专题20.1 二次根式的性质（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦二次根式及其性质核心知识点，先梳理平方根、算术平方根定义及互逆运算，再引出二次根式概念与有意义条件，进而讲解性质1至4及最简二次根式，构建从基础概念到性质应用的完整学习支架。 该资料以“即学即练”结合“典例+变式”设计为亮点，通过易错点辨析（如平方根与算术平方根区别）培养学生推理意识和运算能力，多样题型（如参数求值、实际应用）提升抽象能力与应用意识，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生强化练习查漏补缺。

专题20.1 二次根式及其性质 教学目标 1.  理解平方根、算术平方根定义，掌握平方与开平方互为逆运算；会用符号表示平方根、算术平方根，熟记非负数平方根性质。 2.能熟练求非负数的平方根与算术平方根；会区分平方根和算术平方根；能利用平方根性质简单求值、化简。 3.体会互逆运算思想，培养严谨数学习惯，提升数感与运算能力。 教学重难点 1.重点 正确求一个非负数的平方根与算术平方根； 2.难点 理解平方根和算术平方根的区别与联系。 知识点01 二次根式 1. 二次根式的概念 般地，我们把形如（a为有理数，a≥0）的式子叫做二次根式 2.二次根式有意义的条件 表示a的算术平方根，因为负数没有平方根，所以有意义的条件是a≥0. 【即学即练】 1.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 2.已知是实数，且满足． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的求值，根据二次根式有意义的条件求得是解题关键． （1）根据二次根式有意义的条件可得x的值，进而得出y的值； （2）将x，y的值代入计算即可 【详解】（1）是实数，且满足， 解得 ∴； （2）当，时， ； 知识点02 二次根式的性质 1.性质1 因为 表示a的算术平方根，所以 的平方等于a. 性质1 2.性质2 因为 是 的算术平方根,是一个非负数， 所以当时,=a；当a=0时,=0；当a<0时，=-a. 性质2 【易错点睛】 当时,=a；当a=0时,=0；当a<0时，=-a. 反之，若=a，则a，不能忽略a=0；若=-a，则a，同样不能忽略a=0； 3.性质3 因为，时，，根据算术平方根的意义， 所以有： 性质3 4.性质4 因为，时，，根据算术平方根的意义， 所以有： 性质4 （，） 5.化简二次根式 （1）把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为“化简二次根式”. （2）最简二次根式 ① 被开方数中各因式的指数都为1； ② 被开方数不含分母. 满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式。 【即学即练】 1. 计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）把转化为，再利用二次根式的性质解答即可； （）利用二次根式的性质解答即可； （）利用二次根式的性质解答即可； 本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 2.下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的性质以及二次根式有意义的条件逐一判断即可求解． 【详解】解：因为二次根式的被开方数必须为非负数，选项A中与的被开方数为负数，无意义，所以A错误不符合题意； 因为，所以B错误不符合题意； 因为，所以C错误不符合题意； 因为有意义时，即，所以，所以D正确符合题意； 故选：D． 3.将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（） (4)（，，）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （2）将小数化为分数，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （3）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （4）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解： （3）解：． （4）解：． 【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，掌握二次根式的性质，二次根式分母有理化的计算方法是解题的关键． 题型01 二次根式的识别 【典例1】下列根式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为，且被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中的根指数为，被开方数，∴满足二次根式定义，一定是二次根式； 选项B中，的符号不确定，当时无意义，因此不一定是二次根式； 选项C中，被开方数，无意义，不是二次根式； 选项D中，是三次根式，根指数为，不是二次根式． 【变式1】下列式子一定是二次根式的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据定义，形如的式子叫做二次根式，即只有被开方数恒非负时，式子一定是二次根式． 对选项A，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项C，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项D，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项B，对任意实数，都有，满足二次根式被开方数非负的要求，一定是二次根式． 【变式2】下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件，根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一分析选项即可. 【详解】解：二次根式的定义为，形如的式子是二次根式. ∵ 选项A中式子根指数为3，属于三次根式，不满足二次根式定义，∴ A错误. ∵ 对任意实数，都有，∴ ，该式子根指数为2且被开方数恒为正，满足二次根式定义，∴ B正确. ∵ 选项C中被开方数，式子无意义，∴ C错误. ∵ 当时，无意义，不满足二次根式要求，∴ D错误. 【变式3】下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断． 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． 【变式4】小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 题型02 二次根式有意义的条件 【典例1】若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得， 解得. 【变式1】在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，被开方数非负，分母不等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴且， 解得：． 【变式2】若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，结合为整数的要求，得出是非负完全平方数，列举所有符合条件的完全平方数，即可得到满足要求的自然数的个数． 【详解】∵是二次根式， ∴，可得， 又∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴是非负完全平方数，满足条件的可取， 对应得到的值为，均为自然数， ∴满足条件的自然数共有个． 【变式3】已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得，即，又因为，得，整理，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得， ∴， 即， ∴， 则 ． 【变式4】 【答案】（1）或x>4；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得，或 解得，或x>4. （2）由题意，得 解得. 题型03 化简和 【典例1】如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 ． ∵，即， ∴， 解得． 【变式1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】算术平方根的运算结果为非负数，利用化简各选项即可得到正确答案． 【详解】解：对于A选项：， 因此A计算正确； 对于B选项：， 因此B计算错误； 对于C选项：， 因此C计算错误； 对于D选项：， 因此D计算错误． 【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 【答案】A 【分析】根据题意可知，，再根据绝对值意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】因为，， 所以原式． 【变式3】化简： （1）________； （2）________． （3）______． 【答案】 / / / 【分析】利用二次根式的性质计算即可． 【详解】解：（1）； （2） ． （3）． 【变式4】已知，，为的三边长，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边不等关系，二次根式的化简；由三角形三边关系得，，，再由二次根式的性质，即可化简． 【详解】解：由题意得，，， 原式 ． 题型04 最简二次根式的识别 【典例1】下列式子中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：其一是 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；其二是被开方数不含分母，满足两个条件即为所求． 【详解】∵ 最简二次根式满足：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式， 对于A选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于B选项，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； 对于C选项，，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于D选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ∴ 答案选B． 【变式1】下列根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含分母且每个因式的指数都小于2． 本题考查了最简二次根式，掌握基本概念是解题关键． 【详解】A. 被开方数含小数，等价于含分母，不是最简； B. ，被开方数含平方因子4，不是最简； C. 被开方数无分母且因式指数均为1，是最简； D. ，被开方数含指数为2，不是最简． 故选：C． 【变式2】下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且每个因式的指数都小于2，逐一判断各选项即可． 【详解】解： A、==，不是最简，不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简，不符合题意； C、==，不是最简，不符合题意； D、被开方数不含分母且无法分解出平方因子，是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【变式3下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一判断各选项. 【详解】解：∵ ① ，被开方数为质数，无平方因数，是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，含平方因数，不是最简二次根式； ④ ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ⑤ ，对于实数，且无法分解为完全平方与整数的乘积，无平方因数，是最简二次根式． ∴ 最简二次根式有①和⑤，共个. 故选：B． 【变式4】判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可． 【详解】解：是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 不是最简二次根式，化简为． 题型05 最简二次根式的化简（被开方数是纯数字） 【典例1】把下列各式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将写成，然后利用进行化简即可； （2）先将写成，然后利用进行化简即可； （3）先将写成，然后利用进行化简即可； 本题主要考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式1】判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式． ①    ②   ③   ④ 【答案】见解析 【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可． 【详解】解：①不是最简二次根式，； ②是最简二次根式； ③，被开方数含有分母，不是最简二次根式，； ④不是最简二次根式，． 【变式2】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质及化简进行求解（1）（2）（3）（4）小题即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式3】下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 【变式4】 请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 题型06 最简二次根式的化简（被开方数是含字母因数） 【典例1】当时，化简：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合的正负化简二次根式． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 又∵， ∴，，则， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【变式1】已知，化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式3】化简 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二次根式性质把被开方式分成偶次方与余下部分积，再化为最简二次根式即可； （2）利用二次根式性质把被开方式分成偶次方与余下部分积，再化为最简二次根式即可． 【详解】解：（1）==； （2） ==． 【点睛】本题考查二次根式化简，最简二次根式，掌握化简的方法是把被开方式分成偶次方与余下部分乘积是解题关键． 【变式4】化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 题型07 参数求值和二次根式化简求值 【典例1】是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键． 由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴ 化简后被开方数也为， 又∵是最简二次根式， ∴， 解得：. 故选：A． 【典例2】根据下列条件求代数式的值； （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】分别把、、的值代入，再化简二次根式，然后约分即可求得答案． 【详解】解：（1）当时 原式 ； （2）当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【变式1】当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 【变式2】已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 【变式3】已知是实数，且满足． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的求值，根据二次根式有意义的条件求得是解题关键． （1）根据二次根式有意义的条件可得x的值，进而得出y的值； （2）将x，y的值代入计算即可 【详解】（1）是实数，且满足， 解得 ∴； （2）当，时， ； 【变式4】当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 1．下列选项中，化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式的性质和二次根式化简规则逐个判断选项即可． 【详解】解：A、，故本选项化简正确； B、，故本选项化简错误； C、，故本选项化简错误； D、，故本选项化简错误． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，列出一元一次不等式并求解，即可解答． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 选项中只有满足条件． 3．如图，数轴上点表示的数是，化简为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，则， ∴． 4．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根，平方运算，立方根的定义，计算各选项后即可判断正确结果． 【详解】解：A、，故A错误； B、是25的算术平方根，结果为，故B错误； C、，故C错误； D、根据立方根的性质，，计算正确，故D正确． 5．若是整数，正整数的最小值是_______． 【答案】2 【分析】先化简二次根式，根据二次根式的性质，若二次根式的结果为整数，则被开方数需为完全平方数，据此找出满足条件的最小正整数． 【详解】解：， 是整数，是正整数， 必须是完全平方数， ∴最小的正整数为． 6．化简：________． 【答案】 【详解】解：． 7．如果，那么满足的条件是__________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简可得，再根据绝对值的性质可得，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【分析】． 【详解】由数轴知，， ， ， ． 9．化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则进行化简即可； （2）根据二次根式的除法法则进行化简即可； （3）根据二次根式的除法法则进行化简即可； （4）根据二次根式的除法法则进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 10．化简下列二次根式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的性质和乘除运算法则，化简计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 1．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知：，则有， ∴． 2．下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】最简二次根式满足的条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个分析即可． 【详解】解：，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 综上可知，最简二次根式共有个． 3．若，则化简的结果是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先利用完全平方公式对根号内多项式配方，再根据二次根式性质转化为绝对值式，最后结合的取值范围去掉绝对值符号合并计算即可． 【详解】解：，， 原式， ， ，， 去掉绝对值化简得，． 4．把 化简得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 5．若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，据此列出不等式组求解即可，解题关键是正确列出不等式并求解。 【详解】解：由代数式有意义可得 且 解不等式得， 由解得， ∴不等式组的解集为． 6．若成立，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式分母不为零，列不等式组求解x的取值范围即可． 【详解】解：要使等式成立，需保证所有二次根式的被开方数为非负数，且分母不为零， ∴， 解不等式，得． 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． 7. 当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的求值，先化简二次根式，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：． 当时，． 故答案为：． 8．已知，，是三边的长，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据三角形的三边关系得到，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简，然后再进行加减运算即可． 【详解】解：∵a，b，c分别是的三边， ∴， ∴ ． 9．在二次根式运算中，存在一种有趣的根式“穿墙现象”：当根号内的式子满足特定规律时，根号里面的整数可以直接移到根号外，如同“穿过”根号这道屏障．请你通过观察、猜想、验证和应用，完成以下探究任务． 任务1：观察发现，感知特征 观察下列具有“穿墙特征”的等式： ，，． (1)根据以上特征，直接写出结果：________； 任务2：猜想表达，提炼规律 (2)为整数，且，请用含的代数式表示这一“穿墙”规律； 任务3：逆向应用，拓展延伸 (3)若正整数满足，先求出的值，再写出代数式的值． 【答案】(1) (2)（为整数，且） (3)， 【分析】（1）根据题干等式直接作答即可； （2）根据题干等式，被开方数中，分数的分子与前面的整数相同，分母为整数的平方减1，据此即可得出规律； （3）根据规律得到，求出的值，即可得出结果. 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）解：， ， ． 用含的代数式表示这一“穿墙”规律为：（为整数，且）； 证明：； （3）解：由规律可得， ， ， 为正整数， ， ． 10．古希腊数学家海伦在他的著作《度量论》中，讨论了许多几何图形的面积和体积计算问题，其中包括后来以他的名字命名的三角形面积公式.这个公式用字母表示，即：，.（其中a，b，c分别为三角形的三边长，S为三角形的面积）若王大爹承包了一块三角形田地，三边长分别为100m，120m，180m，每亩承包价格为600元，问王大斧应支付多少元的承包费用？（1亩则670平方米，结果保留到百元） 【答案】5100元 【分析】根据题干所给的方法计算出三角形周长的一半，再将其代入中计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴王大爷的承包费用为：，                                     答：王大爷的承包费用为5100元． 【点睛】本题考查定义新运算，能够理解题干所给计算三角形面积的新方法，并且可以根据方法一步一步计算出三角形的面积是解决本题的关键． 11．问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，________，________，________； (2)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：________； (3)拓展创新：已知，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）解不等式组中的两个不等式可求出x的值，进而可求出y的值，最后可得的值； （2）根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到关于x的不等式组，解不等式组求出x的值，进而得到y的取值范围，再化简即可； （3）根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到关于m的不等式组，解不等式组求出m的值，进而求出n的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：由题意得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∴， ∴ ． 12．请你根据下列素材，完成有关任务． 由完全平方公式可得：对于任意实数，，有，当且仅当时，等号成立． 如果，，用，分别代替上式中的，，可得，当且仅当时，等号成立． 【提出问题】若，，能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：，令，，由，得，当且仅当（即）时，式子取得最小值，最小值为． 请完成下列任务： (1)填空：__________（填“”、“”或“”）；当时，式子的最小值为__________； (2)某物流公司的一辆货车从甲地匀速开往乙地，两地相距千米．该货车每小时的耗油成本（单位：元）与行驶速度（单位：千米/小时）的平方成正比，比例系数为，其他成本为每小时元．设货车从甲地到乙地的总成本为元，为使总成本最低，货车的行驶速度应为多少千米/小时？此时的最低总成本是多少元？（注：假设道路限速允许该速度行驶） 【答案】(1)； (2)货车行驶速度应为60千米/小时，最低总成本为120元 【分析】（1）根据素材求解即可； （2）写出关于的表达式，结合素材求解． 【详解】（1）解：根据公式，当且仅当时取等号． 此处，，，因此； ，，令，， 由得： ， 当且仅当，即时取等号． 最小值为． （2）解：已知每小时耗油成本与速度平方成正比，比例系数： ， 甲乙两地路程千米，行驶时间小时． 每小时其他成本元，总其他成本：；总耗油成本：． 总成本总耗油成本总其他成本： ， 速度， ， 令，， 由： ， 当且仅当时，总成本取最小值： ， 又， ， 所以货车行驶速度应为60千米/小时，最低总成本为120元． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.1 二次根式及其性质 教学目标 1.  理解平方根、算术平方根定义，掌握平方与开平方互为逆运算；会用符号表示平方根、算术平方根，熟记非负数平方根性质。 2.能熟练求非负数的平方根与算术平方根；会区分平方根和算术平方根；能利用平方根性质简单求值、化简。 3.体会互逆运算思想，培养严谨数学习惯，提升数感与运算能力。 教学重难点 1.重点 正确求一个非负数的平方根与算术平方根； 2.难点 理解平方根和算术平方根的区别与联系。 知识点01 二次根式 1. 二次根式的概念 般地，我们把形如（a为有理数，a≥0）的式子叫做二次根式 2.二次根式有意义的条件 表示a的算术平方根，因为负数没有平方根，所以有意义的条件是a≥0. 【即学即练】 1.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知是实数，且满足． (1)求和的值； (2)求的值． 知识点02 二次根式的性质 1.性质1 因为 表示a的算术平方根，所以 的平方等于a. 性质1 2.性质2 因为 是 的算术平方根,是一个非负数， 所以当时,=a；当a=0时,=0；当a<0时，=-a. 性质2 【易错点睛】 当时,=a；当a=0时,=0；当a<0时，=-a. 反之，若=a，则a，不能忽略a=0；若=-a，则a，同样不能忽略a=0； 3.性质3 因为，时，，根据算术平方根的意义， 所以有： 性质3 4.性质4 因为，时，，根据算术平方根的意义， 所以有： 性质4 （，） 5.化简二次根式 （1）把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为“化简二次根式”. （2）最简二次根式 ① 被开方数中各因式的指数都为1； ② 被开方数不含分母. 满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式。 【即学即练】 1. 计算： (1)； (2)； (3) 2.下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3.将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（） (4)（，，）． 题型01 二次根式的识别 【典例1】下列根式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列式子一定是二次根式的为（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【变式4】小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 题型02 二次根式有意义的条件 【典例1】若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【变式1】在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【变式2】若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】已知实数，满足，求的值． 【变式4】 题型03 化简和 【典例1】如果，那么（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 【变式3】化简： （1）________； （2）________． （3）______． 【变式4】已知，，为的三边长，化简：． 题型04 最简二次根式的识别 【典例1】下列式子中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 题型05 最简二次根式的化简（被开方数是纯数字） 【典例1】把下列各式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 【变式1】判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式． ①    ②   ③   ④ 【变式2】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【变式4】 请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 题型06 最简二次根式的化简（被开方数是含字母因数） 【典例1】当时，化简：_______． 【变式1】已知，化简______． 【变式2】化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【变式3】化简 （1） （2） 【变式4】化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 题型07 参数求值和二次根式化简求值 【典例1】是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 【典例2】根据下列条件求代数式的值； （1）； （2）． 【变式1】当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【变式2】已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【变式3】已知是实数，且满足． (1)求和的值； (2)求的值． 【变式4】当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 1．下列选项中，化简正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上点表示的数是，化简为（    ） A． B．2 C． D． 4．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．若是整数，正整数的最小值是_______． 6．化简：________． 7．如果，那么满足的条件是__________． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． 9．化简． (1)；(2)；(3)；(4)． 10．化简下列二次根式： (1)． (2)． 1．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 2．下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若，则化简的结果是（     ）． A． B． C． D． 4．把 化简得（     ） A． B． C． D． 5．若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 6．若成立，则x的取值范围是______． 7. 当时，二次根式的值为 ． 8．已知，，是三边的长，则的值为________． 9．在二次根式运算中，存在一种有趣的根式“穿墙现象”：当根号内的式子满足特定规律时，根号里面的整数可以直接移到根号外，如同“穿过”根号这道屏障．请你通过观察、猜想、验证和应用，完成以下探究任务． 任务1：观察发现，感知特征 观察下列具有“穿墙特征”的等式： ，，． (1)根据以上特征，直接写出结果：________； 任务2：猜想表达，提炼规律 (2)为整数，且，请用含的代数式表示这一“穿墙”规律； 任务3：逆向应用，拓展延伸 (3)若正整数满足，先求出的值，再写出代数式的值． 10．古希腊数学家海伦在他的著作《度量论》中，讨论了许多几何图形的面积和体积计算问题，其中包括后来以他的名字命名的三角形面积公式.这个公式用字母表示，即：，.（其中a，b，c分别为三角形的三边长，S为三角形的面积）若王大爹承包了一块三角形田地，三边长分别为100m，120m，180m，每亩承包价格为600元，问王大斧应支付多少元的承包费用？（1亩则670平方米，结果保留到百元） 11．问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，________，________，________； (2)尝试应用：若x，y为实数，且，化简：________； (3)拓展创新：已知，求的值． 12．请你根据下列素材，完成有关任务． 由完全平方公式可得：对于任意实数，，有，当且仅当时，等号成立． 如果，，用，分别代替上式中的，，可得，当且仅当时，等号成立． 【提出问题】若，，能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：，令，，由，得，当且仅当（即）时，式子取得最小值，最小值为． 请完成下列任务： (1)填空：__________（填“”、“”或“”）；当时，式子的最小值为__________； (2)某物流公司的一辆货车从甲地匀速开往乙地，两地相距千米．该货车每小时的耗油成本（单位：元）与行驶速度（单位：千米/小时）的平方成正比，比例系数为，其他成本为每小时元．设货车从甲地到乙地的总成本为元，为使总成本最低，货车的行驶速度应为多少千米/小时？此时的最低总成本是多少元？（注：假设道路限速允许该速度行驶） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $