专题二·期中综合复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

专题二·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握一元二次方程根的判别式的应用 · 灵活运用直接开平方、因式分解、配方、公式法解方程 · 会用换元法处理复杂方程结构 · 能利用根与系数关系解决求值与构造方程问题 · 能综合一元二次方程与实数、二次根式知识解决压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.根的判别式 Δ=b2-4ac决定根的情况：Δ>0两不等实根、Δ=0两等实根、Δ<0无实根 含参问题注意二次项系数a≠0的讨论 证明方程总有实数根时把Δ化为完全平方式 概念辨析例题：若关于x的方程x2+6x-m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围 答案：m>-9 解析：Δ=36+4m>0，解得m>-9 ☆ 2.解一元二次方程 直接开平方：x2=p（p≥0）时x=± 因式分解法：化为(x-a)(x-b)=0 公式法：x=（Δ≥0） 概念辨析例题：解方程：4x2-2x-1=0（用配方法） 答案：x= 解析：x2-x=，配方得(x-)2=，开方得x-=± ☆ 3.换元法解方程 把相同整体设为新元，降低方程次数 换元后注意新元的取值范围 解出新元后代回原元求x，并检验 概念辨析例题：解方程：(5-2x)2-5(5-2x)+6=0 答案：x=或x=1 解析：设y=5-2x，则y2-5y+6=0，分解得(y-2)(y-3)=0，y=2或3，故5-2x=2或3 ☆ 4.根与系数的关系 两根和x1+x2=-，两根积x1x2= 可构造新方程：新方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0 结合方程的解构造降次等式求代数式值 概念辨析例题：构造一个以x为未知数、两根比y2-5y+2=0的两根都大2的方程 答案：x2-9x+16=0（答案不唯一） 解析：原两根和5、积2；新两根和为5+4=9、积为(5+2)×(2+2)=16，故x2-9x+16=0 📋 知识总结表 核心概念 定义与公式 注意事项 根的判别式 Δ=b2-4ac Δ≥0时有实数根 直接开平方 x=±（p≥0） 注意±号 因式分解法 (x-a)(x-b)=0 右边为0 配方法 (x+m)2=n（n≥0） 系数化为1 求根公式 x= Δ<0无实数根 根与系数 x1+x2=-，x1x2= 可构造新方程 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与根的判别式 · Δ的符号判断根的情况 · 含参问题先讨论a是否为0 · 整数根与Δ为完全平方数联系 1．（25-26八年级上·上海静安·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况的关系是解题的关键． 由方程中有得；再根据题意可得判别式列不等式求得k的范围，再结合即可解答． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：， 又 ∵ 方程中有意义， ∴， ∴k的取值范围是． 故选： C． 2．（2022九年级上·上海奉贤·竞赛）设二次方程有两个不相等的实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、质数与合数 【分析】先计算一元二次方程的判别式，结合p、q为素数，利用因式分解，通过奇偶性反证根号内的数不能为完全平方数，判断根为无理数． 【详解】解：对于方程， 判别式， 求根公式， ∵方程有两个不相等的实数根，假设是整数， ∴设为（k为整数且）， 则， ， ∵，p、q是素数，，， ∴2q只能分解为或， 情况1：， 若或，均推得，与矛盾； 若p、q为奇素数，由①得k为奇数，则为偶数，②式不成立． ∴情况1不成立． 情况2：， 两式相加得 左边2p是偶数，右边是奇数，等式不成立． 因此不是整数，方程的根一定是无理数． 3．（2024·上海徐汇·三模）如果关于x的方程有实数根，那么a的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据关于x的方程有实数根，得出，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（2025·江苏宿迁·三模）已知满足，则的最小值为______． 【答案】/0.6 【知识点】运用完全平方公式进行运算、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，完全平方公式，设，又，则，所以，整理为，然后根据根的判别式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为整数，且，是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】(1) 且 (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，代数式求值，理解根的判别式是解答关键． （1）根据一元二次方程的定义，根的判别式来求解； （2）根据题意先求出，进而得到，再代入代数式中进行计算求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ， ． ， 且． （2）解：由题意得：，且为的整数， ． 将，代入 得：， 将代入中 ． 6．（23-24八年级上·上海·单元测试）当m为何值时，关于x的方程有两个实数根？并求出这时方程的根（用含m的代数式表示）． 【答案】且； 【知识点】公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了方程的解，一元二次方程根的判别式及解一元二次方程等知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．先将方程整理为一般式，根据方程有两个实数根，即且，进而得出结果，再利用公式法解方程即可． 【详解】解：， ， 关于x的方程有两个实数根， ，且， ，且， 解得：且， ，， ， ． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）求证：关于的方程总有实数根． 【答案】 证明：当时，方程为一元二次方程， ， ∵， ∴ ， ∴ 方程有实数根； 当时，即，方程化为， 解得， ∴方程有实数根； 综上，方程总有实数根． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解决本题的关键是正确计算判别式以及不要漏掉分类讨论的情况．分和这两种情况讨论，当时，通过计算判别式大于0，证明方程有实数根；当时，计算方程是否有解即可． 【详解】略 【考点2】解一元二次方程 · 直接开平方注意±号 · 因式分解优先 · 结果化简 8．（23-24九年级上·全国·课后作业）方程的根是（　　） A． B． C． ， D．， 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解本题的关键． 用直接开平方求解即可． 【详解】解：两边直接开平方，得， 所以或， 所以，， 故选：C． 9．（24-25八年级上·上海·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把看做整体，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， 解得； （2）解：∵， ∴， 则， ， 解得． 10．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知线段的长度是l，点P是线段上的一点，且，求线段的长（用含l的代数式表示）． 【答案】线段的长为． 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解．根据题意设的长可以得出，利用给定的关系式可列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：设，则， 根据得， 则， 整理得， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段的长为． 【考点3】换元法解方程 · 整体设新元 · 注意新元范围 · 代回求x并检验 11．（24-25八年级下·北京·期中）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是，， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：B． 12．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是________． 【答案】3 【知识点】换元法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】先对所求方程进行整理配方，通过换元法得到所求方程的根与已知方程根的关系，求出所求方程的两个实根即可解答． 【详解】解：对方程进行整理： ， 配方得： ， 变形得： ， 令，则原方程变为， 已知方程的根为，， 因此，， 即或 解得，， 所有实根之和为． 【考点4】根与系数关系 · 两根和、积公式 · 构造新方程 · 整体变形求值 14．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将a和b视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可． 【详解】解：①当时： ∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时： ∵a和b是方程的两个根， ∴，， 原式， ∵， ∴分子，分母， ∴原式， 综上所述，原式的值为2或． 故选：C． 15．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）构造一个以为未知数的方程，使新方程的两根比方程：的两根都大2． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，新方程的两根比原方程的两根都大2，因此通过根与系数的关系，计算新两根的和与积，构造新方程即可． 【详解】解：设原方程两根为和， ， ∴新方程的两根 ， ， 因此当二次项系数为1时，新方程为． 16．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知关于的一元二次方程（是不等于1的整数）． (1)解这个关于的一元二次方程； (2)如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求的值； (3)在（2）的条件下，如果一个三角形的三边、、满足，，且，试求这个三角形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法．熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）运用求根公式解一元二次方程即可； （2）根据方程有两个不相等的正整数根，结合第（1）小题的根，求符合条件的； （3）代入，得到a和b是二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出和，结合c的值发现三角形是直角三角形，从而求出面积。 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵是不等于1的整数， ∴， ∴，， （2）解：由（1）知方程的解为2和， ∵这个方程有两个不相等的正整数根， ∴的值为不是2的正整数， ∵是不等于1的整数， ∴， ∴； （3）解：当时，， 整理得， 同理且， ∴和是方程的两个根， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴． 17．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 【答案】(1) (2)、 (3)∵三次方程的三个根分别为、、，且， ∴由根与系数的关系，可得，，， ∴， 所求三次方程为． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系的综合应用等知识点， （1）把两根倒数和通分后代入计算即可； （2）仿照小明同学的求解即可； （3）由根与系数的关系，可得，，，代入即可证出，可设新方程为，由题意和根与系数的关系化简即可得出m，n，p的值，进而即可得解； 熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）， 、、， ，． 设，， ∴，即， 解得， ∴原方程的解为、； （3） 由题意得，可设新方程为， ∵新的三次方程，其三个根分别为、、， 又∵， ∴新的三次方程，其三个根分别可化为、、， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴新方程为． 【考点5】一元二次方程的实际应用 · 增长率、营销、行程、几何模型 · 设元列方程 · 解后检验实际意义 18．（2025·河南周口·一模）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 【答案】C 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设涨价t元，根据每天的利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； 【详解】解：设涨价t元， 根据题意，得：， ∴， 即， 解得：，， ∴（元）或（元）, 即售价为13或15元时，每天的利润可得到700元． 故选：C． 19．（25-26八年级上·上海·阶段检测）曹杨影院七月份的票房10亿元，第三季度的票房共33.1亿元，若每个月的增长率相同，则这个增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题；设每月增长率为，则七月票房为10亿元，八月为亿元，九月为亿元，第三季度总票房为三者之和，列出方程求解. 【详解】解：设每月增长率为， ∵第三季度总票房为33.1亿元， ∴， 化简得： 解得：，（舍去）， ∴增长率为. 故选：A. 20．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在2019年11月11日，某商品销售额为2.35亿人民币．在2023年同日，销售额增长到6.38亿人民币．设这几年年销售额的平均增长率为x，则根据题意可列出方程________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）n，参照本题，等量关系列方程即可． 【详解】根据题意得：， 故答案为：． 21．（23-24八年级下·山东德州·期末）“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1537万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为_____． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键． 设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为，利用这款新能源汽车2024年的销售量这款新能源汽车2022年的销售量这款新能源汽车销售量的年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为， 依题意得：． 故答案为： 22．（2025·广东深圳·二模）如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过________后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 【答案】10或15或30 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，培养了学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，解题的关键是分两种情况进行讨论． 分两种情况进行讨论： （1）当第一只蚂蚁在上运动时，列方程进行求解即可； （2）当蚂蚁在上运动，根据三角形的面积公式即可列方程求解． 【详解】解： 设后两只蚂蚁与点组成的三角形面积为 有两种情况： （1）如图 1，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，． （2）如图 2，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，（舍去）． 综上所述，在后，两只蚂蚁与点组成的三角形的面积均为． 23．（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【答案】小时 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，假设小明看作点，小丽看作点，再过分别作、的垂线，两人与这棵古树的距离恰好相等，也就是，在直角三角形中利用勾股定理列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设两人离开路口时间为，小明看作点，小丽看作点， 千米，千米 两人与这棵古树的距离恰好相等，则 根据题意处与、的距离分别为3千米和2千米 如图，过点作 ， 在中，，即 在中，，即 解得（舍去）， 答：离开路口后经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 24．（25-26八年级上·上海·期末）如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 【答案】(1)米和米或米和米 (2)米和米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查一元二次方程的应用，不等式的应用， （1）设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米，再根据“总面积为平方米”得到关于的一元二次方程，求解后结合题意确定的值后可得答案； （2）根据题意列出方程，求解后结合题意确定的值后可得答案； 正确理解题意，列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， 当时，（米）； 当时，（米）； ∴和各为米和米或米和米； （2）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， ∴， 此时，（米）， ∴和各为米和米． 25．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了A、B两款月饼礼盒．已知A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元． (1)该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？ (2)9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋•礼迎国庆”的促销活动，A礼盒按原价八折出售，销量在9月16日的基础上增加了，超市调研发现，B礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，B款礼盒的促销价应定为多少元？ 【答案】(1)该超市9月16日A礼盒的销量是200盒，B礼盒的销量是150盒 (2)B款礼盒的促销价应定为150元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设该超市9月16日A礼盒的销量是x盒，B礼盒的销量是y盒，利用销售总额=销售单价×销售数量，结合“该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设B款礼盒的促销价应定为m元，则9月17日B款礼盒的销售量为（）盒，根据9月17日超市的销售额达到54000元，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该超市9月16日A礼盒的销量是x盒，B礼盒的销量是y盒， 根据题意得：， 解得：． 答：该超市9月16日A礼盒的销量是200盒，B礼盒的销量是150盒； （2）解：设B款礼盒的促销价应定为m元，则8月17日B款礼盒的销售量为盒， 根据题意得：， 化简得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：B款礼盒的促销价应定为150元． 【考点6】新定义与阅读探究 · 按定义列式 · 赋值发现规律 · 先化简再证明 26．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）如果正数x、y、z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且，则的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、不等式的性质、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形边角关系和解不等式，三角形的两边之和大于第三边，解本题的关键是列出和两个不等式，对这两个式子的化简是解本题的难点．由已知和均为三角形数，得出和，联立两式，可得，再由，得出，即可得出结论． 【详解】解： 为三角形数， ，． ， 为三角形数， ． ． ． 两边同时乘以，得， 即． 化简得：， 两边除以，得． ． ， ． ． 故答案为：. 27．（2024·四川达州·一模）我们发现，关于x的一元二次方程，若的值是一个完全平方数（两个相同的数相乘的结果）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是若一元二次方程的根都为整数，则的值一定是一个完全平方数． 定义：两个根都为整数的关于x的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是 的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接利用新定义计算即可； （2）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值； （3）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，，，， ∴“全整根方程”的“最值码”是； 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“全整根方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， （3）解：方程的判别式， 方程的判别式， 方程的最值码， 方程的最值码， 是的“全整根伴侣方程”， ，即， 化简整理，得：， ， 、 为正整数， ， ， ． 28．（25-26八年级上·上海·阶段检测）我们定义：两根都为整数的一元二次方程，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用表示，即．若有另一个“幸运方程”（均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是___________； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为___________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程与（m，n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出的值． 【答案】(1)①；②或3 (2)5或13 (3)0 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）①把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解；②根据“幸运数”的定义可得方程，解方程可求得的值； （2）由为“幸运方程”，可得两根都为整数，推出为完全平方数，再结合为整数，即可求出的值； （3）根据的解为整数，得出m的值，进而得出，再根据 列方程，将m的值代入计算即可． 【详解】（1）解：①当时，为， ， 即该幸运方程的“幸运数”是； ②当该“幸运方程”的“幸运数”是时， ， 整理得， 解得，， 即m的值为或3； 故答案为：①；②或3． （2）解： ， ， ， ， 为“幸运方程”， 两根都为整数， 为完全平方数， 为49或64或81， m的值为5或或， 为整数， m的值为5或13； （3）解： 为“幸运方程”， 两根都为整数， 设方程的两个根分别为p，q， 则，， ， ， ， p，q都为整数，， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 综上可知，m的值为5或， 的“幸运数”为：， 当时，， 当时，， 综上可知，的“幸运数”为； 的“幸运数”为： ， 与互为“开心数”， ， ， 当时，， 解得，（都不是整数，舍去）； 当时，， 解得， 综上可知，的值为0． 【点睛】本题考查了一元二次方程相关知识，涉及解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等，理解“幸运方程”“幸运数”“开心数”的定义是解题的关键． 29．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）定义：若满足（为常数）且，则称点为“友好点”，若均为“友好点”，已知，且当时，都有，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，解不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先充分理解“友好点”的定义，则，，整理得，，因为，，得，，再整理得，结合当时，都有，进行分析作答即可． 【详解】 均为“友好点”，满足（为常数）且， ，， 两式分别相减，得，， ，，得，， 根据题意，，且当时，都有， ， ， ， ， 故答案为：． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先通分，再进行加减计算，最后化为最简分式； （2）分别计算负整数指数幂，零指数幂，再进行混合计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)12 (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【答案】0 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算有理数的乘方，绝对值，算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再进行有理数的混合运算． 【详解】解： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算规则是解题的关键．先将各个二次根式化简，再进行加减运算，合并同类二次根式即可． 【详解】解： (1)当时，的值为 ； (2)若，则的值为 ． 【答案】(1)9 (2)2 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列式求解； （2）根据平方根的定义得到，，最后代入求解即可． 本题考查平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握平方根的定义及性质是解题的关键． 【详解】（1）解： 正实数的平方根是和， ， ， ， ； ． 故答案为：9； （2）解：正实数的平方根是和， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：2 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 【详解】解： ． 【答案】49 【知识点】相反数的应用、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数、平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴这一个正数为． (1)化简：___________； (2)①的有理化因式是___________， ②请利用的有理化因式化简：； (3)比较大小：___________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1) (2)①；② (3)> 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）①利用有理化因式的定义求解即可； ②根据二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：①∵， ∴的有理化因式是． 故答案为：． ②． 故答案为：． （3）解：∵ ， ， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）小亮的解法错误； （2）因为，利用此性质即可判断； （3）可化为，利用进行化简，再进一步计算求值即可． 【详解】（1）答：小亮的解法错误， 故答案为：小亮； （2）解：∵， ∴当时， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：当时， ， ， ， ， ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算括号内的二次根式的加减法，然后计算二次根式的除法与乘法即可得． 【详解】解： ． 【答案】； 【知识点】分式加减乘除混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查分式的四则运算以及二次根式的化简求值，根据分式的加法法则，除法法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】根据二次根式的混合运算计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【答案】(1) (2)或； (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、算术平方根的实际应用、实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等面积法得大的正方形的面积，结合算术平方根的性质，得大的正方形的边长，然后运用无理数的估算，得出边长介于两个连续整数2和3之间； （2）由（1）得，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，列式表达出点在数轴上表示的数为或； （3）先整理得点在数轴上表示的数为，根据数轴上的两点间的距离进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为 ∴大的正方形的边长为， 即 ∵， ∴， 即边长介于两个连续整数2和3之间； （2）解：由（1）得， 把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或； （3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为， ∴， ∴， 解得， 即点所表示的数为． (1)根据题意，直接写出一组“完美组合数”为 ______（不重复题目中出现的完美组合数） (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求 m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，只要三个负数的绝对值都是一个完全平方数即可满足这三个数是一组“完美组合数”，据此求解即可； （2）根据算术平方根的定义可得这三个数中有两个数的乘积为144，再根据这三个数互不相同可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴是一组“完美组合数”； （2）解：∵三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这三个数中有两个数的乘积为， ∵这三个数互不相等，且， ∴， ∴． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式混合运算、零指数幂、负整数指数幂．先根据二次根式的性质、负整数指数幂和零指数幂的意义进行化简，再进行二次根式的乘除运算，最后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【答案】． 【知识点】求一个数的立方根、立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根条件求值问题，设，则可得，由，则，，，原等式变形为，再整理成即可求解，掌握立方根的性质，巧秒恒等变形使实际问题简化，利用等式两边平方，因式分解求出代数式的值是解题的关键． 【详解】解：设，则可得， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)自变量时，函数取最大值，最大值为 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的应用 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【答案】(1) (2) (3) 解：在点B的右侧， 理由：∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为个单位长度， ∵点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∴此时小蚂蚁的位置表示的数为， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及算术平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与算术平方根的意义． （1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据求出，再求出，再根据题意求出小蚂蚁最后的位置表示的数，进一步判断出在点B的左侧还是右侧即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴ （3）略 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 【答案】(1)①，②； (2)； (3)． 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； 故答案为： ②由①得，已知，两式相加得到， ， 即， 则，解得， 经检验，是原方程的根， 即方程的解是； （2）解： 由二根式有意义的条件得到， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【考点7】实数（平方根、立方根与科学记数法） · 平方根取±、算术平方根取正 · 立方根符号不变 · 科学记数法a×10n中1≤|a|<10 30．（23-24七年级下·上海虹口·期中）计算 的结果是（      ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据立方根的性质计算，即可． 【详解】解：． 故选：B 31．（23-24七年级下·河南漯河·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．立方根等于的数是 B．27的立方根是 C．的平方根是 D．9的算术平方根是3 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根和立方根．根据平方根、算术平方根、立方根，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、立方根等于的数是，说法正确，本选项不符合题意； B、27的立方根是3，原说法不正确，本选项符合题意； C、，4的平方根是，说法正确，本选项不符合题意； D、9的算术平方根是3，说法正确，本选项不符合题意； 故选：B． 32．（23-24七年级下·福建漳州·期末）用小数表示，其中写法正确的是（    ） A．0.00124 B． C．0.000124 D． 【答案】A 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数．把中的1.24的小数点向左移动3位就可以得到结果． 【详解】解：， 故选：A． 33．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查多项式的运算，理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键． 由是有理数，则为有理数，再判断选项即可． 【详解】解：由是有理数，则为有理数， A、，又是有理数，x是无理数 所以是无理数，不符合题意； B、， 同理是无理数，不符合题意； C、，又是有理数，x是无理数 所以为无理数，即是无理数，不符合题意； D、，又是有理数， 所以是有理数，即是有理数，符合题意． 故选：D． 34．（24-25七年级下·北京大兴·期中）已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是_____． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根以及算术平方根的计算，熟练掌握立方根以及算术平方根的定义是解题的关键．本题根据立方根和算术平方根的定义可得关于和的方程进行求解即可． 【详解】解： 的立方根是， ， 的算术平方根是4， ， 解得，， 的值是. 故答案为：. 35．（2025·陕西西安·模拟预测）截至3月26日，电影《哪吒2》全球总票房突破150亿元，150亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数的变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值；由此即可求解． 【详解】解：亿， 故答案为： ． 36．（2025·上海松江·二模）去年我国成为全球第一大汽车出口国，全年共出口汽车约辆，平均每月约出口汽车__ 辆．（用科学记数法表示） 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】解：平均每月约出口汽车：（辆． 故答案为： 37．（25-26八年级上·上海松江·阶段检测）已知、是有理数，且，则_____． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，负整数指数幂，能够结合有理数加减后仍是有理数这一性质列出二元一次方程组是解题关键． 化简题目中方程可得，根据m，n是有理数，可知，列方程求解即可求出m，n的值，代入即可求出答案． 【详解】解： ， ， ， m，n是有理数， ， 解得． ∴ 故答案为：． 【考点8】二次根式 · 被开方数非负 · =|a|化简看符号 · 同类二次根式先化简 38．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段检测）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平方根解方程、已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，利用平方根解方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是最简二次根式且与可以合并，得出，然后利用平方根解方程即可． 【详解】解：∵是最简二次根式且与可以合并， ∴，解得：， 故选：． 39．（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵，， ∴与是同类二次根式，该选项符合题意； 、∵，， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 故选：． 40．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用二次根式的性质化简 【分析】先根据平方和二次根式的性质，得到、的所有可能取值，再结合判断与的符号关系，分情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴与异号，分两种情况讨论： 当时，，； 当时，，． ∴，故选D． 41．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（   ） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质， 要求 且 ．甲和乙在第二个等号后应用此性质时，未考虑a和的非负性，导致错误． 【详解】解：，而非简单等于或． 甲的过程：（正确），但 仅当 时成立； 乙的过程：（正确），但 仅当（即 ) 时成立． 两位同学在第二个等号后应用根式性质时，均未确保或非负． 首次共同错误出现在第二个等号后． 故选：B． 42．（24-25八年级上·浙江金华·期末）二次根式有意义的条件是__________． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得； 故答案为：． 43．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【知识点】同类二次根式 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 44．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为______． 【答案】10 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查非负性，二次根式的运算，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10 45．（24-25八年级上·上海长宁·阶段检测）已知，则________． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式有意义的条件，求出的值，再代入二次根式，利用二次根式的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 💯 课后巩固 复习建议 · 判别式使用前确认a≠0 · 换元后务必代回并检验 · 根系关系常与判别式联用 · 应用题解出后检验合理性 · 压轴题分步骤书写 【作业1】．（2024·辽宁大连·二模）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式．根据根的判别式，代入数据计算可得答案． 【详解】解：一元二次方程， ，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【作业2】．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2003 B．2004 C．2005 D．2006 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，关键是根据根的定义及根与系数的关系得出关于的方程后变形代入目标代数式，解题技巧体现为代入时“降次”（例如：）．根据 是一元二次方程的两个实数根，分别把代入，得出关于的方程，利用这些方程结合目标代数式变形，利用根与系数的关系即可． 【详解】解： 是一元二次方程的两个实数根， ，， ∴，， 将左右两边同乘以得：， ∴， ， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得： ，代入上式，得 ， 故选：D． 【作业3】．（25-26八年级上·上海·周测）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若是方程的一个根，则；③等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为；④一元二次方程，由根与系数的关系，可得．正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查一元二次方程的判别式、等腰三角形性质及根与系数关系，需注意分类讨论． 根据根的判别式可以判断①；将代入方程，可得，即可判断②；分类讨论画图，利用角度的计算可判断③；根据根与系数的关系可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故①正确. ②若是方程的根， 则代入得，即， 若，则不一定为；若，则，故②错误. ③等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为， 当等腰三角形顶角为锐角时，如图，， 此时； 当等腰三角形顶角为钝角时，如图，， 此时， 故顶角可能为或，不唯一，故③错误. ④方程即， 由根与系数关系，，，故④正确. ∴正确的有①和④，共2个． 故选：B． 【作业4】．（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C．0.010010001 D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查的是无理数的识别，算术平方根，掌握无理数的定义是关键．根据无理数是无限不循环小数解答即可． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 【作业5】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列结论中正确的个数是（   ） ①；②是最简二次根式；③和不是同类二次根式；④的有理化因式是；⑤不等式的解集是；⑥的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断、同类二次根式、分母有理化、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查二次根式的性质，最简二次根式，同类二次根式，分母有理化，解不等式，求一个数的近似数等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据二次根式的性质，判断①，最简二次根式的定义，判断②，同类二次根式的定义，判断③，分母有理化，判断④，解不等式，分母有理化判断⑤，求一个数的近似数，判断⑥． 【详解】解：① ，错误； ② 被开方数无平方因子，是最简二次根式，正确； ③，，被开方数不同，不是同类二次根式，正确； ④，有理化因式是 ，不是 ，错误； ⑤，不等式两边除以负数需变号：，解集应为 ，结论错误； ⑥，小数点后第一个非零数字是1，之间有4个0，结论错误． 综上，正确结论有②和③，共2个． 故选：A． 【作业6】．（2025·上海奉贤·三模）如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，解之即可得出的取值范围．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【作业7】．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，用长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是 的长方形鸡场，鸡场有一个的门，设与墙垂直的边长为，所列方程是__________________________． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出墙的对面的一条边的长是解答关键． 设与墙垂直的边长为，根据篱笆总长为，表示墙的对面的一条边的长，再利用长面积公式求解． 【详解】解：设与墙垂直的边长为， 则墙的对面的一条边的长为， 所以列出方程为． 故答案为：． 【作业8】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）解方程 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查运用换元法及因式分解法解一元二次方程，设，则原方程可变形为，再根据因式分解法求解即可 【详解】解：设，则原方程可变形为， ∴， ∴ ∴， 即或， 解得或 【作业9】．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，且都是整数，求的最大值及这种情况下方程的解． 【答案】(1) (2)k的最大值为86，此时方程的解为 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可得，然后进行求解即可； （2）由（1）及题意可得，则方程可变形为，然后可得为开方数，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由（1）及题意可得：， 由可得：， ∵都是整数， ∴为开方数， ∴或41或46或53或62或73或86， ∴k的最大值为86， 此时方程为， 解得：． 【作业10】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）规律探究 设，，则的值为___________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查数字的变化规律以及二次根式的化简求值，解题的关键是根据已知规律得出的表达式，再利用裂项相消法进行计算． 先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算． 【详解】解：由 推知：， 可得， 则 ， 故答案为：． 【作业11】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）解方程 【答案】，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查利用直接开平方法解一元二次方程．移项后开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， 整理得， 开方得， 解得，． 【作业12】．（23-24八年级上·上海闵行·期中）如图，某农场有一道长米的围墙，计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的长方形养鸡场，在墙的对面开了一个1米宽的门，求围成长方形养鸡场的边的长度． 【答案】9米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设围成长方形养鸡场的边的长度为x米，则的长为米，根据靠墙围成一个面积为平方米的长方形养鸡场，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设围成长方形养鸡场的边的长度为x米，则的长为米， ， ， 解得，， 当时，，故舍去； 当时，，符合题意； 所以养鸡场的边的长度为9米． 【作业13】．（2025九年级上·重庆·专题练习）列方程解下列问题： 某公司积极响应节能降碳号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，用1500万元购进A型汽车的数量比用1200万元购进B型汽车的数量少10辆． (1)求每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？ (2)公司将出售两种汽车，将A型汽车的售价定为35万元/辆，B型汽车的售价定为25万元/辆，第一个月售出A型汽车8辆，售出B型汽车6辆，为了尽快将汽车销售完，公司决定在第一个月的售价上搞促销活动，每辆A型汽车降低m万元，第二个月比第一个月多卖出2m辆，每辆B型汽车售价直接打九折，第二个月卖出B型汽车13辆，结果第二个月比第一个月的利润多3万元，求m的值． 【答案】(1)A型汽车进价为每辆30万元，B型汽车进价为每辆20万元 (2)m的值为0.5 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，正确列出方程是解决本题的关键． （1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可； （2）根据题意，先分别列式求出第一个月和第二个月的利润，再根据第二个月比第一个月的利润多3万元，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， 则， 答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元； （2）解：第一个月的利润为： （万元）， 第二个月的利润为： ， ∵第二个月比第一个月的利润多3万元， ∴， 解得， 即m的值为0.5． 【作业14】．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）用配方法解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程转化为完全平方形式后开平方求解，即可． 【详解】解：， ∴ 移项得， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 【作业15】．（25-26八年级上·上海·期末）我们知道，如果正整数a、b、c满足，那么a、b、c称为一组勾股数（或称勾股数组），可表示为（，）．以勾股数组中的三个数为三边长的三角形一定是直角三角形． (1)对于勾股数组，求证：； (2)已知一元二次方程的系数a、b、c均为正整数，如果正有理数p满足：为该方程的两根之和，为该方程的两根之积，求证：此时的系数a、b、c一定是一组勾股数． 【答案】(1) 证明：∵ ， ∴ ，即， ∴ ， ∴ ，即； (2) 证明：设方程的两根之和为，两根之积为， 根据题意，，， ∴ ，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，即， ∴ ，即， ∴ 是一组勾股数． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、勾股树（数）问题 【分析】本题考查的是勾股数，掌握勾股数的定义、平方差公式是解题的关键． （1）先根据勾股数的定义得，再变形利用平方差公式得，再利用分式的性质变形可得结论； （2）设方程的两根之和为，两根之积为，根据题意，，，则，，，再根据即，变形可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握一元二次方程根的判别式的应用 · 灵活运用直接开平方、因式分解、配方、公式法解方程 · 会用换元法处理复杂方程结构 · 能利用根与系数关系解决求值与构造方程问题 · 能综合一元二次方程与实数、二次根式知识解决压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.根的判别式 Δ=b2-4ac决定根的情况：Δ>0两不等实根、Δ=0两等实根、Δ<0无实根 含参问题注意二次项系数a≠0的讨论 证明方程总有实数根时把Δ化为完全平方式 概念辨析例题：若关于x的方程x2+6x-m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围 答案：m>-9 解析：Δ=36+4m>0，解得m>-9 ☆ 2.解一元二次方程 直接开平方：x2=p（p≥0）时x=± 因式分解法：化为(x-a)(x-b)=0 公式法：x=（Δ≥0） 概念辨析例题：解方程：4x2-2x-1=0（用配方法） 答案：x= 解析：x2-x=，配方得(x-)2=，开方得x-=± ☆ 3.换元法解方程 把相同整体设为新元，降低方程次数 换元后注意新元的取值范围 解出新元后代回原元求x，并检验 概念辨析例题：解方程：(5-2x)2-5(5-2x)+6=0 答案：x=或x=1 解析：设y=5-2x，则y2-5y+6=0，分解得(y-2)(y-3)=0，y=2或3，故5-2x=2或3 ☆ 4.根与系数的关系 两根和x1+x2=-，两根积x1x2= 可构造新方程：新方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0 结合方程的解构造降次等式求代数式值 概念辨析例题：构造一个以x为未知数、两根比y2-5y+2=0的两根都大2的方程 答案：x2-9x+16=0（答案不唯一） 解析：原两根和5、积2；新两根和为5+4=9、积为(5+2)×(2+2)=16，故x2-9x+16=0 📋 知识总结表 核心概念 定义与公式 注意事项 根的判别式 Δ=b2-4ac Δ≥0时有实数根 直接开平方 x=±（p≥0） 注意±号 因式分解法 (x-a)(x-b)=0 右边为0 配方法 (x+m)2=n（n≥0） 系数化为1 求根公式 x= Δ<0无实数根 根与系数 x1+x2=-，x1x2= 可构造新方程 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与根的判别式 · Δ的符号判断根的情况 · 含参问题先讨论a是否为0 · 整数根与Δ为完全平方数联系 1．（25-26八年级上·上海静安·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022九年级上·上海奉贤·竞赛）设二次方程有两个不相等的实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 3．（2024·上海徐汇·三模）如果关于x的方程有实数根，那么a的取值范围是________． 4．（2025·江苏宿迁·三模）已知满足，则的最小值为______． 5．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为整数，且，是方程的一个根，求代数式的值． 6．（23-24八年级上·上海·单元测试）当m为何值时，关于x的方程有两个实数根？并求出这时方程的根（用含m的代数式表示）． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）求证：关于的方程总有实数根． 【考点2】解一元二次方程 · 直接开平方注意±号 · 因式分解优先 · 结果化简 8．（23-24九年级上·全国·课后作业）方程的根是（　　） A． B． C． ， D．， 9．（24-25八年级上·上海·期末）解方程： (1)； (2)． 10．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知线段的长度是l，点P是线段上的一点，且，求线段的长（用含l的代数式表示）． 【考点3】换元法解方程 · 整体设新元 · 注意新元范围 · 代回求x并检验 11．（24-25八年级下·北京·期中）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 12．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是________． 13．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 【考点4】根与系数关系 · 两根和、积公式 · 构造新方程 · 整体变形求值 14．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 15．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）构造一个以为未知数的方程，使新方程的两根比方程：的两根都大2． 16．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知关于的一元二次方程（是不等于1的整数）． (1)解这个关于的一元二次方程； (2)如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求的值； (3)在（2）的条件下，如果一个三角形的三边、、满足，，且，试求这个三角形的面积． 17．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 【考点5】一元二次方程的实际应用 · 增长率、营销、行程、几何模型 · 设元列方程 · 解后检验实际意义 18．（2025·河南周口·一模）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 19．（25-26八年级上·上海·阶段检测）曹杨影院七月份的票房10亿元，第三季度的票房共33.1亿元，若每个月的增长率相同，则这个增长率为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在2019年11月11日，某商品销售额为2.35亿人民币．在2023年同日，销售额增长到6.38亿人民币．设这几年年销售额的平均增长率为x，则根据题意可列出方程________． 21．（23-24八年级下·山东德州·期末）“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1537万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为_____． 22．（2025·广东深圳·二模）如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过________后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 23．（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 24．（25-26八年级上·上海·期末）如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 25．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了A、B两款月饼礼盒．已知A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元． (1)该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？ (2)9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋•礼迎国庆”的促销活动，A礼盒按原价八折出售，销量在9月16日的基础上增加了，超市调研发现，B礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，B款礼盒的促销价应定为多少元？ 【考点6】新定义与阅读探究 · 按定义列式 · 赋值发现规律 · 先化简再证明 26．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）如果正数x、y、z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且，则的取值范围是____________． 27．（2024·四川达州·一模）我们发现，关于x的一元二次方程，若的值是一个完全平方数（两个相同的数相乘的结果）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是若一元二次方程的根都为整数，则的值一定是一个完全平方数． 定义：两个根都为整数的关于x的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是 的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 28．（25-26八年级上·上海·阶段检测）我们定义：两根都为整数的一元二次方程，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用表示，即．若有另一个“幸运方程”（均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是___________； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为___________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程与（m，n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出的值． 29．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）定义：若满足（为常数）且，则称点为“友好点”，若均为“友好点”，已知，且当时，都有，则的取值范围是______． (1) (2) (1)； (2)； (3)． (1)当时，的值为 ； (2)若，则的值为 ． (1)化简：___________； (2)①的有理化因式是___________， ②请利用的有理化因式化简：； (3)比较大小：___________．（填“>”“<”或“=”） 如图是小亮和小芳的解答过程． (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)先化简，再求值：，其中． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． (1)根据题意，直接写出一组“完美组合数”为 ______（不重复题目中出现的完美组合数） (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求 m的值． 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 【考点7】实数（平方根、立方根与科学记数法） · 平方根取±、算术平方根取正 · 立方根符号不变 · 科学记数法a×10n中1≤|a|<10 30．（23-24七年级下·上海虹口·期中）计算 的结果是（      ） A．3 B． C． D． 31．（23-24七年级下·河南漯河·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．立方根等于的数是 B．27的立方根是 C．的平方根是 D．9的算术平方根是3 32．（23-24七年级下·福建漳州·期末）用小数表示，其中写法正确的是（    ） A．0.00124 B． C．0.000124 D． 33．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 34．（24-25七年级下·北京大兴·期中）已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是_____． 35．（2025·陕西西安·模拟预测）截至3月26日，电影《哪吒2》全球总票房突破150亿元，150亿用科学记数法表示为______． 36．（2025·上海松江·二模）去年我国成为全球第一大汽车出口国，全年共出口汽车约辆，平均每月约出口汽车__ 辆．（用科学记数法表示） 37．（25-26八年级上·上海松江·阶段检测）已知、是有理数，且，则_____． 【考点8】二次根式 · 被开方数非负 · =|a|化简看符号 · 同类二次根式先化简 38．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段检测）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 40．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，，，则的值为（） A． B． C． D． 41．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（   ） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 42．（24-25八年级上·浙江金华·期末）二次根式有意义的条件是__________． 43．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 44．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为______． 45．（24-25八年级上·上海长宁·阶段检测）已知，则________． 💯 课后巩固 复习建议 · 判别式使用前确认a≠0 · 换元后务必代回并检验 · 根系关系常与判别式联用 · 应用题解出后检验合理性 · 压轴题分步骤书写 【作业1】．（2024·辽宁大连·二模）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【作业2】．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2003 B．2004 C．2005 D．2006 【作业3】．（25-26八年级上·上海·周测）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若是方程的一个根，则；③等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为；④一元二次方程，由根与系数的关系，可得．正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业4】．（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C．0.010010001 D． 【作业5】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列结论中正确的个数是（   ） ①；②是最简二次根式；③和不是同类二次根式；④的有理化因式是；⑤不等式的解集是；⑥的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【作业6】．（2025·上海奉贤·三模）如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【作业7】．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，用长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是 的长方形鸡场，鸡场有一个的门，设与墙垂直的边长为，所列方程是__________________________． 【作业8】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）解方程 【作业9】．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，且都是整数，求的最大值及这种情况下方程的解． 【作业10】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）规律探究 设，，则的值为___________． 【作业11】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）解方程 【作业12】．（23-24八年级上·上海闵行·期中）如图，某农场有一道长米的围墙，计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的长方形养鸡场，在墙的对面开了一个1米宽的门，求围成长方形养鸡场的边的长度． 【作业13】．（2025九年级上·重庆·专题练习）列方程解下列问题： 某公司积极响应节能降碳号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，用1500万元购进A型汽车的数量比用1200万元购进B型汽车的数量少10辆． (1)求每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？ (2)公司将出售两种汽车，将A型汽车的售价定为35万元/辆，B型汽车的售价定为25万元/辆，第一个月售出A型汽车8辆，售出B型汽车6辆，为了尽快将汽车销售完，公司决定在第一个月的售价上搞促销活动，每辆A型汽车降低m万元，第二个月比第一个月多卖出2m辆，每辆B型汽车售价直接打九折，第二个月卖出B型汽车13辆，结果第二个月比第一个月的利润多3万元，求m的值． 【作业14】．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）用配方法解方程：． 【作业15】．（25-26八年级上·上海·期末）我们知道，如果正整数a、b、c满足，那么a、b、c称为一组勾股数（或称勾股数组），可表示为（，）．以勾股数组中的三个数为三边长的三角形一定是直角三角形． (1)对于勾股数组，求证：； (2)已知一元二次方程的系数a、b、c均为正整数，如果正有理数p满足：为该方程的两根之和，为该方程的两根之积，求证：此时的系数a、b、c一定是一组勾股数． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $