第20章·二次根式·期中复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第20章·二次根式·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深入理解二次根式的概念与有意义的条件，处理含参问题 · 熟练判断最简二次根式与同类二次根式并求参数 · 综合运用二次根式的性质进行化简与运算 · 掌握分母有理化与有理化因式 · 能进行二次根式的混合运算与化简求值 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式的概念与有意义条件 被开方数非负与分母不为 0 的联立条件 含参条件下确定取值范围 由取值讨论化简 概念辨析例题：若 有意义，求 a 的取值范围 答案：a≤3 解析：被开方数 3-a≥0，得 a≤3 ☆ 2.最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式定义的严格判断 同类二次根式：最简后被开方数相同 由同类关系求参数 概念辨析例题：若最简二次根式 与 是同类二次根式，求 x 答案：x=2 解析：被开方数相等：2x+5=x+7，得 x=2 ☆ 3.二次根式的性质化简 =|a| 结合字母取值范围 、 的拆分与合并 含绝对值、平方的混合化简 概念辨析例题：已知 x<2，化简 答案：2-x 解析：=|x-2|，x<2 时 x-2<0，故为 2-x ☆ 4.分母有理化与混合运算 有理化因式：a 与 a， 与 分母有理化化简分式 混合运算先乘方开方再乘除加减 概念辨析例题：化简 答案： 解析：分子分母同乘 ：= 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有意义条件 被开方数≥0 且分母≠0 联立条件 最简二次根式 不含分母、不含开得尽方 判断标准严格 同类二次根式 最简后被开方数相同 求参列方程 性质 =|a| 先判 a 的符号 有理化因式 ± 与 ∓ 成对使用 混合运算 先乘方开方再乘除 按运算顺序 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式的概念与有意义的条件（第1-8题） · 被开方数非负、分母不为 0 联立 · 含参不等式求范围 · 注意端点取舍 1．代数式的变形：比如，一个分式的分母如果含有根号，我们可以通过“分母有理化”的方法，使其变得更容易计算； 2．（25-26八年级上·上海·期中）已知实数满足，那么的值为______． 【答案】 13 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查绝对值的化简，二次根式有意义的条件，掌握以上知识的计算是关键． 根据根式的定义域确定 的取值范围，化简绝对值表达式后求解方程． 【详解】解：由 可知 ，即 ， 当 时，，代入原方程得： 化简得： ， 两边平方得： ， 解得： ， 经检验， 满足原方程， 故答案为：13． 3．（21-22九年级上·黑龙江鸡西·期末）函数中，自变量的取值范围是____． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】由可得： ， 解得：且． 【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）要使代数式有意义，那么的取值范围是______． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】代数式有意义需满足根号内被开方数非负且分母不为零，分别解不等式后结合取值范围． 本题考查了代数式有意义的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足两个条件： 第一，根号下的被开方数是非负数即，解得 ； 第二，分母不为零即，解得； 故且； 故答案为：且． 5．（2023·山东济宁·模拟预测）已知实数满足，则的值为________________； 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、二次根式有意义的条件 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出，再化简绝对值，然后两边平方可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， . 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且是偶数，则的值为______． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查的是二次根式的除法，掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的性质、二次根式有意义的条件解答． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∵是偶数， ∴， 当时，原式， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】/ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴的定义得：， 则，， 因此 ， ． 8．（25-26八年级下·云南昆明·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)32或16 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、已知条件式，化简求值 【分析】（1）将式子转化为，即可得出答案； （2）先将展开得到，从而得到，，结合，且a，m，n均为正整数，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由题意得， ， ，， ，且a，m，n均为正整数， ∴m，n的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则； 综上，的值为32或16． 【考点2】最简二次根式与同类二次根式（第9-14题） · 最简二次根式严格判断 · 同类要求被开方数相同 · 列方程求参 9．（24-25八年级上·上海·期中）在下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的概念是关键． 最简二次根式需同时满足两个条件：一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母，据此逐项判断即得答案． 【详解】解： A． ，被开方数含能开的尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B． ，被开方数中含有分母x，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C． ，被开方数含有能开的尽方的因式，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D． ，最简二次根式，故本选项符合题意； 10．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 11．（25-26八年级上·上海·期中）以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题主要考查同类二次根式的判断，同类二次根式需化简后被开方数相同．选项D中两个二次根式化简后都被开方数为10s，因此是同类二次根式；其他选项化简后被开方数均不同． 【详解】解： A：，被开方数为，不符合题意； B：，化为最简二次根式后被开方数为，，被开方数为，不符合题意； C：被开方数为，被开方数不同，不符合题意； D：， ， 两者被开方数均为，是同类二次根式，符合题意． 故选：D． 12．（25-26七年级下·上海·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断 【分析】最简二次根式需满足：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．∵满足最简二次根式的两个条件， ∴是最简二次根式，故此选项符合题意． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【答案】5 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 14．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段检测）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 【答案】答案不唯一 【知识点】二次根式有意义的条件、已知最简二次根式求参数 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 【考点3】二次根式的性质化简（第15-20题） · =|a| 先判符号 · 拆分与合并根号 · 混合化简注意顺序 15．整体的视角：有时我们不需要分别求出每一个部分的值，而是将它们看作一个整体，通过观察它们之间的相互关系，从而找到解决问题的方法． 请运用以上思路进行思考并解答以下各题： (1)已知，求的值； (2)计算：； (3)设实数，满足，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3)2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）先将进行分母有理化后，得，再代入进行计算，即可作答； （2）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可； （3）根据（1）和（2）得到的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ， ， 则 ①， 同理②， ∴①②得：， ， ． 16．（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 17．（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算的结果是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的化简和二次根的乘法运算．先对二次根式进行化简，再根据乘法分配律利用二次根式乘法则计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 18．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知，化简：________． 【答案】/ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质得，再根据将绝对值化简，即得答案． 【详解】解：原式 ， ， ，， ∴原式 ． 故答案为：． 19．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）化简： 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的化简，判断出字母的符号是解决本题的关键． 根据算术平方根的定义判断出a和b的符号，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴a和b同号， ∴， ∵要使和有意义， ∴，， ∴，， ∴ ． 20．（23-24八年级下·广西南宁·阶段检测）计算：； 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【考点4】二次根式的乘除、加减运算（第21-31题） · 乘除先合并再化简 · 结果化为最简 · 注意分母 21．（2024·云南昆明·三模）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的应用、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的运用，无理数的估算，根据题意利用二次根式乘法求出矩形面积，再由无理数的估算方法估算即可． 【详解】解：根据题意，矩形面积为：， ，即， ， 这个矩形面积的值大约在4与5之间， 故选：C． 22．（25-26九年级下·上海·阶段检测）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项、零指数幂、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】根据整式运算、零指数幂性质、二次根式运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变，∴，A错误； 选项B：∵零指数幂要求底数不为0，且任意实数的平方满足，∴，底数恒不为0，∴，B正确； 选项C：∵与不是同类二次根式，不能合并，∴，C错误； 选项D：化简左边得 ，D错误． 23．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）在古希腊时期， 有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数 称为黄金分割数． 设 记 则的值为（   ） A． B．99 C．4950 D．5050 【答案】C 【知识点】与实数运算相关的规律题、积的乘方运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确推导运算规律是解题的关键．先计算，，的值，找出规律，然后求解即可． 【详解】解：，， ， ∴， ， ， ， 故选：C 24．（25-26八年级上·上海·期中）把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形，它的面积是．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用以及正方形周长的计算，熟练掌握算术平方根的定义和正方形周长公式是解题的关键． 先根据大正方形面积求出边长，再结合的长度求出长方形的宽，进而得到小正方形的边长，最后计算其周长． 【详解】解：∵ 大正方形的面积是， ∴ 大正方形的边长， ∵ ， ∴ 长方形的宽为， ∴ 小正方形的边长为， ∴ 小正方形的周长为， 故答案为：． 25．（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式的性质等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先分母有理化，再运用二次根式的性质化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 26．（23-24七年级下·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式运算、利用平方差公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式运算法则，结合平方差公式进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 27．（24-25八年级上·上海·期中）计算 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的减法计算，先分别把减号前后两个式子分母有理化，再根据二次根式的减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 28．（23-24七年级下·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算括号内的乘法，再计算除法即可 【详解】解： 29．（23-24七年级下·上海虹口·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，利用乘法分配律计算即可，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 【详解】解： ． 30．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 31．（25-26八年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据分母有理化，二次根式的性质分别运算，然后合并即可； （）根据二次根式的性质进行化简，然后通过二次根式乘除法进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点5】分母有理化与有理化因式（第32-38题） · 有理化因式成对 · 分母有理化后化简 · 含分母的式子注意范围 32．（23-24八年级上·四川成都·阶段检测）对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么______________． 【答案】/ 【知识点】新定义下的实数运算、分母有理化 【分析】本题考查了实数运算，结合已知条件列出正确的算式是解题关键． 根据题意列式后利用二次根式运算法则计算即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 33．（25-26八年级上·上海·阶段检测）的倒数是___________． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查分母有理化，原式通过分母有理化进行化简即可． 【详解】解：的倒数为， 故答案为：． 34．（23-24八年级上·上海·期中）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“法”就应用了黄金比．设，，记，，…，则_______． 【答案】 【知识点】分式化简求值、二次根式的乘法 【分析】先利用二次根式的乘法运算可得，再运用分式的互化运算化简、并将代入求值，然后发现规律即可解答． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， …， ． 35．（24-25八年级上·上海·阶段检测）设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是__________． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合计算，先估算出，进而推出，则可确定，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的整数部分为x，小数部分为y， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 36．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）不等式的解集是________ 【答案】 【知识点】分母有理化、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，移项，合并同类项，一次项系数化为，即可求解；掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； 故答案为：． 37．（25-26八年级上·上海静安·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值是解题的关键． 把原式化简，分母有理化得，通分化简后，把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 38．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)， (2) 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点6】二次根式的混合运算与化简求值（第39-48题） · 混合运算按顺序 · 公式与分配律结合 · 符号与括号 39．（22-23九年级下·湖北武汉·自主招生）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的混合运算 【分析】先判断得到再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ， 故选：A 【点睛】本题考查的是不等式的性质，无理数的估算，二次根式的乘法运算，熟练的求解a，b的值是解本题的关键． 40．（2023九年级下·山东枣庄·专题练习）设的整数部分是a，小数部分是b，的整数部分是c，小数部分是d，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算 【分析】本题考查了无理数整数部分的有关计算，无理数的大小估算,实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则及无理数的估算是解题的关键．先求无理数和的整数部分和小数部分，得出a，b，c，d的值，然后代入中计算，求得，再进行实数的估算得出答案． 【详解】解：的整数部分是a，小数部分是b， ，， 的整数部分是c，小数部分是d， ，， ， ，， ， ． 故选A． 41．（25-26六年级上·上海·期中）如果规定，那么________． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算及分数的混合运算．根据新定义的算法计算即可． 【详解】解：由题意知， ． 故答案为：． 42．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是________． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，求一个数的平方根，根据新定义可得，再估算出的取值范围，从而确定a、b的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵a和b为两个连续正整数， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 43．（25-26九年级下·上海·阶段检测）定义一种“循环移位密码”，规则如下：（1）将个英文字母按顺序对应数字：．（2）密钥为三个字母：．（3）加密时，首先将明文每个字母对应的数字，加上密钥对应位置字母的数字（密钥可以循环使用）得到一个新数，然后求这个新数关于的余数，通过余数对应的字母，得到密文．例如：明文为“”，密钥为“”，那么加密计算规则以及加密后的密文如下表所示： 如果明文为，那么密文应该是______． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】根据给定的加密规则，先将明文的字母转换为对应数字，再依次与密钥对应位置的数字相加，计算和对的余数，最后将余数转换为对应字母即可得到密文. 【详解】根据规则可得： 明文对应数字依次为，，， 密钥对应数字依次为，，， 逐个计算密文对应余数： 第一个字母：，余数对应字母为， 第二个字母：，余数对应字母为， 第三个字母：，余数对应字母为， 故密文为：. 44．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是________． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，根据“最美实数”的定义，非零实数的算术平方根等于它的立方根，解得该实数为，代入表达式求． 【详解】解：设最美实数为，则，且， 两边六次方得， 即， 解得：或， 由于为非零实数， ， ， 解得：． 故答案为：． 45．（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 数学中有些问题看起来复杂，但如果我们仔细分析代数式的结构，寻找其中隐藏的规律或联系，就能找到解决问题的钥匙． 常用的思路有： 46．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键． （1）先分母有理化，然后根据二次根式加减混合运算法则，进行计算即可； （2）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 所以的算术平方根是． 你看明白了吗?请根据上面的方法化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了二次根式的化简． （1）根据题意得到 ，即可到答案； （2）把化为，即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： 48．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段检测）如图，正方形和正方形分别是边长为和的正方形相框． (1)求大相框的面积是小相框面积的多少倍？ (2)现在小华想用长为的彩带给这两个相框镶边，请你帮忙计算现有的彩带够吗？如果不够用，大约还需要买多长的彩带？（参考数据：） 【答案】(1)大相框的面积是小相框面积的倍 (2)现有的彩带不够用，还需要购买约长的彩带 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）分别求出正方形和正方形的面积相除即可得出答案； （2）求出两个正方形的周长，即可判断彩带的长度够不够． 【详解】（1）解∶∵大相框的面积为，小相框的面积为， ∴， 答∶大相框的面积是小相框面积的倍； （2）解：不够用． 镶边所需要的彩带长为， 则现有的彩带不够用，还需买， 答∶现有的彩带不够用，还需要购买约长的彩带． 【考点7】二次根式的综合应用（第49-52题） · 先化简再代入求值 · 条件式变形整体代入 · 结果写最简 49．（22-23八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与实数运算相关的规律题、十字相乘法 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 50．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，根据二次根式的性质求出正方形的边长即可求解，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长， 小正方形的边长， ∴阴影部分的面积， 故选：C． 51．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）观察下列各式： ①；②；③；…． (1)根据上列式子的规律，直接写出 ； (2)①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将99…9写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 【答案】(1) (2) ①； ②证明： ， ∴， 即①中的结论成立． 【知识点】求一个数的算术平方根、与实数运算相关的规律题、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查规律型—实数运算的规律题，算术平方根，完全平方公式，弄清题中的规律是解题的关键． （1）仿照已知中的①②③，以及算术平方根的定义即可得出结果； （2）①观察一系列等式，得出一般规律，即可确定所求式子的结果； ②按小明的思路作变形，然后进行化简，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：①观察下列等式： ， ， ， ， ∴， 故答案为：； ②略 52．（25-26八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题涉及二次根式的混合运算，先根据分母有理化、二次根式的性质化简，最后合并同类项得到结果． 【详解】解： ． 💯 课后巩固 复习建议 · 含参二次根式先列条件不等式 · 同类二次根式用「被开方数相等」求参 · 化简先判字母符号 · 分母有理化乘有理化因式 · 混合运算按序、化简到最简 【作业1】．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意； B、，被开方数含有能开得尽的因式，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故D选项不符合题意； 故选：A． 【作业2】．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式．二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，据此把四个选项中的二次根式化简为最简二次根式，比较被开方数是否与相同． 【详解】解：A、∵，被开方数为5，与不同，故此选项不符合题意； B、∵，被开方数为2，与相同，故此选项符合题意； C、∵，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、∵，被开方数为5，与不同，故此选项不符合题意． ∴ 故选：B． 【作业3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】分母有理化 【分析】本题根据有理化因式的定义解题，即两个含有根式的代数式相乘，若乘积不含有根式，则两个代数式互为有理化因式，计算各选项中两个代数式的乘积，判断乘积是否含有根式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，乘积仍含有根式，因此A不符合题意； 对选项B， ，乘积是不含根式的整式，因此B符合题意； 对选项C，，乘积仍含有根式，因此C不符合题意； 对选项D，，乘积仍含有根式，因此D不符合题意． 【作业4】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列各组数中互为相反数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】首先根据立方根的定义和平方根的定义计算出结果，再根据相反数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：，与相等，与不互为相反数，故A选项不符合题意； B选项：，， 与相等，与不互为相反数，故B选项不符合题意； C选项：，．与互为相反数， 故C选项符合题意； D选项：，与不互为相反数，故D选项不符合题意． 【作业5】．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，完全平方公式，二次根式的性质及二次根式的乘法依次对各选项进行判断即可．掌握二次根式的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 【作业6】．（23-24八年级上·上海·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】解题思路是先对分母含二次根式的分式进行分母有理化，将其转化为整式与根式的和，再结合另一项的化简结果，合并同类二次根式得到最终结果．本题考查二次根式的分母有理化与加减运算，涉及的知识点是二次根式的化简、平方差公式的应用．解题中用到的方法是分母有理化法，利用平方差公式消除分母中的根号；以及合并同类二次根式法，简化计算．解题关键是正确进行分母有理化，注意符号的变化．易错点是分母有理化时符号处理错误，或化简时计算失误． 【详解】解： ． 故答案为： ． 【作业7】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化简：______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查根式化简，根据二次根式确定，是解题的关键． 根据二次根式，解得，，然后化简即可． 【详解】根据题意，，， 又，所以， ，， 原式． 故答案为：． 【作业8】．（25-26八年级上·上海青浦·期中）化简：______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据分母有理化，二次根式的性质，分子，分母同时乘以，化解解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【作业9】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化简：________． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简，解决问题的关键是利用二次根式的基本性质进行化简． 由题意可得，将变形为，再利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意可得，，即， ∴． 故答案为：． 【作业10】．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 【作业11】．（24-25八年级上·上海长宁·阶段检测）已知实数x、y满足，则的值等于________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式的非负性进行求解及掌握二次根式化简的基本步骤及方法．先根据求出的值，再对进行化简代值计算可得． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【作业12】．（2025八年级上·全国·专题练习）若是整数，则正整数的最小值是___________． 【答案】7 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将化简，再根据其为整数的条件，确定正整数的最小值． 【详解】解：． 因为是整数， 所以必须是整数．则为完全平方数，正整数的最小值为． 故答案为：． 【作业13】．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为________． 【答案】/ 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业14】．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）已知，且，则的值为______． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的运算，完全平方公式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先把已知条件式两边同时平方得到，则，再求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【作业15】．（25-26八年级上·上海·期末）不等式的解集为_____． 【答案】 【知识点】分母有理化、求一元一次不等式的解集 【分析】先移项合并同类项，再根据不等式的基本性质判断不等号方向，系数化为1后进行分母有理化即可得到解集． 【详解】 移项，得. 合并同类项，得. ， . . 即． 【作业16】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）一家公司，处于发展期当中，第一年年末增加员工人，第二年年末增加员工人．统计发现，正好是第一年员工人数增长了，第二年员工人数增长了，已知每次增加的人数不超过公司原有的人数的两倍，试求公司现在的人数． 【答案】公司现在的人数为人． 【知识点】利用二次根式的性质化简、和差倍分问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了方程的应用，一元一次不等式的应用及化简二次根式等知识点，先根据“正好是第一年员工人数增长了，第二年员工人数增长了”列方程，表示出的关系，再利用每次增加的人数不超过公司原有的人数的两倍，求出的取值范围，由为正整数讨论即可得解，找到相对应关系是解题的关键． 【详解】解：设公司原来有x人， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 每次增加的人数不超过公司原有的人数的两倍， ， ， 为正整数， ∴当时，， ， 公司现在的人数（人） 答：公司现在的人数为人． 【作业17】．（24-25八年级上·上海·期中）（1）计算：     （2）解不等式： 【答案】（1）；（2） 【知识点】二次根式的混合运算、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，解一元一次不等式： （1）先化简二次根式和计算二次根式除法，再计算二次根式加减法即可得到答案； （2）先化简二次根式，再按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【作业18】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除法、二次根式的化简、二次根式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的除法，然后计算二次根式的乘法即可得； （2）先根据二次根式有意义的条件可得，再计算二次根式的乘法，然后化简二次根式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：由题意可知，， 则， 则原式 ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章·二次根式·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深入理解二次根式的概念与有意义的条件，处理含参问题 · 熟练判断最简二次根式与同类二次根式并求参数 · 综合运用二次根式的性质进行化简与运算 · 掌握分母有理化与有理化因式 · 能进行二次根式的混合运算与化简求值 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式的概念与有意义条件 被开方数非负与分母不为 0 的联立条件 含参条件下确定取值范围 由取值讨论化简 概念辨析例题：若 有意义，求 a 的取值范围 答案：a≤3 解析：被开方数 3-a≥0，得 a≤3 ☆ 2.最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式定义的严格判断 同类二次根式：最简后被开方数相同 由同类关系求参数 概念辨析例题：若最简二次根式 与 是同类二次根式，求 x 答案：x=2 解析：被开方数相等：2x+5=x+7，得 x=2 ☆ 3.二次根式的性质化简 =|a| 结合字母取值范围 、 的拆分与合并 含绝对值、平方的混合化简 概念辨析例题：已知 x<2，化简 答案：2-x 解析：=|x-2|，x<2 时 x-2<0，故为 2-x ☆ 4.分母有理化与混合运算 有理化因式：a 与 a， 与 分母有理化化简分式 混合运算先乘方开方再乘除加减 概念辨析例题：化简 答案： 解析：分子分母同乘 ：= 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有意义条件 被开方数≥0 且分母≠0 联立条件 最简二次根式 不含分母、不含开得尽方 判断标准严格 同类二次根式 最简后被开方数相同 求参列方程 性质 =|a| 先判 a 的符号 有理化因式 ± 与 ∓ 成对使用 混合运算 先乘方开方再乘除 按运算顺序 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式的概念与有意义的条件（第1-8题） · 被开方数非负、分母不为 0 联立 · 含参不等式求范围 · 注意端点取舍 1．代数式的变形：比如，一个分式的分母如果含有根号，我们可以通过“分母有理化”的方法，使其变得更容易计算； 2．（25-26八年级上·上海·期中）已知实数满足，那么的值为______． 3．（21-22九年级上·黑龙江鸡西·期末）函数中，自变量的取值范围是____． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）要使代数式有意义，那么的取值范围是______． 5．（2023·山东济宁·模拟预测）已知实数满足，则的值为________________； 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且是偶数，则的值为______． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 8．（25-26八年级下·云南昆明·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【考点2】最简二次根式与同类二次根式（第9-14题） · 最简二次根式严格判断 · 同类要求被开方数相同 · 列方程求参 9．（24-25八年级上·上海·期中）在下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·上海·期中）以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 12．（25-26七年级下·上海·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 14．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段检测）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 【考点3】二次根式的性质化简（第15-20题） · =|a| 先判符号 · 拆分与合并根号 · 混合化简注意顺序 15．整体的视角：有时我们不需要分别求出每一个部分的值，而是将它们看作一个整体，通过观察它们之间的相互关系，从而找到解决问题的方法． 请运用以上思路进行思考并解答以下各题： (1)已知，求的值； (2)计算：； (3)设实数，满足，求的值． 16．（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算的结果是 （   ） A． B． C． D． 18．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知，化简：________． 19．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）化简： 20．（23-24八年级下·广西南宁·阶段检测）计算：； 【考点4】二次根式的乘除、加减运算（第21-31题） · 乘除先合并再化简 · 结果化为最简 · 注意分母 21．（2024·云南昆明·三模）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 22．（25-26九年级下·上海·阶段检测）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）在古希腊时期， 有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数 称为黄金分割数． 设 记 则的值为（   ） A． B．99 C．4950 D．5050 24．（25-26八年级上·上海·期中）把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形，它的面积是．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 26．（23-24七年级下·上海闵行·期中）计算： 27．（24-25八年级上·上海·期中）计算 28．（23-24七年级下·上海闵行·期中）计算： 29．（23-24七年级下·上海虹口·期中）计算： 30．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 31．（25-26八年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)． 【考点5】分母有理化与有理化因式（第32-38题） · 有理化因式成对 · 分母有理化后化简 · 含分母的式子注意范围 32．（23-24八年级上·四川成都·阶段检测）对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么______________． 33．（25-26八年级上·上海·阶段检测）的倒数是___________． 34．（23-24八年级上·上海·期中）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“法”就应用了黄金比．设，，记，，…，则_______． 35．（24-25八年级上·上海·阶段检测）设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是__________． 36．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）不等式的解集是________ 37．（25-26八年级上·上海静安·期中）先化简，后求值：，其中． 38．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【考点6】二次根式的混合运算与化简求值（第39-48题） · 混合运算按顺序 · 公式与分配律结合 · 符号与括号 39．（22-23九年级下·湖北武汉·自主招生）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 40．（2023九年级下·山东枣庄·专题练习）设的整数部分是a，小数部分是b，的整数部分是c，小数部分是d，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 41．（25-26六年级上·上海·期中）如果规定，那么________． 42．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是________． 43．（25-26九年级下·上海·阶段检测）定义一种“循环移位密码”，规则如下：（1）将个英文字母按顺序对应数字：．（2）密钥为三个字母：．（3）加密时，首先将明文每个字母对应的数字，加上密钥对应位置字母的数字（密钥可以循环使用）得到一个新数，然后求这个新数关于的余数，通过余数对应的字母，得到密文．例如：明文为“”，密钥为“”，那么加密计算规则以及加密后的密文如下表所示： 如果明文为，那么密文应该是______． 44．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是________． 45．（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 数学中有些问题看起来复杂，但如果我们仔细分析代数式的结构，寻找其中隐藏的规律或联系，就能找到解决问题的钥匙． 常用的思路有： 46．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： (1) (2) 47．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 所以的算术平方根是． 你看明白了吗?请根据上面的方法化简： (1)； (2)． 48．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段检测）如图，正方形和正方形分别是边长为和的正方形相框． (1)求大相框的面积是小相框面积的多少倍？ (2)现在小华想用长为的彩带给这两个相框镶边，请你帮忙计算现有的彩带够吗？如果不够用，大约还需要买多长的彩带？（参考数据：） 【考点7】二次根式的综合应用（第49-52题） · 先化简再代入求值 · 条件式变形整体代入 · 结果写最简 49．（22-23八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 51．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）观察下列各式： ①；②；③；…． (1)根据上列式子的规律，直接写出 ； (2)①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将99…9写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 52．（25-26八年级上·上海·期中）计算： 💯 课后巩固 复习建议 · 含参二次根式先列条件不等式 · 同类二次根式用「被开方数相等」求参 · 化简先判字母符号 · 分母有理化乘有理化因式 · 混合运算按序、化简到最简 【作业1】．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【作业4】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列各组数中互为相反数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【作业5】．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（23-24八年级上·上海·期末）计算：______． 【作业7】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化简：______． 【作业8】．（25-26八年级上·上海青浦·期中）化简：______． 【作业9】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化简：________． 【作业10】．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【作业11】．（24-25八年级上·上海长宁·阶段检测）已知实数x、y满足，则的值等于________． 【作业12】．（2025八年级上·全国·专题练习）若是整数，则正整数的最小值是___________． 【作业13】．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为________． 【作业14】．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）已知，且，则的值为______． 【作业15】．（25-26八年级上·上海·期末）不等式的解集为_____． 【作业16】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）一家公司，处于发展期当中，第一年年末增加员工人，第二年年末增加员工人．统计发现，正好是第一年员工人数增长了，第二年员工人数增长了，已知每次增加的人数不超过公司原有的人数的两倍，试求公司现在的人数． 【作业17】．（24-25八年级上·上海·期中）（1）计算：     （2）解不等式： 【作业18】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算 (1) (2) 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $