中线的其中一条线段与的一条对角线相等时，直接写出折中线的长． 【考点6】新定义与位似 · 新定义题先理解定义，转化为熟悉的几何模型 · 位似图形对应点连线交于位似中心，位似比即对应边的比 · 以原点为位似中心，坐标乘以位似比（同侧正、异侧负） · 位似变换与坐标计算结合，注意点所在象限 28．（2023·上海·模拟预测）已知点、在抛物线上，点，点在轴上，且位于点的上方，如果四边形是正方形，那么点的坐标为______________． 29．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为___________． 30．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【考点7】相似综合探究 · 探究题按定义理解新概念（相似四边形等），转化为判定与性质 · 中点、重心、梯形等图形中寻找平行线与相似三角形 · 动点问题设坐标，把几何量表示为函数关系 · 证明与计算结合，注意分类讨论 31．（2025·上海·二模）我们知道“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点、、、分别在四边形的边、、、上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图）： ①在边上任取符合条件的一点，作，交边于点； ②作，交边于点；③作，交边于点；④连接． (1)求证：小明画出的四边形是平行四边形； (2)如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点均在格点上，点在边上，，请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形，使点、、分别在边、、上，且此平行四边形的边与或平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） 32．（24-25九年级上·上海·期中）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，连接．求证：． (2)已知． ①如图2所示，连接，如果垂直平分线的交点P恰好落在的平分线上，求的长． ②如图3所示，如果点M在边上，连接、、，与交于点N，如果，且，，求边的长． 33．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． (1)求证：； (2)连接，若，且F为中点，求的值； (3)若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 34．（2024·上海青浦·二模）已知：如图，在四边形中，，点E是对角线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长分别交线段的延长线于点，如果，求证：． 💯 课后巩固 复习建议 · 压轴题先读题标图，把每个条件转化为坐标或比例关系 · 相似与抛物线结合时先求解析式，再按对应顶点分类讨论 · 存在性问题解出后必须检验，警惕增解与漏解 · 新定义、位似问题先翻译定义，抓住本质模型 · 分问作答、步步为营，前问结论及时为后问服务 【作业1】．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【作业2】．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）在下列命题中，真命题是（     ）． A．两边之比是的两个直角三角形相似 B．两边之比是的两个等腰三角形相似 C．有一个内角是的两个等腰三角形相似 D．四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 【作业3】．（2022·江苏无锡·模拟预测）若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【作业4】．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【作业5】．（2024·上海普陀·二模）已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)联结，分别延长、交于点，如果，求证：． 【作业6】．（2024·上海静安·三模）已知：如图，四边形的对角线相交于点，，； (1)求证：． (2)过点作交延长线于点，延长、交于点，分别取的中点，连结，求证：平分． 【作业7】．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 【作业8】．（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 【作业9】．（2024·上海徐汇·三模）如图，抛物线顶点为坐标原点、且经过点，直线经过点和点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线在原抛物线的内部相交于点，且，求新抛物线的表达式． 【作业10】．（2022·上海·模拟预测）已知抛物线过点、 、，顶点为C，将绕点O旋转，使点A、B、C分别落在点、、处，（其中在第一象限），边交y轴于点D，边交x轴于点E． (1)求抛物线的表达式和顶点C的坐标； (2)若四边形为梯形，求点的坐标； (3)当时，求旋转角的度数． 【作业11】．（2023·上海·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $