第21章 一元二次方程（单元测试·提升卷）数学沪教版五四制2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第21章 一元二次方程·能力提升·考试版 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 5．把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 6．最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a 的值是（     ） A．或 9 B．或 1 C． 或 D．9 或 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．当m 时，方程是关于x的一元二次方程． 7．在实数范围内因式分解： ． 9．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 10．已知是方程的一个根，则 ． 11．若二次三项式在实数范围内可以因式分解，则常数的取值范围是 ． 12．如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数，那么 ． 13．有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有 支球队． 14．已知等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则该三角形的周长是 ． 15．已知关于的方程的两个根之差，而关于的方程的两根都大于且小于，则 ． 16．已知都是质数，且，，试求 ． 17．满足的有序有理数对 ． 18．已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）解方程： 20．（4分）解方程：． 21．（6分）若关于的方程有增根，求的值． 22．（6分）先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 23．（8分）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 24．（10分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 25．（10分）我们定义：两根都为整数的一元二次方程，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用表示，即．若有另一个“幸运方程”（均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是___________； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为___________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程与（m，n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出的值． 26．（10分）综合与实践：闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小明家走道旁靠墙处地面上有一块如图1大小的空闲区域，该区域可以放置合适大小的储物盒，小明家中有许多闲置的纸板箱．    素材2 如下图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板②       小明分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．    将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．    任务1 熟悉材料按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入如图1的空闲区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为______ ． 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 任务2 初步应用按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求裁去小正方形的边长． 任务3 储物收纳按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如下图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．    学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第21章 一元二次方程·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A：中，a、b、c为参数，若则不是二次方程，故不一定是一元二次方程； B：只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程； C：含两个未知数y和x，不是一元二次方程； D：最高次数为3，不是一元二次方程； 故选：B． 2．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：， ， ， ， 可得，， 故选：A． 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：∵ 方程为一元二次方程， ∴ ， ∵ 有两个不相等的实数根， ∴ 判别式 ， ∴ ，即 ， 综上，且． 故选：D． 4．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，，且，， ∴，， A、中，，，则，故不满足条件，不符合题意； B、中，，，则， 且，故满足条件，符合题意； C、中，，，则，故不满足条件，不符合题意； D、中，，，则，但 ，故不满足条件，不符合题意； 故选：B． 5．把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， 则， 所以， 故选：C． 6．最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a 的值是（     ） A．或 9 B．或 1 C． 或 D．9 或 【答案】B 【详解】解：， 最简二次根式 与 是同类二次根式， ，即， 解得或． 故选：B． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．当m 时，方程是关于x的一元二次方程． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程， ， ， 故答案为： 7．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【详解】当， ， ， ， ∴ ∴， 故答案为：． 9．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：方程整理成一般式为， ∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知是方程的一个根，则 ． 【答案】2025 【详解】解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 11．若二次三项式在实数范围内可以因式分解，则常数的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：∵二次三项式在实数范围内可以因式分解， ∴， 即， 解得， 又∵， ∴常数的取值范围是且． 12．如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数，那么 ． 【答案】 【详解】解：设方程的两个根为、， 则，， ∵两根之和与两根之积互为相反数， ∴， 整理得，， 解得或， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有 支球队． 【答案】10 【详解】解：设共有支球队，则每两队之间比赛一场，共比赛场数为， 根据题意，有， 方程两边同时乘以2，得， 整理得， 因式分解得， 解得或， 由于球队数量为正整数， 故， 故答案为：10． 14．已知等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则该三角形的周长是 ． 【答案】或 【详解】解：解方程， ∴， 得，， 当底边为3，腰为时，此时能组成三角形， ∴该三角形的周长是； 当底边为，腰为时，此时能组成三角形， ∴该三角形的周长是； 综上，该三角形的周长是或． 故答案为：或． 15．已知关于的方程的两个根之差，而关于的方程的两根都大于且小于，则 ． 【答案】4 【详解】解：设关于的方程的两个根为，，则： ，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，关于的方程为， 解得：，， 关于的方程为， 解得：，， ∵， ∴此时符合题意； 当时，关于的方程为， 解得：，， 关于的方程为， 解得：，， ∵， ∴此时不符合题意； 综上分析可知：． 故答案为：4． 16．已知都是质数，且，，试求 ． 【答案】或 【详解】解：当时，可得：； 当时，根据题意可得为方程的两个根， ∴， ∵都是质数， 则或， ∴， 故答案为：或． 17．满足的有序有理数对 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ，即， ∵x、y是有理数， ∴， 由②可得：， 将代入①可得：，即， 设，则，解得：或3； 当时，，则或（不合题意，舍去）， ∴， ∴有序有理数对； 当时，，此时，不符合题意，舍去． 综上，有序有理数对． 故答案为：． 18．已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【详解】解：由已知得 ， ①由得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根；故①正确； ②若， 则，故②正确； ③若方程两根为和， 则，， ， ， ；故③正确； ④若，则， ， ， 方程一定无解．故④正确， 综上可知，正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）解方程： 【详解】解：， ，……（1分） ， ， ，……（2分） 或，……（3分） ∴或．……（4分） 20．（4分）解方程：． 【详解】解： 去分母得：……（1分） 去括号，移项得： ∴……（2分） ∴或， ∴，；……（3分） 检验：当时，； 当时，， ∴分式方程的解为．……（4分） 21．（6分）若关于的方程有增根，求的值． 【详解】解： ， ∵若关于的方程有增根， ∴或，……（3分） 当时，， ∴； 当时，， 整理得： ∴或； 综上：的值为或．……（6分） 22．（6分）先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 【详解】解： ……（2分） 或 解得或，……（4分） ∵， ∴， ∵是方程的一个根， ∴， ∴原式．……（6分） 23．（8分）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴与墙垂直的边的长为；……（4分） （2）解：不能，理由如下： 设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得， 整理可得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴不能使长方形面积扩大到2000平方米．……（8分） 24．（10分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 【详解】（1）解：∵的中点表示的数是p， ∴， 故答案为：；……（2分） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 由题意得， ∴， ∴， ∴；……（6分） （3）解：当时，（为正整数）， 当时，（为正整数，且）， ∴ 两式相减得， 即． ∴ 或 解得或， ∴或 ∴ ，，，， 即的中点表示的数是或或或．……（10分） 25．（10分）我们定义：两根都为整数的一元二次方程，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用表示，即．若有另一个“幸运方程”（均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是___________； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为___________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程与（m，n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出的值． 【详解】（1）解：①当时，为， ， 即该幸运方程的“幸运数”是； ②当该“幸运方程”的“幸运数”是时， ， 整理得， 解得，， 即m的值为或3； 故答案为：①；②或3．……（2分） （2）解：， ， ， ， 为“幸运方程”， 两根都为整数， 为完全平方数， 为49或64或81， m的值为5或或， 为整数， m的值为5或13；……（6分） （3）解：为“幸运方程”， 两根都为整数， 设方程的两个根分别为p，q， 则，， ， ， ， p，q都为整数，， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 综上可知，m的值为5或， 的“幸运数”为：， 当时，， 当时，， 综上可知，的“幸运数”为； 的“幸运数”为： ， 与互为“开心数”， ， ， 当时，， 解得，（都不是整数，舍去）； 当时，， 解得， 综上可知，的值为0．……（10分） 26．（10分）综合与实践：闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小明家走道旁靠墙处地面上有一块如图1大小的空闲区域，该区域可以放置合适大小的储物盒，小明家中有许多闲置的纸板箱．    素材2 如下图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板②       小明分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．    将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．    任务1 熟悉材料按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入如图1的空闲区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为______ ． 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 任务2 初步应用按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求裁去小正方形的边长． 任务3 储物收纳按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如下图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．    【详解】解：任务1：∵储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域， ∴图1中的四角裁去小正方形的边长为， ∴储物盒的宽小正方形的边长， 故答案为：；……（3分） 任务2：设裁去的小正方形的边长为 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴裁去小正方形的边长为．……（6分） 任务3：设小长方形的宽为长为 根据题意得：， 由得， 把代入，整理得， 解得， ∵， ∴， ∴ 即小长方形的宽为长为 当和之间两边恰好重合且无重叠部分，储物盒的高， ∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒， 答：玩具机械狗不能完全放入该储物盒．……（10分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第21章一元二次方程·能力提升·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 1 2 3 4 6 B A D B C B 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7.3 8.30x--1+V万 G7 9.m≠2 10.2025 11.k≥-1且k0 12.0 13.10 14.11或13 15.4 16.2或125 17. 3 18.①②③④ 22 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(4分) 【详解】解：(2x-1)+(1-2x)=2, 4x2-4x+1+1-2x-2=0,…(1分) 4x2-6x=0, 2x2-3x=0, x2x-3)=0,…(2分) x=0或2x-3=0,…(3分) r0或x=3 ·…(4分) 20.(4分) 【详解解：，2一 x+2 去分母得：4x-2x+2=x2-4-x-2…(1分) 去括号，移项得：x2-3x+2=0 ·（x-1(x-2)=0…(2分) ∴x-1=0或x-2=0, x=1,x2=2;…(3分) 检验：当x=1时，x2-4≠0； 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x=2时，x2-4=0, 分式方程的解为x=1.…(4分) 21.(6分) 【详解】解：+3-b1.36 x2-2x x x-2 x2+3-b2+x-2=3bx x2+(1-3b)x+1-b2=0, “若关于的方程+36+16有增根， x2-2xx x-2 x=0或x=2,…(3分) 当x=0时，1-b2=0, .b=t1: 当x=2时，22+2(1-3b)+1-b2=0, 整理得：b2+6b-7=0 .b=1或b=-7: 综上：b的值为±1或-7.…(6分) 22.(6分) 【详解】解：a-ya-6+a-a a+2 a-1 (a-3(a+2a(a-l a+2 a-1 =√a-3+√a =2Va-3…(2分) 2x2-3x+1=0 2x-1x-1=0 2x-1=0或x-1=0 解得x=2或x=1，…(4分) :Va-1≠0， .a≠1， 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :a是方程2x2-3x+1=0的一个根， 2 :.原式=2×2 -3=2x5-3=5-3.…6分) 2 23.(8分) 【详解】(1)解：设与墙垂直的边AD的长为xm,则与墙平行的边AB的长为170-2xm, 由题意可得：x170-2x=1500, 解得：x=10,x2=75, 当x=10时，170-2x=170-2×10=150>100,不符合题意； 当时，170-2x=170-2×75=20<100,符合题意： .与墙垂直的边AD的长为75m;…(4分) (2)解：不能，理由如下： 设与墙垂直的边AD的长为m,则与墙平行的边AB的长为170-4y+3×2)m, 由题意可得y(170-4y+3×2)=2000, 整理可得：y2-44y+500=0, :△=(-44)2-4×1×500=-64<0， ·原方程没有实数根， :.不能使长方形ABCD面积扩大到2000平方米.…(8分) 24.(10分) 【详解】(1)解：：PP的中点表示的数是p, “p=+五=-m=-5」 2 2 2 故答案为：一 2;…(2分) (2)解：：p=+五， 2 x1+x2=2p, :x1+x2=-m, m=-2p; 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意得x-x=2, “x-x=Vx+x)}2-4xx3=V-m)2-4n=V2p)2-4n=V4p2-4n=2, .4p2-4n=4, .n=p2-1;…(6分) (3)解：当PP=2时，n=p2-1=c2(c为正整数)， 当阴=，A=分-月-为整数，温1e之 :两式相减得c2-d2=15, 即(c+d)(c-d)=15 [c+d=l5[c+d=5 c-d=1或 -d=3 8阳白92千 c2=4 或 p2=72+42=65或p2=12+42=17 1=V65,P2=-V65,p=7,p4=-17, 即PB的中点表示的数是√65或-√65或√17或-√7.…(10分) 25.(10分) 【详解】(1)解：①当m=2时，x2-(m+1)x+m=0为x2-3x+2=0, Fa,b,c)=4ac-b2_4x1x2-(-3_' 2a 2×1 即该幸运方程的“幸运数"是- 2 ②当该“幸运方程”的“幸运数”是-2时， Fa6.94ac-_4m-[m+-2 2a 2×1 整理得m2-2m-3=0, 解得m=-1,m2=3, 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即m的值为-1或3； 故答案为：①-；②-1或3.…(2分) 2 (2)解：：x2-(2m-3)x+m2-4m-5=0, :△=b2-4ac=[-(2m-3)2-4m2-4m-5)=4m+29, :4<m<15, 45<4m+29<89, :x2-(2m-3)x+m2-4m-5=0为“幸运方程”， ·两根都为整数， :△=4m+29为完全平方数， ·4m+29为49或64或81， ·m的值为5或35或13， 4 :m为整数， :m的值为5或13；…(6分) (3)解：：x2-mx+m+1=0为“幸运方程”， ·两根都为整数， 设方程x2-mrx+m+1=0的两个根分别为p,q, 则p9=m+1,p+g=m, ·pg=p+9+1, ·pq-p-9=1, :（p-1(9-1=2, ”p,q都为整数，2=1x2=2×1=(-1x(-2)=(-2)×(-1, 当p-1=1,q-1=2时，p=2,q=3,此时m=2+3=5, 当p-1=2,q-1=1时，p=3,q=2,此时m=3+2=5, 当p-1=-1,q-1=-2时，p=0,9=-1,此时m=0-1=-1, 当p-1=-2,9-1=-1时，p=1,9=0,此时m=-1+0=-1, 综上可知，m的值为5或-1， 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 r-m+m+1=0的”幸运数”为：FL,-m,m+l=4×1xm+--m=-m2+4m+4。 2×1 2 当m=5时，F(1,-m,m+1=F1,-55+1=-5+4x5+4-1， 2 2 当m=-1时，F1,-mm+1=FL0)=--+4x-)+4- 2 2 综上可知，2-mx+m+1=0的幸运数”为F山，-m,m+1=- 2 r+-1x-n=0的"幸运数”为：Fn-1-川=4x1×川-(n---2n-1-(n+2, 2×1 2 2 :F(1,-m,m+1与F(1,n-1,-n互为“开心数”， -n…F(1,-m,m+1=（m+1F1,n-1,-n, 当用=5时，分=-3n+月， 2 3 解得几=行%= (都不是整数，舍去)： 当m=-1时，经=0， 解得n=0, 综上可知，的值为0.…(10分) 26.(10分) 【详解】解：任务1：：储物区域的长为40cm,储物盒可以完全放入储物区域， :图1中的四角裁去小正方形的边长为号×(50-40)=5(cm), ·a=储物盒的宽a=小正方形的边长=30+2×5=40(cm), 故答案为：40；…(3分) 任务2：设裁去的小正方形的边长为xcm, 根据题意得：(50-2x)(40-2x)=600, 解得：x=10,x2=35(不符合题意，舍去)， .裁去小正方形的边长为10cm.…(6分) 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 任务3：设小长方形的宽为xcm,长为ycm, 2(y-x)=100-2y 根据题意得： (40-2x)100-2y)=608’ 由2(y-x)=100-2y得x=2y-50, 把x=2y-50代入40-2x)100-2y)=608,整理得y-35)y-50)=76, 解得八=54,2=31， :100-2y>0, .y=31, .x=2y-50=12 即小长方形的宽为12cm,长为31cm, 当EF和HG之间两边恰好重合且无重叠部分，储物盒的高12<18， ·玩具机械狗不能完全放入该储物盒， 答：玩具机械狗不能完全放入该储物盒.…(10分) 7/7………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第21章 一元二次方程·能力提升·考试版 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 5．把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 6．最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a 的值是（     ） A．或 9 B．或 1 C． 或 D．9 或 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．当m 时，方程是关于x的一元二次方程． 7．在实数范围内因式分解： ． 9．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 10．已知是方程的一个根，则 ． 11．若二次三项式在实数范围内可以因式分解，则常数的取值范围是 ． 12．如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数，那么 ． 13．有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有 支球队． 14．已知等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则该三角形的周长是 ． 15．已知关于的方程的两个根之差，而关于的方程的两根都大于且小于，则 ． 16．已知都是质数，且，，试求 ． 17．满足的有序有理数对 ． 18．已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）解方程： 20．（4分）解方程：． 21．（6分）若关于的方程有增根，求的值． 22．（6分）先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 23．（8分）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 24．（10分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 25．（10分）我们定义：两根都为整数的一元二次方程，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用表示，即．若有另一个“幸运方程”（均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是___________； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为___________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程与（m，n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出的值． 26．（10分）综合与实践：闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小明家走道旁靠墙处地面上有一块如图1大小的空闲区域，该区域可以放置合适大小的储物盒，小明家中有许多闲置的纸板箱．    素材2 如下图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板②       小明分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．    将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．    任务1 熟悉材料按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入如图1的空闲区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为______ ． 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 任务2 初步应用按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求裁去小正方形的边长． 任务3 储物收纳按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如下图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．    试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $