第21章·一元二次方程·期中复习·基础巩固讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章·一元二次方程·期中复习·基础巩固讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程的概念，能识别并写出一般形式 · 会用直接开平方、因式分解法解一元二次方程 · 掌握配方法与公式法解一元二次方程 · 会利用根的判别式判断方程根的情况 · 能列一元二次方程解决增长率与几何应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的概念 只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2为二次项、bx为一次项、c为常数项 判断要点：是整式方程、只含一个未知数、整理后未知数最高次数为2 概念辨析例题：判断下列方程是否为一元二次方程：x2+=1与2x2-3x+1=0 答案：2x2-3x+1=0是一元二次方程，x2+=1不是 解析：一元二次方程必须是整式方程，x2+=1含有分式，不是整式方程，故不是一元二次方程 ☆ 2.解一元二次方程 直接开平方法：x2=p（p≥0）时，x=± 因式分解法：将方程化为两个一次因式的乘积等于0，再令各因式为0 配方法：通过配方化为完全平方式后开平方；公式法：x=（Δ≥0） 概念辨析例题：解方程：x2-5x+6=0 答案：x1=2，x2=3 解析：因式分解得(x-2)(x-3)=0，所以x-2=0或x-3=0，解得x1=2，x2=3 ☆ 3.根的判别式 Δ=b2-4ac：Δ>0时方程有两个不相等的实数根 Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ<0时方程没有实数根 含参数方程应用判别式时，注意二次项系数a≠0的前提 概念辨析例题：判断方程x2-6x+3=0根的情况 答案：有两个不相等的实数根 解析：a=1，b=-6，c=3，Δ=(-6)2-4×1×3=24>0，所以方程有两个不相等的实数根 ☆ 4.根与系数的关系 若x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2= 常用整体变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 += 概念辨析例题：已知方程x2-3x+1=0的两根为x1、x2，求x1+x2与x1x2 答案：x1+x2=3，x1x2=1 解析：由根与系数的关系直接得出：x1+x2=-=3，x1x2==1 📋 知识总结表 核心概念 定义与公式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 二次项系数不能为0 直接开平方法 x2=p（p≥0）时x=± p<0时无实数根 因式分解法 化为(x-a)(x-b)=0 等号右边必须为0 求根公式 x= Δ≥0时适用 根的判别式 Δ=b2-4ac Δ>0、Δ=0、Δ<0三类情形 根与系数 x1+x2=-，x1x2= 前提a≠0且方程有实数根 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与一般形式 · 判断前先把方程整理为一般形式，再看未知数最高次数 · 二次项系数a≠0是定义的前提，含参问题要单独讨论 · 区分整式方程与分式方程，分式方程不是一元二次方程 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）将一元二次方程化成一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．不能确定 3．（24-25八年级上·上海·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【考点2】根的判别式与根的情况 · Δ>0两不等实根、Δ=0两等实根、Δ<0无实根 · 含参问题先考虑二次项系数是否为0 · 根据题意列出关于参数的不等式并求解 4．（24-25九年级上·广东广州·期中）设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·浙江台州·期末）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·山东威海·期中）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）2024年10月1日，某高速路检票口车流量约500万辆次，10月2日该高速路检票口的车流量减少．假设从3日、4日车流量有所增加且增长率相同，预计10月4日该高速路检票口车流量达到648万辆次，设10月3日、4日车流量的增长率为x，那么可列方程为____________． 9．（24-25九年级上·北京·开学考试）方程的根为______． 10．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）某地2024年4月份的房价平均每平方米为40100元，该地2022年同期的房价平均每平方米为39800元．假设这两年该地房价的平均增长率为x，根据题意可列出关x的方程为____． 11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程： 【考点3】解一元二次方程（因式分解与直接开平方） · 优先考虑提公因式、平方差、完全平方公式分解 · 直接开平方注意取±号 · 解出后代入原方程检验 12．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段检测）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）珍珍将方程化为的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（    ） A．正确 B．不正确，p的值应为 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 14．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）志愿服务是现代社会文明进步的重要标志，在国家政策支持下，全社会参与志愿服务的热情高涨．中国志愿系统显示2021年10月注册志愿者总人数达亿，截止到2023年10月注册志愿者人数达到亿，求平均每年的增长率．设平均每年的增长率为x，则可估算出________（保留2位有效数字） 15．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，如果设长为米，根据题意可列出方程__________________． 16．（24-25八年级下·上海·期中）如果方程组无实数解，那么实数的取值范围是______． 17．（24-25九年级上·四川南充·期中）已知m，n是方程的两实数根，则_______ 18．（25-26八年级上·上海·期中）已知和是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 19．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解关于的一元二次方程． 20．（24-25八年级下·福建福州·期末）作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【考点4】解一元二次方程（配方法与公式法） · 配方时二次项系数化为1，加一次项系数一半的平方 · 公式法先计算Δ，再代入求根公式 · 结果化为最简形式 21．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）关于的一元二次方程经过配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·四川泸州·期中）将一元二次方程配方，其正确的结果是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）关于的方程，下列说法中正确的有（   ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 24．（24-25九年级上·四川乐山·阶段检测）在实数范围内分解因式：______． 25．（2025八年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 26．（23-24八年级上·上海·单元测试）关于x的方程（为整数）没有实数根，求的最小值． 27．（23-24八年级上·上海·期中）解方程：． 28．（24-25八年级上·上海·期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心，主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长30米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏板50米．请问：工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ 29．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 30．（24-25九年级上·上海·期中）解方程： (1) (2) 31．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）用合适方法解方程： 32．（24-25八年级上·上海宝山·期中）解方程：． 33．（2024·广东东莞·一模）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【考点5】换元法与阅读探究 · 把复杂整体设为新元，注意新元的取值范围 · 换元解出的值要代回原元求出x · 新定义题严格按题目给出的运算规则列式 34．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 35．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若，则一元二次方程的一个根为 _____． 36．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知是关于的一元二次方程． (1)证明：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个根为，，当时，求的值． 【考点6】根与系数关系及整体代入 · 熟记两根和、两根积公式 · x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2整体变形 · 求参数时注意判别式对参数的约束 37．（23-24八年级上·上海普陀·阶段检测）方程的解为_______． 38．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）解方程：． 39．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程：． 【考点7】一元二次方程的实际应用 · 增长率模型：a(1±x)n=b · 几何问题用边长关系列方程，注意取舍 · 解出方程后检验是否符合实际意义 40．（24-25九年级上·江苏常州·期末）我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒140元下调至35元．设平均每次降价的百分率是，可列出方程（  ） A． B． C． D． 41．（2024·河南南阳·三模）2024 年眘节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 43．（2025·河南周口·一模）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 44．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 45．（23-24八年级上·上海·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________________________． 46．（24-25八年级上·上海·期末）某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则这个增长率为 ______． 47．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段检测）某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额为700万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，设这个增长率为x，那么列出的方程是________． 48．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的方程（m为常数）有两个实数根，则m的取值范围为_______________． 49．（25-26九年级上·江西吉安·期末）用配方法解方程，配方后方程转化为的形式为________． 50．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是________． 51．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）二次三项式可在实数范围内因式分解，则的取值范围_____ 52．（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记一元二次方程的一般形式，判断前先整理合并同类项 · 四种解法按方程特征灵活选用，因式分解优先 · 使用判别式前先确认二次项系数a≠0 · 根与系数求值注意整体变形与符号 · 应用问题解出后务必检验是否符合实际意义 【作业1】．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（2024·河南商丘·模拟预测）已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【作业3】．（24-25八年级上·上海·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【作业4】．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【作业5】．（24-25九年级上·广东惠州·期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为________． 【作业6】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当________时，方程有两个实根． 【作业7】．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）要建造一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一个1米宽的门，现有能围32米长的木板，若设仓库垂直于墙面的一边长为米，则可列方程：______． 【作业8】．（25-26八年级上·上海·期末）用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为的形式．现如果用配方法解一元二次方程，那么此时的值是______． 【作业9】．（23-24八年级上·上海·单元测试）下列方程中的字母m为何值时，关于x的方程是一元二次方程： （1）____． （2）_____． （3）______． 【作业10】．（2025·上海·二模）如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么a的值是______． 【作业11】．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）某家用电器经过两次降价，每台零售价由400元降到256元，连续两次降价的百率相同，设这个降价的百分率为，则列出关于的方程为______． 【作业12】．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为__________． 【作业13】．（25-26八年级上·上海金山·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 【作业14】．（22-23九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【作业15】．（24-25九年级上·广东江门·期中）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万人，月游客人数为万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)按照以上增长速度，预计月该景区游客人数． 【作业16】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解下列方程或不等式： (1)； (2)． 【作业17】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）解方程：． 【作业18】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是关于的一元二次方程的两个根，且，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章·一元二次方程·期中复习·基础巩固讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解一元二次方程的概念，能识别并写出一般形式 · 会用直接开平方、因式分解法解一元二次方程 · 掌握配方法与公式法解一元二次方程 · 会利用根的判别式判断方程根的情况 · 能列一元二次方程解决增长率与几何应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的概念 只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2为二次项、bx为一次项、c为常数项 判断要点：是整式方程、只含一个未知数、整理后未知数最高次数为2 概念辨析例题：判断下列方程是否为一元二次方程：x2+=1与2x2-3x+1=0 答案：2x2-3x+1=0是一元二次方程，x2+=1不是 解析：一元二次方程必须是整式方程，x2+=1含有分式，不是整式方程，故不是一元二次方程 ☆ 2.解一元二次方程 直接开平方法：x2=p（p≥0）时，x=± 因式分解法：将方程化为两个一次因式的乘积等于0，再令各因式为0 配方法：通过配方化为完全平方式后开平方；公式法：x=（Δ≥0） 概念辨析例题：解方程：x2-5x+6=0 答案：x1=2，x2=3 解析：因式分解得(x-2)(x-3)=0，所以x-2=0或x-3=0，解得x1=2，x2=3 ☆ 3.根的判别式 Δ=b2-4ac：Δ>0时方程有两个不相等的实数根 Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ<0时方程没有实数根 含参数方程应用判别式时，注意二次项系数a≠0的前提 概念辨析例题：判断方程x2-6x+3=0根的情况 答案：有两个不相等的实数根 解析：a=1，b=-6，c=3，Δ=(-6)2-4×1×3=24>0，所以方程有两个不相等的实数根 ☆ 4.根与系数的关系 若x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2= 常用整体变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 += 概念辨析例题：已知方程x2-3x+1=0的两根为x1、x2，求x1+x2与x1x2 答案：x1+x2=3，x1x2=1 解析：由根与系数的关系直接得出：x1+x2=-=3，x1x2==1 📋 知识总结表 核心概念 定义与公式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 二次项系数不能为0 直接开平方法 x2=p（p≥0）时x=± p<0时无实数根 因式分解法 化为(x-a)(x-b)=0 等号右边必须为0 求根公式 x= Δ≥0时适用 根的判别式 Δ=b2-4ac Δ>0、Δ=0、Δ<0三类情形 根与系数 x1+x2=-，x1x2= 前提a≠0且方程有实数根 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与一般形式 · 判断前先把方程整理为一般形式，再看未知数最高次数 · 二次项系数a≠0是定义的前提，含参问题要单独讨论 · 区分整式方程与分式方程，分式方程不是一元二次方程 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）将一元二次方程化成一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【详解】解：∵ 原方程为 ， 将方程移项整理为一般形式得 ， 其中二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ，符合题意 ∴ 二次项系数为 ，一次项系数为． 2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，其一般形式是（））是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 由，得． ∴． 故选：． 3．（24-25八年级上·上海·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．整理方程得，所含未知数的项的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【考点2】根的判别式与根的情况 · Δ>0两不等实根、Δ=0两等实根、Δ<0无实根 · 含参问题先考虑二次项系数是否为0 · 根据题意列出关于参数的不等式并求解 4．（24-25九年级上·广东广州·期中）设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查定义新运算，解一元二次方程的运用，理解新定义，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：，即， 解得：． 故选：C． 5．（23-24八年级下·浙江台州·期末）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根，方程没有实数根． 根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可． 【详解】解：、将代入方程可得：， ∴本选项说法正确，不符合题意； 、若，则方程为， ∴， ∴程必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意； 、∵方程中，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意； 故选：． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续增长问题．四月份到六月份间隔两个月，每月增长率为x，六月份的投入为四月份投入连续两次增长后的结果．根据题意列出方程即可． 【详解】解：四月份投入25万元，每月增长率为x，则五月份投入为万元，六月份在五月份基础上再增长，投入为万元， 根据题意，六月份投入48万元，因此方程为， 故选：C． 7．（25-26九年级下·山东威海·期中）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解： 方程配方后得到． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）2024年10月1日，某高速路检票口车流量约500万辆次，10月2日该高速路检票口的车流量减少．假设从3日、4日车流量有所增加且增长率相同，预计10月4日该高速路检票口车流量达到648万辆次，设10月3日、4日车流量的增长率为x，那么可列方程为____________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设10月3日、4日车流量的增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设10月3日、4日车流量的增长率为x，根据题意得 故答案为：． 9．（24-25九年级上·北京·开学考试）方程的根为______． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程—因式分解法，先把方程右边化为0，再把左边因式分解，这样把原方程化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到原方程的解． 方程左边分解得到，原方程化为或，然后解一次方程即可． 【详解】解： 或，∴，． 故答案为：，． 10．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）某地2024年4月份的房价平均每平方米为40100元，该地2022年同期的房价平均每平方米为39800元．假设这两年该地房价的平均增长率为x，根据题意可列出关x的方程为____． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 若设房价平均每年的增长率为，根据增长后的量增长前的量增长率）即可列出方程． 【详解】 解：设房价平均每年的增长率为， 根据题意，得． 故填空答案：． 11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程： 【答案】无解 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法． 先找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，再用根的判别式即可求解． 【详解】解：， 移项得：， 去分母得：， ， ， 该方程没有实数根， 即该方程无解． 【考点3】解一元二次方程（因式分解与直接开平方） · 优先考虑提公因式、平方差、完全平方公式分解 · 直接开平方注意取±号 · 解出后代入原方程检验 12．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段检测）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 先移项，再提取公因式，求出的值即可． 【详解】解：移项，得， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 故选：D． 13．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）珍珍将方程化为的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（    ） A．正确 B．不正确，p的值应为 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 【答案】B 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查配方法的应用．按照一移，二配，三变形的方法，进行配方后，判断即可．掌握配方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∴到p的值为，q的值为6， 故选B． 14．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）志愿服务是现代社会文明进步的重要标志，在国家政策支持下，全社会参与志愿服务的热情高涨．中国志愿系统显示2021年10月注册志愿者总人数达亿，截止到2023年10月注册志愿者人数达到亿，求平均每年的增长率．设平均每年的增长率为x，则可估算出________（保留2位有效数字） 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确地理解题意，列出方程是解题的关键． 根据中国志愿系统显示2021年10月注册志愿者总人数达亿，截止到2023年10月注册志愿者人数达到亿，列方程求解即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 15．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，如果设长为米，根据题意可列出方程__________________． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查列一元二次方程，设长为米，则宽为米，根据面积等于长乘宽列方程即可． 【详解】解：如果设长为米，则宽为米， 由此可得， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·上海·期中）如果方程组无实数解，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由方程组可得，即得，解不等式即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：， ，得， 整理得，， ∵方程组无实数解， ∴一元二次方程无实数解， ∴， 解得， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·四川南充·期中）已知m，n是方程的两实数根，则_______ 【答案】3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义以及根与系数的关系．根据一元二次方程根的定义可得出，根据根与系数的关系得出，然后整体代入求解即可． 【详解】解∶∵m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为∶3． 18．（25-26八年级上·上海·期中）已知和是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 【答案】16 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据题意，利用根与系数关系，变形计算解答即可． 本题考查了根与系数关系，求代数式的值，掌握解答的方法是解题的关键． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：16． 19．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解关于的一元二次方程． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．找出一次项系数，根据完全平方公式进行配方即可求解． 【详解】解： ，且， ∴ ∴． 20．（24-25八年级下·福建福州·期末）作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【答案】有16支参赛队伍 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了120场激烈对决列方程求解即可． 【详解】解：设有支参赛队伍 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍 【考点4】解一元二次方程（配方法与公式法） · 配方时二次项系数化为1，加一次项系数一半的平方 · 公式法先计算Δ，再代入求根公式 · 结果化为最简形式 21．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）关于的一元二次方程经过配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟知做法是正确解答此题的关键． 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，比较选项得出答案． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 移项得 ． ∵ 一次项系数为4，一半为2，平方为4， ∴ 两边加4得 ， 即 ． 与选项对比，D正确． 故答案为：D． 22．（25-26九年级上·四川泸州·期中）将一元二次方程配方，其正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方将二次方程转化为完全平方形式，需先使二次项系数为1，再计算一次项系数一半的平方并加至两边，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵原方程为， ∴ 两边除以2，得， ∴ 一次项系数一半为，其平方为， ∴ 两边加，得， 整理得． 故选：D． 23．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）关于的方程，下列说法中正确的有（   ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，根据判别式可判断①②；当时，方程变为，解方程即可判断③；把代入原方程，求出方程左边的值，看方程左右两边是否相等即可判断④． 【详解】解：①若，则该方程没有实数根，原说法正确； ②当时，则，若，则方程无实数根，原说法错误； ③当时，方程变为，即，解得或，原说法正确； ④当时，把代入原方程，方程左边，此时方程左右两边相等，故是原方程的解，原说法正确． 故选：C． 24．（24-25九年级上·四川乐山·阶段检测）在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了因式分解、解一元二次方程，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用提取公因式法分解因式可得，然后利用公式法解一元二次方程，求出方程的两个根，由此即可得． 【详解】解： ， 令，则， ∴可转化为， ∴， 故答案为：． 25．（2025八年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键． 直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 26．（23-24八年级上·上海·单元测试）关于x的方程（为整数）没有实数根，求的最小值． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，当时，原方程为一元一次方程，有实数根，不符合题意；当时，原方程为一元二次方程，则，据此求解即可． 【详解】解：当，即时，原方程为，解得，此时原方程有实数根，不符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，， ∴的最小值为2． 27．（23-24八年级上·上海·期中）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解： 化简得：， ， 或， ，． 28．（24-25八年级上·上海·期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心，主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长30米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏板50米．请问：工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ 【答案】工作人员围成的这个长方形的宽为16米，长为20米． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设工作人员围成的这个长方形的宽为米，则长为米，根据面积列方程求解即可． 【详解】解：设工作人员围成的这个长方形的宽为米，则长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意. 答：工作人员围成的这个长方形的宽为16米，长为20米． 29．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可得到答案．熟练掌握因式分解法求解是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 则， 即， ， 解得． 30．（24-25九年级上·上海·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）移项后用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【详解】（1）解：移项，得 因式分解，得， ∴或， 即 ； （2）解：， ， ， 即． 31．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）用合适方法解方程： 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ． 32．（24-25八年级上·上海宝山·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．首先将原方程配方成，然后直接开方求解即可． 【详解】解： ． 33．（2024·广东东莞·一模）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（），； （）， 理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴． AI 【知识点】实数的大小比较、整式加减的应用、配方法的应用 【分析】（）利用作差法即可求解； （）利用作差再结合配方法法即可求解； （）利用作差即可求解； 本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：； （）略 （）略 【考点5】换元法与阅读探究 · 把复杂整体设为新元，注意新元的取值范围 · 换元解出的值要代回原元求出x · 新定义题严格按题目给出的运算规则列式 34．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 【答案】B 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设在方程中，，根据题意可得关于t的一元二次方程的两根分别为、1，则或，据此求解即可． 【详解】解：设在方程中，， ∴方程可整理为，即变形为关于的方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为、1， ∴关于t的一元二次方程的两根分别为、1， ∴或， 解得或， ∴方程的两根分别为、3， 故选：B． 35．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根． 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 36．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知是关于的一元二次方程． (1)证明：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个根为，，当时，求的值． 【答案】(1) 证明：依题意， ， ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及方程的解； （1）直接计算原方程根的判别式，结合非负性证明即可； （2）运用根与系数的关系求得，，再整体代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，方程化为， ∵该方程的两根为，， ∴，， ∴． 【考点6】根与系数关系及整体代入 · 熟记两根和、两根积公式 · x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2整体变形 · 求参数时注意判别式对参数的约束 37．（23-24八年级上·上海普陀·阶段检测）方程的解为_______． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握因式分解法解一元二次方程并能熟练运用求解． 通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：方程， 提取公因式，得， 因此或， 解得：，． 故答案为：，． 38．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）解方程：． 【答案】，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：， ∴， ∴，， ∴，． 39．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程：． 【答案】，． 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程。先确定a，b，c的值，再求的值，判断出，然后将a，b，c的值代入求根公式即可． 【详解】解：，，， ， 此方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【考点7】一元二次方程的实际应用 · 增长率模型：a(1±x)n=b · 几何问题用边长关系列方程，注意取舍 · 解出方程后检验是否符合实际意义 40．（24-25九年级上·江苏常州·期末）我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒140元下调至35元．设平均每次降价的百分率是，可列出方程（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降价的百分率），把相应数值代入即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为元， 所以可列方程为． 故选：D． 41．（2024·河南南阳·三模）2024 年眘节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】题考查了一元二次方程的应用，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，列方程为， 故选A． 42．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，当运动时间为秒时，， ，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：，． 当运动时间为秒时，，， ， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 点的运动时间是． 故选：A． 43．（2025·河南周口·一模）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 【答案】C 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设涨价t元，根据每天的利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； 【详解】解：设涨价t元， 根据题意，得：， ∴， 即， 解得：，， ∴（元）或（元）, 即售价为13或15元时，每天的利润可得到700元． 故选：C． 44．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、实数范围内分解因式 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程．二次三项式在实数范围内不能分解因式等价于对应的一元二次方程无实数根，根据判别式小于零列不等式，即可求解． 【详解】解：∵ 二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴ 方程无实数根， ∴ 判别式， ∴ ， 故选：C． 45．（23-24八年级上·上海·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________________________． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 46．（24-25八年级上·上海·期末）某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则这个增长率为 ______． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系直接列方程求解即可． 【详解】解：设每月的增长率都为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这个增长率为． 故答案为：． 47．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段检测）某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额为700万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，设这个增长率为x，那么列出的方程是________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率为x，先得到二月份的营业额，三月份的营业额，再根据一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额列方程即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为， ∴三月份的营业额为， ∴可列方程为， 故答案为：． 48．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的方程（m为常数）有两个实数根，则m的取值范围为_______________． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程（m为常数）有两个实数根， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 故答案为：且 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 49．（25-26九年级上·江西吉安·期末）用配方法解方程，配方后方程转化为的形式为________． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题关键． 通过配方法，将常数项移项后，添加一次项系数一半的平方完成配方，转化为完全平方式即可得出答案． 【详解】解： ， 移项，得， 配方，得，即 ， ∴ ， 故答案为： ． 50．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是________． 【答案】3 【知识点】换元法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为， 故答案为：． 51．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）二次三项式可在实数范围内因式分解，则的取值范围_____ 【答案】且且且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式的应用，根据二次三项式的定义给出各系数不为0，再根据“可在实数范围内因式分解”得出，从而得解，掌握“可在实数范围内因式分解”即是是解题的关键，注意系数不为0． 【详解】解：∵是二次三项式， ∴且 ∴且且 ∵二次三项式可在实数范围内因式分解， ∴ 解得：， ∴且且且． 52．（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可； （2）由题意可得且，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：且， ∴且 ∴且， ∴m的取值范围是：且． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记一元二次方程的一般形式，判断前先整理合并同类项 · 四种解法按方程特征灵活选用，因式分解优先 · 使用判别式前先确认二次项系数a≠0 · 根与系数求值注意整体变形与符号 · 应用问题解出后务必检验是否符合实际意义 【作业1】．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即．若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的值，根据的符号判断即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【作业2】．（2024·河南商丘·模拟预测）已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 根据点的位置确定，然后判断的值的取值范围即可解题． 【详解】解：∵点在第二象限，点在轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A 【作业3】．（24-25八年级上·上海·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．整理方程得，所含未知数的项的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【作业4】．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】此题主要考查了正方形的性质，准确识图，熟练掌握正方形的性质，并根据正方形的面积公式构造方程是解决问题的关键．设正方形B的边长为a，其中，依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1，则正方形A的边长为，依题意得图②中大正方形的边长为，则，由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可． 【详解】解：设正方形B的边长为a，其中， ∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1， ∴阴影部分为正方形，且边长为1， ∴图①中大正方形的边长为， 即正方形A的边长为， 又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示： ∴图②中大正方形的边长为：， ∵图②中阴影部分的面积为7， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴图②中大正方形的边长为： ∴图②中大正方形的面积为15． 故选：B． 【作业5】．（24-25九年级上·广东惠州·期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为________． 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），据此列方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 列方程得：， 故答案为： 【作业6】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当________时，方程有两个实根． 【答案】，且. 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程有两个根，可得，且，再求出答案即可. 【详解】解：∵一元二次方程有两个根， ∴，且， 解得，且. 故答案为：，且. 【作业7】．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）要建造一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一个1米宽的门，现有能围32米长的木板，若设仓库垂直于墙面的一边长为米，则可列方程：______． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄㯵题意，找出题目中的等量关系． 设仓库的垂直于墙的一边长为，而与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成32米长的木板，那么平行于墙的一边长为米，而仓库的面积为130平方米，由此即可列出方程． 【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为米， 依题意得，即， 故答案为：． 【作业8】．（25-26八年级上·上海·期末）用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为的形式．现如果用配方法解一元二次方程，那么此时的值是______． 【答案】2027 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较系数求a和b的值，再代入求值即可． 【详解】解： 移项得， 配方得，即， 与对比，得，， 所以． 故答案为：2027． 【作业9】．（23-24八年级上·上海·单元测试）下列方程中的字母m为何值时，关于x的方程是一元二次方程： （1）____． （2）_____． （3）______． 【答案】 m为全体实数 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． （1）整理后根据二次项的系数不等于0列式求解即可； （2）根据二次项的系数不等于0列式求解即可； （3）根据二次项的系数不等于0且被开方数是非负数列式求解即可； 【详解】解：（1）∵ ∴ 由题意，得 ∴ 故答案为：； （2）由题意，得 ∵ ∴m为全体实数 故答案为：m为全体实数； （3）由题意，得且 ∴ 故答案为：． 【作业10】．（2025·上海·二模）如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么a的值是______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到，列出方程求解即可．掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 【作业11】．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）某家用电器经过两次降价，每台零售价由400元降到256元，连续两次降价的百率相同，设这个降价的百分率为，则列出关于的方程为______． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设这个降价的百分率为，则第一次降价后的售价为元，第二次降价后的售价为，据此列出方程即可． 【详解】解：设这个降价的百分率为， 由题意得，， 故答案为：． 【作业12】．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为__________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，先把把代入，得，则，即可作答． 【详解】解：把代入， 得， 则， 则， 故答案为：． 【作业13】．（25-26八年级上·上海金山·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，知道一元二次方程的一般形式是解决本题的关键． 由常数项为0可得，再结合一元二次方程二次项系数不为0，确定m的值即可． 【详解】解： ， ∵常数项为且常数项为0， ∴ ， 解得， 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即． ∴． 故答案为：． 【作业14】．（22-23九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，先将一元二次方程化为一般式，再计算判别式，最后根据判别式的正负确定解的情况，在有解时，直接代入求解公式即可得到答案，熟练掌握公式法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：由得， ， ， ， ． 【作业15】．（24-25九年级上·广东江门·期中）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万人，月游客人数为万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)按照以上增长速度，预计月该景区游客人数． 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)万人 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设这两个月的平均增加率为x，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据（1）的结论，结合月游客人数，即可求解． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，可得 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． （2）解：按照以上增长速度，预计月该景区游客人数为万人． 【作业16】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解下列方程或不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】分母有理化、解一元二次方程——直接开平方法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查直接开平方法解方程，求不等式的解集，分母有理化． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）移项，合并同类项，系数化为1，分母有理化即可求解． 【详解】（1）解：整理得， 开方得， 解得，； （2）解：移项得，即， 解得． 【作业17】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）解方程：． 【答案】 或 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，准确计算是解题的关键，利用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ，则方程有两个不相等的实数根， ， 解得或． 【作业18】．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是关于的一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，掌握这些知识是关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）由根与系数的关系及完全平方公式变形运用，得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； （2）解：∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， 解得：， 由（1）知当时，方程才有实数根， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $