专题04 二次函数背景下与线段、面积相关的几何问题（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，通过分类梳理线段长度计算及面积割补方法，构建“坐标转化-代数表达-最值求解”的逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数与线段长度|10题|水平/垂直/斜线段长度计算思路（坐标差、距离公式）|二次函数解析式→点坐标表示→线段长度代数化→函数最值求解| |二次函数与面积问题|10题|补形法、割补法、铅锤法、等积变形法|图形面积转化→铅锤高与水平宽乘积/补形差→面积函数表达式→最值探究|

专题04 二次函数背景下与线段、面积相关的几何问题 题型一 二次函数背景下与线段长度相关的问题 题型二 二次函数背景下用“割补法”求图形的面积 题型一：二次函数背景下与线段长度相关的问题 类型 图例 思路 水平线段 AB=|| 垂直线段 AB=|| 斜线段 AB= 1．如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于A(，)和B(4，n)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 2．如图， 抛物线与轴交于点，（点在点的左侧） ，与轴交于点，是抛物线在第四象限上一个动点， 设点的横坐标为，过点作轴的垂线， 交轴于点，交于点． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 5．如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线表达式； (2)点是第三象限内抛物线上一点，求∆ADC面积的最大值； 6．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N．过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，过点Q作轴，交直线于点D，请你求出线段的最大值； (3)点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使得为直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 9．如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，且过点和点 (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在点（不与点重合）使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+a+10（a<0）的顶点为P，作PM⊥x轴于M．点C是线段PM上一点，CD // x轴交抛物线于第一象限一点D，过线段CD的中点F，作EN⊥CD，交抛物线于点E，交x轴于点N． （1）求顶点P的坐标； （2）若四边形CNDE是菱形，求的值； 题型二：二次函数背景下用“割补法”求图形的面积 类型 图例 思路 补形法 = 割补法 = 铅锤法 = 等积变形法 ∵PQ//BC ∴= 11．如图所示，二次函数的图象与x轴分别交于A，D两点，与y轴交于点C，点E坐标，过点E且垂直x轴的直线交抛物线于点B，若，则____________． 12．如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点．连接，，求的面积； 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． 若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． 4．在平面直角坐标系中（如图），直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过点，对称轴为直线，它与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求点、的坐标和抛物线的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位，使平移后的新抛物线与直线交于点，如果，求的值； (3)将抛物线沿射线的方向平移，设平移后新抛物线的顶点为，新抛物线的对称轴与原抛物线交于点，如果，求新抛物线的表达式． 5．已知平面直角坐标系（如图所示），抛物线的顶点为，与轴交于点，直线． (1)求证：抛物线的顶点在直线上． (2)如果抛物线与直线除点外，同时还经过另一点，已知点，连接、交于点，连接． 试说明：； 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． 当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； 7．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点和点，点为抛物线的顶点，直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出点坐标； (2)若直角坐标平面中的点和点、、构成直角梯形，且面积为，直接写出点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为A．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． (1)求抛物线的顶点A的坐标； (2)当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； (3)在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求点和点的坐标； (2)若点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，若平分，求抛物线的表达式； (3)若点是抛物线第四象限上一动点，连接、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求P点坐标（用含a的代数式表示）。 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与二次函数的图象相交于点，点为轴上的动点，过点并且平行于轴的直线与两个图象，分别交于点，． (1)求，，的值． (2)当点在线段上时，求面积的最大值． (3)设点，到直线的距离分别为，． ①当时，对应的值有 个； ②求当时，对应的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $专题04二次函数背景下与线段、面积相关的几何问题 参考答案 1.解：(1).B(4,m在直线y=x+2上， .m=4+2=6, ∴.B4,, :4(3,2,B4,0在抛物线y-a2+bx+6上， ( 51 1 2 23420 a=2 解得b=-8 ∴.抛物线的解析式为y=2x2-8r+6 (2)设动点P的坐标为(0n,+2),则C点的坐标为，2-81+6)， 9 49 .P0=0+2)-(2=8n+6)=-2f+9n-4=-201-4}+8, ,a=-2<0 9 9 ∴.当n=4时，线段PC最大为 2.(1)解：依题意，当x=0时，y=-3, .C(0,-3) 当y=0时，有x2-2x-3=0, 解得：=-】5=3 A(-1,0)B(3,0) 设直线BC的解析式为y=x+b, 答案第1页（共2页） 「-3=b 0=3k+b, 「k=1 解得：b=-3, BC y=x-3 “直线的解析式为 点P的横坐标为m, ∴P(m,m2-2m-3) 当x=m时，y=m-3(0<m<3)。 ∴.F(m,m-3) ∴.PF=m-3-(m2-2m-3)=-m2+3m -m+3m分+-10： ∴PF=-m2+3m(0<m<3) 3 当m=2时，PF取最大值4 (2)解：F(m,m-3),FE1x轴， ∴.EF=-(m-3)=3-m EF 3-m 12 FP 3m-m2 m 3 3 m2 ,315 此时点p的坐标为2,4) 3.(1)解：二次函数'=-+x+3 的图象经过 (-2,0) （-2y-2m+3=0 答案第2页（共2页) 1 解得n=- 2 二次函数的解析式为少=-2-x +3 (2):二次函数的解析式为y=-2- 2+3 ∴.x=0时，y=3, ,A(0,3) 设直线AB的解析式为y=ax+3, 把(20 代入，得2k+3=0 解得3 2 3 所以直线4B的解析式为y=3x+3 1 设点P的坐标为 a-a-2a+3 2a- 则点C的坐标为 3a,-a2、 20+3 因为点C在点P的右边， 221 所PC3a3-a子a4 a+2+ 2 3· 因为点P是这个二次函数图象在第二象限内的一点， 所以-2<a<0, 所以当a=-1时，线段PC的长度有最大值，最大值为3· 4.(1)解：抛物线'=-r+br+C经过点 (4,0)B(-1,0) 答案第3页（共2页） -16+4b+c=0 -1-b+c=0, b=3 解得c=4 =-x2+3x+4 ∴抛物线的解析式为 (2)解： 3 ∴将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为y=-(x-3)'+6: 3)当=0时， y=-x2+3x+4=4 C(0,4) 设直线4C的解析式为》=c+m,把 A(4,0).C0,4代入得到 4k+m=0 m=4, k=-1 解得m=4 ∴.直线AC的解析式为y=-x+4, 设D心，-+4，则F,-+3+4) 则线段DF的长度-+3+4-(-1+4)=-1+4=--2}+4 -1<0 ,当t=2时，线段DF的长度的最大值为4. .y=x2+bx-6,y 5.(1)解： 6与》轴交于点C, .C(0,-6) ∴.0C=6 答案第4页（共2页） 0A=0C 2 .0A=3, A(-3,0) 将1-3,0)代入y=r+-6中，得b=1, y=x+x-6 抛物线的表达式为 (2)解：由(1)知： A(-3,0)C(0,-6) 设直线4C,=+ak0),将4(-3,0)，C0,-6)代入 -3k+a=0 k=-2 得a=-6,解得a=-6. ∴.y=-2x-6 设D(m,m+m-6),则E(m-2m-6) 2DE=-2m-6-m2+m=6)=-m-3m=(m+3}2+9 4 .-1<0, 3 m=- 9 当 2时，DE有最大值，最大值是 40c×D6x0A=号×g×3-2 24 8 6.(1)解：抛物线的对称轴是直线x=3, 3 2=3 2a 1 解得a= 4 1 +4 3 之抛物线的解析式为=一之+ 答案第5页（共2页） 令y-0则+44-0 解得 =-2x2=8 .A(-2,0)B(8,0) .AB=8-（-2)=10 (2)解：由题意得 (0,4) 8k+b=0 设直线BC的解析式为y=x+b(k≠0)，则b=4, 2 解得b=4· “直线BC的解析式为y= 2+4 1 3 由恩意知点的坐标为m一4m 2m+4 m2 点标为-甘+ 3 4 :△DMN为等腰直角三角形， .DM MN, 当点M在对称轴右侧，即3<m<8时，如图1所示， y D M 图1 DM=2(m-3) 由题意，得 答案第6页（共2页） 2(m-3)=-m2+2m. 解得m=26或m=-2V6 或 (舍去)： 当点M在对称轴左侧，即0<m<3时，如图2所示， y D 3 图2 由题意得DM=23-m),MW=- m2+2m 4 2(3-m）=-2m2+2m 4 解得m=8-210成8+2V10 或 (舍去)， 综上所述，m的值为2W6或8-21而 或 2=2 7.(1)解：：抛物线y=2+2x+c的对称轴为直线x=2 a=-2,即y=- 2+2x+c ,0A=1, A(-1,0) 把此点坐标代入y=一 2+2x+e得：c= 2 2 即抛物线的解析式为：y)x+2x+ 2 2)解：：点11 ，对称轴为直线x=2, “点860) 答案第7页（共2页） 把x=0f代入y=+2r+ )中，得y 设直线BC的表达式为y=G+b, 0=5k+b 5 则3b 解得：=，6 2 15 :直线BC:y=2+2 2, 0x, 设点（ 25 ∴当x=2时， OD取最大值8· (3)点P在对称轴上， .设点P的坐标为 2,m) 点B(5,0),点C(0,2.5), ）2 ABPC为直角三角形， 当BC为斜边时，可得 :4 4+(2m+9+m2=125 )2 4 3 解得：m=4或m= 2 答案第8页（共2页） 即Pe4到R2引 当BP为斜边时，可得 2 4 =9+m2 解得：m=13 当CP为斜边时，可得 -9+m2+125 4, 解得：m=6, P2,-6) 防上法，两足来有的合P的坐标为：2利女2-读2兮)aB 8.(1)解：直线x=-2与x轴交于点C, c(-2,0) ·.B0,0) .BC=3, .AC=2BC, .AC=6, 直线x=-2与抛物线交于点A, 答案第9页（共2页） 直线x=-2 .A点坐标为 -2,6) 把点A、B坐标代入解析式 -4-2b+c=6 得-1+b+c=0, b=-3 解得：c=4, y=-x2-3x+4 ∴.抛物线的解析式为： (2)解：①，P是直线AB上方的抛物线上一点 .设点P的坐标为 a,-a2-3a+4 设直线AB解析式： y4B=kx+b 将点A、B坐标代入解析式，得 [-2k+b=6 k+b=0 [k=-2 解得：b=2 .》=-2x+2 PD⊥x轴于D,交AB于点E,如图， 答案第10页（共2页) CDOB 直线x=-2 ·点E坐标为a,-2a+2) ∴.DE=-2a+2 PE=-a2-3a+4-(-2a+2) =-a2-a+2 DE=3PE -2a+2=3(-a2-a+2) 解得：41（合去），4=号 4 当x=3时， y=(-(引49 456 “点P坐标是3’9 ②，点M在直线PD上， 4 ÷设点M的坐标为3m :点126)，点B0), 答案第11页（共2页） ,△ABM为以AB为直角边的直角三角形， I:当BM为斜边时，可得：AB2+AM2=BM2, 45t号6-m- +m2 9 19 .m= 3 419Y ∴点M的坐标为3’3， II:当AM为斜边时，可得：AB2+BM2=AM2, :45+49 m-号6-m, 9 7 ∴.m=- 6 47 点M的坐标为36 419)(4_7 综上所述，符合题意的点M的坐标为3’3或3’6 9.(1)解：抛物线的顶点C在轴正半轴上， y=ax-+c ∴.设抛物线的解析式为 ,抛物线经过点 A(-4,0)B(2,6) 和点 0=16a+c ∴.6=4a+c, 1 a=- 2 解得c=8, 提物线解析式为)：寸女+8 (2)解：△ABC是直角三角形，理由如下： 由(1)得y=-x2+8 2 答案第12页（共2页） ,抛物线的顶点C在y轴正半轴上， (0,8) :顶点C的坐标为 点1(-40)，点B82,60 4C2=（4-0+(0-8=80,4B2=(-4-2}+(0-6=72,BC2=(2-0+(6-8y=8 ,80=72+8, ∴.AC2=AB2+BC2 ∴，△ABC是直角三角形： (3)解：存在，过程如下： 当点P在AB的上方时， B A ,△PAB的面积与△ABC的面积相等， ,点P到AB的距离等于点C到AB的距离相等， CPI‖AB :点4(-40，点(260 ∴设AB的解析式为 =kc+b(k≠0) 0=-4k+b .6=2k+b, k=1 解得b=4, .AB的解析式为y=x+4, ..CPIl AB 答案第13页（共2页) ∴，设CP的解析式为y=x+m, :顶点C的坐标为 0,8) .m=8, ∴.CP的解析式为y=x+8, 依题意得y=x+8 1 x2+8=x+8 2 整理得2+x=0】 解得x=-2或x=0, 顶点C的坐标为 0,8) 把-2代入=号+8，得=(-2+8=6 (-2,6) 点P的坐标为 当点P在AB的下方时， B P2 :AB的解析式为y=x+4,且记AB与y的交点为点E, “点E的坐标为 0,4) 则CE=8-4=4. .'.CE=OE=4. 即直线向下平移4个单位到4B,则4B向下平移4个单位得到的直线经过原点O, 答案第14页（共2页) y=x 即直线的解析式为 ,△PAB的面积与△ABC的面积相等， ∴，点P到AB的距离等于点C到AB的距离相等， 即2与二次函数的交点分别是 R:P y=x 联立48 解得5=-1+7，=-1-V7 点的坐标为1+，-1+可)：点的整标为1-，-1列。 综上：点P的坐标为(-2,6)或1+7，-l+7)或(1-V17-7-) 10.(1)抛物 y=ax2-2ar+a+10(a<0), y=a(r-P+10 .顶点P的坐标为(1,10). (2),四边形CNDE是菱形，CD轴， ∴，CF=FD,EF-FN 设C的坐标为(1，m), .M(1,0)· 则F的坐标为(xF,m),D的坐标为(XD,m),E的坐标为(XF,2m), ,点D在抛物线上 .a(x-1)2+10=m ∴.D1+ gm-1 或xp1-/m-10 (舍) a ,点E在抛物线上 .a(x-1)2+10=2m 答案第15页（共2页） x1+2m10或xe1- 2m-10 (舍) a ..CF=FD &14安2m=0ea+"。0)户1+2m10 0 a .2 2m-10-gm-10 a a 0 :.m-7 40 PC=10-m= 7 PC 10-m 4 CM=m3 11.如图所示，连接CE, B 由点E坐标 -2,0)mB(-2,-2b) ,得 当x=0时，y=-4,即C0-4) 假设D(x0) :5m号8E-(k-)-x2bx2-2b, 5.c-DE-clx(+2)x4-2x+4. S.oDEBE-x(x+2)w2b-k+2 S.BCD=S.BCE+S.DCE-S.BDE=3 答案第16页（共2页) 即2b+2x+4-bx-2b=3, 1 整理得X=b-2 1 将x=b-2代入x2+bx-4=0得， 40 解得6=3政0=3 ,点D位于正半轴， 1 62>0, 解得b>2, b=3 故答案为：3 12.解：把点A(m,0)代入y=2x+1得： 1 0=2m+1, 解得：m=-2, A(-2,0) 点 把点1(-2,0)代入=m-4r+3a+0).得： 0=4a+8a+3,解得：a=- 4 1 ∴抛物线的解析式为y= 42+x43. 设直线y2x+1与y轴的交点为点H, 对于少=2+1， 当x=0时，y=1, 答案第17页（共2页） ∴直线y=2x+1与y轴的交点坐标为H(0,1), 1 y=-x2+x+3 4 联立得： 1 y=-x+1 21 x=-2 x=4 解得：y=0或y=3, 点8(43) 1 对于y=-4+x+3,当x=0时，y=3, 4 0,3) ∴点D的坐标为 ∴DH=2, 4(-2,0) .S.4DB=S.ADH+S.DH 1x2×2+×4×2=6: 2 2 D B E H 13.)解：由三次函数)=++C的图象与‘轴交于1(1,0)，B(6,0)两点与'”轴交于点 C(0,-3) a-b+c=0 9a+3b+c=0 将点，点，点的坐标分别代入得： AB C c=-3 a=1 b=-2 解得： c=-3' 答案第18页（共2页) y=x2-2x-3 ∴.二次函数表达式为 如图，过点M作y轴的平行线交直线BC于点P,连接MC、MB, 0=3k+t 设直线BC的解析式为y=x+t,将点B,点C坐标分别代入，得t=-3, k=1 解得：t=-3, ∴.直线BC得解析式为y=x-3, 设M(m,m-2m-3)P(mm-3) 则PM=m-3-(m-2m-3）=-m2+3m S.wc-S.w+S.cu =2xMPx(。-) =2x(-m2+3m)x3 3 2<0, 3 27 315 :当m=2时，△MBC面积有最大值8，此时点M的坐标为24： 答案第19页（共2页） 14.(1)解：对于直线y=-2x+2,当x=0,y=2: 当y=0时，则-2x+2=0,解得x=1 40),8(0,2) 将4,0)代入y=a+r+3a≠0)中，得a+b+3=0. b=2 由抛物线的对称轴为直线x=2,得2 a=1,b=-4 心抛物线的表达式为》=-4x+3 (2)解：·A,0) 对称轴为直线x=2 ÷抛物线)=-4红+3与轴的另一个交 C(3,0) ..AC=2 又0B=2, .'.SAABC= 1 2 ×2×2=2 SACD=3S.AC SAcn=3×2=6 :AC=2, :△ACD边AC上的高为6 ()当D在x轴上方时，把y=6代入y=-2x+2,则-2x+2=6 解得x=-2, .D(-2,6) 将=-2代入=-4红+3相 y=15 ,得 .m=15-6=9 答案第20页（共2页) (i)当D在x轴下方时，把y=6代入y=-2x+2,则-2x+2=6 解得x=4, ,D(4,-6) 有少3 把=4代入y=r-4+3 ∴.m=3-（-6)=9 综上可得，m=9。 (3)解：抛物线=r-红+3=(：-2八-1，故顶点P2,-). y=x2-4x+3 、抛物线 沿射线BA的方向平移， OA=1,0B=2 ..OB=20A 将抛物线'=ar+r+3a≠0)沿射线BA的方向平移. ∴.抛物线向下平移的距离是向右平移的距离的2倍， M(2+t,-1-2t ∴.设平移后新抛物线的顶点 则新抛物线的表达式为=(x-2-+(-1-2)） 将x=2+ 代入-+3，=-1 2+,2-) 过点P作PH1MW.垂足为H,则H(2+,-) 答案第21页（共2页） A AH .PM=PN M=M,每-1-()=1-(1-2） 解得0 42=2 (舍)， 新抛物线的表达式为'=(x-4)-5 15.d)y=ax2-26+k+1=k(x-}+1 D(1,1) 顶点 把x=1代入直线I:y=-k+1,得y=k-k+1=1, ∴抛物线的顶点D在直线1上： (2)证明：令x2-2kx+k+1=x-k+1,得2-3kx+2k=0, 即(r-3x+2)=0 k≠0， .x2-3x+2=0, 解得=15=2 .C(2,k+1) 把x=0代 y=x2-2x+k+1 ,得少+1 答案第22页（共2页) A(0,k+1) 连接AC、ED,如图， E 中 :D01E0,) ∴AC∥DE, S.AED=SCDE SAED-S.GED=SCDE-SGED S.AEG=S.CDG 即 16.(山解：抛物线=-+r+C与轴交于点1(-10)和C,与》轴交于点B(03), ∫-(-12-b+c=0 ∴.c=3 b=2 解得c=3, ,y=-x2+2x+3 (②)解：令少=-+2x+3=0 =-1x2=3 ,解得 答案第23页（共2页) .C(3,0) 设直线BC的表达式为y=mx+n, [3m+n=0 m=-1 则n=3,解得n=3, .y=-x+3, 过P作PO∥y轴，交BC于Q, B 设P+2x+3),则0x-x+3), PQ=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x 1 S.c=23.c, 3(-r+-6+03, 解得古1 （不符合题意舍去)，=2 ,-x2+2x+3=-2+2×2+3=3, ,P(2,3) 17. 1)解：设抛物线的解析式为)=a(x+1(x-3a≠0) 把点C66 的坐标代入解析式， a(5+1)×(5-3)=6 可得： 答案第24页（共2页) 1 解得：a= 2 抛物线的解析式为=2(x+1x-3), 3 2 把y= -x 1 3 2整理成顶点坐标式， 可得：y=2(--2】 ·抛物线的顶点D坐标为 1,-2) (②)解：由点1(-10)、点C5,60)、点D.-2 的坐标， 可知4C=(5++(65+y=72,4D=1+1+(-2-0P=8CD2=6-1+(6+2=80 72+8=80 ..AC2+AD2=CD2 .∴△ACD 是直角三角形， ∠C4D=90°，且4C=2=65,AD=8=25 当ED⊥AD时，如下图所示， 梯形的面积为13.2， (DE+AC)D-(DE+2x-132. 整理可得： DE+62)x25=132. DE= √2 解得： 5, 设直线4C的解析式为 =a+b(k≠0) -k+b=0 可得：5k+b=6, 答案第25页（共2页） k=1 解得：b=1, 则直线AC的解析式为y=x+1, :AC⊥AD,DE⊥AD, ·AC∥DE, 设直线DE的解析式为y=x+d, 把点D的坐标L-2)代入J=x+d 可得：1+d=-2, 解得：d=-3, 直线DE =x-3 的解析式为 设点E的坐标为 x,x-3) DE=32 5, (x-+(x-3+2}= 32 5, 8 2 解得：=5，占=5（不符合条件，舍去）， y=x-3= 点的飞标药自引 答案第26页（共2页) 当CE⊥AC时，如下图所示， 梯形的面积为13.2， ∴(4D+EC)4C=5+EC)x62=l3.2, 解得： Cs② 5, 设直线1D的解析式为'=r+6(≠0) 把点1(-10和点D1-2》的学标代入=4+6传0)。 -k+b=0 可得：k+b=-2, 「k=-1 解得：b=1, 直线AD y=-x-1 的解析式为 设直线CE的解析式为”=一+4 把点C5,6 的坐标代入y=-x+d -5+d,=6 可得： 4,-11 解得： 答案第27页（共2页） ∴直线CE的解析式为y=-x+11, 设点E的坐标为 x,-x+11) ·EC= 5, 26 24 解得：= 5,七3= 5(不符合题意，舍去)， .∴y=-x+11=- 26+11=29 2629 点E的坐标为5’5 当AE∥CD,AE⊥ED时，如下图所示， 设直线CD的解析式为'=mr+m(m≠0) 把点C6.6不和点D-2)的坐标代入=r+am0)】 [5m+n=6 可得：m+n=-2, m=2 解得：n=-4, 答案第28页（共2页） CD =2x-4 直线的解析式为 ,AE∥CD, ∴.设直线AE的解析式为y=2x+t, 把4(-1.0)代入直线解析式 2x(-1)+t=0 解得t=2, .直线AE的解析式为y=2x+2, 设E(2x+2) E=(++(2x+2.ED2=(c-+(2x+4 'AE⊥ED ∴.∠E=90° .AD2=AE2+ED2, :8=(x+1+(2x+2+(x-+(2x+4 整理得5x2+12x+7=0, 解得：无=山名=号 ~41,0),当E的横坐标为时。4E与CD不平行，舍去， 4ej+-器2 n-（号g4,D- 5, 答案第29页（共2页） 2W +4V5 AE+CD)XED 5 .S稀形ABDc= =13.2,符合题意： 2 /B 你击，在防居)实学)子-引 18,（少解：揽物线职y=-2x=-2-2, .顶点A的坐标为(2，-2)： (2)解：设顶点B的横坐标为t, “点B在直线y=2x+1上， (1 w,W :是平移得到， .a值不变， 之所的解折式为：少=-++1， 1 2 由题意，P横坐标为t+2, 化入斯得数标，号02-+宁*1宁3.用P2宁+ 2 W :1P平行于”的对称轴（直线=1）， 答案第30页（共2页） ∴，AP为垂直于x轴的直线，即A、P横坐标相等： .t+2=2, t=0, .B0,1),P(2,3), 此时AP=3-(2)=5,点8到直线4P(x=2)的水平距离为2-0=2， /W3 4 *5x2=5 24Px2-1x _W2B(0,1)A(2,-2) (3)解：由(2)得原顶点 设直线AB的解析式为y=mx+n, -2=2m'+n m、3 2 则n=1 ,解得：1=1’ ∴直线4B的解析式为y=一 t+1 3 沿AB平移时，新抛物线顶点B仍在直线AB上， 3 Bm,-2m+1 设（ 则新抛物线解析式为：)=x-m心- 1 m+1 2 将A2,-2)代入得： -2=2-m2-3m 2 m+1,整理得m2-7m+10=0' 2 解得：m=2或m=5, 平移距离为顶点B(O,)到B的距离： 答案第31页（共2页) 当m=2时，B2,-2),平移距离BB=V2-0+(-2-少= 当m=5时， 8-6-0+( 平移距离 2 513 综上，本次平移的距离为V13或2： 19.(1)解：令y=0,则ax2+2ax-3a=0, :a≠0，两边除以a得x2+2x-3=0, 因式分解得任+3(x-1)=0 解得x=-3或x=1, ,点A在点B左侧， 1-3,0)）B1,0) (2)解：如图，连接CE. B .y=ax+2ax-3a-a(x+l)-4a ∴抛物线的对称轴为x=-1, 令x=0,得y=-3a,故C(0,-3a)】 ,点E与C关于x=-1对称， .E(-2,-3a) EC=4,4E=(-2+3+(-3a-0y2=1+9a2 ,EC∥x轴， 答案第32页（共2页） ∴.∠ECA=∠CAO ,AC平分∠EAO, ∴.∠EAC=∠CAO, .∠EAC=∠ECA, ∴.AE=EC, 5 :1+9g=4.解得0=-了会去正值。 放猫线的表达式为.2 3 3x+V5 (3)解：由a)(2)知1-30)，D(-4o）,C(0-3a）,如图，过点D作DM1x轴，过点P作 PN⊥x轴，连接AP. 设直线CD的方程为y=a-3a D-l-4a）代入得：4a=-k-3a,解得=a. ,S△ADr=SACFP S.ADF+S.AFP =S.CFP+SAFPSAPD =S.APC ,即 ,△APD与△APC有公共边AP,面积相等， ,点D、C到直线AP的距离相等，故CD∥AP, 设直线AP的方程为y=ar+n, 将-30 代入得：0=-3a+n,解得n=3a 所以直线AP的方程为y=ar+3a. 答案第33页（共2页) y=ax2 +2ax-3a 联立y=ax+3a,得ar2+2ax-3a=a(x+3), 整理得x2+x-6=0,解得x=-3(对应点A)或x=2, P(2,5a) 将x=2代入)=r+30得y=50,故月 20.(1)解：由题意可知，直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C, 令x=0.y=3 ,则点C的坐标为 0,3) 令=0.x=-3,则点4的坐标为3,0)， 三次函数y=r-2x+3 G 图象， A(-3, 将 0代入=a-2x+3得，0=a(-3-2x(-3)+3 解得，a=-1, (-3)2-3b+c=0 将A(-3,0),C(0,3)代入y=x2+bx+c得，c=3 解得，b=4,C=3, ∴a的值为-1，b的值为4，c的值为3： (2)解：连接AN并延长交y轴于点Q,连接CN,如图所示： B 点的坐标为 P (t,0) ·点N的坐标为 ,2+41+3)1<0. 设直线MW的表达式为： y=kx+b 答案第34页（共2页) 将4-3,0)，Nf++3)代入=+a, 0=-3k+b 得，t2+4t+3=t+b 解得，k=1+1么=3+3 “直线AN的表达式为： y=(t+1)x+3t+3 令x=0,y=3t+3 “点P的坐标为 0,3t+3) 由图可知， S.ANC S.AOC-S.NOC =(30x3-(3x(-), -32_9 22 27 当I=一2时，SC的最大值为8： (3)解：过点M,N分别作MS⊥AC于点S,RN⊥AC于点R,设MN交AC于点E,如图所示， M E 答案第35页（共2页） 由(1)可知， A(-3,0)C(0,3) ∴.OA=0C=3. .∠CAB=45°， ∴∠MES=∠NER=45°， .MS =m.RN=n, .ME=√2mEW=√2n E(t,t+3) .ME=12+3t NE=12+3t ME=NE=12+3t 即 ∴.m=n. ①，m+n=4 时， 即m==2,放N=4W5, 而 当35150时，M号<45，比时不满足题意， 那么由图可知，当t<-3时或t>0时，共2种情况满足题意， 故对应的t值有2个， 故答案为：2： ②，m=n 由 可知， m=n=√2 故ME=2, ,即+31=2 .t2+3t=2 -3-√7-3+√17 解得t=-2或-1或2或2， 答案第36页（共2页) -3-7-3+7 .对应的t值有4个，分别为t=-2或-1或2或2. 答案第37页（共2页） 专题04 二次函数背景下与线段、面积相关的几何问题 题型一 二次函数背景下与线段长度相关的问题 题型二 二次函数背景下用“割补法”求图形的面积 题型一：二次函数背景下与线段长度相关的问题 类型 图例 思路 水平线段 AB=|| 垂直线段 AB=|| 斜线段 AB= 1．如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于A(，)和B(4，n)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=2x2﹣8x+6；（2）当n=时，线段PC有最大值． 【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值． （2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值． 【详解】解：(1)∵B(4，m)在直线y＝x＋2上， ∴m＝4＋2＝6， ∴B(4，6)， ∵A(，)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx＋6上， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝2x2－8x＋6　 (2)设动点P的坐标为(n，n＋2)，则C点的坐标为(n，2n2－8n＋6)， ∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝－2(n－)2＋， ∵， ∴当n＝时，线段PC最大为 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识. 善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件. 2．如图， 抛物线与轴交于点，（点在点的左侧） ，与轴交于点，是抛物线在第四象限上一个动点， 设点的横坐标为，过点作轴的垂线， 交轴于点，交于点． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 【答案】(1)PF＝﹣m2+3m（0＜m＜3），取最大值 (2)点P的坐标为 【分析】（1）由抛物线的解析式结合二次函数图象上点的坐标特征得出点、、的坐标， 再利用待定系数法求出直线的解析式， 根据点的横坐标， 找出点、的坐标， 由此即可得出关于的函数关系式， 利用配方法即可得出最值； （2）根据、的坐标即可得出、的长度， 结合即可得出的值， 将其代入点的坐标中即可得出结论 ． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出点、的坐标；（2）根据求出的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时， 根据二次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键． 【详解】（1）解：依题意，当时，， ； 当时， 有， 解得：，， ，． 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为． 点的横坐标为， ． 当时，， ． ． ，， ， 当时，取最大值． （2）解：，轴， ， ， ， 此时点的坐标为． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段列出函数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键． （1）将点B坐标代入即可求出解析式； （2）先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点C的坐标为，列出线段的关系式配方即可得到的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵二次函数的解析式为， ∴时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 所以直线的解析式为 设点的坐标为． 则点的坐标为． 因为点在点的右边， 所以 ． 因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点， 所以， 所以当时，线段的长度有最大值，最大值为． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出答案即可； （2）把抛物线化为顶点式，根据平移规律进行解答即可； （3）求出直线的解析式为，设，则，则线段的长度，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解： ∴将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为； （3）当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 设，则， 则线段的长度， ∵ ∴当时，线段的长度的最大值为． 5．如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线表达式； (2)点是第三象限内抛物线上一点，求∆ADC面积的最大值； 【答案】(1) (2)当时，S∆ADC的最大值是4 【分析】（1）求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，作于点，得到，将转化为二次函数求最值即可； 【详解】（1）解：与轴交于点， ， ． ， ， ， 将代入中，得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知：，， 设直线：，将，代入， 得，解得． ． 设，则． ∴ ∵， 当时，DE有最大值，最大值是． ∴S∆ADC=. 6．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N．过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：由题意得； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，过点Q作轴，交直线于点D，请你求出线段的最大值； (3)点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使得为直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)QD的最大值为 (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的表达式为，设点，则点，得到．根据二次函数的性质进行解答即可； （3）分、、三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∵， ， 把此点坐标代入得：， 即抛物线的解析式为：． （2）解：∵点，对称轴为直线， ∴点， 把代入中，得， ∴点， 设直线的表达式为， 则， 解得：，， ∴直线：， 设点，则点， ∴． ∴当时，取最大值． （3）点P在对称轴上， ∴设点P的坐标为 ∵点B(5,0)，点C(0,2.5)， ∴， ∵∆BPC为直角三角形， 当BC为斜边时，可得 ∴， 解得：或， 即或， 当BP为斜边时，可得 ∴， 解得：， 当CP为斜边时，可得 ∴， 解得：， 即． 综上所述，满足条件的点P的坐标为：或或或． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【分析】（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设点P的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出和的长度，由，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标； ②设点M的坐标为，分别求得、、的长度，根据是以为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是为斜边，二是为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 9．如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，且过点和点 (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在点（不与点重合）使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得， ∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴顶点的坐标为； ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； (3)存在，或或 【分析】（1）先设抛物线的解析式为，再把点和点分别代入列式计算，即可作答． （2）先求出顶点的坐标为，根据得出，即可得出是直角三角形，即可作答． （3）根据平行线之间距离处处相等，以及一次函数的图象性质，平移性质，列出方程组，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：存在，过程如下： 当点在的上方时， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， ∴， ∵点，点， ∴设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， ∵顶点的坐标为 ∴， ∴的解析式为， 依题意得， ∴， 整理得， 解得或， ∵顶点的坐标为； ∴把代入，得， ∴点P的坐标为； 当点在的下方时， ∵的解析式为，且记与的交点为点， ∴点的坐标为， 则， ∴， 即直线向下平移个单位到，则向下平移个单位得到的直线经过原点O， 即直线的解析式为， ∵的面积与的面积相等， ∴点到的距离等于点到的距离相等， 即与二次函数的交点分别是， 联立 解得， 点的坐标为；点的坐标为； 综上：点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及勾股逆定理，二次函数与面积综合，二次函数的图象性质，一次函数的几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+a+10（a<0）的顶点为P，作PM⊥x轴于M．点C是线段PM上一点，CD // x轴交抛物线于第一象限一点D，过线段CD的中点F，作EN⊥CD，交抛物线于点E，交x轴于点N． （1）求顶点P的坐标； （2）若四边形CNDE是菱形，求的值； 【答案】解:（1）顶点P的坐标（1，10）；（2）；（3）． 【分析】（1）先将化为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）设C的坐标（1，），根据所求顶点坐标可分别求出M（1，0），设F的坐标（，）利用菱形的性质表示出D（，）和E（，），则可得与，则可求得PC和CM的代数式，计算后即可求解； 【详解】解:（1）抛物线（）， ∴． ∴顶点P的坐标为（1，10）． （2） ∵四边形CNDE是菱形，CD//x轴， ∴CF=FD,EF=FN 设C的坐标为（1，）， ∴M（1，0）． 则F的坐标为（，），D的坐标为（，），E的坐标为（，2）， ∵点D在抛物线上 ∴ ∴=或=（舍） ∵点E在抛物线上 ∴ ∴=1或=（舍） ∵CF=FD ∴(=( ∴ ∴m= ∴． ∴ 题型二：二次函数背景下用“割补法”求图形的面积 类型 图例 思路 补形法 = 割补法 = 铅锤法 = 等积变形法 ∵PQ//BC ∴= 11．如图所示，二次函数的图象与x轴分别交于A，D两点，与y轴交于点C，点E坐标，过点E且垂直x轴的直线交抛物线于点B，若，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的思路是“先补后割” 【详解】解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 12．如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点．连接，，求的面积； 【答案】6 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积的计算，解题思路是用“割”的方法。 【详解】解：把点代入得： ， 解得：， ∴点， 把点代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线与y轴的交点为点H， 对于， 当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为， 联立得：， 解得：或， ∴点， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵， ∴； 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． 若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． 【答案】当时，有面积最大值，此时点的坐标为； 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，解题思路用“铅锤法”求的面积。 【详解】解：由二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点， 将点，点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴二次函数表达式为； 如图，过点作轴的平行线交直线于点，连接， 设直线的解析式为，将点，点坐标分别代入，得， 解得：， ∴直线得解析式为， 设，， 则 ∵ ， ∵， ∴当时，面积有最大值，此时点的坐标为； 14．在平面直角坐标系中（如图），直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过点，对称轴为直线，它与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求点、的坐标和抛物线的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位，使平移后的新抛物线与直线交于点，如果，求的值； (3)将抛物线沿射线的方向平移，设平移后新抛物线的顶点为，新抛物线的对称轴与原抛物线交于点，如果，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）先求出与坐标轴的交点，再待定系数法求解函数表达式； （2）先求出，即可得到边上的高，然后分类讨论求解点坐标，即可求解抛物线上对应点坐标，即可求解； （3）设平移后新抛物线的顶点，则新抛物线的表达式为 ，求出．过点作，垂足为，则．根据三线合一得到，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：对于直线，当； 当时，则，解得 ∴，． 将代入中，得． 由抛物线的对称轴为直线，得． ，． ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点， ． 又， ∴S∆ABC=． ， ． ， 边上的高为6． （i）当在轴上方时，把代入，则 解得， ∴． 将代入，得． ． （ii）当在轴下方时，把代入，则 解得， ∴． 把代入，得． ． 综上可得，． （3）解：抛物线，故顶点． ∵抛物线沿射线的方向平移， ∵ ∴， 将抛物线沿射线的方向平移， ∴抛物线向下平移的距离是向右平移的距离的2倍， ∴设平移后新抛物线的顶点， 则新抛物线的表达式为 ． 将代入，得， ∴． 过点作，垂足为，则． ， ，得， 解得（舍），． ∴新抛物线的表达式为． 15．已知平面直角坐标系（如图所示），抛物线的顶点为，与轴交于点，直线． (1)求证：抛物线的顶点在直线上． (2)如果抛物线与直线除点外，同时还经过另一点，已知点，连接、交于点，连接． 试说明：； 【分析】（）把函数解析式转化为顶点式，求出顶点的坐标，进而代入一次函数解析式即可求证； （）求出点和点坐标，连接，可得，即得，进而即可求证； 证明：（1）∵， ∴顶点， 把代入直线，得， ∴抛物线的顶点在直线上； (2)证明：令，得， 即， ∵， ∴， 解得，， ∴， 把代入，得， ∴， 连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； 16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． 当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可； （2）先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：令，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去），， ∴， ∴； 17．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点和点，点为抛物线的顶点，直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出点坐标； (2)若直角坐标平面中的点和点、、构成直角梯形，且面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)点的坐标为或或． 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，把解析式转化为顶点坐标式，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）根据点、、的坐标可知，若点和点、、构成直角梯形，则有三种情况，一种情况是，另一种情况是，根据梯形的面积是分情况求解，第三种情况为，，验证面积等于13.2即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 整理得：； 把整理成顶点坐标式， 可得：， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：由点、点、点的坐标， 可知，，， ， ， 是直角三角形，，且，； 当时，如下图所示， 梯形的面积为， ， 整理可得：， 解得：， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 则直线的解析式为， ，， ， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， 解得：，（不符合条件，舍去）， ， 点的坐标为； 当时，如下图所示， 梯形的面积为， ， 解得：， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：，     直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 点的坐标为． 当，时，如下图所示， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：，     直线的解析式为，     ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入直线解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴，， ∵ ∴， ∴, ∴， 整理得， 解得： ∵，当的横坐标为时，与不平行，舍去， ∴    , ∴，即， ，即， ∴，符合题意； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，待定系数法求函数的解析式，一次函数解析式，特殊四边形的面积计算等相关知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为A．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． (1)求抛物线的顶点A的坐标； (2)当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； (3)在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 【答案】(1) (2)5 (3)或． 【分析】（1）根据二次函数的性质即可解答； （2）设顶点的横坐标为，则，根据是平移得到的，得出的解析式为：，由题意，横坐标为，则，根据平行于的对称轴（直线），求出，则，，即可求解； （3）由（2）得原顶点，，求出直线的解析式，根据新抛物线顶点仍在直线上，设，则新抛物线解析式为：，将代入求出或，再根据平移距离为顶点到的距离：解答即可； 【详解】（1）解：抛物线， ∴顶点的坐标为； （2）解：设顶点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵是平移得到， ∴值不变， ∴的解析式为：， 由题意，横坐标为， 代入得的纵坐标：，即， ∵平行于的对称轴（直线）， ∴为垂直于轴的直线，即、横坐标相等： ∴， ∴， ∴，， 此时，点到直线的水平距离为， ∴； （3）解：由（2）得原顶点，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 沿平移时，新抛物线顶点仍在直线上， 设， 则新抛物线解析式为：， 将代入得：，整理得， 解得：或， 平移距离为顶点到的距离： 当时，，平移距离； 当时，，平移距离； 综上，本次平移的距离为或． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求点和点的坐标； (2)若点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，若平分，求抛物线的表达式； (3)若点是抛物线第四象限上一动点，连接、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求P点坐标（用含a的代数式表示）。 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）令，得，消去因式分解得，结合点在左侧，得、； （2）将抛物线化为顶点式得对称轴，令得，与关于对称，故，由轴得，又平分，故，即，用勾股定理列出方程求即可； （3）由，得，因两三角形共边，故，求得直线方程，联立抛物线方程解得． 【详解】（1）解：令，则， ∵，两边除以得， 因式分解得， 解得或， ∵点在点左侧， ∴，； （2）解：如图，连接． ∵， ∴抛物线的对称轴为， 令，得，故， ∵点与关于对称， ∴， ∴，． ∵轴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，解得(舍去正值)， 故抛物线的表达式为； （3）解：由（1）（2）知，，，如图，过点作轴，过点作轴，连接． 设直线的方程为， 将代入得：，解得． ∵， ∴，即， ∵与有公共边，面积相等， ∴点、到直线的距离相等，故， 设直线的方程为， 将代入得：，解得， 所以直线的方程为． 联立，得， 整理得，解得(对应点)或， 将代入得，故， 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与二次函数的图象相交于点，点为轴上的动点，过点并且平行于轴的直线与两个图象，分别交于点，． (1)求，，的值． (2)当点在线段上时，求面积的最大值． (3)设点，到直线的距离分别为，． ①当时，对应的值有 个； ②求当时，对应的值． 【答案】(1)的值为，的值为，的值为 (2)的最大值为 (3)①2；②或或或 【分析】（1）求出直线与轴交点，与轴交点的坐标，再代入两个二次函数解析式中即可求解； （2）连接并延长交轴于点，连接，求出直线的解析式，即可求得点Q的坐标，由可得关于t的二次函数，即可求得最大值； （3）过点M、N分别作于点，于点，设交于点，由题意得，，由点E的坐标得，则得； ①由题意得，故，而，当时，，此时不满足题意；当时或时，共种情况满足题意； ②由可知，，故，由，即，可求得t的值． 【详解】（1）解：由题意可知，直线与轴交于点，与轴交于点， 令，，则点的坐标为， 令，，则点的坐标为， 二次函数的图象， 将代入得，， 解得，， 将，代入得， 解得，，， 的值为，的值为，的值为； （2）解：连接并延长交轴于点，连接，如图所示； 点的坐标为， 点的坐标为，， 设直线的表达式为：， 将，代入， 得， 解得，，， 直线的表达式为：， 令，， 点的坐标为， 由图可知，， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：过点M、N分别作于点，于点，设交于点，如图所示， 由（1）可知，，， ， ， ， ，， ，， ， ，， 即， ， 当时， 即，故， 而， 当时，，此时不满足题意； 那么由图可知，当时或时，共种情况满足题意， 故对应的值有个， 故答案为：； 由可知，， 故， ，即， 解得或或或， 对应的值有个，分别为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $